हेलो बच्चो मेरा नाम है राजन सिंग और मैं आप सभी का स्वागत करता हूँ आज हमें करना बेटा एक motion in plane एक summary lecture अगर हम लोग motion in plane की बात करते हैं तो start कहां से हुआ था ये भी आपका एक unit vector है अब कुछ बच्चे कहेंगे सर ये कैसा unit vector है हमें तो i-cap, g- आपका statement याद करें एक बड़ा सा गंदा सा statement class में लिखाए था और मैंने कहा था as it is school में छाप के आना पड़ेगा समझ के जाएगे reason being क्योंकि अगर आपने statement में इधर उधर कुछ किया तो आपके teacher marks काटेंगे तब theta की value 60 degree थी तो root 3p था याद करें जब 120 था तो पी था और जब 180 था तो जीरो था अब जो बच्चे ये इतना fast recall कर पा रहे हैं believe me your revision is very good तो आपको मैं अगर ये statement कहता हूँ कि मैंने 2 newton अलमारी पर force लगाया तो आपके मन में ये doubt आ जाना चाहिए कि सारी spoon feeding मैं नहीं करूँगा और अगर आप multiple revision करते हो मैं believe me आप इसको कम से कम टाइम में ऐसे ही revise कर पाओगे प्रहीनों महीनत पक रिवाइज करते रहते हैं कैसे सब चैप्टर खत्म नहीं हो रहा आपको इतने मल्टिपल रिविजियन करने है कि जी में से पहले आप आंख बंद करो पूरा चैप्टर सड़क से आपको के सामने से निकल जाए यहां यार यह चीजें है इस चैप्टर कंप्लीट किया है उसके ऊपर हमारे पास एक समरी लेक्चर आप सभी लोगों को पता है कि यह पर्स पार्ट में हम लोगों ने vectors के बारे में बात किया था, second पार्ट में हम लोगों ने projectile motion के बारे में बात किया था, और third पार्ट में हम लोगों ने relative velocity के बारे में बात किया था, तो यहाँ पर हमारे पर सबसे पहले हम लोग जो main main points है summary lecture का main purpose क्या है मैं दुबारा बता द ठीक है लेकिन जब हम लोग समरी लेक्चर की बात करते हैं तो समरी लेक्चर में हमारे पास वो में पॉइंट जरूर हमें रिवाइस करने है जिससे वो चीजे हम लोगों ने डिराइव की थी तो अगर आप किसी भी बुक की बात करते हैं या कहीं पर भी अगर आप थियोरी क concepts को और अच्छे से कैसे समझना है उसके बारे में बात की है तो इसलिए जो पूरा chapter है वो काफी lengthy हो जाता है क्योंकि इसमें बहुत सारी minute चीजों के बारे में आपको सोचना है vectors इसमें use होता है basic mathematics इसमें use होता है motion in straight line हमारे पास यहाँ पर use होता है right तो आपको क्या करना है कि yes sir जो आप आज ही ये सारी चीज़ें बता रहे हैं कि क्या वो मेरे को कम से कम time में सारी चीज़ें रिकॉल कर पा रहा हूं या फिर नहीं ठीक है तो सबसे पहले अगर हम लोग motion in plain की बात करते हैं तो start कहां से हुआ था मोशन इन प्लेन हमारे पास स्टार्ट हुआ था वेक्टर से, अब आप या तो आख बंद करके सोचिए, अगर आप लोगों ने रिवाइज कर रखा है तो आप आख बंद करके सुनिए और सोचिए हाँ हाँ ये सारी चीज़े बताई गई थी, और अगर आपने अभी खुद scalar ऐसी quantities हैं जिनके पास magnitude है और direction उनके पास नहीं है, यही आपको बताय जाता है, और मुझे पता है यहाँ पर जब मैं बात बोलूंगा तो कई बच्चे tensor tensor tensor दिमाग में लाएंगे, बेटा ग्यारवी और बारवी हमारे पास without tensor word यूज़ किये भी आपका निकल सकता है, तो ज तो scalar quantities ऐसी quantities हैं जिनके पास magnitude है लेकिन direction नहीं है सर current हमारे पास एक एक सा example था जो आपने class में बताय था इसके पास तो direction भी है लेकिन yes अगर हम लोग देखे तो हमारे पास ये rank 0 का tensor हमारे पास बनता है तो tensor वाले part को हम लोग यहाँ पर हटा देते हैं current हमारे को scalar ही deal करना है क्यों बोलना है क्योंकि इसके पास magnitude है और इसका जोडने का तरीका main scalar का जोडने का तरीका main होता है आप directly जोड़ रहे हैं, mass में अगर मैं बात करूँ, mass scalar क्यों है, अगर 5 kg में 2 kg जोड़ना है, अब यह नहीं देखेंगे किस angle से जोड़ा है, यह नहीं देखेंगे कौन सी axis पर जोड़ना है, कुछ नहीं, अब चीज़े 5 kg प्लस 2 kg, 7 kg लिखते हैं, 10 kg में से 3 kg घटाना है, त तो scalar quantities वो हैं, जब आपको जोड़ना है और घटाना है, तो आपको ज़्यादा दिमाग नहीं लगाना है, directly इसको जोड़िया और घटाईये, वो quantities होती हैं, हमारे पास scalar quantities, इनके पास magnitude है, और direction इनके पास नहीं है, current आपके एक example रहेगा, आप कहेंगा, current is also scalar quantity, क्योंकि जब ह अगर आप एक डबे पर force लगा रहे हैं, 2 Newton, तो आपको मैं अगर ये statement कहता हूँ कि मैंने 2 Newton अलमारी पर force लगाया, तो आपके मन में यह doubt आ जाना चाहिए कि यार कि 2 Newton आप कैसे लगाने की बात कर रहे हैं सब, कि आप अलमारी को प्रेस करने की बात कर रहे हैं, अलमारी को उठाने की बात कर रहे हैं, अलमारी को धक्का देने की बात कर रहे हैं, यह 2 Newton की direction कहाँ है, क्योंकि उस direction से आपको motion के उसमें आपको उनके लिए कुछ laws लगाने पड़ते हैं, उनको हम लोग क्या कहते हैं, vectors basically कहते हैं, clear, अब बात आती है, इसमें आपका force है, velocity है, acceleration है, हमारे पास momentum है, जो आपने शायद अभी तक पड़ भी लिया होगा, टीक है, impulse है, ये सारी आपकी क्या रहती है, vector quantities हमारे प एक होता है कि जब आप theoretically कोई question कर रहे हैं तो बार-बार आप arrow नहीं बनाते आप वहाँ पर अपने terms लिखते हैं जैसे आपने कहीं पर देखा होगा एक ऐसे arrow बना दिया जाता है तो this is the representation of a vector ठीक है तो कहीं पर भी a arrow दिखेगा तो this is vector a और इसके आगे अगर मैं magnitude modulus magnitude थी और direction थी तो this is magnitude of vector a बोला जाता है या फिर mod a भी बोला जाता है mod मतलब magnitude होता है और अगर आप कहीं पर vector के उपर ऐसे कहीं एक ऐसे टोपी टाइप का देखते हैं, तो इसका ये किस चीज़ का representation है? This is the representation of a direction. किसी भी vector की जो direction होती है, उसको आप ऐसे किताबों में लिखा हुआ देखेंगे, A cap.
कैसे बोलते हैं? A cap. इसको क्या बोलते है?
Mod A. तो A cap अगर मैं बात करूँ, तो this is the direction of a vector, या फिर unit vector along A. सर ये unit vector क्या है? अभी आपको आगे समझाऊंगा. Unit vector का मतलब भी direction ही हमारे पास होता है.
तो ये हमारे पार representation होता है दूसरा होता है diagrammatic view अगर हम लोग एक vector को diagrams के form में show करें तो एक arrow से show करते हैं जैसे आपके सामने एक डबबा बनाया मैंने कहा कि भाई मैंने इस पर 10 newton का force लगाया तो आप देखें कि मैंने एक arrow बनाया तो arrow से आपको समझ आ रहा है कि आप इस direction में लगाया है और length से आपको पता लगेगा 10 newton अगर मैंको 5 newton बनाना है तो मैं इसका आधा बनाऊंगा कि length जो होता है जितना बड़ा arrow बनाऊंगा उतना ही ज़्यादा magnitude के बारे में बात करेगा जितना ही कम length बनाऊँगा उतना ही कम magnitude के बारे में बात करेगा जिस direction में मैं अगर बोलता कि मैंने यहाँ पर 20 neutral लगाया तो आपको अपने आरो जिस direction में है उसी direction में समझ आ जाएगा कि ये direction थी vector की और जितना ज़्यादा मैं length बनाऊँगा उतना ही ज़्यादा उसका magnitude basically होगा तो diagrammatic view में हम क्या करते हैं एरो representation होता है एरो बनाया जाता है length is directly proportional to the magnitude of vector जितना ज़्यादा length बनाएंगे उतना ही ज़्यादा उसका magnitude होता है और जिस भी एरो की जो भी arrow की direction होती है वही हमारे पास vector की direction होती है किसी भी vector के आगे जैसे माल लीजिए मैंने आपको force बोला कि एक body पर minus 2 newton का force लगा बच्चों के दिमाग में यह रहता है यार minus 2 newton मतलब 0 से छोटा force जीरो से छोटा force नहीं है बेटा plus और minus किसी भी vector के सामने कोई भी vector quantity के सामने plus और minus उसकी direction है यह क्या बता रहा है कि 2 newton force हम लोग लगाया है negative direction में Sir, minus x में लगाया है, minus y या minus z वो अलग बात है, लेकिन यह minus 0 से छोटा नहीं बता रहा है, यह बता रहा है कि यह आपने 2 Newton का force लगाया है, negative direction में, यह इसका magnitude हो गया बेटा, magnitude is 2 and this is your direction, और direction को हम लोग एक और नाम बोल देते हैं, unit vector basically, ठीक है, यह आपको class में बताया गया था, angle between two vectors, अंगल between two vector is अचलिखा भी हुआ है angle between vectors is the angle between their directions किसी भी दो vectors के बीच का अगर आपको angle निकालना है तो उनको extend करें जैसे ये वाला vector है तो इसकी direction क्या है ये है दूसरा वाला vector है इसकी direction क्या है ये है तो इनके बीच का अगर आपको angle mark करना है तो ये इन दोरों के बीच का angle होगा angle between the vector is the angle between their directions इसकी direction ये है इसकी direction ये है ये इनके बीच का angle है कई बच्चों को डाउट आता है, सर ये वाला एंगल क्यों नहीं लिया, ये भी तो इन दोनों के बीच की directions का ही एंगल है, यहाँ पर याद रखना कि हम लोगों ने एक convention set कर रखा है, कि पूरी दुनिया किसी भी दो vector के बीच का जब एंगल निकालेगी, ठीक है, जैसे मानल अगर मैं बात करूँ तो ये वाला vector की direction ये है, ये वाले vector की direction ये है, तो सर दो angle आए, एक ये आया, एक ये आया, जो भी angle 180 degree से कम है, यही इन दोनों के बीच का angle माना चाहेगा, एक vector ये है, कुछ बज़े कहते सर हमारी teacher ने angle बाहर बना रखा था, मैच वाले teacher यहाँ पर बनाते हैं, दोनों की कहानी अलग है, ये मैं vectors के बीच के angle की बात कर रहा हूँ, इस vector की direction हमारे पास ये है, और इस vector की direction हमारे पास ये है, तो angle between the vector is the angle between the direction सर एक तो angle ये हुआ एक angle ये हुआ इन में से कौन सा मानेंगे जो 180 degree से आपको कम मिलेगा वही angle आपका होगा तो ये इसका angle रहेगा अगर मान लीज़े हमाँ आपका vector एक ये है तो इसका direction क्या था बेटा इसका direction हमाँ आपका यहाँ है ये वाला vector इदर है इसका direction यहाँ है तो ये है इन दोनों के बीच का angle थीटा सर एक ये वाला angle भी था येस 180 degree से जादा दिखाई दे रहा है ये वाला angle हम लोग यहाँ पर नहीं लेंगे अब मान लेते हैं कि हमारे पर multiple vectors हैं, इनके बीच के आपस के angle आपको यहाँ पर लेने हैं, तो यह वाला vector इधर जा रहा है बेटा, तो यह direction है, यह वाला vector इधर जा रहा है, यह direction है, तो इनके बीच में एक यह वाला angle है, और एक यह वाला angle है, कौन से angle लेंगे, जो 180 degree से कम ह चेर ये बराबर भी हो सकते हैं, बिल्कुल हो सकते हैं, बस मैंने अभी यहाँ पर mark करके बताया है कि angle between the vector is the angle between their direction, फिर इसके बाद हम लोगों ने बात कर रहा है कि हमारे पार type of vectors क्या है, हमारे पार बहुत प्रकार के type हैं, अगर आप books में जाएंगे तो और भी इससे ज़् इक्वल वेक्टर, देखो भाई, वेक्टर हमारे पास एक वेक्टर क्वांटिटी है, है ना, इक्वल वेक्टर, अगर मैं बात करूँ, वेक्टर क्वांटिटी के पास magnitude और direction दोनों थे, अगर मैं इक्वल वेक्टर के बात कर रहा हूँ, तो इसके पास magnitude भी same होगा, और direction भ parallel vectors में क्या होता है magnitude कुछ भी हो any but इनके direction same होनी चाहिए जैसे मान लिजे ये हमाई पा 1 newton है ये हमाई पा 2 newton है ठीक है दोनों की direction same है तो ये दोनों parallel है सर हमाई पा एक 4 newton था एक 4 newton है दोनों का magnitude same है और direction भी same है तो हमें magnitude से कोई लेना देना नहीं है same हो या ना हो ये सारे के सारे same direction में है तो all are parallel vectors सीधी सी बात negative vectors धिखान सुनना negative vectors क्या होता है जिनका magnitude same होता है और direction इनका opposite हमारे पास यहाँ पर होता है direction opposite जैसे हमारे पास माल लेते हैं कि यह हमारे पास 5 newton था और यह हमारे पास minus 5 newton है तो यह दोनों ही आपके negative vectors कहलाएंगे magnitude same है दोनों का 5 और 5 एक की direction positive एक की direction negative यह दोनों का negative vectors कहलाएंगे next is your anti parallel vector anti-parallel vector नाम से पता लग रहा है जो opposite direction में हो इसमें sir magnitude का क्या पंगा है magnitude कुछ भी हो any और direction इसका opposite हो सिर्फ direction opposite होते ही ये आपस में anti-parallel vector होंगे जैसे मान लीजे ये minus 1 newton हुआ और ये हमारे पार plus 2 newton हुआ sir magnitude same नहीं है कोई दिक्कत नहीं direction opposite है yes तो ये हमारे पार anti-parallel हु Sir, इसका magnitude plus 5 Newton है, और इसका minus 5 Newton है, magnitude से कोई लेना देना नहीं, opposite direction में है, anti-parallel है, null vector, null vector क्या होते है, ऐसे vector, जैसे मालो मैंने कहा 10 Newton minus 10 Newton आएगा, तो क्या आएगा, Sir, 0 Newton आएगा, ठीक है, मालो कि 10 में से 10 आपने घटा है, तो 0 आएगा, basically, अगर मैं उस logic से बात करो, अभी direction, तो अगर मैं बनाऊंगा, magnitude जीरो है, तो एक arrow का जितना length होता है, उतना ही उसका magnitude होता है, यहां तो magnitude ही जीरो होगे, तो basically एक point बनाया जाएगा, अगर आप point बना रहे हैं, तो इसका तो कोई direction नहीं defined नहीं है, यह इदर भी हो सकता है, इदर भी, इदर होती है लेकिन हमें नहीं पता है, not defined, ठीक है, इसको represent कैसे करते हैं, O, O vector, एक point से start हुए, वहीं पर चले गए, O से, O तक ही चले गए, इसको हम कहते है null vector, next is co-initial vector, नाम से पता लग रहा है, ऐसे vector जिनका initial point same हो, magnitude कुछ भी हो, direction कुछ भी हो, हमारे पास same initial point, उनका जब initial point same ह co-initial vector, जैसे ये दोनों vectors का देखें तो initial point हमाँ पर same आ रहा है these are called co-initial vector, next is your co-planar vector, नाम से पता लग रहा है which lies in same plane, which lies इन सेम प्लेन ऐसे वेक्टर जो एक ही प्लेन में लाइ करते हैं एक ही प्लेन कहने का मतलब जैसे माले आप कॉपी है कॉपी में आप बहुत सारे एरोज बना लीजिए ये सारे के सारे एरोज आपके कॉपी के प्लेन में कोई कॉपी से बाहर तो निकल नहीं रहा है तो वो सा सर unit vector हमारे पास क्या था unit vector के अगर आप बात करें तो नाम unit से आपको समझ आ रहा है ऐसे vector जिनका magnitude हमारे पास क्या होता है one और direction इनकी होती है fix unit vector आपको कहीं पर भी मिले समझ जाना it is basically direction only कभी भी आपको सवाल में बोला जाए generally बच्चे confused होते हैं सवाल में बोला जाए कि find a unit vector along A अरे unit vector along A मतलब direction along A A के along जो भी direction है उसको बताई तो आपको A की ही direction बतानी ठीक है तो unit vector के अगर मैं बात करूँ it's basically direction only अब अगर मैं आपसे बात करूँ हम लोग तो three dimension दुनिया में रह रहे हैं तो हमारे पार कितनी directions है कुछ बच्चे बोलेंगे sir three directions है x axis y axis और z axis sir यही three direction है अरे पागल क्या तो सिर्फ x में ही move कर सकता है तो y में ही move कर सकता है नहीं ना तू इधर भी जा सकता है, इधर भी जा सकता है, इधर भी जा सकता है, इधर भी जा सकता है, इधर भी जा सकता है, मैं इसी point से infinite directions में जा सकता हूँ, इसलिए हमारे पास infinite unit vectors होते हैं, हमें अपनी दुनिया को समझने के लिए infinite unit vectors की जरूरत नहीं है, हमें सिर्फ तीन rectangular unit vectors की जरूरत है, ये word याद रखना, ती rectangular unit vectors, जो आप अपना ये coordinate system बनाते हैं, कि सर ये x-axis है, ये y-axis है, ये Z axis है, this is called rectangular coordinate system, इसको हम क्या कहते हैं बेटा, rectangular coordinate system, सर rectangular क्यों बोलते हैं, क्योंकि तारी axis एक दूसरे से 90 degree पर है, अगर आप X axis और Y axis के बीच का angle बात करें, 90 degree, Y और Z 90 degree, X और Z 90 degree, कुछ बच्चे कहते हैं, Y और Z 120 degree पर है, अरे पागल, अगर तू उस logic से बोल रहा है, तो यह थ्री डाइमेंशन है भाई, x-x इधर, y-x इधर, z-x इधर बाहर है, यह बनाया जाता है, orthographic projections कहते हैं, जिसको अभी आप नहीं समझे, यह ऐसे है बिटा, यह z-x आपकी अगर मैं बात करूँ, यहाँ पर x-x इधर है, y-x इधर है, z-x इधर है, minus z अंदर है, minus x इधर ह तो आप ग्राफ प्लोट करते थे, आप x-axis बनाते थे, y-axis बनाते थे, वो एक plane में होते थे, बाहर की direction z-axis, अंदर की direction minus z-axis हमारे पास यहाँ पर होती है, ठीक है, तो हमारे पास दुनिया में infinite unit vectors थे, लेकिन उन मेंसे हमें सिर्फ 3 का काम चीए था, क्यों, अगर मेरे को इ� 3 rectangular unit vectors पता लग जाए, क्योंकि हमारी दुनिया 3D दुनिया है, तो हमारा काम चल जाएगा, तो 3 rectangular unit vectors कौन-कौन से होते हैं, i-cap, j-cap and k-cap, x-axis में अगर आप एक कदम चलते हैं, तो इसको कहते हैं i-cap, y-axis में एक कदम अगर आप चलते हैं, तो इसको कहते हैं हम लोग j-cap, और z-axis में अगर आप एक कदम चलते हैं, तो इसको हम लोग कहते हैं k-cap, कुछ बच्चे बड़ा घबराते हैं कि sir i-cap, j-cap, k-cap समझ नहीं आता, अरे भाई तुम जब दस्वी क्लास में linear equations वाला चेप्टर में ग्राब बनाते थे, तो आप scale factor लिखते थे, x-axis में हर एक डबबा 2 meter का है, होता थोड़ना है, आप लिख देते हैं न, एक डबबा हमें 1 centimeter cube, दूसरा डबबा 2 centimeter cube, तीसरा डबबा 3, आप scaling करते थे, वैसी समझिए, x-axis के हर एक डबबे को मैं i-cap कह रहा हूँ, मतलब एक कदम along x-axis is our i-cap, एक कद इनका magnitude 1 है, एक ही कदम गया हूँ, और direction fix है, i-cap कभी भी मैं अगर आपको बोलूंगा, तो वो x-axis में आएगा, j-cap कभी भी मैं बोलूंगा, तो y-axis आपके दिमाग में आएगा, और k-cap मैं कभी भी बोलूंगा, कि सर unit vector में, हमारे पार तो 6 directions हो जाएगी, rectangular unit vectors की बात करें, सर एक i-cap और दूसरा minus i-cap, फिर एक j-cap और फिर minus j-cap, और फिर एक k-cap और फिर एक minus k-cap, अगर मेरा i cap defined है, unit vector defined है, तो minus i cap automatically defined है, तो तुझे में अगर कहूँ ये मेरी positive direction है, और मैं बोलूं भाई negative direction कहां होगी, तो तु यहां थोड़ना बताएगा, यहीं बताएगा, क्योंकि ये अगर मैंने define कर दी तो ये automatically define हो गई, मैंने कहा कि यार मेरे लिए positive direction ये है, negative किदर होईगी, इधर होईगी, तो अगर plus i cap इधर है, मैंने इसको define किया, तो minus i cap automatically define हो जाता है, clear, तो हमारे पास rectangular unit vectors कितने है, 3, कौन-कौन से, i cap, j cap, k cap, unit vectors कितने है, infinite, infinite directions हमारे पास कि हमारे पास position vector and displacement vector क्या होते हैं position vectors हमारे पास ऐसे vectors हैं which represent the position of a point ठीक है example के तोर पर ऐसे एक example आपको class में कराया गया होगा 2, 1, 2 एक point ले लेते हैं तो इसका position vector कैसे लिखेंगे origin से हमारे पास इस तक पहुँचने के लिए क्या क्या करना पड़ेगा तो x-axis में भी चलना है दो कदम y-axis में एक कदम, z-axis में दो कदम तो 2i-cap प्लस j-cap प्लस 2k-cap यह इसका position vector हो गया क्योंकि अगर आप origin पर हैं ओ से ए गए हैं, इसको क्या कहते हैं, आप ओ पॉइंट पर थे, दिखिए arrow का जो tail है, ये वाला जो tail है, वो ओ पर है, तो आप पहले यहाँ पर थे, अब आप कहा जा रहे हैं, ए पर जा रहे हैं, head के नीचे क्या है, ए, तो आप ए तक अगर जा रहे हैं, तो आपको क्या क्य तो magnitude के लिए तो मेरे को length चाहिए, हाँ sir, तो यार क्या मैं distance formula लगा सकता हूँ, distance formula से length पता लगेगा, तो distance formula क्या लगाते हैं, under root में 2 का square, 1 का square and 2 का square, वही इसका magnitude आया, right, हमारे पास, अब मैं आपको बोलूं कि भाई इसके direction बता दो, तो किसी भी vector के direction कैसे लिखेंगे, vector, तो vector लिखा उसको उसके magnitude से divide कर दिया, this is your direction of, यहाँ सुन या, direction of OA vector, clear, दूसरा, this is a unit vector along OA, यह भी आपका एक unit vector है, अब कुछ बच्चे कहेंगे, sir यह कैसा unit vector है, हमें तो i cap, j cap, k cap पढ़ाये गया था, अरे वो rectangular unit vector है, इसका magnitude निकालेगा, 1 आएगा, under root में अभी मैं बताऊ plus 1 by root 9 j cap plus 2 by root 9 k cap यह भी एक vector है तो किसी भी vector का magnitude कैसे तू निकाला था under root में x का square plus y का square plus z का square यही करके तू निकाला था है ना तो जरह यहाँ पर भी करके देख 4 by 9 plus 1 by 9 plus 4 by 9 answer बनाया means this is also a unit vector यह भी आपका एक unit vector ही है 3i cap, 2j cap, 3k cap answer आ गया plus करते चलेंगे ठीक है अगर मैं बोलो इसका magnitude क्या होगा तो सर distance formula लगा लेते हैं तो under root में x का square plus y का square plus z का square यही हम लोगों ने करा magnitude आ गया सर direction अगर मेरे से कोई पूछे OB cap ध्यान सुनना OB cap तो that means direction of OB vector या unit vector along OB तो vector लिखी है उसको उसके magnitude से divide कर दीजे तो आपका direction आ गया यह होते है position vectors ठीक है दूसरा आता है displacement vector displacement vector, माल लो कि आप, this is the position of a point with respect to another point, सर इसका मतलब, ध्यान समझ, position vector क्या था, this is the position of a point with respect to origin, तो origin से a point पर जाने के लिए क्या करेगा, 2i cap प्लस j cap प्लस 2k cap चलेगा, displacement vector is the position of a point, with respect to another point, माल ले तु a से लेके b जाना चाता है, ठीक है, तो इसको कैसे निकालते हैं, final vector minus initial vector, तो final 13 कहां पर गया, b पर गया, initial कहां था, a पर था, तो ob vector, यहाँ पर, अगर मैं बात करूँ, तो ob vector minus oa vector करके, तो एक displacement vector मिलेगा, सर यह final minus initial क्यों आया, initial minus final क्यों नहीं आया, अभी common sense लगाएंगे, तो 3icap plus 2jcap plus 3kcap, minus 2icap plus jcap plus 2kcap, जैसे आप इसको minus करोगे, एक्स को एक्स से minus करोगे, तो 3 minus 2icap, 2 minus 1jcap, और 3 minus 2k के यह आया i plus j plus k समझ तू अगर इस point पर है तो एको इस point पर जाना है तो एको एक्स में कितना चलना पड़ेगा सर मैं पहले एक्स पर था 2 अब है 3 तो एक्स में plus 1 चलना है तो मैंने कहा ठीक है तो या गया तो वाइट में था वन पर अब है वाइट तेरा टू तो वाइट में किधर जाना कितना चलना पड़ेगा सर प्लस वन चलना पड़ेगा तो यह भी आ गया तो जैड में था टू अब वाइट में है तेरा हमारे पास थ्री तो जैड में तू कितना चलेगा जैड म इस vector का displacement vector का magnitude निकालना है तो किसी भी vector का magnitude कैसे निकालेंगे यह 1 i cap, 1 j cap, 1 k cap है under root में x square, y square, z square, 1 square, 1 square, 1 square, 3 आगे मैं बोलूं direction of a b vector निकालो तो vector लिखो उसको उसके magnitude से divide कर दो मैं बोलूं unit vector along a b निकालो तो vector लिखो उसको उसके magnitude से divide कर दो clear तो यहाँ पर for any general vector किसी भी vector क तो उसका एक i cap, j cap, k cap के साथ कुछ लिखा होता है, जैसे यहाँ पर 2 i cap, 1 j cap, 2 k cap लिखा हुआ है, तो यह 2 है, this is called x component, यह 1 है, यह y component कहलाता है, और यह 2 है, this is called z component, ठीक है, तो किसी भी vector के लिए यह ax, जो i के साथ होता है, this is called x component, this is y component, and this is z component, किसी भी vector का अगर आपको magnitude न वेक्टर का magnitude कैसे निकालना है? जो i के साथ था ax का square plus ay का square plus az का square करके आपको magnitude निकालना है यहाँ पर भी देखें 2 का square, 1 का square, 2 का square, 3 का square, 2 का square, 3 का square, 1 का square, 1 का square, 1 का square ऐसे करके आप magnitude निकालते हैं अगला हमारे पास resolution of vector, किसी भी vector को अगर हमें यहाँ पर resolve करना होता है, break करना, resolve करना मतलब, हमारे पार breaking of vector, यह बाद तक बच्चों को दिक्कत आता है, breaking of vector, along coordinate axis, along axis, उसको हम लोग कहते हैं, अपना resolution, तो resolve कैसे करते हैं बेटा, कोई भी vector होता है, आप जैसे मालिजे x-axis यहाँ है, y-axis यहाँ है, एक example भी ले लेंगे, यह 90 degree हमारे पास है, यह वेक्टर को रिजॉल करना था, तो मैंने सबसे पहले एक ट्राइंगल बना लिया, यह एंगल दे रखा होगा, वेक्टर दे रखा होगा, जिस एक जांपल में अभी देखेंगे, तो आप एक ट्राइंगल बनाते हैं, याद करिए, बेसिक मैस में आपको पढ़ाया गया और perpendicular is equal to hypotenuse का sine theta यही आएगा, तो इस case में अगर मैं बात करूँ तो यह वाला length हमारे पास जो base है, यह value कितनी आएगी, जो angle के side होता है, यह आएगा बेटा a cos theta hypotenuse का cos theta और जो यह वाला length हमारे पास होगा ध्यान सुनना, जो यह वाला length perpendicular, angle के सामने वाला यह होता है a sine theta माल लेते हैं कि मेरे को यह vectors को resolve करना है, ठीक है तो एक एक करके सारे vectors को resolve कर लेते हैं, जैसे angle यहाँ दे रखा है, तो मैंने 90 degree यहाँ बना है, यह होगा base, यह होगा perpendicular, तो base की अगर मैं बात करूँ, तो base की value होगी, 4 root 2 cos 45, और perpendicular की होगी, 4 root 2 sin 45, इस vector को, अगर मैं a vector कहूँ, एक्स के along कितना है, हमारे पास 4 i cap, cos 45 is 1 by root 2, 4i cap plus 4j cap, यह पूरा का पूरा vector ऐसे लिखा जा सकता है, सर इस वाले vector की बात करें, तो यह कैसे आप करोगे, तो मैंने कहा कि भाई यहाँ पर जार ध्यान समझना, ठीक है, यह हमारे पास second vector है, तो मैंने कहा triangle बना लो, तो base कौन सा होगा, यह होगा, perpendicular कौन सा होगा, यह होगा बेसिक मैस में बताया था बेटा, एक standard triangle होता है, तो यह आजाएगा आपका 3, यह आजाएगा आपका 4, तो इस b vector को अगर मैंको पूरा लिखना है, तो x में आपका कितना आया, negative direction में 3 आया बेटा, और y में आपका positive direction में plus 4 आया, यह आपका second vector आगया, by resolution, resolve कर लिया, खतर, सर तो base की value क्या आएगी बेटा, 6 cos 30 हमारे पास आएगी, तो root 3 by 2, 2 root 3 आजाएगा, और perpendicular आएगा बेटा, 6 sin 30, that is equal to half, तो ये हमारे पास 3 आजाएगा, ये जो भी vector कौन से quadrant है, सर ये हमारे पार फूर्थ कॉर्डरेंट में, सर x positive होता है y negative, इस vector के लिए जाने के लिए तेरे को y में negative जाना पड़ेगा और x में positive जाना पड़ेगा तब ही तु पहुँचेगा वहाँ पर, तो अगर में पार c vector है तो x में आपका positive है, तो ये आपका plus 3 i cap और minus 2 root 3 j cap ये आ अब बात आती है कि हम लोग vectors को add कैसे करते हैं vectors को add करने के लिए हमारे पास होता है अपना एक law which is called vectors law of addition देखे एक समय पर अगर आपको दो vectors को जोड़ना है ठीक है तो आप triangle law लगाईए या parallelogram law लगाईए this is parallelogram law, this is triangle law दोनों same result हैं कोई दिक्कत नहीं है ठीक है जब एक समय पर दो vectors को जोड़ना हो तब आप यह use करते हैं next is your polygon law of vectors addition polygon law एक समय पर multiple vectors 4, 5, 10 vectors को अगर जोड़ना है तो आप polygon law use करते हैं polygon law में अब देखो multiple vectors जोड़ने तो कोई ऐसे formula नहीं होता है इसमें तरीका होता है जो आपको class में मैंने बताया था triangle law में दो vectors को एक समय पर जोड़ना होता है तो यहाँ पर हमारे पास formula था and I think यह वाला सभी को याद रहता है triangle law का statement याद करिए, एक बड़ा सा, गंदा सा statement क्लास में लिखा है, और मैंने कहा था, as it is, school में चाप के आना पड़ेगा, समझ के जाइए, reason being, क्योंकि अगर आपने statement में इधर उधर कुछ किया, तो आपके teacher marks काटेंगे, triangle law vectors क्या होता है, when two vectors are kept, ठीक है, when two vectors, एक vector ये है हमा आप ऐसे नहीं रख रहे हैं एक vector ये एक vector ये नहीं हमारे पास when two vectors are kept along the two adjacent sides of the triangle in an order order कहने का मतलब एक का head और दूसरे का tail match हो then the resultant of these two vectors is shown by the third side of the triangle इन दोनों का जो resultant है वो तीसरी side of the triangle से शोल्ड किया जाएगा from initial to final इन दो vectors को head से head नहीं मिला सकते triangle लो लगाना है तो एक का head होगा, दूसरे का tail होगा, इन दोनों का जो भी resultant है, वो initial point और final point आप देखें, तो यहां से यहां vector बनाएंगे, तो यह दोनों का resultant vector होगा, आप उल्टा भी नहीं बना सकते, उसका मतलब कुछ और होता है, ठीक है, तो यहाँ पर, this is your triangle law, फिर ऐसी parallelogram law का statement क्या एक parallelogram के two adjacent sides पे co-initially रखे, दोनों के tail एक साथ होनी चाहिए, यहाँ पे head और tail match करनी चाहिए, यहाँ पे tail और tail match करनी चाहिए, co-initially along the two adjacent sides of a parallelogram, then the resultant of these two triangle is shown by the diagonal of the parallelogram, इन दोनों का जो भी जोड होएगा, addition होएगा, वो diagonal of the parallelogram से ही शो किया जाएगा, किसी भी vector को parallelly मैं कहीं पर भी ले जा सकता हूँ, reason being हमारे पास जब आप किसी vector को parallelly ले जाते हैं, transverse ले के जाते हैं, तो हमारे पास magnitude भी same रहता है, direction भी same रहता है, तो vector can be travelled parallelly anywhere in the space, सीधी सी बात, clear, okay, तो यही वाला vector, अगर आप इसको यहां से यहां shift कर देंगे, तो आपको parallelogram law दिखता है, तो मैंने कहा था class में, अब जो भी resultant vector आया, इसका खुद का अपना length होगा, तो इसका खुद का magnitude होगा हाँ sir और इसका खुद का अपना angle भी होगा हाँ sir कैसे करते थे याद करिए आप इसको resolve करते थे बिटा यहाँ पर आएगा b sin theta और यहाँ पर आएगा b cos theta सर यह कैसे करा, अरे अभी तो resolution बताया, B है, यह base आएगा, base is hypotenuse cos theta, तो B cos theta, और यह आपका perpendicular आएगा, hypotenuse sin theta, तो आपका यहाँ पर आगया बिटा, B sin theta, और आपका यहाँ पर आगया B cos theta, फिर जैसे हम लोगों ने resolve कर लिया था, यह तो हट गया यहाँ से, तो A plus B cos theta एक side हो यही आपका अंसर आता है resultant का magnitude क्या है अब यह किस angle पर है तो tan अगर alpha लगाते हैं tan alpha इस triangle में अगर आप लगाएंगे तो perpendicular which is b sin theta upon base a plus b cos theta यह आपका angle आ गया यहाँ पर भी कैसे derive करते थे इस वाले vector को यहाँ ले जाओ same चीज की derivation आ जाती थी अब class में यह चीज बहुत important बटाई थी जब दो vectors का magnitude a vector of magnitude of b vector is equal to p जब दो vectors का magnitude same होता है p then the resultant is shown by 2p cos theta by 2, यह हम लोगों के class में derive भी किया था, और यह tricks के form में use भी किया था, जब theta की value 0 होईगी, जब 2 vectors का value same है, 2 newton और 2 newton same direction में है, आप सीधे 2p कह सकते हैं, जब theta की value 60 degree थी, तो root 3p था याद करें, जब 90 degree था, तो p root 2 था हमारे पास, जब 120 था, तो p था, और जब 180 था, तो 0 था, believe me your revision is very good, अब, पॉलिगन लॉव में क्या था, मैंने आपको ये examples के तौर पर question से सिखाया था, जब बहुत सारे vectors हमारे पास हैं, तब आपको अगर इनको जोड़ना है, तो इसका statement क्या कहता था, when multiple vectors are kept along, multiple vector, दो से जादा, two or more vectors की बात है, ठीक है, when two or more vectors are kept along the adjacent sides of a polygon, in an order, एक का head, दूसरे का then the resultant of all these vectors is shown by the single vector from initial to final point, इन सभी का जो resultant vector होता है, वो कैसे show करते हैं, एक initial point से final point तक एक vector बना लो, यही इन तीनों का summation होगा, यही A vector plus B vector plus C vector, यही इन तीनों का summation यही होगा, सर इसको solve कैसे करते थे, मैंने कहा था आप इनको co-initial बनाईए, इस वाले vector, जो यह आपका vector है, इसको parallelly लेके जाएगे, इसका color change कर लेते हैं, ठीक है, हम लोग ने क्या कर रहे हैं, एक vector ये है, एक vector ये है, एक vector ये है, तो इसको सर solve कैसे करते थे, इसको मैंने कहा था parallelly ले जाओ, इसको parallelly ले जाओ, इसको parallelly ले जाओ, इन सारे vectors को आप क्या कर लीजे, co-initial बना लीजे, multiple vectors addition at a time, make all vectors co-initial, resolve all the राइट इन i-cap, j-cap, k-cap फॉर्म, find resultant by adding all the x component and y component separately, i-cap वालों को अलग से जोड़ दीजे, j-cap वालों को अलग से जोड़ दीजे, आपका resultant इन सारे vectors का यहाँ पर हो जाएगा, clear, फिर इसके बाद vector resolution in 3D, यह भी हम लोगों ने question के फॉर्म में करा था, हमारे लिए generally जो भी vectors रहते हैं, हम लोग उसको two dimension में ही resolve करते हैं, but अगर आप देखें यहाँ पर हमारे पास अगर vector three dimension में हो, यह x-axis है, यह y-axis है, यह z-axis है, एक vector यह है, ठीक है, हमारे पास यह एक vector, यह three dimensional vector है, यह alpha angle with x-axis है, angle with x-axis, ठीक है, beta angle with y-axis, gamma angle with z-axis. तो आपके लिए एक x component इस vector का देखो three dimension vector है तो इस vector की अगर मैं बात करूँ तो इसका एक x component होगा इसका एक y component होगा और इसका एक z component भी होगा हाँ सर बात तो आपकी सही है तो मैंने कहा ax कैसे निकालोगे तो ज़रद समझना यह वाले vector का ax यह है x component यह है यह वाले point का एक plane बनाए यह वाला plane किसके parallel होगा यह yz plane के parallel होगा एना यह आपका yz plane है इसी के parallel यह होगा तो yz plane में अगर मैं कोई भी line बनाऊंगा ध्यान सुनना वो x-axis के perpendicular होगी अब यह statement बच्चा सोचता ही नहीं है बाई जो तेरी x-axis है वो yz plane के perpendicular है हाँ याना आप खुद सोच yz plane के perpendicular जैसे मान ले कि यह हमारे पास yz plane था इससे x-axis perpendicular है यह रही x-axis तो अभी भी तो yz plane x-axis के perpendicular ही आएगा, तो इसमें अगर मैं कोई भी line बनाऊंगा, वो तो इसके perpendicular ही आएगी, यह पूरा plane ही x-axis के perpendicular है, तो जो भी तो यह line बनाएगा, यह perpendicular आएगी, तो यह 90 degree है, देखने में नहीं लगता है इसलिए बच्चों को यह कठिन लगने लगता है तो आपको याद करना है यह जो plane है this is yz plane x axis जो है हमारे पास is perpendicular to yz plane तो इसमें आप जो भी line बनाओगे वो x axis से 90 degree पर ही होगी अगर आप यहाँ पर cos alpha लगाएगे तो base over hypotenuse तो cos alpha आएगा ax by a इसी प्रकार से y axis के साथ बनाओगे cos beta की बात करोगे तो ay by a मिलेगा cos gamma z axis के साथ बनाओगे इनका squaring and adding अगर आप यहां से कर लें सारे बच्चे ज़रूर ध्यासा मनना squaring and adding करेंगे cos2α plus cos2beta plus cos2γ तो यह हमारे पास कैसे आएगा मैं यहाँ पर लिख देता हूँ तो यहाँ आएगा बेटा ax2 by a2 plus ay2 by a2 यह class में कराया हुआ है बेटा az2 by a2 अगर आप देखें और इसका magnitude magnitude of a तो यह आएगा AX का square plus AY का square plus AZ का square, तो A square की value की आ रही है बेटा, AX का square plus AY का square plus AZ का square, उठा करके यहां रख दो तो वन आ जाएगा खतम, यह class कराया था, इसको cosine law भी कहते हैं, और इसी में 1 minus sine square alpha, 1 minus sine square beta, 1 minus sine square gamma अगर आप लिखेंगे, तो 2 यह sine law हमारे पास बन जाता है, अब हमारे पास vectors को जोड़ा जा सकता है, लगता है ठीक है घटाना इस बेसिकली एन एडिशन ओली मैंने यहां पर लिखा है इट्स वेक्टर एडिशन विद अपोजिट डिरेक्शन समझ ना एक वेक्टर यह था एक वेक्टर यह था अगर मैं इन दोनों को जोड़ना है तो यह है इनका एडिशन वाला रिजल्टेंट इन दोनों को अगर मेरे को जोड़ना है तो इस इस यह एडिशन वाला रिजल्टेंट लेकिन अगर मेरे को मतलब addition with opposite direction यह है क्या? addition with opposite direction direction उल्टा करके जोड़ना वही आपका addition वह subtraction है तो यह जो आपका vector था यहाँ समझिए यह जो आपका vector था इसके साथ angle थीटा बना रहा है इसका उल्टा कर दीजिए इस is minus b vector और यह वाला angle हमाई पर कितना आएगा बिटा पाई minus थीट आएगा तो यह इस वाला vector और इस वाले vector का जो आप जोड़ करेंगे addition करेंगे इस वेक्टर निकालते कैसे थी ता कि जगह पाइम थी ता कर दीजिए थी ता कि जगह पाइम थी ता कर दीजिए तो रिजल्टेंट आता था एसप्लेस प्लेस प्लेस बीस को इन बिनाश टू विकॉज थीटा और टैनल फाइड जगह पाइम थी ता करेंगे तो कि ये V speed ऐसे V speed से चल रहा है थीट आइंगल घूम रहा है तो क्या इसकी speed में change आएगा speed is a scalar quantity ये अभी भी 10 meter per second अभी भी 10 meter per second speed में कोई change नहीं है तो change in speed 0 है लेकिन क्या change in velocity है yes क्योंकि direction हमारे पर change हुई है तो velocity में change आया है यहाँ पर अगर मालो ये होता 2i cap और ये 2j cap और यहाँ पर velocity लिखते है minus 2i cap direction का change आया है बेटा equal vector क्या होते थे equal vector वो होते थे जिनका magnitude और direction same होता है क्या इनका मैं इन दोनों को equal कह सकता हूँ नहीं, because direction different है, equal नहीं है तो जब equal नहीं है तो difference निकाला जा सकता है, yes तो आपको v final minus v initial करके जो formula आता था 2v sin theta by 2 आता था और class में different different angles पर change in velocity भी हम लोगों ने निकाली थी अब बात आती है 2D motion, इसके बाद हम लोगों ने dot product and cross product रोका था याद करिए, laws of motion में आपका जब मैंने constraint motion पढ़ाया तब डॉट प्रोडक्ट पढ़ाया, उसका reason बहुत simple and, मतलब basic सा, simple सा reason था, कि जब दुबारा, डॉट प्रोडक्ट यहां पढ़ाएंगे, तो बच्चा क्या है गया, constraint motion में जब हम लोग net power zero करके सवाल लगा रहे थे, सर हमें याद नहीं, सर मैंने newly join किया है, ठीक है, तो अ कुछ नए बच्चे आए तो उनको at least वहीं से समझ आना start हो जाए इसलिए cross product मैंने कब के लिए रोका है circular motion and rotation motion के लिए वहाँ पर आएगा work में दुबारा dot product आएगा तो अच्छे से आपको revise भी कराता चलूँगा मैं ठीक है अच्छा 2D motion 2D motion क्या होता है कि जब हमारे पार्टिकल इस प्रकार से चले तो x,y,z होगा इस प्रकार से चले कि इन में से कोई से भी दो चीज़े चेंज हो कोई से भी दो चीज़े चेंज हो या तो x और y चेंज हो, या तो y और z चेंज हो, या फिर z और x चेंज हो, कभी भी दो particle coordinate के, दो coordinate अगर हमाई पर चेंज हो रहे हैं, तब आप इसको कहते हैं two dimension motion, ठीक है, जनरी हम इस board पर आपको physics पढ़ाते हैं, और आप copy पर physics पढ़ते हैं, तो आपके लिए x और y axis की ही y चेंज नहीं कर रहा, x और z चेंज हो रहा है, तब भी 2D है, z और y चेंज हो रहा है, तब भी 2D है, clear, सिर्फ x चेंज हो रहा है, 1D है, सिर्फ y चेंज हो रहा है, 1D है, सिर्फ z चेंज हो रहा है, 1D है, clear सी बात, अब two dimension motion, सारे बच्चे यहाँ पर समझ रहा है, सबसे पहल कई बच्चे इस word से घबरा जाते हैं, sir, equation of trajectory क्या होता है? अरे कुछ नहीं है भाई, equation of trajectory है किस रास्ते पर चल रहा है?
तो आपको x as a function of time पता है, x time पर कैसे depend कर रहा है? y as a function of time, y time पर कैसे depend कर रहा है? time eliminate कर दोगे, x और y का relation ही आपका equation of trajectory है. मालो मैंने particle को बोला कि वो 3x plus 4y equal to 6 पर जा रहा है, तो वो किस रास्ते पर है? straight line, basic maths को यूज़ करना पड़ेगा, अगर मैंने कहा एक particle है x square plus y square equal to 9 हमारे जा रहा है तो किस रास्ते पर चल रहा है x और y का relation आपको बताएगा रास्ता तो ये circular का equation दा basic मैं ऐसे पढ़ाया था circular की equation है तो particle circular motion में है हमारे पास अगर माल लिजे x square by 4 plus y square by 9 equal to 1 मैंने कहा कि ये इस equation पे particle particle की equation of trajectory ये आ रही है तो particle एक elliptical path पर कहीं न कहीं चल रहा है clear तो कभी भी अगर आपको equation of trajectory पूछी जाए या particle किस रास्ते पर चल रहा है तो आपको equation of trajectory ही निकालनी है y as a function of x या x as a function of y y और x का relation किसी तरीके से निकालना है तो आप कैसे निकालते थे कि समय के साथ x कैसे change हुआ वो निकालिए समय के साथ y कैसे change हुआ वो निकालिए दोनों में से time हटा दीजे x और y का relation आपको मिलेगा अब मैंने आपको कहा था कभी भी आपका 2D motion जब start होगा ये 4 चीज़े जरूर लिख लेना इससे आसानी होती है initial velocity along x, initial velocity along y, acceleration along x, acceleration along y क्योंकि इससे क्या होगा x axis का motion अलग चलेगा, y axis का motion आपका अलग चलेगा combined आपको दिख रहा होगा तो आप x के लिए अलग से अपनी kinematics की equation लगाएंगे vx is equal to ux plus axt, sx is equal to uxt plus half axt square v square x minus u square u2x equal to 2axsx मतलब जो आपकी kinematics equation थी x के लिए अलग से लगाएंगे और y के लिए आप अलग से लगाते थे याद करेंगे आपको इस class से recall करनी है सारी चीज़े अब हमारे पार projectile motion कौन-कौन से थे हमारे पार projectile motion दो है जो आपके school में पूछे जाएंगे that is ground to ground and horizontal projectile inclined projectile is totally for competition अभी class में नहीं कराए उसका reason यह है इसके उपर आपकी थोड़ी सी practice बन जाए ठीक है तब आपको ये ground frame से भी समझ आना चाहिए, incline plane से भी समझ आना चाहिए, अभी आप laws of motion में याद करें, तो block का acceleration along the wedge, g sign theta होता था, तो यहाँ पर अभी वही सारी चीज़ जाएंगी, अब जो बच्चे laws of motion थोड़ा बहुत पढ़ लिये होंगे, बस इसी का weight class में किया जाता है, तब आपके लिए थोड़ा सा resolution and ground frame, तो ground to ground projectile क्या होता है आप जमीन से फेक रहे हैं जमीन पर आ रहा है horizontal projectile क्या है किसी height पर से जाके आप ball को फेक रहे हैं तो वो जाके जमीन पर गिर रहा है this is horizontal projectile incline projectile क्या है कि incline या wedge ये word आप कई बच्चों को समझ आ रहा होगा ठीक है एक wedge पर आपने ball को फेका है जैसे पहाड है पहाड पे ball को फेका वो जाके पहाड पर गिर गई this is your incline projectile आप उपर से भी फेक सकते हैं नीचे से भी फेक सकते हैं ये incline projectile होता है तो ये incline का angle है ये ball को ये ball को हम लोगों ने U speed से फेका है, theta angle पर फेका है, तो ये जाके ऐसे गिरता है, अब आपको यहाँ पर क्या चीज समझनी है, ये पूरा motion under gravity है, ये projectile motion आपका motion under gravity ही होता है, ठीक है, मतलब वजन के case, वजन ही लगेगा और कुछ नहीं लगेगा, mg इधर लग रहा है, जब किसी भी समय पर अगर आप बात करेंगे तो सिर्फ gravity ही इस पर लग रही है और कोई force नहीं लग रहा है तो अगर आप notice करेंगे तो इसकी always air को हम लोग consider नहीं करते हैं पूरे cases में, ठीक है, हमेशा इसमें gravity ही लग रहा है, तो acceleration along x, x में कोई force नहीं है, याद करें f equal to ma होता है, जब force नहीं, तो acceleration नहीं, पूरा projectile motion y axis में force की वज़े से जाता है, अगर मैं इस pen को फेकूंगा, तो यह इधर से इधर जब आएगा, तो हमाई पस gravity की वज़े से आ acceleration आपको हमेशा minus g ही मिलेगी, लेकिन बद अगर हम लोग बात करें, कि यहाँ पर incline projectile में क्या होता है, incline projectile में, आपका reference ऐसे आ जाता है, तो यह है आपका x-axis, धियान समझना, क्योंकि आप angle पर आ फिक रहे हैं, यह है आपका y-axis, यही आपका g था, यह अगर आपका angle alpha है, यह अगर आपका angle alpha है तो यह 90 degree, यह 90 minus alpha, 90 minus alpha alpha, तो इधर की जो आपकी acceleration होईगी, that is g cos alpha, और इधर की acceleration g sin alpha, तो inclined projectile पर जो wedge के parallel acceleration होती है, that is g sin alpha, x axis इधर लिया है, तो acceleration इधर है, minus g, ax देखो, minus g sin alpha, और y axis के long acceleration होती है, g cos alpha, खतम, ठीक है, इसी को use करना होता है, अब ground to ground projectile में याद करें, जब आप यहाँ पर ball को U speed से फेकते थे, theta angle हमारे पास होता था, तो इसको resolve करते थे, U cos theta, U sine theta, तो Ux कितना आता है, U cos theta, Uy कितना आता है, U sine theta, X axis में कोई force नहीं तो acceleration 0, और Y axis में सारी की सारी acceleration minus G हमारे पास होती थी, पास में बताया गया था, time of flight, कुछ-कुछ important points हैं, मैं आपको आख बंद करीए, जो बच्चे revise कर चुके हैं, जितना time उपर जाने में लगेगा, उतना time नीचे आने में लगेगा, time of ascent, उपर जाने का time होता था time of descent नीचे जाने का time होता था time of ascent will be equal to time of descent जब आप air को consider नहीं कर रहे हैं और जो नहीं करना होता है तो आपका time of ascent is always equal to time of descent जब हम लोगों ने 1D motion पढ़ा था तो time of ascent कितना आता था U by G आता था सारी velocity U है G उसको रोक रहा था तो U by G आता था time of descent भी आपका U by G आता था इस case में जो time यही आपका जो time of ascent है वो ये decide करेगा time of ascent will be u sine theta by g time of descent will be u sine theta by g total time के बात करोगे तो 2u y by ay यही वाली velocity जब आप 1d में फिकते थे बॉल को y के long velocity और acceleration y के long यह था g तो time flight क्या था तो 2u y by 2u by g आप कहते थे तो 2u y by ay वही है तो बस आपको यहाँ पर क्या करना है यहाँ पर 2u sine theta by g time आ गया खतब ठीक है वन डी मोचन में maximum height का formula होता था, U square by 2G, U क्या था, Y axis की velocity, ठीक है, U square divided by 2G, Y axis की velocity, divided by 2AY, acceleration along Y, तो यहाँ पर क्या रहेगा, U square sine square theta divided by 2G, यह maximum height आगे खता, U की जगह U sine theta रखना है, बस सीधी सी बात मैं आपको यह बता रहा हूँ, तो आप देखें, तो AX तो हमारे पास 0 है, तो SX अगर आपको निकालना है, तो UXT plus half AXT square करते थे, yes sir, तो AX हमारे पर 0 हो जाता है, तो UX कितना है, U cos theta है, total time कितना लगा, 2U sin theta divided by G, बस यही पर लिखा हुआ है, UX, यह है UI, divided by AY, UX twice of, twice of, UX into UI divided by AY, generalized formula है, incline projectile में मदद करता है, ये सारे incline projectile में मदद करेंगे, तो ये ही formula आता है, u square sine 2 theta by g, ये आपका ground to ground projectile है, time of ascent equal to time of descent, total time twice of time of ascent कही है, twice of time of descent, at top, कई बच्चे कहते हैं कि projectile, इसमें देखिए, ax आपका zero है, acceleration है ही नहीं, तो हर point पर ये u cos theta को कोई change नहीं करता है, जब यार acceleration टॉप पॉइंट पर प्रोजेक्टाइल की विलोस्टी, कुछ बच्चे कहेंगे जीरो, अरे पागल, अगर जीरो होगी तो वहीं से नीचे गिर जागा, ये आगे क्यों जाएगा, हाँ सर बात तो सही कह रहे हो, तो तू सही बोलना, टॉप पॉइंट पर प्रोजेक्टाइ at top point velocity is equal to u cos theta अब बात आती है range maximum करने के लिए आपको क्या करना होता था याद करें range का formula था u square sine 2 theta भाई जी अगर में पाँच theta sine साइन थीटा की मैक्सिमम वैल्यू क्या होती है वन तो मैं यहाँ पर लिखूंगा साइन टू थीटा मैक्सिमम होने के लिए वन आ जाएगा तो टू थीटा की वैल्यू 90 डिग्री ठीक है तो थीटा की वैल्यू 45 डिग्री यह डेरिवेशन चोटी-चोटी सी क्लास में बता� height का formula क्या होता है बेटा, u square sine square theta divided by 2g, तो theta की value 45 डाल ये, u square by 4 ची आ गया, when body is projected at complementary angle, इसके उपर बहुत अच्छे-अच्छे सवाल class में मैंने आपको कराये थे, advanced level के, ठीक है, याद करिए, कि हमारे पर complementary angles क्या होते थे, जो angles इनका summation 90 degree होता है, 90 minus theta, अगर एक 45 plus theta है, तो दूसरा 45 minus theta होगा, क्यों सर, ये complementary मैंने कहीं को जोड 90 degree आ जाएगा, ये complementary angle है, तो जब आप complementary angles पर फेकते हैं, थीटा पर फेके हैं या 90-थीटा पर फेके हैं, मैंने simulation से आपको चिखाया था, कि range हमारे पास same रहती है, तो r थीटा divided by r 90-थीटा 1 होता है, t थीटा divided by t 90-थीटा 10 थीटा आता था, और h थीटा divided अगर मैंने 10 meter per second से ball को फेका है, तो जमीन पर भी वो 10 meter per second से ही गिरेगा, speed बराबर है, velocity की बात मैं नहीं कर रहा, speed of projection is equal to speed of landing at the same level, angle of projection is equal to angle of landing at the same level, at top point V and A for projectile is perpendicular, जहां समझना, top point पर velocity क्या है ये, acceleration क्या है ये, टॉप पॉइंट पर velocity क्या है ये, acceleration क्या है ये, इकलावता एक ऐसा point है जहाँ पर velocity और acceleration perpendicular होते हैं, वो है हमारे पार top point, velocity at any time, इसके पर भी कितने सवाल लगाए थे, मैंने कहा था x component अलग से निकालो, y component अलग से निकालो, i cap, j cap से जोड़ दो, displacement at any time, sx अलग से निकालो, sy अलग से निकालो, i cap, j cap से जोड़ दो, ये concepts थे ह काइनेटिक एनर्जी एक स्केलर कॉंटिटी है, टॉप पॉइंट पर विलोस्टी थी, U cos थीटा, तो यहाँ पर आएगा half mu square cos square थीटा, यह आपकी हो गई इनिशल काइनेटिक एनर्जी, तो एक रिलेशन होता है, काइनेटिक एनर्जी टॉप is equal to initial kinetic energy into cos square थीटा, अब जो ब अच्छे अच्छे problems हम लोगों ने लगाये थे, एक basic mathematics मैंने बताई थी, और फिर मैंने लगा थोड़ा सा advance आप सोची, क्योंकि ग्यारवी क्लास का बच्चा अगर इतना सोच पारा है तो बहुत बड़ी बात है, तो equation और trajectory कैसे निकाली थी हम लोगों ने, हमने कहा था x as a function of वायर द फंक्शन आफ टाइम टाइम निकाला था यहां से एक्स वायर यू कॉस थीटा उठा करके आप लोगों ने यहां पर रख दिया था यह एक्वेशन आ गई थी इसमें से एक्स टाइम थीटा को कॉमन लोगे यहां पर रेंज बन जाता था तो दो एक्वेशन एक्वे इसके ऊपर भी हम लोगों ने कितने प्यारे प्यारे सवाल करेंगे, equation of trajectory में, कि अगर कोई particle जा रहा है, किसी point से pass करेगा, तो वो उसकी equation of trajectory को satisfy करेगा, हम लोगों ने advance के सवाल भी class में लगाए हैं बिटा, इसके पर, right, फिर दूसरा था, एक सवाल यही था, 2x-x2x2, maximum height बतानी थी, parabola की equation है, एक की maximum power 2 है, एक की power 1 है, तो एक inverted parabola हमारे पास कहीं न कहीं है, inverted and shifted parabola हमारे पास है, जहाँ पर maximum height होईगी, वहाँ पर आपका slope 0 होता है, याद करिए, है न, तो हम लोगों ने कहा था कि at h max dy by dx equal to 0, इसी graph को आप, इसी function का dy by dx अगर आप निकालेंगे, तो आपको क्या मिलेगा, slope मिलेगा, तो 2 minus x हमार मैक्सिमम हाइट आया है जैसे एक्स पता लग गया तो इसी एक्वेशन में एक्स की वैल्यू आप डालेंगे तो आपको वही पता लगेगा वही आपकी एक्स मैक्स थी और अगर आपसे रेंज पूछा जाए तो इसका दो गुना एक्स की वैल्यू फोर हमारे पास रेंज हम यही है, UY जीरो है, कुछ बच्चे बार बार पूछ रहे थे, simulation से दिखा रहे थे, भाई मेरी सारी velocity इस direction में है, Y axis में कोई velocity नहीं है, इसलिए UY जीरो है, ठीक है, तो UX कितना है U है, UI कितना है जीरो है, AX, सारे projectile, horizontal बोलो, या ground to ground बोलो, AX, X axis में acceleration होएगी ही नहीं, क्यो तो acceleration along y होईगी minus g लेकिन x-axis में कोई भी हमारे पास acceleration नहीं है तो इसलिए हमारे पास क्या रहेगा zero ax will be zero clear अब बात आई time of flight कैसे निकालते थे sy equal to uyt plus half ayt square y-axis के along हम लोग निकालेंगे जब ये जमीन पे गिरेगा तो displacement along y minus h class में बताया था ui zero है minus half gt square ये गया to under root में 2h by g सर रेंज कैसे निकालेंगे, तो रेंज तो एक्स एक्सिस में निकलेगी, तो एक्स एक्सिस के लिए आप अलग से एक्वेशन बनाएंगे, हाफ एक्स टी स्क्वेर, तो यह आपकी रेंज बनी, यू एक्स है आपका यू, टाइम है अंडरूट में 2, ह बाई जी, एक्स होए और यह वाली velocity आपकी आती थी under root में 2gh, 1d motion में भी कराया था, under root में 2gh, तो वही uicap minus under root में 2ghgcap, displacement at any time, sx अलग से निकालो, sy अलग से निकालो, ux, uy, ax, ay सब पता है, सीधे से अंसर आती थे, equation of trajectory, इसकी भी equation हम लोग ने निकाली थी, तो y equal to minus gx square divided by 2u square हमारे पास रहता था, inclined projectile वैसे अभी आपको नहीं बताया है, क्योंकि, मैं चाहता था कि आप law of motion में resolution थोड़ी equation से थोड़ा सा used to हो जाए projectile पर अपने थोड़ी से homework कर ले DPP लगा ले, test दे ले confidence पा ले, फिर incline projectile को करें क्योंकि यह आपके school में तो नहीं पूछा जाएगा लेकिन yes competition में for sure पूछा जाता है JEE mains में काफी कम पूछा जाता है अब क्या है, जब आपके incline projectile होता है तो आप किसी angle पे माल लिए पहाड है, यह पहाड का angle है alpha, इसी को आप आप कहेंगे angle of incline, अब मैंने किसी भी ball को theta angle पर फेका है, ठीक है, तो इसका x-axis क्या हो गया, x-axis यह हो गया, y-axis इसके perpendicular हो गया, तो मेरी सारी कहानी इस plane के perpendicular और ऐसे, क्योंकि कोई भी व्यक्ति खड़ा होगा, तो ऐसे खड़ा होगा, तो इसके लिए y-axis और x-axis के हिजाब तो Ux क्या है U cos theta, Uy क्या है U sin theta, law of motion में बताया है, कि जो आपकी gravity होती है, अगर आप इसको resolve करेंगे, तो यही आपका angle है, G cos alpha, G sin alpha, तो यह आपका क्या बनेगा, Ax, minus क्यों लगाया है, x axis इधर है, तो यह इधर है, तो minus G sin alpha Ax आएगा, और G cos alpha Y आएगा, खतब, टाइम आफ लाइट क्या होता था, याद करिए 2 UY by AY, तो UY क्या है हमारे पास, ये AY क्या है, बस सीधे फॉर्मले आते जा रहे हैं, height UY square by 2 AY, तो UY की value आप ये रखेंगे, AY की value आप ये रखेंगे, अंचर आ गया, range important होता है, क्योंकि along x-axis, along x-axis, इस बार, this time acceleration is not 0, this time तो आप equation वही लगाएंगे, uxt plus half axt square, ux की value, u cos theta, ax की value बस आपको रखनी पड़ेगी, time of flight जो आपने निकाला है वो रखना पड़ेगा, गंदा सा formula आता है, मैं उसको नहीं पढ़ाता, reason being, equation आप आराम से solve करें, you will get your answer, ठीक है, यह आगया, अब relative motion हम लोगों ने क्या पढ कि rest and motion both are relative terms कोई किसी को भी देखेगा तो अपने हिसाब से physics को interpret करेगा तो मैंने आपको बताया था कि observer हमेशा घमंडी है लेकिन impartial नहीं घमंडी है वो अपने हिसाब से चीज़ों को देखेगा लेकिन yes भेदभाव नहीं करेगा वो अगर अपने आपको रोक रहा है तो कैसे रोकेगा अपनी velocity तो मैं अपनी velocity minus 10 अपने को भी दूँगा और सभी particle को दी दूँगा तो velocity of A with respect to B कैसे निकालते थे VA vector minus VB vector यही करते थे तो यहाँ पर velocity of A with respect to V is VA minus VB vector B अपना observer है तो अपनी velocity का negative करके सबको दे देगा फिर आपको vectors addition लगाना है इसलिए इस chapter में पहले vectors पढ़ाया गया था तो जब दो गाड़ी same direction में जाती है तो VA minus VB relative velocity है opposite direction में जाती है तो VA plus VB हमारे पास relative velocity है और यह हम लोगों ने करा भी था एक car में दो वेक्ती बैठे होए है एक tree है याद करिए अगर यह वाली car जा रही है 60 से velocity of A, धियान सुनना, velocity of A with respect to B, observer कौन है B, तो आप कहेंगे VA minus VB, और मैंने कहा था बार-बार, I cap, J cap में ले जाना भाई, कभी भी पवाल नहीं होगा, तो VA क्या है, 60 I cap, minus of minus 40 I cap, 100 I cap, velocity of tree with respect to B, तो VT minus VB vector, velocity of tree तो 0 है, minus VB vector is minus of 40, इसको दिखाई देगा इस वाली गाड़ी को दिखाई देगा tree positive direction में 40 की speed से आ रहा है इसी प्रकार से करते थे फिर आपको मैंने कुछ अच्छे NCRT के सवाल भी कराए थे back exercise के जो मैंने कहा था कि भाई वो JEE advanced को touch कर जाएंगे ऐसा thought process अचानक से आप नहीं सोच पाएंगे exam में तो उसको पहले से कर लिजा और JEE advanced में अभी तक उनको touch नहीं किया है तो उसमें एक train वाला सवाल भी था बस वाले सवाल भी थे याद करिए है ना एक cyclist A से B जा रहा है regular interval पर बस आ रही है तो वो सामने से 6 मिनट और opposite direction में 18 मिनट कुछ ऐसे करके जाता था वो सवाल था हमारे पास तो ये सारी चीज़ा आपको revise करनी है इस lecture के बाद कम से कम time में main concepts बता रहा हूँ फिर आप क्या करें एक दो घंटा निकाले और वो important questions दुबारा से खुछ से try करें जब train वाले सवाल थे मैंने कहा था कि जब भी train हमारे पास overtaking के सवाल है तो point particles को तो बस वहाँ पहुचा दो अपना overtaking हो गया लेकिन अगर extended objects हैं, train वाले objects हैं, तो train को overtake कराने के लिए, तो पहले तो distance इन दो trains हैं माल लिजे, एक train ये थी, एक train ये है, इस train को मैंने रोका था, फिर ये train हमारे पर d distance चली, फिर इसका length चली, फिर अपना length चली, तब जाके overtaking होती है, तो जब दो trains हमारे पास opposite direction में जा यहां से लेके D भी चलना है, L2 भी चलना है, L1 भी चलना है, तो D डिवाइड प्लस L1 प्लस L2, और opposite direction speed हो जाती है, V1 प्लस V2, तो यहाँ गया, अगर दोनों train same direction में हमाई पास चल रही है, तो distance कितना overtaking के लिए चाहिए, यह D भी चलना है, L2 भी चलना है, L1 भी चलना है, divided by V1 minus V2, हमाई पास, अगर यह दोनों train accelerate भी हो रही है, हमारे पास S relative is equal to, U relative into T plus half A relative into T का square यही आएगा तो initial velocity U1 minus U2 हो जाएगा into T A relative दोनों की acceleration भी है तो A1 minus A2 हो जाएगा into T square यहां से आपको time मिलता था minimum separation कि हमारे पास याद करिए एक अच्छा सवल कराया था कि दो particles की बीच का minimum separation कितना होगा ठीक है कि यार एक को रोक लीजे अपने आप आपको पता लगेगा minimum separation हमारे पास आएगा solve हो जाएगा ground frame से क्या था कि दोनों हमारे पास चल रहे हैं जब दोनों की same velocity होगी तब ही minimum separation आएगा तो वही वाला concept मैंने यहाँ पर लिखा हुआ है इसमें कोई घबराने वाली बात नहीं है यह आपको notes मिल जाएगे app में और आपके class के उसमें भी ठीक है फिर हमारे पास यहाँ पर river boat problems हमारे पास आई थी river boat problems में हमारे पास क्या था अगर कोई भी व्यक्ति river में जाके सिर्फ bed जाए तो river उसको flow करा ले जाएगी, VR, ठीक है, अगर मैं river की direction में तैरना start कर रहा हूँ, downstream, इसको हम क्या कहते हैं, downstream, कि आज जिस direction में river जा रही है, इस direction में अगर river जा रही है, आप भी उसी direction में swim कर रहे हैं, तो आपकी net speed क्या हो जाएगी, VM plus VR हो जाएगी, अगर मालो river इस direction में अब बात आई कि अगर मालो width of the river is d और कोई व्यक्ति इस direction में swim कर रहा है ठीक है तो time याद करिए हम लोगों ने collision का time निकाला था तो distance divided by velocity of approach भाई studio में आग लग गई थी उस दिन वोस मनहूस सवाल हो ही नहीं रहा था है ना बार बार जा रहे थे तब तक class cancel हो जा रही है या बेटा वो सिर्फ एक सवाल था, concept तो ये मैं तेरों कंसेप्ट रिवाइज कराना चाहता हूँ, सारे कॉश्चन नहीं कराना चाहता हूँ, क्योंकि कॉश्चन कराने में मैंने बहुत मेनत करी है, अब तेरी responsibility है कि तू उन सवालों को दुबारा लगा, ठीक है, तो distance divided by velocity of approach मैंने बताया था, किसी भी point पर अगर जाना ह और distance है d, तो time कौन decide करेगा, ये decide करेगा, vm sine theta क्या रहेगा, ये इसको आगे पीछे खिसका सकता है, या तो इस direction में, या तो इस direction में कहीं खिसका सकता है, तो पहला सवाल आपका यहाँ पर आता था, कि minimum time में जाना है, तो मैंने कहा भाई सारी की सारी velocity approach बना दो, वो अगर आप drift की बात करें तो vr into d divided by vm याता था crossing river in minimum distance कम से कम distance में चलना है तो obvious बात है particle को कहीं न कहीं ऐसे जाना पड़ेगा क्योंकि river हमाई पर इधर ला रही है net velocity इसकी इधर आ जाए तो मैंने इसको कैसे बचाये था मैंने कहा था कि मान लो कि ये vm है ये theta है तो vm cos theta, vm sin theta कम से कम distance ये तब पहुँच पाएगा जब ये वाली velocity और ये वाली velocity बराबर हो जाए तो drifting ना हो, तो VM sine theta equal to VR हो जाए, तो किस angle पर जाना चाहिए, theta equal to sine inverse of VR by VM, यह आपको बताये था, कितना time लगेगा, तो time लगेगा distance D divide by VM cos theta, तो आपने VM cos theta, यह sir, यह कैसे करा, cos theta को मैं लिख सकता हूँ, under root में 1 minus sine square theta, तो sine theta यह है, तो under root में 1 minus VR by VM का square, solve करो, मैंने space नहीं था पूरा का पूरा two dimension motion I think 16-17 lecture लगे हैं और मैंने इसको 1 घंटा 20 मिनित में लगातार बोला है अब गला दर्द हो रहा है अब आपका दिमाग दर्द होना चाहिए इसके उपर practice लगा लगा के प्लियर ये बड़ा chapter था हमारे पास इसमें बहुत सारी चीज़े अब आपकी responsibility यह है, देखो यह minimum set of information थी, जो आपको याद होनी चाहिए, आपके short notes में होनी चाहिए, अब आपने कुछ सवालों में कुछ चीखा, आपने कुछ concept अपने बनाए कि हाँ यार ऐसे ऐसे करने से सवाल अच्छे से जल्दी solve हो जाते हैं, वो आप इनको और add करें� उसको summarize करके मैं एक देड़ घंटे में आपके सामने कैसे बोल सकता हूँ और अगर आप multiple revision करते हों मैं believe me आप इसको कम से कम time में ऐसे ही revise कर पाओगे बच्चे महीनों महीनत पक revise करते रहते हैं कहते हैं sir चेप्टर खतम नहीं हो रहा आपको इतने multiple revision करने हैं कि J-Mains से पहले और आप अपनी additional चीज़ों को और इसमें incorporate करिए जो भी हम लोगों ने class में advance के illustrations आपको कराए हैं पर दा टाइमिंग अगर आपसे नहीं हो रहे तो घबराईए मत जे मेंस के PYQ जितने भी क्लास में कराए हैं आप उनको अच्छे से करिए और एडवांस के कोशिन के पीछे के लॉजिक के बारे में सोचिए कि ये सर ने कैसे सोचा और जब आप उस प्रोसेस में धीरे दिर