हेलो वच्चो कैसे हैं आप सब लोग आई हूप आप सबके सब बहुत बढ़िया होंगे सबसे पहले स्वागत है आपका आज के सेशन में एकदम टाइमिंग सेट करना पड़ता है कि संडे को बैठेंगे, चार गंटे बैठके रिविजन करेंगे, तो इसी रिविजन को, इसी रिविजन के प्रोसेस को आपके लिए इजी बनाने के लिए, फटापट से सारे के सारे important concept, important topics रिवाइज करने के लिए हम आपके सामने चलिए शुरू करते हैं फिर आज का session हाँ जी सबसे पहले basic सी चीज आती है internal section formulas बच्चा बच्चा जानता है कि अगर कोई point x1, y1 तूसरा point x2, y2 तो m is to n ratio में divide करने वाला अगर कोई point p, h, k निकालना है तो that is equal to the coordinate of this point इस point के coordinate होंगे m into x2 plus n into x1 divided by m plus n that is the x coordinate of this point इस point का x coordinate हो जाएगा, m multiplied by the x coordinate over here, plus n multiplied by the x coordinate over here, divided by sum of the ratios, इसी तरीके से हम y coordinate निकाल लेंगे, कि m multiplied by the y coordinate over here, plus n को इसके y coordinate से multiply करना है, divided by sum of the ratios, तो बच्चा बच्चा ये सारी चीज़े जानता है, section formula के, तो ये तो हो गया internally जब divide कर रहा हूँ, वहीं जब externally divide कर रहा होता है, तो बीच में बस minus आ जाता है, इतना सा फरक है, है न, जैसे यहाँ पे, plus की जगे, इस formula में यहाँ पे, बीच में minus आ जाएगा, अगर externally m is to n ratio में, यह point divide कर रहा है, to the line segment joining a and b, externally divide करने का मतलब हुआ, कि इस line segment को extend करेंगे, internal section formula ध्यान रखना है, उसी के बीच में यहाँ पे minus का sign लगा देना है, plus की जगे, और काम खतम, ठीक है, clear है, generally अपन कमी use करते हैं, external section formula वाला, okay, now, four important points in a triangle, centroid, in-center, orthocenter, circumcenter, इन साथ चारों के बारे में अपन बात करने वाले हैं, centroid वो point है, जहाँ पे सारी की सारी medians मिलती है, ठीक है, medians जहाँ प and circumcenter वो point है, जहाँ पे perpendicular bisectors मिलते हैं, तो चारों के बारे में चलिए, detail में यहाँ पे चर्चा करी जाए, सबसे पहले centroid, so it is the point, है ना point नहीं है, point है, it is the point of concurrence, concurrence मतलब millen, of the medians of the triangle, जहाँ पे जिस point पे triangles की तीनों median मिलती है, उस point को centroid बोलते हैं, सबसे पहले अपन centroid के जी बोला जाता है, ठीक है, इसको representation, जी के साथ इसका representation किया जाता है, and the coordinate of the centroid, अगर हमें ABC के coordinates पता है, तो centroid के coordinates होते हैं, sum of x coordinates of ABC divided by 3, है न, x1 plus x2 plus x3 divided by 3, तो सबसे पहली बात तो centroid का coordinate पता होना चाहिए, दूसरी बात centroid की हमें ये important property के बारे में पता होना चाहिए कि centroid divides any median in the ratio 2 is to 1, है ना, जैसे ये centroid है ना बेटा, ये इस median AD को 2 is to 1 ratio में divide करेगा, median BE को भी 2 is to 1, CF को भी 2 is to 1 ratio के ने divide करता है, ठीक है, ये बात हमें ध्यान रखनी है, ओके, फिर कुछ और basic basic सी बात है, कि अगर इस तीनों पॉइंट्स क्या है, DEFR, the mid points of these sides, AB, BC and AC के mid points है, इनको join करने पर जो triangle बनेगा, इसका जो area होगा, that is one fourth of the area of triangle ABC, है न, देखो जब side आदी हो जाती है, तो area one fourth हो जाता है, इस चीज़ का ध्यान लखें, है न, जैसे BC की आदी है FE, है न, FE और BC parallel है, and BC की आदी है FE, तो यहाँ पे इसकी side आदी हो गई, वैसे यह वाली side half हो गई, तो जब side half हो जाती है, area वन-fourth हो जाता है, ठीक है, तो area of DEF is one-fourth of the area of triangle ABC, और देखा जाये तो यह चार equal area के triangle है न, यह वाला triangle, यह चारो triangle का area क्या है, same है, तो इन कुछ basic से बातों का ध्यान रखा, है न, geometry based questions ओके, इसके बाद मैं बात करता हूँ, in center, in center वो point है, जहांपे angle bisectors मिल रहे होते हैं, in center का coordinate कैसे निकाला जाए, इसके लिए भी एक important formula आता है, है न, coordinate i of in center, ओके, तो in center के coordinate का important formula यह रहता है बजापाटी, कि i is equal to, है न, इसका x coordinate हो जाएगा, side a, side length a, है न, vertex A के opposite जो side है उसकी side length को अपन A बोलते हैं, vertex B के opposite जो side है उसकी side length को B बोला जाएगा, वैसे ही समझ में आती है बाते, so coordinate of in center is A multiplied by the x coordinate, है ना, side को उसके opposite x coordinate से multiply करना, तो वैसे ही side B को इसके opposite x coordinate से multiply करना, है ना, plus Bx2, side C को इसके opposite x coordinate के साथ multiply करना, तो plus Cx3 divided by sum of these sides, ABC are the length of the sides, opposite to the vertex A, vertex B and vertex C respectively, वैसे ही अपन Y coordinate निकालते हैं, कि A multiplied by the Y coordinate, C multiplied by Y2, C multiplied by Y3, divided by A plus B, this is how we find the coordinate of in-center, ठीक है, जैसे कि यहाँ पर देख भी सकते हैं, एक example आपके सामने प्रस्तुत किया गया है, है ना side A5 दे रखी है, और यह है side b 4 के equal है और यह 3 के equal है है ना तीनो points के coordinates है रखे तीनो points के coordinates है रखे तो distance formula से अपन तीनो sides तो निकाले लेंगे यह रही तीनो sides और अगर अपने को in center के coordinates निकाले लेंगे तो वो कैसे निकालेंगे किसका x coordinate आएगा 5 multiplied by the x coordinate here plus 4 multiplied by the x coordinate here plus 3 multiplied by the x coordinate over here वो numerator में लिख दिय इस तरीके से अपने x coordinate निकाला in center का, वैसे ही अपन y coordinate निकालता है in center का, ठीक है, तो इस example को देख लीजेगा, और आपको पता ही है कि in the end of the session आप लोग इसके notes भी download कर सकते हैं, PW की app पे जाके, ठीक है, PW की app पे जाना, mind map इस पे जाना, वहाँ पे आपको इसके notes भी मिल जा� तो इन ए ट्राइंगल दी एंगल बाई सेक्टर डिवाइड दी अपोजिट साइड इन दे रेशियो आफ दी साइड कंटेनिंग दी एंगल ये एंगल बाई सेक्टर की एक बहुत इंपोर्टेंट प्रॉपर्टी है बहुत ज़्यादा इंपोर्टेंट प्रॉपर्टी एं� ठीक है तो बहुत important property angle bisector की और दूसरी property अपने पास in center की एक और आती है ठीक है इस property का भी खास ख्याल रखेगा कि in center जो है वो angle bisector through A angle bisector through A को B plus C is to A ratio में divide करता है in center angle bisector को किस ratio में divide करता है ध्यान रखें यहां से direct question आ चुका है कि angle bisector through A को divide करेगा B plus C is to A ratio में angle bisector through B को divide करेगा, A plus C is to B ratio में, एना, देखो, angle bisector through B, तो P को एक side रखना, बाकी दोनों sides का sum, A plus C is to B ratio में, और angle bisector through C को divide करने वाला है, A plus B is to C ratio में, ठीक है, तो in center इस तरीके से angle bisectors को divide करता है, centroid 2 is to 1 ratio में divide करेगा, इन center डिपेंड करता है कि भाई कौन से side का angle bisector है, एंगल बाइसेक्टर थ्रू एक विश्व में एंगल बाइसेक्टर थ्रू बीच के हैं उसको एप्लस इस रेशों में डिवाइड करता है यह सारी चीजें पता होनी चाहिए ओके यह है तो इस मूव एहेड तो इन सेंटर इस प्राइमली द सेंटर ऑफ इन सरकल ऑफ ट्राइ इक्वल है ना इसकी डिस्टेंस इक्वल रहती है तीनों साइड से ठीक है ओके ना लेस्ट टॉक अबॉट और तो सेंटर प्रोइट और तो center का एक formula भी होता है, ortho center के coordinates का, formula बस देख लीजिएगा, ध्यान में रखेगा, बाके कभी use मत करेगा, ठीक है, कभी भी अपनी formula आपको पता ही है, कि अपन यूज करते नहीं है, बस ध्यान में रखने के लिए काफी है, ओके, तो formula is not so good, instead we use definition, तो, ortho center की definition को use करके, आगे जाके जब equation of straight line सीख जाता है, कि कैसा ortho center निकाला जाए, अब कुछ important बात है कि orthocenter of a right triangle is the vertex at which the right angle is formed, एक right angle triangle जो है उसका जो orthocenter होगा यही vertex, that is the orthocenter of a right angle triangle, ठीक है ध्यान रखेंगे, this is the orthocenter of a right angle triangle, और obtuse angle triangle में orthocenter triangle के बाहर भाग जाता है, ठीक है, orthocenter triangle के बाहर भाग जाएगा, obtuse में, acute के अंदर अंदर रहेगा, और right angle triangle में, इसी vertex के उपर orthocenter पाया जाएगा, ठीक, here, now, circumcenter, it is the point of concurrence of the perpendicular bisector of the sides of a triangle, कि मैंने भाईया, इस side का perpendicular bisector निकाला, perpendicular bisector मतलब समझते हो, कि perpendicular भी हो, और bisect भी कर रहा हो, तो इसी तरीके से त तीनों perpendicular bisector जहांपे meet कर रहे होंगे, उस point को ही अपन circumcenter बोलते हैं, इस point को circumcenter बोला जाता है, जिसको अपन O से represent करते हैं, ठीक है, okay, now, any point lying on the perpendicular bisector of a line segment AB is equidistant from A and B, यह perpendicular bisector की important property है, खासियत यह है perpendicular bisector की, कि जैसे यह line segment AB है, इसका perpendicular bisector है, मतलब इसका perpendicular है और इस line segment को bisect भी कर रहा है, तो यहां से perpendicular bisector पर कोई भी point अगर अपन ले लेंगे, तो उसकी distance from both of these points is same, इन दोनों से इसकी distance same रहने वाली है, ठीक है, तो यह important बात है, perpendicular bisector के बारे में, primarily it is the center of circumcircle of a triangle ABC, है न, circumcircle के center को ही अपन एस circumcenter बोलते हैं, है न, इसकी खासी तेरी रहती है कि यह तीनों वर्टिसिस से एकवी डिस्टेंस रहता है यह वर्टिसिस से एकवी डिस्टेंस पर रहता है तब ही जाके सरकम सरकल अपन ड्रॉव कर पाते है तो सरकम सेंटर और फिर राइट एंगल ट्राइंगल इस द मिड पॉइंट ऑफ एट्स हाई पोटेनियस एक राइट एंगल ट्राइंगल में हाई पोटेनियस का जो मिड पॉइंट रहता है वही सरकम सेंटर रहता है और यह जो वर्टेक्स रहती है यह और थोड़ सेंटर र और अगर ऑप्ट्यू सेंगल ट्राइंगल मना दिया जाए तो सरकंशरिकल सरकंशेंटर फिर से बाहर बाग जाता है एना सरकंशेंटर ओफ एन ऑप्ट्यू सेंगल ट्राइंगल इस आउटसाइड द ट्राइंगल कहीं बाहर होगा एक ऑप्ट्यू सेंगल ट्राइंगल में सरकंशेंटर ठीक है कहीं बाहर होने वाला तो देखो ऑप्ट्यू सेंगल ट्राइंगल के अंदर ओर्थो सेंटर एं� चैनल के बाद यह दोनों प्यारे बच्चे है यह दोनों अंदर ही रहते हैं हमेशा ट्राइंगल के चाहे आप एक्यूट ले लो चाहे ट्राइंगल के बाद यह दोनों प्यारे बच्चे है यह दोनों अंदर ही रहते हैं हमेशा ट्राइंगल के बाद यह दोनों प्यारे बच्चे हैं हमेशा ट्राइंगल के बाद यह दोनों प्यारे बच्चे हैं हमेशा ट्राइंगल के बाद यह दोनों प्यारे बच्चे हैं ह जॉइनिंग और थोड़ सेंटर एंड सरकंशेंटर है ना एट्स से अपन और थोड़ सेंटर को रिपरेजेंट करते हैं वह से अपन सरकंशेंटर को रिपरेजेंट करते हैं ठीक है तो जो सेंटर है वह टू इस टू वन रेशियो में डिवाइड करता में रख सकते हो यह तो है ना एक बड़ी ही इमेज ब्रांड है यह वहां से आप ऐसे भी ठान में रख सकते हो बाकि यह नहीं रखना है चीज पूर्व लिखे, centroid divides line joining orthocenter and circumcenter in the ratio 2. हाँ जी, in an equilateral triangle, ये सारे points coincide कर जाते हैं, इन सारों की आत्मा एकी point में आ जाती है, equilateral triangle के अंदर, इन चारो points के पारे में, लिखे, area of a triangle and collinearity, किसी भी triangle का area अपन लिख सकते हैं, अगर उसके तीनो coordinates पता हो, vertices के तीनो coordinates पता हो, इस हाफ टाइम्स पॉडी लेस ऑफ एन आफ मॉडिलस लेना एंटाइरली और किसका मॉडिलस लेना है इन तीनों के सम का ठीक है सबसे पहले अपन एक डिटर्मिनेंट लिखेंगे जिसके अंदर x1 y1 x2 y2 को लिख देंगे प्लस अगले डिटर्मिनेंट में x2 y2 x3 y3 फिर नेक्स्ट में x3 y3 वापिस से x1 y1 तो देखो x1 y1 से चालू किया x1 y1 पे ही खतम किया है न x1 y1 x2 y2 फिर x2 y2 x3 y3 x3 y3 वापिस x तो इन तीनो determinants का sum लेना, अगर ये sum negative आ रहा है, तो बाहर वाला जो modulus लगा है, वो इस sum को positive बना देगा, क्योंकि area of the triangle is always positive, तो this comes out to be the area of the triangle, ये half मत भूलना बाहर, ठीक है, इस तरीके से हम area of triangle बदा सकते हैं, वैसे ही अगर अपने को area of polygon बदाना हो, ठीक है, n-sided polygon है, n vertices होगी, तो वहाँ पे भी same अपने को एक काम करना है, half times modulus of, ठीक है, यह बाहर यह जो modulus लगा रखा है, modulus किस का, इन सब के sum का, जो भी sum है, पहले तो sum निकाल लेना, negative आएगा, तो जैसे देखो x1, y1 से चालू किया, x1, y1 पे ही खतम किया, ठीक है, तो यह बात है, इसको इस तरीके से भी ध्यान लग सकते हैं, magnitude of half times, this is the area of a triangle, ठीक है, x1, y1, x2, y2, x3, y3, तीनों vertices अपने लिख दी हैं, और एक column में 111 को लिख, तो ऐसे भी अपन ध्यान में रख सकते हैं जब उनके area of the triangle 0 हो, या तो इस method से जा सकते हैं, कि 3 points दे रखे हैं अपने को, अगर वो 3 points collinear हुए, मतलब वो एक ही line पे lie कर रहे हैं, मतलब ये triangle तो नहीं बना पा रहे हैं, तो area of the triangle made by these 3 points is going to be 0, तो area of the triangle का हमने formula देखा है, तो equate कर दो 0, ठीक है, ये तो condition हो गई, condition of collinearity of 3 points, कि मैं slope of A भी निकाल लूगा, A और B को join करने वाली line की slope निकाल ली slope of BC निकाल ली और दोनों की slope को equate कर दिया तो ऐसे भी अपन जा सकते हैं इसके लिए alternatively this is the another method now locus हम सुनते आ रहे हैं that is the path traced by a point एक path है एक equation है mathematics में हर path की कुछ न कुछ equation होती है तो the path traced by a point under some specific constraint जैसे अपने को पता है कि अगर locus of a point which moves such that it remains at a distance of one unit from the origin, एक point को इस तरीके से move कराना है कि वो origin से एक unit distance पे ही घूमता मिले, तो वो एक circle का path trace करेगा, circle का, और उसकी अपन equation भी निकाल सकते हैं, नहीं ना, उसकी equation भी निकाल सकते हैं, कि एक general point ले लिया x, y, और मुझे चाहिए कि इसको इस तरीके से move कराना है, कि ओरिजिन से जो इसकी distance है वो 1 unit की ही रहे है तो distance formula लगा दो इन दोनों की बीच में नहीं कि under root of x square plus y square under root of x square plus y square बराबर 1 that is the distance formula लगा दिया answer आजाएगा अपने पास ठीक है तो इस तरहीए अपन locus निकाल सकते हैं कुछ specific steps रहते हैं locus निकालने की कि first of all जिस point का locus निकालना है उस point को अपने h,k माल लेंगे write the given condition involving h and k ठीक है जो भी condition दे रखे है, अलग-अलग सवालों में अलग-अलग प्रकार की conditions होगी, वो condition लगा के, h और k के terms में एक equation बनाओ, अगर आपने अपनी तरफ से कुछ variable माना है, तो उस variable को eliminate करो, फिर last में जब h और k के terms में equation पक्के त्यार हो चुकी है हमारे सामने, तो थोड़ा सा उसका make up कर दो equation का, h, k को वापिस से x, y से replace कर दो, है न, h, k को final step में x, y से replace कर दो, तो x और y के terms में जो equation आएगी, that is the equation of our, लोकस, ठीक है, clear है, तो ऐसा आपन क्यों करते हैं, for simplicity, कई बार आपन directly x, y मान के भी चालू हो सकते हैं, यह तो h, k मान के चालू करो, last में x, y से replace कर दो, clear है, जैसे कि equation, a rod of length L slides with its end points on x and y axis, ठीक है, तो एक rod है, length L की rod है, वो slide कर रही है, पर नेंड ऑन इच एक्सिस फाइंड लोकुस ऑफिस मिड पॉइंट इसके मिड पॉइंट का अपने को लोकुस बताना है तो मिड पॉइंट को अपने एच कॉमा के माल लिया ठीक है यह रॉड की लेंथ है एल यूनिट मिड पॉइंट एच कॉमा के माना है ठीक है तो यह हो जाएगा टू एच यह हो जाएगा टू के बेटा यह टू एच और टू के हो जाएगा तो उन्हें बात ठीक है, देखो 2H, 0 and 0, 2K, उसी का तो midpoint H, K आएगा, ओके, तो यह 2H length हो गई, यह 2K length हो गई, और अपने equation directly बना सकते हैं, कि भाई, Pythagoras theorem, कि 2K का square plus 2H का square is equal to L square, है न, last मैं K को Y से, H को X से replace करोगे, तो equation बन रही है, 4Y square plus 4X square, पराबर L square, this is our required equation, है न, यह हमारा लोकस आ गया पॉइंट का ठीक सिंपल है शिफ्टिंग ऑफ ऑरिजिन यह अगर अपन ऑरिजिन को 0.0 से एक ऑमा बी पर शिफ्ट कर दे ऑरिजिन को शिफ्ट कर दिया तो अब हर point का address बदल जाएगा, हर point का coordinate बदल जाएगा, अब वो नया coordinate क्या होगा, तो इसके लिए अपने को बस एक ही चीज़ ध्यान रखनी है, कि x'is equal to x-a, x'is the new x coordinate of a point, नहीं न, x'का मतलब कि नया x coordinate, is equal to x, x is the old x coordinate of that point, पाइनस ए, a, b वो point है जहांपे origin को shift कर दिया गया है, तो new x coordinate and y coordinate, मतलब x'y'होने वाले हैं, एक एक्सडेश कॉमा वाइड एश इज इक्वल टू एक्सडेश उड़ाएगा एक्स माइनस एक एक्वल वाइड एश उड़ाएगा वाइ माइनस बी इस चीज का ध्यान लगे ओके तो इस हाउ शिफ्टिंग ऑफ ऑरिजिन वर्क्स ओके अब लेस्ट मूव एहेड लूप आफ एस्ट्रेट लाइन तो अगर एक स्ट्रेट लाइन जो है वह एंगल ठीक इफेक्ट लाइन इस मेकिन एंग्ल थीटा विद पॉजिटिव डारेक्शन ऑफ एक्स एक्स इस देन टेंट इटा इज द स्लोप ऑफ डेट and x2,y2 से pass कर रही है, then slope of the straight line joining these points, is y2-y1 upon x2-x1, and now y2-y1 upon x2-x1, that will be the slope of the straight line joining these two, slope के बारे में समझ में आ गया, अब यहाँ पर कुछ important concept आते हैं, कि a line having same intercept on the coordinate axis, जब भी यह statement लिखा हो, किसी भी सवाल में यह statement लिखा हो, कि line का जो intercept है, वो same है, इंटरसेप्ट सेम का मतलब हो गया कि या तो दोनों ही इंटरसेप्ट पॉजिटिव होंगे, x इंटरसेप्ट, y इंटरसेप्ट, बोत आप देम आप गोईंट बी पॉजिटिव, और बोत आप देम आप गोईंट बी नेगेटिव, तो इन बोत दी केसिस, यह आपको स्लूप बता रहा है, स्लूप कितनी बता रहा है, minus 1 बता रहा है, right, this is telling you the slope, यह 135 डिगरी का एंगल बना रहा होगा, तो अगर line जो है, वो obtuse angle बना रही है with the x-axis, तो slope negative होगी, वो देख भी सकते है, 10, 135 degree, slope हो जाएगा यहाँ पर, 10 of 135 degree, which is equal to minus 1, this is going to be the slope, तो अगर ये दे रखे है, कि a line is having same intercept, सवाल में अगर ये given है, कि line का intercept same है, तो ध्यान रखना, वो आपको slope बता रहा है indirectly, फिर अगर यह बोल रखा है कि a line cutting intercept of equal length on the coordinate axis or line which is equally inclined to the axis, इन दोनों में से कोई statement use किया गया है कि line equally inclined है, या line equal है न, equal intercept, equal intercept में नी, उनकी intercept की length same है, अगर बोला गया equal intercept है तो तो वो पिछला वाला case हो गया है कि slope minus 1 है, but यहाँ पे length of intercept को इंकला गया है, length of intercept, तो इस case में slope plus 1 भी हो सकती है, minus 1 भी हो सकती है, यह कैसे, ज़रा देखिये, ठीक है, हो सकता है कि भाईया दोनों ही positive हो intercept, दोनों ही positive हो, क्या हो सकता है, y intercept positive, x intercept negative हो, but intercept की length same है, y intercept भी a length का है, x intercept भी a length का है, intercept की length same, एक positive है, दूसरा negative है, तो इस case में अपन देख सकते हैं, यह एक्यूट एंगल बना रही है लाइन विद पॉजिटिव डारेक्शन ऑफ एक्स एक्स तो यहां पर जो स्लोप होगी देट इज गोइंट टू बी प्लस फन और इस केस कंदर स्लोप हो जाएगी माइनस फन तो देरा टू पॉसिबिलिटी की स्लोप प्लस फन भी हो सकती है माइनस फन भी हो सकती तो अगर कभी भी गिवन हो कि लाइन इज इक्वली इन क्लाइंड पर जाना दो पॉसिबल स्लोप या पॉसिबल है ओके फिर है अ इसके अलग-लग सिनारियो है बच्चा पाटी, अगर horizontal line है, तो उसकी equation y is equal to constant रहेगी, क्योंकि horizontal line पे y coordinate नहीं बदलता है, यह लाइन जो है, इसकी equation y is equal to constant, वो constant क्या हो जाएगा, जो y coordinate है, जिसे y coordinate यहाँ पे b है, तो y is equal to b, यहाँ पे भी देखा जाए, तो y coordinate b है, तो इस line की equation y is equal to b, इदर देखा जाए y coordinate 2 है तो इस line की equation y is equal to 2, यहाँ पे y coordinate 1 है तो इस line की equation y is equal to 2, ठीक, वैसे यगर एक vertical line है तो vertical line पे x coordinate नहीं बदलता है, क्योंकि vertical line पे आप उपर नीचे move कर रहे हो ना, उपर नीचे move करने पर x coordinate नहीं बदलता, x coordinate बदलने के लिए left right move करना पड़ेगा, ठीक है, तो vertical line पर x coordinate constant होता है, तो x is equal to constant is the equation of vertical line, ठीक है, चारो examples आप देख सकते हैं, x is equal to a, यहाँ पर इस line की equation x बराबर 1, यहाँ पर इस line की equation x बराबर 1, तो vertical line horizontal line की equation इस तरीके से directly लिख इस लोग इंटरसेट फॉर्मेट पॉइंट लोग फॉर्म टू पॉइंट फॉर्म इंटरसेट फॉर्म नॉर्मल फॉर्म परमेट्रिक फॉर्म जनरल फॉर्म ठीक है इन सब के बारे में चर्चा करेंगे बट इन सब का एक और जिन एक ही तरफ तरफ से आता है डाइट इस एन आफ लोग फॉर्म पीड़ हमें पॉइंट बता दिया जाए कि लाइन कौन से पॉइंट से पास कर रही है फ्लाइन इस पासिंग द पॉइंट एक्स वन कमा वाइवन और लाइन की स्लोप हमें एम दे दी जाए अ तो equation of line लिखेंगे y-y1 is equal to m times x, ठीक है, यही सबसे important format है, line की equation लिखने के लिए सिर्फ हमें दो चीज़ की जरूरत होती है, मुझे एक तो बता दो, दूसरा मुझे point provide कर दो, point अगर x1, y1 इस point से line पास कर रही है, slope m दे रखी है, तो line की equation लिख देंगे, y-y1 is equal to m times x-x1, वाइंटर सेट दे रखा है 0 कॉमा सी एंड स्लोप दे दी एम के इक्वेशन आ जाएगी वाइंट इकॉल टू एम एक्स प्लस इधर से रखा है देखो यहां पर टू एक्स वन कॉमा वाइंट पॉइंट है जड़ जी रो कॉमा सी टॉप एक्स वन की जगह पर जीरो रख दो वाइंट जैसे 2x minus 3y, 3y plus 1 बराबर 0, let's say this is the equation of line, और आपसे slope पूछ ली जाएगी, what is the slope of this line, तो यहां से आप y is equal to mx plus 3 प्रिपर्सेंट करने, basically solve for y, y की value निकालो कितनी आ रही है, तो यहां से 3y की value समझ में आ रही है, तो y की value हो जाएगी 2 by 3x plus 1 by 3, so now we can observe that slope is equal to 2 by 3, ना, लोग टू बाइट लिखेगा तो जब भी आप इस फॉरमेट में रिपेजेंट कर दोगे वाइज इकॉल टू एम एक्स प्लस थी यू कैन कमेंट अब ऑफ द लोग ऑफ द लाइन ओके वैसे यदि दो पॉइंट्स गिवन हो जहां से लाइन पास कर रही है लेस्ट से यह fourth format भी अपने आप में बहुत important है, intercept format इसका नाम है, ठीक है, intercept format, कि अगर हमें x-intercept and y-intercept बता रखा हो, कि line जो है, उसका x-intercept a है, y-intercept b है, तो equation of line is x by a, x upon x-intercept plus y upon y-intercept is equal to 1, कि suppose अगर equation इस प्रकार से दे रखी है, line अपने को ऐसा पता है, कि x-axis को minus 2,0 पे, y axis को 0,3 पे cut कर रही है, तो equation of line directly लिख देंगे, x upon the x intercept, x intercept minus 2, plus y upon the y intercept, y intercept is 3, is equal to 1, so this is the equation of line, ठीक है, बहुत important format है, okay, now, this equation can be easily derived, okay, now, parametric form, parametric form के पर बात करते हैं, बहुत important format है ये भी, कि जब भी हमें, किसी line पे, दो चीज़े जरूरत होती है लाइन की equation, यहाँ पे भी दो चीज़े given है, एक तो point हमें बता दिया कि यह line पास कर रही है x1, y1 के, और दूसरा हमें line की direction दे दी, line की slope बता दिये भी, slope क्या है, line की direction दे दी, तो अगर मुझे point बता दे, slope बता दे, line के बारे में सब कुछ पता लाइन की equation क्या हुआ कि मतलब लाइन के ऊपर किसी general point की coordinate तो x,y का जो coordinate होगा and यहाँ पर parameter r यूज़ कर रहा हूँ ठीक है तो x1,y1 से r distance के ऊपर जो point x,y होगा उसका coordinate क्या होने वाला है तो यहाँ पर इसका x coordinate होगा x1 plus r cos theta जो की easily देख सकते हैं ठीक है एक horizontal line एक vertical line draw किया ता इनकी direction हो गई with the positive x-axis तो r cos theta की अपने horizontal distance travel करी है तो यहाँ पे जो x coordinate होगा और यहाँ पे जो x coordinate होगा इनके x coordinate का difference is r cos theta के equal होगा तो इधर का x coordinate is equal to x1 plus r cos theta ऐसा लिखा है and the y coordinate over here, y is equal to y1 plus r sine theta, ठीक है, यह जो vertical projection है, that is r sine, okay, so equation of straight line in parametric format अपने पास आती है, कि x minus x1 by cos theta बराबर y minus y1 by sine theta is equal to r, ठीक है, this is the equation of straight line in parametric, generally अपन तब use करते हैं इसको, कि जैसे एक line दे दी, जो 1,2 से पास कर रही है, angle 30 degree बना रही है with the positive direction of x-axis, हमें एक point P का coordinate निकालना है, जो कि 5 distance आगे है इस point से, ठीक है, 1,2 से, तो इस point P का direction होगा, यहाँ पर x coordinate 1 plus r cos theta, इधर का y coordinate 2 plus r sin theta, एक coordinate is x1 plus r cos theta, वाइट कॉर्डिनेट इस वाइवन प्लस आर साइट थीटा वाइवन यहां पर टू हो गया आर की वैल्यू दर से फाइव हो जाएगी ना आर इस पाइट पाइट इन डिस्टेंस देखना है यहां पर थर्टी डिग्री हो जाएगा ठीक है जगह थर्टी डिग्री तो यह बन जाएगा देखो वन प्लस फाइव कॉस्ट थर्टी डिग्री कॉमा टू प्लस फाइव साइन थर्टी डिग्री ओके पॉज थर्टी डिग्री के वैल्यू रूट थ्री बाइट तो वन प्लस फाइव फूट फ्री बाइट तो कि पॉमा टू प्लस टाइम 30 डिग्री की वैल्यू वन बाइट तो तो इस पाइट बाइट तो इस द कोर्डिनेट ऑफ पॉइंट पी विच इस फाइड फिन एड ऑफ डिस पॉइंट ठीक है यह है तो इधर यह पैरामेटर आर है ना आर इज द डिस्टेंस तो परमेटिक फॉर्म यूज करके अपनी इजली निकाल सकते हैं ठीक है परमेटिक फॉर्मेट का यूज करके जल्दी से बताइएगा अगर दो लाइन की हमें स्लोप गिवन है M1 and M2 के equal, तो इनके बीच का angle, acute angle, थीटा between them, तो इसका formula आता है 10 थीटा is equal to modulus of M2 minus M1 upon 1 plus M1 M2, बच्चे बच्चे को पता है, बहुत बार यूज़ भी किया है, कुछ important बात है, कि अगर lines parallel है, for parallel lines, M1 is equal to M2, और अगर lines perpendicular है, एक line की slope M1 है, एक बार टू है अब द लाइन साफ परपेंडिकुलर एन एम वन एम टू प्रोडक्ट आफ दिस लोग एक्वेल्स टू माइनस वन यह दो इंपोर्टेंट रिजल्ट्स यहां पर आते हैं लाइन परलेल है तो स्लोप सिक्वल होगी क्योंकि देखो ठीक जीरों लाइन परलेल है डायरेक्शन से मुख्य और अगर लाइन परपेंडिकुलर है तो यहां पर ठीक है 90 डिग्री हो जाएगा इन फाइन एट हो जाता है तो यहाँ पर देखो denominator 0 हो रहा होगा, मतलब 1 plus M1 M2 0 हो रहा होगा, मतलब M1 M2 की value minus 1 आ रही होगी, तो हमेशा ध्यान रखे, कि product of slopes is going to be minus 1, product of slopes minus 1 होती है, अगर lines perpendicular है आपस में, तो बहुत important result है, चले, अब इसके अंदर देखो हमसे circum center पूछा गया है, vertices दे रखी है, तीनो points दिन दिन दिन दिन दिन दिन दिन दिन दिन दिन दिन दिन दिन दिन दिन दिन दिन दिन दिन दिन दिन दिन दिन दिन दिन दिन दिन दिन दिन दिन दिन दिन दिन दिन दिन दिन दिन दिन दिन दिन दिन दिन दिन दिन दिन दिन दिन दिन दिन दिन दिन दिन दिन दिन दिन दि तो इस perpendicular bisector की equation निकालने के लिए दो चीजों की जरूरत है, क्योंकि किसी भी line की equation निकालने के लिए मुझे चाहिए उसका point और उसकी slope, ठीक है, slope हमें AB की पता है, AB की slope पता है, पता है कि नहीं पता, slope of AB is going to be y2-y1, देखो, minus 3, minus 0, minus 3, upon 4, minus 0, तो minus 3 by 4 अपने पास AB की slope आ गए न, की slope हो गए minus 3 by 4, minus 3 minus 0 upon 4 minus 0 तो अगर AB की slope minus 3 by 4 है तो ये जो perpendicular line होगी इसकी slope 4 by 3 हो जाएगी बचापाटे ठीक है तो इसकी slope लिख दी 4 by 3 और मुझे point पता है कि ये कह���ं से pass कर रही है this is passing through the mid point of these two points तो इनका mid point हो गया देखो 0 plus 4 by 2 which is 2 minus 3 plus 0 by 2 which is minus 3 by 2 तो इन दूप इसो की मदद से मैं perpendicular bisector की equation, line की slope पता है, point कहां से pass कर रही है पता है, तो यहां से equation पतल जाएगी, y-y1 is equal to m times x-x1, इसी तरीके से एक और perpendicular bisector की equation, किसी भी side की, या तो side BC के perpendicular bisector, या side AC के perpendicular bisector की equation निकाल दो, तो वैसे ही आपने इसकी भी equation अगर निकाल दी, तो ही वही method कि midpoint निकालना, slope of AC पता है, तो इस perpendicular bisector है न, इस perpendicular की slope पता होगी, क्योंकि product of slope minus 1 रखना है, okay, तो इसकी भी equation आ गई, और दोनों की equations को solve करेंगे, जहांपे perpendicular bisectors meet करते हैं, उसी point को अपन circumcenter, तो इस तरीके से circumcenter की equation, ठीक है, वैसे ही अगर orthocenter पूछा गया हो, तो similarly we can find the orthocenter of triangle ABC, और तो center of triangle ABC निकालना हो तो कैसे निकालेंगे, देखो simple सी बात है, orthocenter वो point होता है, जहां तो इस पॉइंट का कॉर्डिनेट पता है ना इससे इसका कॉर्डिनेट एक्सवन कमा वाइवन हो गया तो इस एल्टीट्यूड कहां पर पास कर रहा है यह पॉइंट पता है अब इस एल्टीट्यूड की स्लोप चाहिए ना इस लोग चाहिए इसकी स्लोप कैसे जैसे suppose इसकी slope 2i है, तो इसकी slope minus 1 by 2 हो जाएगी, तो product of slope minus 1 लखना है, तो इस altitude की equation आ जाएगी, इसी तरीके से एक और altitude की equation निकाल दो, दो altitude की equation निकालो, जहांपे ये दोनो altitude meet कर रहे हैं, that point is ortho center, तो इस altitude की equation निकालने के लिए same वही process की point C का coordinate पता है, slope of AB पता है, इसके perpendicular line तो इस altitude की equation आ गई, और दोनों altitude को solve करोगे, दोनों altitude को solve करोगे, तो अपने पास ortho center मिल जाएगा, अब कुछ important formulas, कि distance of a point from a line, कि एक point है x1, y1, उसकी distance निकालनी हो, अगर ax, by, c पराबर 0 से, इसके लिए जो formula रहता है, अपन क्या करते है, किस point को इस line की equation मिले, तो modulus of ax1, by1, c, point को अपने line की equation में रख दिया, कुछ ने कुछ value आएगी, non-zero value आएगी, क्योंकि यह point इस line के ऊपर तो line ही कर रहा, अगर zero आ जाता है, तो मतलब point इस line के ऊपर ही line कर रहा है, distance आ जा रही है, तो point को line की equation में लिखा, divided by under root of a square plus b, जहांपे a होता है coefficient of x in the equation of line, b होता है coefficient of y in the equation, तो इस तरीके से अपन distance निकाल सकते हैं of any point from a line, वैसे ही यह दो parallel lines के बीच की distance निकालनी हो, तो इस प्रकार से निकालेंगे बच्चा पार्टिंग, कि difference of the constant terms, दी minus C, difference of the constant terms, divided by under root of A square plus B square, जहांपे A coefficient of X, B coefficient of Y, बस यहांपे make sure करे, कि coefficient of X and Y same हो दोनों line में, यह make sure करना है, कि coefficient of X and Y same होने चाहिए दोनों line, ok, simple, ok. नाओ फिर एक important formula आता है foot of perpendicular from a point to a line, कोई point x1, y1 से अगर अपने perpendicular drop कर रहे हैं, किसी line ax, by, c बराबर 0 पे, तो foot of perpendicular के coordinate कैसे निकाला जाए, तो let's say कि foot of perpendicular हमारे पास में alpha, beta हैं, alpha, beta आपने को निकालना है, कैसे निकालेंगे, देखो, formula इसके लिए यह रहेगा कि alpha minus the x coordinate, alpha minus x1 divided by the coefficient of x, coefficient of x कितना है, equation of line में a है, वैसे ही beta minus the y coordinate, beta minus y1 divided by the coefficient of y, which is c, is equal to minus times, यहाँ पे negative sign है, ध्यान रखना, minus of ax1 plus by1 plus c, इधर modulus नहीं लगा रहे हैं, modulus यहाँ पे नहीं लग रहा है, minus of AX1 plus BY1 plus C, मतलब इस point को इस line की equation में जो भी रखोगे, जो expression, जो value आएगी, negative of that, divided by A square plus B square, एना, A is the coefficient of X, B is the coefficient of Y, और इस formula में भी ध्यान रखे, यहाँ पे under root नहीं है denominator में, अभी पिछले formulas के अंदर अपने under root देखा था, यहाँ पे under root नहीं है, तो यहाँ पे इसकी value आ जाएगी, X1 पता है, A पता है, alpha की value आ गई इधर से, इसको equate करेंगे इसके साथ alpha की value आ जाएगी वैसे ही beta की value आ जाएगी, alpha beta की value आ गई मतलब foot of perpendicular हमें मिल चुका है, ठीक है, इसके ऊपर एक example यहाँ पर दे रखा है, इस example को try करेगा, foot of the perpendicular of 2,3 on the line, ठीक है, चलो फटाफट से apply करके दिखा दे तुम्हें, लाइन की एक्वेशन है x plus 2y minus 1 बराबर 0, point है 2,3, foot of perpendicular हमें निकालना है, let's say that foot of perpendicular is alpha, beta, तो equation लिखेंगे, alpha minus 2, alpha minus 2, divided by the coefficient of x, which is 1, beta minus 3, is equal to beta minus 3, divided by the coefficient of y, which is equal to negative of, आप इस point को इस line की equation में रखें, x की जगए पर 2 रख देंगे, y की जगए पर 3 रख देंगे, तो 2 plus 6 minus 1 divided by a square plus b square, a हो गया coefficient of x, उसका square 1 हो गया, coefficient of y का square 4 हो जाएगा, तो इधर से देखो alpha और beta की values हमारे पास आती भी दिखाई दे रही है, ठीक है, तो ये निकालेंगे इस तरीके से foot of perpendicular, वैसे ही एक और formula आता है, जिसके अंदर हमें reflected point पूछ दिया जाए, alpha dash, beta dash, कि अगर मैं image लेता हूँ 2,3 की इस line में, तो जो reflected point है, उस point का coordinate क्या होने वाला है, तो यहाँ पे इस point का coordinate, alpha dash और beta dash निकालने के लिए, simply इसको 2 से multiply कर दो, बस double कर दो, मतलब double कर दो, simple सी बात है, so that is the reflection of the point, ठीक है, इसी के लिए यह formula इदर देखो, image of a point in a line, x1,y1 की अगर image ले इस line के अंदर, कैसे, alpha dash, beta dash कैसे निकालेंगे, तो same formula है, बस यहाँ पर 2 आ जाता है, multiplied by 2 आ जाता है, बस इतना सा फर्क है, बाकि फॉर्म पर पूरा पूरा same, बहुत same, ठीक है, इसी के उपर भी same इसी तरीके का example लिया गया है, ध्यान से देख लिजेगा, अब दो देखो चीज़े ध्यान रखें, कि अगर अपन y is equal to x line के अंदर कि ठीक है, x coordinate and y coordinate बदल जाता है, तो b, a reflected point होगा, वैसे यगर y is equal to minus x line में, किसी point a, b का reflection लिया जाए, तो यह हो जाता है minus b, minus a, जान रखे, x coordinate, y coordinate को interchange तो करना ही है, साथ के साथ उसका sign भी बदल देना है, तो y is equal to minus x में, image ध्यान रखे, y is equal to x में image का formula ध्यान रखें, यहाँ पे वो लंबा चोड़ा formula लगाने की जोर नहीं है, directly result, as a result इसको ध्यान में रखा जाए, ठीक है, फिर area of a parallelogram whose sides are y is equal to m1x plus c1, y is equal to m1x plus c2 है न, हमारे पास चारों sides दे रखी है, parallelogram की चारों sides दे रखी है, इसका area निकालना है, तो इस side क यहाँ पर भी देख सकते हैं, M2, M2, group same है, बस constant terms का difference है, और ध्यान रखें, यह formula apply करने से पहले, चारों जो lines हैं, वो इसी format के अंदर लिखी है, यह format पाया जाना important है, तो अगर यह format मिल गया, तो area of parallelogram आ रहा है, C2-C1, देखो difference of the constant terms of opposite side, multiplied by D2-D1, divided by M2-M1 है, M2-M1 is the difference of this loop इस फॉर्म लेकर इस दिहान में रखें इन सवाल आए तो लगा देना तो फैमिली ऑफ लाइन यादर कोई भी दो लाइन से इस लाइन की एक्वेशन एलवन बराबर जीरो इस लाइन की एलट बराबर जीरो इन दोनों के पॉइंट ऑफ इंटरसेक्शन से पास करने वाली जो इनफाइनाइट लाइन होने वाली है इनफाइनाइट लाइन पास कर सकते तरह सकती है इस एक पॉइंट से तो एलवन प्लस लेमडा टाइम्स एलटू बराबर जी ए बेल एमडा इज एन आर्बिटरेरी कॉंस्टेंट इफरेंट वेल्यूज ऑफ लेमडा के लिए हमारे पास डिफरेंट डिफरेंट लाइन्स मिल रही हो इस सारी लाइन्स की इस इफेक्टिवेशन ऑफ फैमिली लाइन लाइन लाइन लाइन लाइन लाइन लाइन लाइन लाइन लाइन लाइन लाइन लाइन लाइन अगर a minus b plus c बराबर 0 है, तो ये line हमेशा कौन से point से pass कर रही होगी, तो या तो directly observe कर लो, इस type के सवालों में best approach है थी, कि directly observe कर लो, कि x और y की कौन सी values हमेशा satisfy कर रही है, तो x बराबर 1 and y बराबर minus 1 satisfies the equation of this line, है कि नहीं, x की जगे 1 रख दू, तो a minus b plus c बन जाएगा, वो equal to 0 है ही, तो 1, minus 1 is satisfying this equation of line, तो यह जो family of lines है, that is passing through the point 1, minus, इजर से यह pass कर रही है, ठीक है, जैसे कि यह सवाल भी देखो, कि the line ax plus by plus c बराबर 0, always passes through, which of the following point, given that 3a minus 2b minus c बराबर 0, तो यहाँ पे minus c है, यहाँ पे plus c है, एक काम करते हैं, इस equation को minus 1 से multiply करके, minus 3a, plus 2b, plus c बराबर 0, ऐसा सा लिख दो, अब आप observe करिए, कि कौन सी x की value और कौन सी y की value उसको हमेशा satisfy करेगी, x की जगह अगर मैं minus 3 रख दूँ, और y की जगह plus 2 रख दूँ, तो this satisfies this equation, right, minus 3a, plus 2b, plus c बराबर 0, yes, x coordinate minus 3 and y coordinate 2 satisfies this. इस पास पास थे ना अब टेंडीशन ऑफ कॉनकरेंसी की भाई तीनों लाइंस जो है तीनों लाइंस एक ही पॉइंट पर मीट करें तो इसकी क्या कंडीशन है तो अपने इस दिस द एक्वेशन ऑफ रिलाइंस ठीक है इसकी डारेक्ट ठीक है यह करनी अब एंगल बाइसेक्टर के बारे में बात करते हैं कि दो लाइन के दो एंगल बाइसेक्टर होते हैं एक तो एक्यूट एंगल बाइसेक्टर दूसरा ऑप्टिव एंगल बाइसेक्टर होगा जैसे यह हो गए लाइन एल वन यह होगे तो अपने बीटू बोल देखो बेटा तो लाइन सिंटर सेट कर रही है तो यह दो एंगल बना रही होगी एक एंगल एक यूट हो बन रहा होगा एंगल ऑफ बन रहा होगा अ इसके दो एंगल बाई सेक्टर्स होंगे पहली बात तो यह हमें रिजल्ट ध्यान रखना है कि लाइन के बीच में जो भी एंगल हो एंगल बाई सेक्टर्स के बीच का एंगल हमेशा 90 एंगल बाई सेक्टर्स आर ऑलवेस परपेंटिकुलर टू इस एंगल है ना यह जो एंगल रहेगा बीवन और बीटू के बीच में एंगल कितना है अलफा प्लस बीटा एंगल है अलफा प्लस देखो सपोस लाइन है उनके बीच का एंगल 30 डिग्री है तो अगर यह वाला एंगल 30 डिग्री तो दूसरा वाला एंगल 150 डिग्री होगा अब इसका जो एंगल बाइसेक्टर होगा एंगल बाइसेक्टर इस बिसीकली बाइसेक्टिंग दिए एंगल ठीक है तो थर्टी डिग्री को बाइसेक्ट करके यह 15 डिग्री बना देगा 150 डिग्री को बाइसेक्ट करके एंगल 75 डिग्री हो रहा हुआ और देख पा रहे हैं 15 प्लस 75 टोटल कितना 90 डिग्री का एंगल बन रहा है एंगल बाइसेक्टर तो angle bisector के बीच का angle हमेशा 90 degree होता है, पहली बात तो यह ध्यान रखें, दूसरी important property about angle bisector, इसकी angle bisector के उपर कोई भी point ले लोगे न, तो वो equidistant रहता है दोनों line से, है न, कि इस वाले angle bisector पे, suppose कोई भी point में x, y ले लेता हूँ, तो इसकी distance from line L1 and its distance from line L2, इसी property को use करके, अपन angle bisectors की equation निकालते हैं, ठीक है, कि suppose line L1 बराबर 0 की equation है, AX1 plus BY1 plus C बराबर 0, line L2 की equation है, AX2, L1 की equation है, A1X plus B1Y plus C1 बराबर 0, L2 की equation है, A2X plus BY plus C2 बराबर 0, मुझे इसके angle bisector की equation निकालनी है property यह रहेगी न कि angle bisector के उपर कोई general point अपने x,y लिया इसकी distance L1 से and इसकी distance L2 से same होने वाली है perpendicular distance यही अपन congruency से prove भी कर सकते है कि दोनो triangle congruent है इसलिए इस distance इस same है तो x,y की इस line से distance a1x plus b1y plus c1 से distance हो जाएगी modulus of a1x plus b1y प्लस सी वन डिवाइडेड बाई अंडर रूट ऑफ कोफीशेंट ऑफ एक्स का स्क्वायर कोफीशेंट ऑफ एक्स इस एक वन कोफीशेंट ऑफ आई इस बी एवं स्क्वायर प्लस बीवन और वैसे ही एक्स कमा वाइट की डिस्टेंस इस वाली लाइन से लिख देंगे पॉडूलस ऑफ एटू एक्स प्लस बी टू वाइट प्लस सी टू अपन अंडर रूट ऑफ एटू स्क्वायर प् अब modulus एक बार positive sign, एक बार negative sign के साथ open होगा, तो दोनों angle bisectors मिल जाएंगे, नहीं ना, modulus को एक बार positive के साथ, दूसरी बार negative के साथ open किया, तो दोनों angle bisectors की हमारे सामने equation आ जाती है, तो इस तरीके से equation of angle bisector निकालते हैं, इस property को use करते हुए, ठीक है, now, अब अपन आ जाते हैं, homogeneous second degree equation in two variable, homogeneous का मतलब हो गया है कि, हर एक जो term है, उसकी degree 2 है, homogeneous second degree, homogeneous मतलब same degree, right? तो देखो पहली वाली टर्म की xy इसकी degree भी 2 है, y square इसकी degree भी 2 है, तो अगर ax square plus 2hxy plus by square बराबर 0, एक homogeneous second degree equation हमारे सामने given है, तो this represents pair of straight lines passing through the origin, a homogeneous second degree equation and two variable represent pair of straight line, मतलब दो straight lines का multiplication यहाँ पे दे रखा होगा, pair of straight line को represent कर रही है, passing through the origin, जैसे कि देख सकते हैं, कि हमारे सामने एक homogeneous second degree equation है, ठीक है, यह किसको represent कर रही है, इसके लिए आप इसको factorize करके समझ पाओगे, है ना, कि x square plus xy minus 6y square बराबर 0, यह दिखो plus 1 को अपन, plus 3 minus 2 में break करेंगे, है ना, मतलब plus 3xy minus 2xy, that will be plus xy, ओके, इधर यह x square लिखा है, यहाँ पे यह minus 6y square लिखा है, इसमें से x common लिया बज़ा बाटी, तो यह बनेगा x times x plus 3y, यहां से minus 2y common लियेंगे, तो minus 2y times x plus 3y बराबर 0, तो दो equations बन रही हैं, एक तो x minus 2y, दूसरी x plus 3y, दो factors बन रहे हैं, product of these two factors is equal to 0, तो एक तो बन रहा होगा कि x minus 2y बराबर 0, दूसरा x plus 3y बराबर 0 है, तो यह represent कर तो ये दोनों क्या है, these two are the straight lines passing through the origin, है न, जैसे इस straight line को आपने ऐसे भी लिख सकते है, y is equal to minus 1 by 3x, ओके, इसको ऐसा भी लिखा जा सकता है, y is equal to 1 by 2x, मतलब y is equal to mx, y is equal to mx format की जो straight line होती है, this is the straight line having slope m, and it is passing through the origin, ठीक है, तो homogeneous second degree equation ये represent कर रही होती है, अब इसके साथ अपन बहुत ज़्यादा खेलते है, ठीक है कि joint equation of L1 बराबर 0 and L2 बराबर 0 is nothing but L1 into L2 बराबर 0, joint equation of two straight lines, simply क्या होती है कि दोनों straight lines का product ले लिया, so that is the joint equation of two straight lines, so in general, AX square plus 2HXY plus BY square बराबर 0, इसको अपन slope format में represent कर सकते हैं, पूरी equation को X square से divide कर दिया, तो देखो AX square की जगह A बच जाएगा, plus 2HXY, x तो y की जगए पे y by x बचेगा, और plus b, y square को x square से divide करेंगे, तो y by x का square बड़ाबर 0, क्या किया है, पूरी equation को x square से divide कर दिया है, और अब मैं y by x को m लिख दूँगा, y by x को अब अपन m लिख देंगे, तो y by x को m लिखेंगे, तो equation बन जाएगी यह bm square, bm square plus 2 hm plus a बड़ा क्योंकि y is equal to mx straight lines को represent कर रहा है, तो now this entire equation is in terms of slope, तो जब भी हमें slope के terms में खेलना होता है, इस equation को अपन slope form में represent कर देते हैं, यहाँ पर यह slopes को represent कर रहा है of the straight line, let's say slopes are m1 and m2, अब अपन slope के बारे में सारी चर्चा कर सकते हैं, कि some of these slopes is minus d by a, ना quadratic का सवाल है यह, अब इसका जो discriminant है, का Discriminant अपन देख सकते हैं, 4 times H square minus AB, that is the Discriminant, अब अगर H square minus AB greater than 0 है, है न, H square minus AB positive है, Discriminant positive है, तो हमारे पास 2 अलग-अलग slope मिल रही हो गई, मतलब हमारे पास 2 अलग-अलग lines मिल रही हो गई, passing through the origin, अगर H square minus AB की value 0 है, मतलब Discriminant 0 आ गया, Discriminant 0 आ गया, मतलब की roots same हो गये न, रूट सेम हो गया तो two coincident lines through origin हमें मिल रही होगी, coincident lines, slope सेम आ गई, coincident lines through origin अपने को प्राप्थ हो रही हो, और अगर, discriminant negative है तो two non-real lines through origin अपने को मिल रही है, negative discriminant का मतलब हो गया कि भाईया, ठीक है, slope real नहीं है, slope real नहीं है तो वो non-real lines हो गई, और इस case में it represents a point, represents a point, और कौन सा पॉइंट और जिन इटसेल और इजेंट ठीक है और एन एग्जांपल इसके ऊपर मैं एक एग्जांपल देता हूं इसकी एक्स स्क्वायर प्लस एक्स वाइब प्लस फूर वाइस क्वायर बराबर जीरो जैसे ही हमारे पास होमोजीनियस सेकंड बड़ी एक्वेशन है यह इसको रिपरेंट करेगी इसको आप पैक्टर आईएस कर नहीं पाऊंगे इसको आप दो फैक्टर में इसको slope के terms में भी convert करोगे, अगर suppose slope के terms में convert किया गया, तो ऐसा बन जाएगा, x square से divide करोगे, तो यह 1 plus m plus 4m square बराबर 0, कि यह लोग के टाइम्स में कंवर्ट कर दिया पर ने बट अभी भी कुछ काम बना नहीं ना लोग यहां पर ठीक है मैजिनरी लोग आ रही है इसके नेट इसका नेगेटिव आ रहा है यह रहती बात है तो यह नॉन रियल स्ट्रेट लाइन पॉइंट को सैडिस्पाइड नहीं कर सकता है ओके तो यह x square plus 2hxy plus by square बराबर 0 represents two state lines through the origin real or non-real, it's called the joint equation of two lines, अब जैसा कि मैंने बताया था slope के terms में equation को convert कर दो, वहाँ से हम sum of slopes, product of slopes निकाल सकते हैं, इदर से एक important formula आता है 10 theta, that is the theta is the angle between the two lines, तो 10 theta हमें पता ही है modulus of m2 minus m1 upon 1 plus m1, ता है, अब ये जो slope के terms में equation आई है quadratic, M1 and M2 is quadratic equation के roots, अगर वो उसके roots है तो यहाँ पे अपन modulus of M2 minus M1 निकाल सकते हैं, मतलब difference of roots अपन यहाँ पे निकाल सकते हैं, तो difference of roots का formula हो जाता है under root of D by A, है न, modulus of M2 minus M1, इसका formula आता है under root of D by modulus of A, याद है quadratic equations, ठीक है, difference of roots का formula, product of roots हमने, हमने लिख लिया है, की upon a है न, constant term upon coefficient of m square, a by b, that is the product of the roots, ये सारी values यहाँ पर रखेंगे, तो एक बहुत ही important formula आता है, कि tan theta बराबर, modulus of 2 times, under root of h square minus ab, upon a plus b, यहाँ पर h क्या है, देखो, h is half of the coefficient of x, y, h है half of, coefficient of x, y, ठीक है, a हो गया coefficient of x square, b हो गया coefficient of y square, यह सारी चीज़ें यहाँ पर लखेंगे, तो tan theta की value आ जाएगी, tan theta बराबर, यहाँ लखना, यह formula याद रखना अच्छे से, अगर यह lines perpendicular है, if the lines are perpendicular, then denominator must be 0, a plus b की value 0 हो गई, a plus b 0 का मतलब हो गया कि coefficient of x square and coefficient of y square दोनो opposite sign के हैं, तभी a plus b 0 हो रहा ह इधर से देखो, a की value 1 हो गई, h is half of the coefficient of x, y, coefficient of x, y वन है, उसका आदा कर देंगे, 1 by 2 हो जाएगा, ठीक है, और b की value यहां से minus 6 है, यह सारी चीज़े अपने इस formula में put कर दी, 2 times under root of f square minus ab upon modulus of a plus b, तो tan theta की value 1 आ रही है, angle theta 45 degree, यह जो pair of straight lines represent कर रही है, उन pair of straight lines के बीच का angle 45 degree है अगर equation इस type की दे रखी है, तो directly समझ मा रहा है, कि अगर coefficient of x square and y square opposite sign के है, तो उनके बीच का angle 90 degree होगा, क्यूंकि a plus b 0 है, denominator 0 बन रहा है, tan theta की value infinity हो जाएगी, angle theta will be 90 degree, okay, now, the joint equation of the pair of angle bisector of a given pair of lines, एक pair of lines दे रखी है हमारे पास, इसके pair of angle bisector की जो joint equation होगी, important result है that is x square minus y square upon a minus b is equal to x y by h इसको as a result directly रखें x square minus y square upon a minus b a coefficient of x square b coefficient of y square x y divide by h, h is half of the coefficient of x y in this equation so note that these two lines are clearly perpendicular क्योंकि ये दोनों देखो angle bisector को represent कर रही है और ये perpendicular lines है भी क्योंकि coefficient of x square and coefficient of y square opposite sign के है, तो pair of lines आपस में perpendicular होगी, if h बराबर 0, then pair of bisector is xy बराबर 0 है न, h जीरो हुआ, cross multiply किया उसको, तो xy बराबर 0, मतलब x axis and y axis are the pair of angle bisectors, in this scenario, एक general 2 degree की equation, first time हमारे सामने general 2 degree equation pair of straight lines के अंदर ये आती है, एक general 2 degree equation हो गई, जहांपे x square की term है, x y की term है, y square की term है, x की term है, y की term है, and एक constant term है, ठीक है, तो ये जो general 2 degree equation है, बहुत अलग लग चीज़े represent कर सकती है, ये pair of straight line को represent कर सकती है, एक circle को, एक parabola, एक hyperbola, एक ellipse, अलग लग चीज़े ये represent कर सकती है, बट ये pair of straight line को represent करेगी, तो इसके लिए condition आएगी, की delta should be equal to 0, इस रिपोर्जेंट अपेर ऑफ लाइन इफ एंड ओली इफ डेल्टा इज जीरो डेल्टा क्या होता है कि डाइग्नल में अपन और कोफिशेंट एंड डाइग्नल में अ diagonal में क्या लिखेंगे ABC जहांपे A क्या हो गया coefficient of x square B क्या हो गया coefficient of y square C क्या है constant term है फिर बाकी अपन यहाँ पर लिखेंगे HGF H हो गया half of coefficient of x y T is half of the coefficient of x और F क्या हो जाएगा coefficient of y का आदा coefficient of y है 2f उसका जो आदा होगा that is F तो इधर HGF और यह symmetric determinant बनाना है यहाँ पर भी अपन HGF तो इस determinant को ध्यान रखना, जब ये delta equal to 0 आ जाता है, तब ये pair of straight lines को represent करता है, otherwise ये बाकी उन curves में से किसी को represent कर रहा होगा, कोनिक section में ये चीज आगे जाके हम पढ़ते भी है, ठीक है, तो इस चीज का खास ख्याल रखे, जैसे for this we have, है न, यहाँ पर अगर अपन delta निकालें बी की value 4 हो जाएगी, B is the coefficient of Y square, C की value minus 2 हो गई, C की बराबर minus 2, और G is half of the coefficient of X, 2GX होता है न, general term, है न, general equation, G is half of the coefficient of X, and F की value उसके लिए 0 है, क्योंकि coefficient of Y है ही नहीं, Y वाली term ही नहीं है, Y square वाली है, Y वाली term नहीं है, ठीक है, तो इस डिल्टा determinant की value 0 आ रही है, तो दिवन एक्वेशन रिपोर्जेंट आफ पेर ऑफ स्ट्रेट लाइन एक्वेशन पेर ऑफ स्ट्रेट लाइन पूरी रही है एक इंपोर्टेंट यहां पर रिमार्क आता है कि स्लूप ऑफ दिलाइन गिवन बाई दिस आर दिस सेम एस दिस लूप ऑफ दिलाइन लिवन बाई होमोजीनियस पार्ट ऑफ दिस इसकी एक स्क्वायर प्लस टू एच एक्स वाइड बीवाई स्क्वायर प्लस इस पेर ऑफ स्ट्रेट लाइन में और इन में फरक कितना सा है, देखो इन दुनों में फरक कितना सा है कि ये जो pair of straight line है वो origin से pass कर रही है, having the slope M1 and M2, और ये जो straight line है किसी और point से pass कर रही है, let's call that point alpha, beta, ये straight line किसी alpha, beta से pass कर रही है, but slope इनकी भी M1 and M2, वही same slope है, तो इनका जो homogeneous part है न, वही slope determine करता है, बाकि व only homogeneous part determines the slope अब इदर यह आता है कि यह point of intersection कैसे निकाला जाए alpha, beta की value अपन कैसे निकालते हैं तो इसके लिए partial differentiation का सारा लेता है कि the point of intersection of the pair of straight lines representing by the joint equation तो यहाँ पर देखो इस function को partially differentiate कर दो x के terms में फिर इसी को ही partially differentiate कर दो y के terms में delta f by delta x and delta f by delta y निकालो और फिर जो दो equations आएगी, दोनों को solve करो, वहां से point of intersection मिलेगा, ठीक है, तो partially differentiate किया x के terms में, तो x square का differentiation 2x हो जाएगा, यहाँ पर हम x का differentiation करेंगे, 5y is treated as a constant in the multiplication, तो यहाँ पर minus 5y बजेगा, 4y square का differentiation 0 हो जाएगा, क्योंकि अगर मैं partially differentiate कर रहा हूँ x के terms में, तो y को as a constant अप 2y का differentiation 0, 2 का differentiation 0, तो partially differentiate कर दिया x के terms में, वैसे ही इसको partially differentiate करूँगा y के terms में, तो x square का differentiation 0, y का differentiation यहाँ पे 1 हो जाएगा, तो minus 5x into 1 बचा, फिर यह जो y square वाली term है, y square का differentiation, y होता है, तो 2 into 4, that will be plus 8y, x का differentiation 0 हो जाएगा, 2y का differentiation जाएगा, तो जब partially differentiate कर रहे हैं y के terms में, तो x को अपन as a constant treat करेंगे, जैसे यहाँ पर x as a constant in the multiplication है, y का differentiation कर रहे है, y का differentiation 1 हो जाएगा, तो minus 5x बचा, x square का differentiation 0 लिखा है मैंने, 4y square का differentiation 8y लिख दिया, 2y का differentiation 2 लिख देंगे, x का differentiation 0, minus 2 का differentiation 0, यह constant terms हो गए ना एक तरीके से, अब इन दोनों equations को solve कर लेंगे, इन दोनों equations को solve करके, जो x and y की value आएगी, वो हमें point of intersection दे देगा, of these pair of straight lines, कि ये pair of straight lines जो है, वो कहां पे meet कर रही है, ठीक है, वो अपने को मिल जाएगा, now, let's talk about homogenization of curve, homogenization एक ऐसा method है, जिससे हम pair of straight lines, जैसे देखो, scene क्या हो रहा है, कि एक curve है, s बराबर 0, एक line है L बराबर 0, curve की equation दे रखी है, line की equation अपने सामने दे रखी है, दोनों चीज़े given है, equation of curve, equation of line, both of them are given. ठीक है, we want to find the joint equation of OA and OB, ठीक है, O हो गया origin, origin को जब A से और B से join किया गया, तो OA और OB की हमें joint equation निकालनी है, ठीक है, A and B क्या है, A and B are the point of intersection of the given line and the given curve, एक line given होगी, एक curve given होगी, दोनों का जो point of intersection होगा, वो A and B होगा, homogenization of curve, इस topic के अंदर हमें basically OA and OB की joint equation बदानी है, so OA and OB are the pair of straight lines passing through the origin, so the joint equation of OA and OB is going to be homogeneous, OA and OB की joint equation क्या होगी, एक homogeneous equation, क्योंकि origin से pass करती हुई pair of straight line की equation एक homogeneous equation है, तो अपन क्या करेंगे कि इस curve को homogenize करेंगे, है ना, homogenize करेंगे, ठीक है, so that is the name of this topic, homogenization of curve, right, Lx plus My plus N equal to 0, है ना, यहां से, इस equation से अपन 1 की value निकालेंगे, and then homogenize as बराबर 0 using it, ठीक है, curve जो दे रखा होगा, उसको homogenize कर देना की, देखो यह already 2 degree की term है ही, यह 1 degree की term थी, तो इसको 1 से multiply कर दिया, यह भी 1 degree की term थी, इसको 1 से multiply कर दिया, यह constant term थी, इसको 1 square से multiply किया, it is the required equation of OA and OB, reason being that it is homogeneous and hence it is a pair of straight line, homogeneous है, pair of straight lines को represent कर रहा होगा, तूसरी important बात यहां पर यह है, कि A and B clearly satisfies it, एक example के थूँ मैं आपको बता देता हूँ कि कैसे homogeneous किया जाता है, इसे फाइंड एंग्र बिट्विंग द लाइन जॉइनिंग द ओरिजिन टू द पॉइंट्स ऑफ इंटरसेक्शन ऑफ दिस लाइन एंड प्लस अपने को इन points A and B को origin से join कर दिया जाया है, तो OA and OB की joint equation हमें बतानी है, तो अपने इस curve को homogenize करेंगे using this equation of line, तो इस equation of line से 1 की value निकाल लो, तो y minus 3x बराबर 2 है, y minus 3x बराबर 2, 2 से divide करेंगे, तो y minus 3x by 2 बराबर 1, 1 की value निकाल ली, अब इस curve को homogenize करते हैं, x square को as it is रखा, 2xy को as it is रखा क्योंकि 2 degree की term थी 2 degree की term को छेड़ो ही मत फिर 4x, 4x 1 degree की term है तो 4x को अपन 1 से multiply कर देंगे 8y भी 1 degree की term है इसको भी 1 से multiply कर देंगे 11, 0 degree की term है इसको 1 square से multiply करेंगे देखो जरा तो x square प्लस 2xy प्लस 3y square प्लस 4x इंटू 1 1 की value है y minus 3x प्लस 8y इंटू 1, 1 की वैल्यू y-3x, whole divided by 2, minus 11 इंटू 1 का square, 1 है y-3x, whole divided by 2, इसका square बराबर 0, तो ये जो हमारे सामने equation आई है बच्चा पाटे, ये एक homogeneous equation बन गई, बन गई की नहीं बन गई, इसी को बोलते है homogenization of curve, कि जो given curve था उसको मैं अगर homogenize करूँ, तो एक जो homogeneous equation आई है, ये देखो सारी 2 degree की term हो गई, यहाँ पे भी x अंदर multiply होगा, ये 2 degree की term मिलेगी, तो finally इस equation को कुछ इस तरीके से कि x square into something plus x y into something, बराबर 0, finally इसको simplify करके इस format में अपन लिख देंगे, तो एक homogeneous equation मिलेगी, that homogeneous equation is the equation of OA and OB, joint equation of OA and OB, उसे के बीच में angle पूछा गया है, find the angle between the lines joining, तो हमारे पास में equation आई है, tan theta का formula यहाँ पर apply कर देंगे, tan theta बराबर 2 times under root of h square minus ab upon modulus of a plus, यह formula apply करके इन दोनों OA and OB के बीच की angle अपने का आगे, ठीक है, तो इसी के साथ, इसी के साथ हमने complete कर लिया पूरा, ट्रीट लाइन एंड पेर ऑफ स्ट्रीट लाइन स्टेल होमोजिनाइजेशन ऑफ कर तो हां मुझे पता है थोड़ा स्पीड में हुआ है क्योंकि रीकैप सेशन था तो अपने को थोड़ा फटाफटी करना है चीज है बाकी बताना आप लो कैसा लगा आपको सेशन थैंक यू एवरीवन फॉर बींग पार्ट आफ दिस सेशन्स क्यों इन नेक्स्ट वन टिल देन दिस इस योर पैसे चुकने मांक