गणित क्लास टीचिंग नोट्स: रिलेशंस एंड फंक्शंस

परिचय

• अध्यापक: शिवानी शर्मा
• कक्षा 12वीं, सीबीएससी बोर्ड
• हिंदी और इंग्लिश मीडियम दोनों के लिए

अध्याय: रिलेशंस एंड फंक्शंस

अध्याय 1.1: परिचय और ओवरव्यू

• मुख्य अवधारणाएँ: सेट, कार्टेशियन प्रोडक्ट, रिलेशन
• महत्वपूर्ण बिंदु: रिलेशन को समझने के लिए सेट और कार्टेशियन प्रोडक्ट का ज्ञान अनिवार्य

सेट्स

• परिभाषा: एक वेल-डिफाइंड कलेक्शन ऑफ ऑब्जेक्ट्स
• उदाहरण: सेट ऑफ नेचुरल नंबर्स < 10 (1, 3, 5, 7, 9)
• प्रतीक: सेट्स को कैपिटल लेटर्स से दर्शाया जाता है

कार्टेशियन प्रोडक्ट

• परिभाषा: सभी संभावित आर्डर्ड पेअर्स का सेट
• उदाहरण: सेट A = {1, 3, 5}, सेट B = {2, 4}. फिर A × B = {(1,2), (1,4), (3,2), (3,4), (5,2), (5,4)}

रिलेशंस

• परिभाषा: A का B के समान रिलेशन, एक सबसेट ऑफ A × B
• उदाहरण: रिलेशन R, जहां पहला एलिमेंट दूसरे से छोटा होना चाहिए
• प्रकार: रिफ्लेक्सिव, सिमिट्रिक, ट्रांसिटिव
• **उदाहरण के साथ समझाया गया

रिफ्लेक्सिव रिलेशन

• परिभाषा: हर एलिमेंट खुद से जुड़ा होना चाहिए (a, a) ∈ R
• उदाहरण: सेट {1, 2, 3} रिफ्लेक्सिव है यदि (1,1), (2,2), (3,3) सब R में हैं

सिमिट्रिक और ट्रांसिटिव रिलेशन

• सिमिट्रिक: यदि (a, b) ∈ R, तो (b, a) भी ∈ R होना चाहिए
• ट्रांसिटिव: यदि (a, b) ∈ R और (b, c) ∈ R तो (a, c) ∈ R
• उदाहरण: सेट {1, 2, 3} सिमिट्रिक और ट्रांसिटिव है यदि इन शर्तों को फॉलो करता है

इक्विवेलेंस रिलेशन

• परिभाषा: रिफ्लेक्सिव, सिमिट्रिक, और ट्रांसिटिव तीनों होना चाहिए
• उदाहरण: सेट {1, 2, 3}, तीनों शर्तें फुलफिल करता हो तो इक्विवेलेंस रिलेशन है

इक्विवेलेंस क्लासेस

• परिभाषा: एक सेट को इक्विवेलेंस रिलेशन के आधार पर पार्टिशन करना
• उदाहरण: सेट {0, 1, 2, ..., 12}, मॉड 4 के मल्टीपल्स के आधार पर विभाजन

निष्कर्ष

• अगले वीडियो में एक्सरसाइज 1.1 की समस्याओं को हल करेंगे
• सभी को कड़ी मेहनत और ध्यान से पढ़ाई करने की सलाह दी