Stokastiske Variable

Introduktion

• Stokastisk betyder tilfældigt.
• Bruges i forbindelse med tilfældige eksperimenter, hvor udfald ikke er kendt på forhånd.

Eksempler på stokastiske variable

1. Kast med mønt

   • Udfald: Plat (0) eller Krone (1)
   • Sandsynlighed for plat: 50% (P(X = 0) = 1/2)
   • Sandsynlighed for krone: 50% (P(X = 1) = 1/2)

2. Kast med terning

   • Udfald: 1, 2, 3, 4, 5, 6
   • Sandsynlighed for hver værdi: 1/6

Notation og funktioner

• Stokastiske variable betegnes ofte med store bogstaver (X, Y, Z osv.).
• Frekvensfunktion:
  • f(x) = P(X = x)
  • Beskriver sandsynligheden for hver værdi.
• Pindediagram/Stolpediagram viser frekvensfunktionen for diskrete stokastiske variable.

Diskrete vs. kontinuerte stokastiske variable

• Diskret: Kender bestemte værdier (f.eks. kast med terning).
• Kontinuer: Uafbrudt værdiområde (f.eks. højder af mennesker).

Kumulerede sandsynligheder og fordelingsfunktion

• Kumulerede sandsynligheder:
  • Sandsynligheden for at stokastisk variabel er mindre end eller lig med en given værdi.
  • Notation: P(X ≤ x)
• Fordelingsfunktion (F(x)):
  • F(x) = Integral fra minus uendeligt til x af frekvensfunktionen.

Beregning af middelværdi (forventningsværdi)

• Middelværdi E(X):
  • Σ (værdi * sandsynlighed)
  • Eksempel med terning: E(X) = (11/6 + 21/6 + 31/6 + 41/6 + 51/6 + 61/6) = 3,5

Beregning af varians og spredning

• Varians (Var(X)):
  • Σ ((værdi - middelværdi)^2 * sandsynlighed)
  • Eksempel med terning: Var(X) = 2,91
• Spredning (Standardafvigelse):
  • Kvadratroden af variansen.
  • Eksempel med terning: Spredning = 1,7

Konklusion

• Diskrete stokastiske variable: Bestemte værdier, f.eks. terningkast.
• Frekvensfunktion og fordelingsfunktion: Beskrivelse af sandsynligheder.
• Middelværdi, varians, spredning: Vigtige mål for stokastisk variable.