Y por fin llegó el gran vídeo sobre límites. El límite es el valor que me pide en mi vida al devolver la función. Cuando la abscisa atienda al valor que me interesa. Vamos a empezar desde la intuición. ¿Sabías que es posible acercarse siempre y nunca llegar?
¿Cómo? Presentaremos los teoremas y leyes más importantes. La que está contenida entre esas dos. No le queda otra que le va a pasar lo mismo.
Y al final, sí, la famosa definición rigurosa del límite. Esta es una explicación del concepto formal del límite. Y como si fuera poco, también vamos a hacer algunos ejercicios. ejercicios.
Quedate del otro lado porque este vídeo vale la pena verlo. ¿Sabes por qué? Porque estamos cambiando el aula.
Estamos mostrando que se puede enseñar diferente. Creo que límites es el tema más importante de cálculo. ¿Por qué es el más importante?
Y porque un montón de cosas involucran límites. La integral es el límite de la suma de Riemann. Una serie...
es el límite de una suma parcial. La derivada es el límite del cociente incremental de Newton. Cuando analizamos continuidad, necesitamos calcular el límite de la función en un punto.
Ah, bueno, entonces el límite está en todos lados. ¿Y por qué es tan importante? Porque permite hacer una...
muy particular no solamente de las funciones sino de expresiones matemáticas en general y la palabra límite no está porque si tiene un significado es un estudio de tendencias donde uno de alguna forma estudia qué le pasa a una cierta magnitud a una función a una expresión cuando impongo una situación extrema en algún sentido o alguna variable el lago infinito o alguna variable lado cero o alguna variable lado t tender a un valor. Esas situaciones extremas en las que me aproximo a algo y veo qué pasa, eso es un estudio de un límite. Pero hay que darle formalidad, no podemos decir límite es así nomás, no, no, no.
Vamos a ser cuidadosos con las cosas que vamos a decir. Vamos a arrancar desde la intuición, desde lo que uno espera, desde lo que uno busca, y después vamos a ir evolucionando hasta llegar a la definición rigurosa. del límite.
Porque demanda entender cosas bastante sutiles de la matemática. Y hay que desarrollar la cabeza en ese sentido. Y para desarrollar la cabeza en ese sentido, lo primero que te voy a presentar es una situación en la que vamos a atender a algo y vamos a ver qué pasa.
¿Sabías que te podés acercar a algo? Sin dejar nunca de acercarte y nunca llegar ¿Qué estás diciendo Damián? ¿Qué tenés en la mano Damián?
¿Qué estás haciendo Damián? ¿Estás en un aula? ¿Cómo vas a llevar un papel, una calcomanía en un aula? Pensemos Imaginate que tenemos una ruta donde viene una persona, que se yo, que se mueve, va caminando o va en auto, no sé, y está transitando por esta ruta.
Imaginate que el destino, o sea, el punto final, está acá. Acá está la bandera. a cuadros, qué sé yo.
Mirá, la persona arranca acá y le doy la orden. Siempre te tenés que acercar. Nunca tenés que detenerte.
Siempre te tenés que estar moviendo en dirección al destino. Siempre te tenés que estar moviendo. No podés parar. Ahora podés cambiar la marcha si querés. Podés ir más despacio.
Los pasos que hagas pueden ser distintos, no me importa. Pero siempre te tenés que acercar. ¿Sabías que es posible acercarse siempre y nunca llegar?
¿Cómo? Bueno, muchos capaz que ya lo conocen este truco o esta idea. Uno dice, bueno, desde acá hasta el destino tengo una cierta distancia.
Bueno, cuando arranco me voy a mover la mitad de lo que me queda. Estoy en la posición y el paso siguiente es moverme la mitad de lo que me queda. Si yo hago eso, pensá, estoy acá, arranco, la mitad del recorrido está acá y digo, en el primer paso.
En el primer movimiento, si es que me muevo de a pasos, por ejemplo, para empezar a entender la idea. En el primer movimiento me acerco de acá hasta acá. A la mitad.
¿Y el siguiente movimiento en qué consiste? Y movete la mitad de lo que te queda. La mitad de lo que te queda está acá.
Entonces me muevo acá. ¿Cuál es el siguiente paso? Moverme la mitad de lo que me queda.
Con ese criterio me estoy moviendo. Entonces me voy a mover acá. Y así puedo seguir de vuelta.
Y así puedo seguir de vuelta, de vuelta. ¿Sabés qué? Nunca vas a llegar a destino. ¿En qué situación llegarías al destino?
...destino y cuando hagas infinitos pasos, cuando te muevas o ejecutes pasos infinitas veces, en el límite, en el límite voy a llegar. En este caso, como el destino existe, en el límite llego al destino. Pero antes no.
Bien, ¿me entendieron la idea? ¿De que me puedo acercar tanto como quiera y nunca llegar? Bueno, por supuesto que esto es un dibujito. Esto es bastante didáctico.
La tiza tiene un grosor. No estoy hablando de eso. Estoy hablando en términos matemáticos. ¿Qué sería hablar en términos matemáticos?
Vamos con otra cosa didáctica. ¿Qué sería hablar en términos matemáticos? Si yo tengo dos segmentos, por ejemplo, ¿yo puedo acercarlos sin hacerlos coincidentes? ¿Puedo acercarlos una y otra vez, y otra vez, y otra vez, de forma tal que nunca se toquen? Sí, siguiendo esta misma idea.
Mirá Mira lo que pasa cuando en forma matemática, o sea, razonando y entendiendo cómo son los segmentos en matemática. Los segmentos en matemática los dibujamos, pero en realidad no... tiene un grosor.
En realidad el grosor no está definido en matemática. Y como no está definido, si yo me acerco y le hago zoom a esta línea que dibujé en términos matemáticos, nunca voy a ver una línea gruesa, como ocurre en la realidad que yo veo la línea. No. En términos matemáticos, me acerco, me acerco, me acerco, me acerco. Y siempre va a ser finita o con grosor tendiendo a cero.
En realidad el grosor no está definido. Pero bueno, me está siguiendo la idea, ¿no? Eso es lo que pasa.
¿Y qué pasa si tengo dos segmentos matemáticos de estos tipos de segmentos? Y los acerco, como te dije recién. ¿Qué pasa?
¿Qué pasa si los acerco? Los aproximo. Y bueno, si los acercás, se van a ver así, ¿no?
tal más cerca. Sí. Ok. Ahora, si le hacemos zoom, virtualmente, le hacemos zoom, nos acercamos.
¿Qué pasa si nos acercamos? Y se ve más grande. Ok.
Se ve más grande. ¿Qué pasa si los acerco de vuelta? Sin hacer los coincidentes, los aproximo un poquito.
Acá. Y si las acercás, se ve así. ¿No?
¿Qué pasa si le hago zoom de vuelta? vuelta. Pasa esto.
¿Qué pasa si los acerco de vuelta? ¿Se acercan? Ok, se acercan.
Hago zoom. ¿Ven lo que está pasando? No sé si me están siguiendo la idea de lo que estoy tratando de comunicar.
Estoy tratando de decir que en términos matemáticos dos cosas, sin hacerlas coincidentes, las podés aproximar, las podés acercar, tanto como quieras, y siempre vas a poder aproximar. más y siempre vas a poder más y siempre vas a poder más pero eso pasa en términos matemáticos es como si tuviera dos números reales siempre aunque no lo creas siempre va a haber una cantidad infinita de números reales adentro o sea dentro de ese intervalo y si los reales los acercas También acá dentro va a haber una cantidad infinita de números reales. Siempre entre dos números reales distintos va a haber una cantidad infinita de números reales.
Eso es una naturaleza de los números reales. Y esa idea relacionada con todo lo que te presenté hasta ahora es el corazón de la definición del límite, de la definición rigurosa del límite. ¿Estamos de acuerdo?
Así que ahora sí vamos a empezar. La clase vamos a empezar después de presentar estas ideas intuitivas, después de entretenernos un poco e introducir estos conceptos que aunque no lo creas son conceptos muy sutiles, que son muy importantes, muy importantes y te explotan la cabeza. cabeza completamente cuando uno se da cuenta que siempre hay infinitos reales entre dos números reales distintos. Tremendo.
Bien, ¿seguimos? ¿Dale? Está buenísimo esto. Yo ya estoy re enganchado. Vamos.
Quizás ahora me estés diciendo también, ¿qué tiene que ver todo eso que me mostraste con las famosas funciones que nosotros analizamos y que tanto usamos en matemática y que todavía no sé para qué sirven? ¿Están ahí las funciones? Bueno, ¿para qué sirven las funciones?
Es una pregunta que ya respondimos en el canal en otras oportunidades. ¿Qué es? una función también ya lo respondimos un montón de veces en el canal así que te recomiendo ver esos vídeos que están en la descripción entonces voy a dibujar una función si cualquier función no importa Voy a anotar la expresión. Voy a hacer una función a trozos, así.
¿Por qué una función a trozos? Y porque ahí aparece la idea del límite para entender por qué nos interesa tanto el límite y qué información me da. Primero voy a jugar un poco con la idea intuitiva. La idea intuitiva de qué me da la cuenta del límite.
Como te dije al principio, el límite es un análisis de tendencia. O sea, analizo qué le pasa a la función, o sea, qué valores me devuelve la función, cuando a la entrada le doy valores que tienden a un valor determinado. O sea, como acá te estarás dando cuenta, esta función que dibujé acá, imagínate que acá es 3 y acá es 7. ¿El límite? ¿Sabes qué me va a decir?
¿Sabes qué información me va a decir de esta función que tengo acá? Me va a dar información del borde, el borde, en forma informal estoy diciendo, del borde que tengo con la función, de un lado o del otro. ¿Qué québorde, Damián? ¿Qué estás diciendo? Esto es informal, ¿sí?
Lo estoy diciendo de una forma bastante intuitiva para que entendamos la idea. Primero el concepto, después vamos a las cuentas estrictas. Esta función que tengo acá, cuando le doy este valor de entrada, me devuelve este valor de salida. Le doy este valor de entrada, me devuelve este valor de salida. Le doy este valor de entrada, me devuelve este valor de salida.
Le doy este valor de entrada y me devuelve este. ¿Estamos de acuerdo? Ahora, a medida que le doy valores de entrada cercanos a 3 por la izquierda, o sea, cercanos a 3 por acá, me acerco al 3 de este lado, La función me tiende, me tiende a devolver este valor del borde. Yo no sé cuánto vale la función en 3. No me interesa cuánto vale la función en 3. Porque 3 es el extremo. Y yo estoy haciendo un análisis de tendencia.
O sea, me estoy aproximando al 3. Estoy viendo qué me devuelve la función cuando me aproximo al 3. No cuando llego al 3. En límites no interesa qué pasa en los extremos, interesa qué pasa a medida que me acerco a ese extremo. Esa es la filosofía del límite. El límite me dice qué me tiende a devolver la función cuando tiendo a acercarme a ese valor de entrada extremo.
En este caso 3. Si yo me acerco al 3, le doy como entrada a la función valores cercanos al 3 por izquierda, O sea, 2,9, 2,99, 2,99, 9,99. Intuitivamente veo acá que la función me tiende a devolver este valor del borde que veo ahí. Imaginate que vale, no sé, 4. Por ejemplo, estoy inventando. ¿Me seguiste? ¿Y qué pasa si miro del otro lado del 3?
O sea, si me acerco por derecha, la función, si le doy de comer este valor, que me devuelve la salida, este de acá. Si le doy de comer este valor, que me devuelve este de acá. Si le doy de comer este valor, me devuelve este.
Y a medida que me voy acercando... Con entradas parecidas al 3, pero por derecha, o sea 3,1, 3,01, 3,0001, la función me tiende a devolver ese valor extremo que está ahí, ese borde que veo ahí. Eso me tiende a devolver la función. ¿Me están siguiendo?
Entonces, ¿sabés qué? El límite de esta función por derecha del vale este valor borde que está acá. Imaginate que vale, no sé, 6. Este borde de acá está en 4. Entonces, el borde, si querés anotamos así, mirá. Esto es muy informal para que me entiendas.
Ya vamos a meternos bien en profundo. El borde de la función, a medida que x, o sea, los valores de entrada, tienden al 3 por derecha, por derecha, o sea, me acerco por derecha, el borde de la función... ¿A qué es igual a 6? ¿Me están siguiendo?
¿La idea intuitiva de lo que estoy mostrando? No me interesa qué le pasa a la función en 3 porque yo no estoy evaluando en 3 me estoy acercando al 3 estoy tendiendo al 3 a ese valor de abscisa Y tender a un valor no es evaluar en ese valor, es tender y ver qué le pasa a la función. Esto lo aclaro porque muchos dicen, ah, límites es fácil, límites tenés que evaluar. No, no, no es evaluar.
El límite no se evalúa a priori. A pesar que la función sea continua y tenga ciertas propiedades. Pero a priori uno no puede evaluar para calcular un límite. Tiene que pensar qué función tiene primero.
Después hace y pone. y después hace otras cosas. Pero a priori, el concepto de límite no se hace evaluando. No tenés que evaluar nada.
Tenés que ver qué le pasa a la función. ¿Qué valores me tienda de evaluar la función cuando le doy valores de entrada cercanos a lo que me interesa? En este caso, 3. Acá se ve que el borde de la función, o sea, ese valor límite, ese valor límite que la función me devuelve cuando me acerco al 3 por derecha o sea el borde de la función cuando me acerco al 3 por derecha es 6 si eso que está ahí se escribe así valor límite cuando los valores de x tienden a 3 por derecha esa es la notación que se usa de una cosa que cosa la función que me da 6 ¿Me siguieron?
Y lo mismo si me acerco por izquierda. Si me acerco por izquierda a la función, ¿qué me tiende a devolver? Y me tiende a devolver 4. Entonces el límite por izquierda vale 4. Entonces escribo esto. Límite cuando el x tiende a 3 por izquierda de la función, ¿qué me da? 4. Yo lo voy a repetir hasta el cansancio, hasta que lo entendamos bien.
El límite es el valor que me tiende a devolver la función cuando la abscisa tiende al valor que me interesa. En este caso, 3. Y hay que analizarlo por laterales, ¿no? Por izquierda y por derecha.
Porque en este caso me dio distinto. Pueden dar iguales, pueden dar distintos. Pero esa es la idea. Desde la intuición pudimos ver qué le pasa o cómo encontrar o cómo entender de dónde viene y cómo es un límite por izquierda y por derecha.
Son límites laterales, así se les llama. Si yo te doy una función que no tiene las características que te mostré, sino que tiene estas características, por ejemplo. Otra vez voy a usar el 3, porque me gusta el 3. Fijate que la función en 3 no me interesa cuánto vale.
No me interesa cuánto vale. cuánto vale. Por eso puso un agujerito ahí. Puso un agujerito porque no me interesa. Incluso capaz que no está definida la función en 3. Puede que no esté definida en 3. No me importa si está definida o no.
Porque estoy haciendo un estudio del límite y el límite analiza las tendencias por izquierda y por derecha. ¿Sí? Entonces, este caso que te mostré acá es bastante distinto a un caso como el que vimos hoy. Acá no hay duda que cuando me acerco por izquierda me tiende a devolver este valor, la función, y cuando me acerco por derecha, con los X, la función que me tiende a devolver este valor de acá.
¿Sí? O sea, los límites laterales, los bordes, si querés, de forma informal, los bordes laterales son distintos. No se encuentran.
¿Sí? Distinto de esta situación, ¿no? En esta situación, cuando a la función le doy valores x cercanos a 3 por izquierda, la función me tiende a devolver este borde de acá. Imagínate, no sé, que vale 4. La función me tiende a devolver 4. ¿Estamos de acuerdo?
Eso si me acerco por izquierda. Ahora, si me acerco por derecha, también me tiende a devolver 4. O sea que la función, imaginate que esta función la llamo g, esta función g le ocurre que sus bordes laterales, o mejor dicho, sus límites laterales, son coincidentes. Entonces cuando estemos en esa situación de que sea evidente que el límite por derecha y el límite por izquierda, ambos me dan exactamente lo mismo, estoy en condiciones de decir lo siguiente. El límite cuando x tiende a 3, o sea me acerco a 3, me acerco a 3, solo digo x tiende a 3, estoy diciendo que x tiende a 3, por izquierda y por derecha. Entonces, si pasa esto y pasa esto, puedo decir que el límite cuando x tiende a 3 vale lo que me dio 4, en este caso.
¿Estamos de acuerdo? Esto es un ejemplo tontísimo, pero yo podría generalizarlo y decir, bueno, no usemos 3 y 4, usemos A y usemos L, porque me gustan las letras y lo quiero mostrar. presentar en forma general entonces acá no pongo 3 por izquierda y por derecha pongo a por derecha y a por izquierda en la misma idea y no me da 4 me da el están siguiendo y acá también acaba y esto me da él es evidente que ese l es un número finito Cuando L sea un número finito, estamos en condiciones de declarar que el límite, ese, existe. ¿Sí?
Existe. O sea, si por derecha me da lo mismo que por izquierda... Y ese número que me dio, ese L, no es infinito, sino que es 8, 7, un número. Y son coincidentes, como acá. Se dice que el límite existe.
Y vale ese número que encontré. ¿Estamos de acuerdo? Por contraposición, cuando no me da un número finito, y me da un número muy grande, muy grande, o muy chico, muy chico, que se acostumbra a indicar infinito esa situación, se dice que el límite no existe.
¿Y cuándo el límite no existe? A ver, mostrame, Damián, mostrame un ejemplo donde el límite no existe. O un ejemplo, una situación gráfica donde yo pueda entender qué estás diciendo. Y, por ejemplo, se me ocurre que la función me tiende a devolver un número muy grande. Por ejemplo, imaginate, no sé, una función que tenga esta característica.
Así como la dibujé, a ver si pienso un poco, se me ocurre que es la función f de x igual a 1 sobre... ¿X menos 2? ¿No? ¿Está bien lo que digo?
Si X es positivo, me da de negativo. No, así. Menos 1 sobre X menos 2. No importa, inventé una función. En el camino, la improvisé recién. Esta función que inventé acá, esta f.
Cuando yo le doy de comer valores, me devuelve valores. Eso no hay duda, hasta ahí no hay nada nuevo. Ahora, cuando me acerco con valores de entrada cercanos al 2, por izquierda, ¿qué me tiende a devolver la función?
Mirá, le doy... Le doy este y me tiende a devolver este. Le doy este de acá y me tiende a devolver este.
Le doy este de acá y ¿qué me tiende a devolver? Este. Este de acá. Le doy este y me tiende a devolver este. Como te estarás dando cuenta, esta función tiene una asíntota para 2. O sea, cuando tengo 2 como entrada, esta función se rompe.
2 no está en el dominio. El valor x igual a 2 no pertenece al dominio. ¿Por qué no pertenece al dominio? Porque anula el denominador, fíjate.
Hace que el denominador sea 0. Y la división por 0 no está definida en matemática. Entonces, el 2 no está en el dominio. ¿Sí?
Descartado. que menos 1 debido a un número muy chiquito, si lo analizo como tendencia, que es la idea que estoy haciendo, me acerco al 2, la función me tiende a devolver valores cada vez más grandes. Pero ojo, me estoy acercando por izquierda.
Si querés ya analizamos este ejemplo. Si me acerco por izquierda, le estoy poniendo un número más chico que 2. Un poquito más chico que 2. Pero más chico que 2. No le estoy poniendo 2 a la función para analizar que me devuelve. No, porque es...
ese es el caso extremo. Yo no estoy evaluando la función en el punto extremo. Ya dijimos que nos interesa la tendencia.
¿Qué le pasa a la función cuando me acerco al 2? En este caso por izquierda. Si le doy de comer a la función esta un número más chiquito que 2, acá abajo, ¿a qué va a tender este denominador que tengo?
Un número más chiquito que 2. 2 menos 2. ¿Qué me da? A ver, si yo tengo 3 menos 2, ¿me da? ¿Me da positivo o me da negativo? Me da positivo, porque el 3 es más grande que el 2. Si en vez de 3 tengo 80, me da positivo, porque este es más grande que este.
Y en el caso contrario, si acá le tengo 1 menos 2, un número menor que 2, ¿qué me da? Me da negativo. ¿Me están siguiendo? Y si le doy, no sé, 1,9, 1,9 menos 2, y me da negativo de vuelta.
Hagan la cuenta. Negativo y muy chiquito me da. ¿Sí o no? Esto. Bueno, esa es la idea.
de acá cuando le doy a esta función esta máquina le debe comer valores cercanos a 2 por izquierda le estoy dando 199 99 que se yo y así el denominador esto que tengo acá abajo tiende a un número negativo y chiquito. Hagan la cuenta con la calculadora si no. Pero esto tiende a un número negativo y chiquito.
¿Y cómo se indica eso? En términos didácticos. Y podés escribir número negativo chiquito o podés decir que tiende a cero, pero un cero negativo. Así. Cero menos o menos cero.
Una cosa así. Se acostumbra a esa notación. Pero lo importante no es que te memorices este símbolo.
No, no. Entendé que estás haciendo. Estás haciendo un análisis de tendencia donde a la función le das de comer un valor cercano a lo que te interesa y fíjate que te da.
El denominador tiende a cero por izquierda. Acá tengo un menos. Por regla de signos...
Regla de signos. Hay un montón de vídeos donde se demuestra la regla de signos. No me voy a poner a demostrarlo ahora, pero no es una ley que la impuso Dios.
No, no. Se puede demostrar. No me voy a poner a demostrar la ley de los signos ahora. Cuestión que acá abajo tengo un número negativo tendiendo a cero. Y acá arriba tengo un menos uno.
O sea, todo esto, todo, tiende a un número positivo y muy grande. Eso se acostumbra a decir infinito. Positivo y muy grande.
Entonces, toda la función tiende a infinito. Entonces estoy autorizado a decir que cuando a la función le doy valores de x cercanos a dos, pero por izquierda, más chiquitos que dos, la función me tiende a devolver ¿qué? ¿Qué me tiende a dar la función? Infinito O sea, puedo decir, en forma intuitiva, que el límite cuando x tiende a 2 por izquierda de la función, ¿qué me da?
Eso que me tiende a devolver. ¿Qué me tiende a devolver la función? Infinito Entonces el límite vale infinito.
Infinito es una forma de decir. Infinito no existe. No es un número.
Pero nosotros escribimos esto para explicar qué estamos queriendo decir. Estamos queriendo decir que la función me tiende a devolver números muy grandes y positivos. Y así podés seguir analizando por derecha y podés jugar un montón.
Pero vos te estás dando cuenta que acá está pasando algo muy particular. La función me tiende a devolver números muy grandes. Esto que está pasando en 2 es una asíntota.
Una asíntota. Cuando pasa esto tenés una asíntota. Porque la función se pianta, se va muy grande o muy chiquita.
Pero en 2, o vale muy grande o muy chiquita, pero en 2 no está definida. No existe en 2 esta función. No existe. ¿Por qué no existe en 2? Y porque cuando la evalúo en 2, esto no puedo hacerlo.
Es una cuenta prohibida la división por 0. No prohibida. por Dios, sino que no tiene sentido dividir por cero, porque el algoritmo de la división se rompe. El algoritmo de la división es fundamental, es una de las cosas principales para poder empezar a construir cosas, en términos matemáticos. Entonces, cuando pasa esto tengo una asíntota, en este caso es 2, y si no es 2 y es A, será A. Y si no está acá y está acá, estará en otro lado.
Pero esta situación es lo que pasa cuando tengo una asíntota. Como te estás dando cuenta, la asíntota puede ser así. Por izquierda tienda muy grande y por derecha tienda muy chiquito. O puede ser así, qué sé yo, una función así o algo parecido.
Eso también puede pasar, cuando también es asíntota. ¿Sí? Pero quiero que entiendas el concepto.
Hay otro tipo de asíntota, que es la asíntota horizontal. Como te estás dando cuenta, no hay que pensar mucho para darse cuenta de por dónde viene la idea, por dónde viene la joda. ¿Cómo sería una asíntota horizontal? A ver, pensemos. Vamos, vamos que sale.
Y parecido a lo que vimos recién, ¿no? La función se va a pegar a una recta horizontal en este caso. Por ejemplo, no sé, una situación así.
¿Sí? Se termina de pegar en el infinito. Bueno, eso es una asíntota horizontal.
¿Y qué puedo declarar en una asíntota horizontal? Y que el borde, o sea, lo que me tienda a devolver la función, cuando los valores de x tienden a ser muy grandes, por ejemplo, como acá, tienden a un cierto valor L, por ejemplo este ¿ves? a la función F le doy de comer valores cada vez más grandes y la función me tiende a devolver este L, bueno esta es la idea de una cinta de revisión horizontal.
No me voy a poner con ejemplos, ¿saben por qué? No porque no soy jodido, sino porque quiero enseñarles otras cosas, otras cosas que creo que por ahí son más interesantes y que no está lleno en YouTube. Y esto sí está lleno en YouTube de ejemplos.
Ahora les voy a presentar las leyes de los límites, que están en todos los libros, en todos los libros. Pero yo te lo voy a decir bien rápido, bien rápido. La demostración de las leyes de los límites se hace con la definición rigurosa, que es la que vamos a ver al final de este video.
y no pienso demostrar esto porque está en todos los libros y así que esto no podemos demostrar todo porque terminamos haciendo que copiando un libro en un vídeo no no es la idea para eso están los libros entonces te voy a presentar la idea uno puede tener funciones imagínate que tengo dos funciones f y g me interesa saber qué le pasa a las funciones cuando me acerco con x cercanos a tienden a los límites cuando extienden a a de la función f y también me interesa esto. Bueno, esta es la ley de los límites. Dicen básicamente que si estos límites existen, o sea, me dan un cierto valor... que no es infinito.
Si este existe y este existe, entonces puedo decir que la suma, la división, el producto, el cociente, todo entre las funciones, permite hacer la distributiva de los límites, con ciertos cuidados. Con ciertos cuidados. Hagamos a ver los cuidados. Esas son las leyes fundamentales, las más importantes.
¿Qué estás diciendo, Damián? Nada. Que si vos tenés que calcular, por ejemplo, el límite de esta nueva función, f más g.
O sea, una nueva función que le armo haciendo la suma punto a punto de las otras dos. Si tenés que calcular esto, uno diría, Damián, este es fácil, hacés la distributiva. No, no, no, no, no.
Pará. Eso de distributiva hay que hacerlo con mucho cuidado. El concepto de distributiva uno lo puede aplicar si sabe qué está haciendo. No mecánicamente pensando que distributiva es una ley que impuso Dios y siempre funciona. No.
Acá estamos haciendo un análisis de... tendencia. El límite cuando x tiende a a de la suma de las funciones puede ser distinto al límite de las funciones por separado.
Entonces no podés sumarlas así y decir ya está. Pero sí es cierto que cuando éste existe y éste existe, entonces sí, el límite de la suma es la suma de los límites. Y puedo decir esto.
Eso es cierto. Siempre y cuando existan por separado. Si no, no podés. Está mal.
¿Sí? Y si no es suma y es resta, bueno, también pasa. También pasa, es la misma idea.
Insisto, para demostrar esto se hace con la definición rigurosa. Y si en vez de ser suma es producto, ¿qué pasa con el producto? También, también, bajo las mismas condiciones.
Si estos existen, el límite del producto es el producto de los límites. ¿Sí? Ojo, tienen que existir por separado, si no es una barbaridad lo que estás diciendo. Y cuando tengo el cociente de las funciones... ¿Qué pasa?
Y nada, mirá, no pasa nada. ¿Cómo no pasa nada? Hay que tener muchísimo cuidado. En el cociente hay restricciones. El denominador no puede ser cero.
Entonces, si yo tengo el límite de una nueva función que la armo haciendo el cociente... entre f y g es cierto que puedo hacer el cociente de los límites ojo, ojo, esto si lo puedes hacer pero ojo, ojo, ojo porque acá tenés una división y lo que está en el denominador no puede ser cero entonces la condición que tenés que poner es que el denominador sea distinto de 0. Entonces, siempre que éste exista, éste exista, o sea, éste me dé un cierto L, éste me dé un cierto M, qué sé yo, o sea, siempre que M sea distinto de 0, vas a poder hacer esto. Si no es una barbaridad lo que estás haciendo. ¿Estamos de acuerdo? Nada del otro mundo.
Es un cociente. Tiene sentido. Hay otra propiedad un poco más tontita que dice que si yo tengo F y el límite de F existe entonces, si te armás una... nueva función que es una constante como así constante por la función si te armas esta nueva entonces el límite es igual a la constante multiplicando al límite de la función es como si mira escalas a la función y le calculas límite es lo mismo que escalar el límite ¿Sí?
Siempre y cuando esto exista, si no es una barbaridad. Bueno, estamos... interesante, ¿no? Ahora hay otras propiedades que son un poco más complicadas de demostrar, pero te las voy a presentar para que las uses, para que las uses como herramientas, teniéndolos cuidado.
¿Qué pasa si quiero calcular el límite del producto de F con F? Y bueno, es la misma idea de hoy. Con la diferencia que en vez de tener F y G tengo F. O sea, es la misma idea. Dije que el límite existe.
Entonces no hay duda. Puedo hacer el producto de los límites. ¿Me están siguiendo? Esto no hay duda.
Lo puedo hacer. Si me estoy basando en la ley que presenté hoy. Sí.
Ah, bueno. Pero esto me da L ¿Sí o no? Y esto también me da L Entonces, ¿qué me da esto?
L cuadrado. ¡Ah! ¡Ah! ¿Y L quién es?
Y L es el límite cuando x tiende a f. Entonces, en vez de poner L al cuadrado, puedo poner L, que es esto, al cuadrado. ¡Ah! Bueno, mirá qué interesante. El límite del producto de una función por sí misma, que aparece de esta forma dos veces ahí, me da esto, con exponente 2. Entonces vos podés generalizarlo, por supuesto, haciendo asociativa del producto, y decir esto.
F por F por F ¿Qué estás poniendo? Por por por por por F O sea, armar una nueva función que es F multiplicada por sí misma No sé, n veces ¿Qué me da esto chicos? ¿Qué me da?
Y siguiendo la misma idea haciendo asociación una, una, una y otra vez esto da L a la N esto no es magia, es la propiedad del producto, se puede aplicar hay otra que dice, che, si pasa esto, buenísimo, el límite de raíz enésima de F, ojo porque esto también tiene restricciones, estamos trabajando con reales, si no, no tiene pero estamos trabajando con reales, esto lo puedo escribir así, ¿no? ¿si o no? bueno, ¿ves que acá tengo a F elevado a una potencia? Ah, cuidado, es una potencia racional, entonces vamos a tener que tener mucho cuidado.
Ahora vamos a presentar la restricción. Pero se puede demostrar que esto también aplica como lo vimos hoy. ¿Te acordás que teníamos f a la n?
f por f por f n veces. Bueno, esta es la misma idea, ojo que el exponente es racional, pero se puede demostrar que esto da igual a el límite de la f a la 1 sobre n, o sea, la raíz del límite. O sea, el límite de la raíz de una función es la raíz del límite de la función. Se puede mostrar. No es tan intuitivo, ojo.
¿Qué restricción tengo que poner acá? A mí me encanta explicar estas cosas porque son las cosas que nadie se pregunta o muy poco se preguntan. Ahí puse 1 sobre n.
¿Sí o no? Puse 1 sobre n. Entonces, ¿qué pasa si n es 2?
Por ejemplo, si n es 2, tengo la raíz cuadrada a... Si tenés una raíz cuadrada, acá, raíz cuadrada de una cosa, esa cosa ¿qué le pasa en los reales? No puede ser ¿qué?
No puede ser negativa. ¿Sí? Entonces, es cierto, ¿ok?
Tengo que poner una restricción. ¿Qué restricción? Y bueno, si n es 2, entonces el argumento, lo que está dentro de la raíz, no puede ser negativo. ¿Qué restricción tengo que poner? f, ¿cómo tiene que ser?
Para todo x. Para todo x. ¿Qué tiene que pasar con f? Tiene que ser...
positiva o igual a cero pero positiva y si en vez de dos es cuatro y por propiedades de las potenciaciones también aparece esta restricción o sea si n es cuatro también pasa y si es seis también pasa o sea si es par si es par esta condición la tengo que imponer para poder hacer esto si no es un disparate escribir esto que está acá ¿Sí? ¿Estamos de acuerdo? Entonces, esto está buenísimo porque cuando tengas o quieras calcular el límite de una raíz o cosas así, vas a poder usar estas cosas teniendo estos cuidados.
No te olvides de los cuidados. No te mecanices las cosas. ¿Sí? Bien, estamos en condiciones casi de presentar la definición rigurosa.
Pero antes, quiero insistir un poco más con algunos ejemplos muy simples que muestran ciertas dificultades. Cuando uno tiene una función que... que es cociente de polinomios. O es racional, o sea, tiene raíces o cosas no tan locas. Y el A que vimos hoy, o sea, ese valor al que tiendo, está en el dominio de la función.
O sea, tengo garantizado que la función, no sé, capaz que se vuelve loca por acá, pero estoy garantizado que en el A que estoy analizando, la función no se porta mal, sino que el A está en el dominio de la función. Sí. Si el A está en el dominio de la función y la función que tenés es una función cociente de polinomios, por ejemplo, que es continua en A, si A está en el dominio, tiene esa propiedad, entonces va a pasar esta situación. La curva va a ser continua ahí.
Por supuesto que el tema de continuidad es posterior al tema de límites. Te lo cuento a modo de cuentito para que no te parezca una cosa muy loca, muy nueva. Entonces, resulta que el límite, o sea, analizar la tendencia, ¿Qué me tienda de obrar la función por izquierda y por derecha? Me da lo mismo que el punto este. Ahí sí me meto en la locura de agarrar el valor extremo.
Ojo, en esos casos, nada de reemplazar y decir que el límite es sustituir y nada más. Ojo, la función tiene que ser función racional. Te dejo en la descripción información sobre las funciones que cumplen esta condición para que no haya ningún tipo de duda sobre esto. Entonces, en esa situación, si el A está en el dominio, ¿por qué tiene que estar en el dominio?
Porque las funciones racionales en general tienen la característica de que suelen tener asíntotas. Cuando es cociente de polinomios, fundamentalmente. En las raíces de los polinomios del denominador, la función se dispara.
Bueno, pasa esto acá, por ejemplo. Bueno, este valor de acá no está en el dominio de la función. Lo estoy haciendo de forma intuitiva, pero este sí.
Bueno, pero si tu límite lo estás analizando en este A, entonces el punto extremo coincide con el límite. Como la función es continua, al acercarme por izquierda y por derecha, ...tiendo al puntito que está en el extremo. En otras palabras, puedo evaluar a la función en ese valor extremo para encontrar el resultado de mi análisis de tendencia. O sea, encontrar el resultado de mi límite. Puedo simplemente evaluar a la función en A.
¿Y por qué pasa esto? Me doy cuenta, tiene sentido. ¿Sí? Por ejemplo, este límite que tengo acá.
¿Cuál es el dominio de esta función? Esta función que tengo acá. Y todos los reales menos el 3. Estamos de acuerdo que 3 anula el denominador y hace que la cuenta que aparece sea imposible de resolver.
Esté no definida como la división por 0. Entonces, si... X es distinto de 3, está todo bien, podés hacer cuentas, podés hacer todo bien, no hay problema si X es distinto de 3. Como estoy analizando el límite cuando me acerco a 2, no pasa nada porque estoy en el dominio. 2 está en el dominio de la función. Entonces, querido, no te preocupes, evalúa la función y listo.
¿Cuánto me da la función en 2? Me queda 2 menos 1 y abajo ¿qué me queda? 2 menos 3. ¿Cuánto me da esto? Menos 1. ¿Sí? O sea, el límite vale menos 1. ¿Qué?
En 2 es continua. Y si es continua, entonces, insisto, el análisis de tendencia me da lo mismo que el extremo S. Entonces puedo evaluar y no hay problema.
Pero ojo, estoy seguro que el 2 está en el dominio. Por eso puedo hacer esto. Y es evidente que es cociente de polinomios.
Es función racional. Tiene estas características. Se porta bien.
¿Y este caso que tenemos acá? ¿Qué puedo hacer? ¿No me enseñaron?
¿Qué x cuadrado menos 1 sobre x menos 1? El x menos 1 de abajo lo dejo y arriba puedo factorizar, ¿no? x menos 1, no voy a explicar esto porque si no nos vamos de tema.
Pero puedo factorizar acá arriba. Esto es cierto, esto es válido. Ahora, ¿puedo cancelar?
La pregunta es, ¿esto que escribí es igual a x más 1? ¿Es igual o no es igual? ¿Cuándo puedo cancelar? Porque es otro problema que tengo en matemática. Muchos les dicen, sí, no te preocupes, A sobre A es 1 siempre, no pasa nada, porque tomás A partes de un chocolate partido en A veces.
Eso es 1. Como siempre. Si A es 0, acá tenés una división por 0. Y eso no existe, no está definido, mejor dicho. Y si no está definido, mucho menos podés decir que vale 1. Entonces, ojo, porque esto es... cierto cuando a es distinto de 0 sí y acá yo estoy seguro de que x menos uno es distinto de 0 estoy seguro de esto yo estoy analizando que es cuando tiende a 1 esto tiende a 0 si tiende a 0 pero no es cero tiende a 0 pero es distinto de 0 esto es fundamental chicos entender que en el estudio de límites uno analiza tendencias esta es la notación que acostumbramos a usar esto tiende a 0 porque el x se va a 1 pero distinto de 0 y si es distinto de 0 estoy autorizado a decir que no tengo división por 0 y si no tenés división por 0 podés cancelar sin problema y esto es cierto si x es distinto de que de 1 si no salió el denominador puedo hacer eso y como estoy analizando en los bordes desde el 1, no estoy evaluando el 1, eso sí lo puedo hacer. Entonces estamos de acuerdo que en vez de escribir esto puedo escribir x más 1. ¿Qué le pasa a esto cuando x tiende a 1?
Y este x a qué tiende? Tiende a 1. Entonces todo tiende a qué? Tiende a 2. Entonces el límite vale 2. Y otra pregunta que por ahí se escapa de lo que estoy mostrando ahora, pero yo te puedo decir, a ver, esta pregunta me la hice yo una vez y estuve filosofando solo, tratando de buscar la vuelta.
Graficá esa función. Eh, ¿qué estás pidiendo? Es una locura.
¿Cómo me vas a pedir graficar eso? No, pero podemos analizarlo así, mirá. Una forma muy sencilla, es decir, mirá. Analizá los dos casos.
Analizá si X es distinto. distinto de 1. Si x es distinto de 1, estás en una situación. Y si x es igual a 1, estás en otra situación.
¿Qué pasa cuando x es distinto de 1? Y si x es distinto de 1, acá no tengo 0. Entonces puedo factorizar arriba, cancelar. ¿Y esto qué me da, como lo vimos recién? Da x más 1. Factorizan esto y cancelen. Porque x es distinto de 1. Estoy en esta condición.
Ahora, si x es igual a 1, tengo un número. No me importa un número, es cero. No importa un número, pero tengo una división por cero y eso no está definido. Como no está definido, entonces no existe.
¿Y cómo es la gráfica entonces? Y para graficarlo, usamos esta información. Ya sé que en 1 tengo problemas.
En 1 no está definida, no puedo decir nada. ¿Cuánto vale en 1? Pero sí puedo decir para otros.
x distintos de 1. Entonces me despreocupo porque ¿qué analizo? Y mirá, mirá todo menos el 1, olvidate el 1, mirá todo. ¿Y qué pasa?
Y es x más 1. x más 1 es una recta inofensiva. Esta recta. Esto es esa recta que está ahí, es x.
que es más uno. ¿Me están siguiendo? ¿Y qué pasa en uno? Y en uno no existe. Así que en uno, perdón la desprolijidad, pero ya me estoy emocionando.
En uno tengo un problema. Ahí no está definido. Entonces poné un agujerito, si querés.
¿Me están siguiendo? En uno no hay nada, no puedo decir nada. Entonces esta es la gráfica de esa función que me presenté hoy.
Hay un teorema muy importante que me encantaría presentar. que es el teorema de la compresión. Se sustenta en otro teorema previo, pero el teorema de compresión se puede ver intuitivamente, se puede demostrar con la definición rigurosa del límite, pero básicamente dice que si vos tenés una función, por ahí f, y una función, g por acá, Y otra función, h, que está por acá adentro. Contenida ahí.
Resulta que en la medida que me acerco a a, si el límite de la f coincide con el límite de la g, o sea, ambos me dan... L, por ejemplo Imaginate que este valor de acá es L Yo dibujo un poco Separadita, pero imagínense que está más pegadita Si ambos me dan L O sea, ambas funciones a las dos Les pasa que cuando me acerco me devuelven L a la otra cuando va a ser como la de L Si a ambas les pasa lo mismo, la que está contenida entre esas dos, no les queda otra que le va a pasar lo mismo. Porque está contenida entre las dos. Está aplastada, está en forma de sándwich. ¿Se entienden?
Está ahí adentro. Si pasa esto que estoy mostrando acá, se forma un sándwich en las cercanías de A al menos. Y si se forma un sándwich y ambos límites valen lo mismo, de la F y la G, la que está en el medio, la que está en el medio, La que está, la H que está ahí como jamón del sándwich.
Entonces lo que pasa es que el límite para la H también vale lo mismo. Porque no le queda otra. Es como un sándwich. Va a terminar valiendo lo mismo. Si el pan de arriba tiende a L y el pan de abajo tiende a L, entonces el jamón tiende a L No hay como quedarle.
Ese teorema que está ahí, que les mostré, que les conté como un cuentito, es como un teorema. fundamental fundamental para demostrar cosas como por ejemplo un límite notable típico que lo ven todos lados este por ejemplo si el límite cuando x tiende a 0 de seno de x sobre x eso está buenísimo ahora si quieren lo hacemos lo demostramos de dos formas si quieren pero lo importante es comprender la idea sí porque si ustedes lean tienen una función h determinada una cierta función Si encuentran otra que sea mayor y otra que sea menor y conocen los límites de esas dos, de los panes, conocen los límites de los panes, entonces pueden deducir el límite del jamón al límite de la h, de la del medio. ¿Sí?
¿Estamos? Por ejemplo, imaginate que querramos calcular el límite cuando x tenga cero de seno de x sobre x. Típico ejemplo. Presta atención que tenés un cociente. entre dos funciones.
En la medida que x tiende a cero, lo que ocurre acá es que tanto el numerador como el denominador tienden a cero, pero tienden de forma distinta. Porque son funciones diferentes. Por eso, el cociente puede dar una cosa u otra dependiendo de la forma en la que el numerador y el denominador tienden a cero.
En este caso, vamos a demostrar que este límite vale 1. Vamos a hacerlo. ¿Qué va a hacer Damián? Y va a explicarlo de una forma que se puedan aprender muchas cosas.
Dibuja una circunferencia y a continuación se da cuenta de lo siguiente. Probá, si podés, de entender que esta es una H de X. Como la H que vimos hoy, el jamón del sangue.
¿Se acuerdan? Prueba eso. Ah, ¿qué significa eso? Y trata de buscar dos funciones que cumplan esto.
Una función f que esté por encima de la gráfica esta y una función g que esté por abajo. Busquemos. eso.
Ah, pero no alcanza con buscar dos funciones que cumplan eso. Necesito también que los límites ambos existan para poder aplicar el criterio del sandwich o de compresión. Mira, te quiero mostrar algo.
Cuando tengo un ángulo X en radianes que aparece ahí Y la circunferencia esta tiene radio 1 Ocurre que el valor este de acá, o sea, este cateto de ese triángulo rectángulo que apareció ahí Vale coseno de X Y este valor de acá vale seno de x. Ok. Ese valor seno de x lo puedo leer acá. ¿Me están siguiendo? ¿Qué podemos decir, Damián?
¿Qué podemos decir de esto? Un montón de cosas, fíjate. Yo no sé si ustedes saben, la tangente de un ángulo en forma geométrica se puede pensar...
como el valor de ordenada asociado a la prolongación de este segmento de acá. O sea, tomo un ángulo de X, este ángulo de X. Prolongo ese segmentito móvil.
Este valor de acá es la tangente de X. ¿Sí? Entonces se pueden formar tres figuras y podemos calcularle el área a esas tres figuras. ¿Cómo podemos hacer eso?
Y fíjate, el triángulo ese que estamos viendo ahí tiene un área que es igual a base por altura sobre 2. La base es 1. La altura es tangente de x. La tangente es seno sobre coseno. ¿Sí o no?
Por definición. Entonces, base por altura sobre 2. Ese es el área 3, por ejemplo. Llamé área 3 como el área más grande.
Ahora, calculemos el área 2. El área 2 es el área de eso que está ahí. Eso que está ahí, que les estoy mostrando ahí, es una porción de pizza. Una porción de circunferencia.
Si el ángulo es X medido en radianes, ¿cuánto vale una porción de circunferencia? A ver. ¿Cuánto vale ese área? Si esto es 1. ¿Alguien me puede decir?
Y, profe, lo único que sé es que el área total es pi por radio al cuadrado. Y si el radio es 1, el área total es pi. ¿Sí o no?
Sí, el área total es pi. Si ese área total lo dividís por 360 grados, tenés el área de cada grado. Pero si en vez de dividirlo por 360 lo dividís por 2pi radianes, lo que tenés es el área de cada radian. El área de cada radian.
Pero si el área de cada radian vos lo multiplicás por X en radianes, esto es el área de esta porción que está acá. El pi se va con el pi y resulta que el área 2, el área S que estoy buscando, es x sobre 2. ¡Ah! Interesante.
Interesante, ¿no? Sí, por supuesto. Ese es el área 2. ¿Y el área 1?
¿Quién es el área 1? El área 1 es el de ese triangulito que está ahí. ¿Y cómo es el área de ese triangulito? Vamos, fácil.
¿Cómo es? Base por altura sobre 2. La base es coseno. La altura es seno.
Base por altura, base por altura, sobre 2. Ese es el área 1. ¿Todos de acuerdo? Bien. Descartado que yo ahí lo veo y me doy cuenta que es bastante obvio que el área es mayor que el área 2 y el área 2 es mayor que el área 1 si o no esto yo estoy completamente seguro y si estás completamente seguro de esto puedes venir acá y puedes hacer algunas cuentas que cuentas puedo hacer a ser y fíjate área 1 menor que quien es el área 1 0 por coseno sobre 2 menor que el área 2 quien es el área 2 x sobre 2 menor que el área 3 quien es el área 3 0 sobre 2 por coseno decir esto esto es una desigualdad triple decir eso es lo mismo que decir que esto es menor que esto y al mismo tiempo esto es menor que esto uno puede analizarlo por separado O seguir y multiplicar por 2 en las tres partes de la desigualdad. Si multiplica por 2, esto se va, esto se va y esto se va. Entonces me queda una cosa así.
¿Qué estás queriendo hacer, Damián, ahora? Y fíjate, quiero tratar de usar lo que hoy vimos, como de que puedo poner el jamón ahí en el medio, entre dos panes. Y si conozco este límite, conozco este límite, este lo deduzco. Acá quiero hacer algo parecido, pero H no quiero que sea cualquier cosa, quiero que sea esto.
Entonces tengo que lograr que acá en el medio me quede seno de X sobre X. ¿Cómo hacemos eso? Pensando, fíjate, cuando ustedes tienen una desigualdad de este tipo, así que es triple, uno puede separarla teniendo cuidado. Uno tiene eso y automáticamente uno está autorizado a decir que eso es equivalente a decir dos cosas. Decir que seno por coseno es menor que x y al mismo tiempo pedir que x sea menor que seno de x sobre coseno.
Entonces ahora uno dice tengo dos desigualdades que se tienen que cumplir, esta y esta. Ambas se tienen que cumplir para que sea equivalente a esto. De eso estamos de acuerdo.
Ahora... ¿Cómo sigo? Y la idea es que aparezca acá y acá, en ambos casos, esto.
Seno sobre X. Y para que aparezca seno de X sobre X, ¿qué tengo que hacer? Trabajo por separado en esta expresión y en esta expresión para que aparezca eso. Fijate, en esta expresión que está acá, quiero que me aparezca seno de X sobre X. ¿Qué hago?
Operaciones. Hace cuentas, no pasa nada. Fijate.
Puedo dividir por X. ambos lados si o no pero es que va a ser o no puedes profe no sí que puedo porque estoy tendiendo a cero no vale cero teniendo a cero entonces es distinto a cero se lo puedo hacer dividido por x ambos miembros que me queda ver que hace nueve x sobre x por coseno menor que uno sí o no sí y ahora como sigo y vivir por coseno ambos miembros si dividido por coseno este se va y acá me queda uno sobre coseno, ¿si o no? Estoy haciendo rápido porque no tengo más tiempo. Ah mirá, la segunda parte de tu desigualdad se convirtió en esto. ¿Todos de acuerdo?
Y acá ¿qué puedo hacer? Y acá puedo hacer algo parecido. Puedo dividir por X ambos miembros, ¿no? Si divido por X ambos miembros, ¿qué me queda?
Uno menor que seno de X sobre X coseno. X tiende a 0. X no vale 0, X tiende a 0. Así que esto es legítimo, lo puedo hacer. ¿Y ahora qué hago acá? ¿Qué hago? Multiplico por coseno ambos miembros, ¿sí o no?
¿Qué me queda? Me queda coseno de X menos... Menor que seno de x sobre x.
¿Todos de acuerdo? ¿Que llegué a esto? ¿Que la segunda parte de mi desigualdad se convirtió en esto? Entonces, como hice operaciones legítimas. legítimas, mi desigualdad original se convirtió en esta condición y esta condición.
¿De acuerdo? Quiero que vean algo ahora. Los dos globitos que mostré ahí son las dos condiciones en las que se convirtió esta desigualdad de acá. ¿Qué le estoy pidiendo al seno de x sobre x? Imaginate que si pudiera, seno de x sobre x está ubicado ahí.
¿Qué le estoy pidiendo al seno de x sobre x? Y. que sea menor que esto o sea que sea más chiquito que esto, que es 1 sobre coseno y también le estoy pidiendo que sea más grande que coseno entonces que esté a derecha del coseno entonces al seno de x sobre x le estás pidiendo que esté en este intervalo ¿si o no? ¿y qué es pedirle que esté en ese intervalo?
y es pedirle básicamente Que seno de x sobre x, que sea ¿qué? Mayor que coseno y que sea menor que 1 sobre coseno. ¿Todos de acuerdo? Bueno, llegué a esto.
¿Saben qué? La g es el coseno, la f es 1 sobre coseno y en el medio la h es lo que quiero. Ay, pero no hiciste nada, miren. No encontraste el valor del límite.
¿Cómo que no? Analicemos los límites por separado, o sea, el límite de la g y el límite de la f. ¿Cuánto vale el límite cuando x tiende a 0 del coseno?
Este no tiene problema. Cuando x se va a 0, ¿coseno a qué tiende? A 1. Si no, mirá los videos de 0 y coseno.
¡Ah! A, A. Este vale. ¿Y este? ¿A qué tiende? ¿Y este?
No hay duda, este tiende a 1. Entonces el cociente, ¿a qué tiende? A 1. Entonces el límite, ¿cuánto vale? Te mostramos que la G en el límite tiende a 1, que la F en el límite tiende a 1. Entonces no hay duda, esta termina tendiendo a 1 también. ¿Me están siguiendo?
Los panes tienden a 1, entonces el jamón no le queda otra, tiende a 1. Porque garanticé que H es mayor que G y H es menor que F, acá, en esta explicación que les mostré hoy. ¿Sí? Entonces no hay duda, este límite vale 1. Señoras y señores, ahora sí estamos en condiciones de presentar la definición rigurosa del límite. Porque eso de decir se acerca.
Eso de decir, tengo una función, le doy valores de entrada cercanos a A, y la función me tiende a devolver L Eso de me tiende a devolver L, ¿qué significa? Tengo una curva, la gráfica de una función. En este caso, la función evaluada en A me da L, pero no me interesa qué le pasa en A, porque yo me voy a acercar. con entradas cercanas a para ver qué le pasa a la salida lo que voy a analizar analizar es que le pasa a la salida o sea que le pasa la función que le pasa a la función cuando x tiende a Si le doy como entrada valores cercanos a A, ahora vamos a ver qué significa cercano, la función me va a atender a devolver valores cercanos a L ¿O no?
Este valor o este valor. Valores cercanos a L Estos. Ok, el resultado que obtengo al acercarme, o sea, si le doy este valor de entrada y me devuelve este, este valor es distinto de L, ¿sí o no?
Ese valor es distinto de L, ok. Ah, y si es distinto de L y vos te querés acercar a L, entonces tenés un error. Estás cometiendo un error en tu acercamiento.
Es como que le dijera, me quiero acercar acá y llegué hasta acá. Y bueno, no llegaste al destino, te falta. No llegaste al... final estás cometiendo un error con tu destino si querés bueno con esto pasa lo mismo la función cuando la hago algo con valores cercanos a no me devuelve el me devuelve valor cercanos a L y la diferencia entre los valores que me devuelve y L es el error que estoy cometiendo en mi acercamiento.
Entonces supongamos que yo admito que en este acercamiento que estoy haciendo el error cometido sea 0,1 por ejemplo. Quiero que el error sea todo lo que quieras pero más chico. que es 0,1. Entonces vos podés decir que en tu acercamiento a L, a través de la función, el error cometido, o sea, la diferencia entre las salidas de la función, que son estas, y el resultado del límite, esa diferencia es el error.
Yo admito un error de 0,1 para arriba y 0,1 para abajo. En general, el error se presenta en forma simétrica. Si, en general uno dice más menos 0,1 de error.
Entonces hagamos eso. Digo que este valor de arriba es L más Epsilon. L más Epsilon. Y digo que este valor de abajo es L menos Epsilon. Epsilon igual a 0,1 implica que el error es menor.
¿Qué es lo que estoy pidiendo yo? Estoy pidiendo que la salida de la función menos ese valor L o mejor dicho dicho, la distancia, así se acostumbra decir en matemática una distancia, módulo de una diferencia, si tenés dos valores, haces la diferencia y le calculas el módulo, o sea, le quitás el signo, o la distancia al origen, mejor dicho, esa es la distancia entre esas dos cantidades. En este caso, la distancia entre los valores que me devuelve la función en mi aproximación y L, que es el valor final.
del límite, quiero que sea menor que épsilon. Entonces, la distancia entre los valores de salida de mi estimación y el valor final, el valor límite, es menor que esa cota del error. Por supuesto que esto es un módulo, y los módulos son siempre positivos. Entonces esto es mayor que cero.
Propongo una cota del error y digo que tiene que pasar esto. Descartado que yo veo esto y digo, ah, genial, si vos propusiste una cota, entonces estos valores extremos asociados a la cota, la cota están directamente relacionados con unos valores de abscisa. ¿Me están siguiendo? Que no necesariamente son simétricos. O sea, esto no es un intervalo simétrico.
No necesariamente. Capaz que sí. Si la función es lineal y creciente, sí. Si no, no.
No importa. La idea es que acá tengo un valor de abscisa extremo y otro valor de abscisa extremo, asociados a los valores de las cotas de error. ¿Me están siguiendo?
Dependiendo de la forma que tenga la función, la gráfica, este a puede estar más centrado en este intervalo o menos centrado. Puede estar en un corrido. Por ejemplo, la función raíz de x en torno del 1, le pasa eso. O cualquier otra función que no sea lineal, en general le pasa eso. ¿Aquí?
Hay que analizar cada caso, pero... ¿Sí? Entonces, quiero que presten atención a que este intervalito que me quedo acá, ok, está directamente asociado a la cota de error que yo propuse.
Sí, es cierto. ¿Cómo hago para declarar, que es lo que se acostumbra hacer, declarar un intervalo de X, un intervalo de abscisas, centrado en A? que me garantice que los valores de salida de la función estén dentro de esa cota de error muy simple eligiendo el más chiquito de estos, el más chiquito entre este y este en este caso me quedo este Cuando vos elegís el más chiquito, automáticamente declarás que esta distancia que está acá es delta.
Se acostumbra a decir delta. Esa distancia es delta. Entonces puedo decir que la distancia entre el x que uses en tu aproximación, o sea, este x que estoy usando en la aproximación y a, que es el valor central, esa distancia es menor que qué?
Que el delta. ¿Sí? Una vez más, esto es mayor estricto que cero porque x se acerca a, no es igual a, se acerca a.
Esta información que estoy diciendo acá, o sea, esta condición que le pongo a los x, implica que el intervalo asociado a esto que muestro acá, es un intervalo centrado en a, de longitud 2 delta o sea, me muevo delta para acá y delta para acá Eh, Damián, te quedo distinto. Porque este intervalito es distinto del otro. No importa. No importa.
Estoy declarando un intervalo simétrico centrado en A que garantice que los valores de salida de la función estén dentro de mi cota error. Esa es la idea. Esa es la idea.
Ok. Entonces, presentando esta idea, yo te digo ahora. Vos elegiste una opción que se te ocurrió poner acá.
¿Qué pasa si quiero que el error sea lo más chiquito posible? ¿Qué tengo que hacer para que el error sea lo más chiquito posible? ¿Qué tiene que pasar con esta cota? Últimamente estoy recreativo. Tengo una bolita, una bolita, y tengo una guía donde se puede mover la bolita.
Es como si te dijera, mirá. Los valores de salida de la función son la bolita. La bolita son los valores de salida de la función. Y esto es lo que yo restrinjo.
Yo restrinjo esto. Este sería mi, por ejemplo, épsilon, si querés. Estoy mirando por encima.
por encima de L Yo quiero que se acerque a L la bolita, L está en este extremo, quiero que la bolita se acerque a L y yo estoy restringiendo un epsilon determinado, este epsilon. Y la bolita está ahí. Los valores de salida de la función pueden ser cualquiera de estos.
¿Qué tengo que hacer para que los valores de salida de la función, o sea la bolita, termine acercándose a este extremo? O sea, terminó. Termine acercándose a L ¿Qué tengo que hacer con esta restricción que estoy presentando? ¿Tengo que restringir más?
¿Sí o no? Si restrinjo más, la pobre bolita está ahí y no puede salir, pobrecita. Y si restrinjo más, está ahí, pobrecita, no puede salir. O sea, los valores de la...
función están atrapados los valores de la función están atrapados ahí y si yo voy restringiendo más y más y más y más y más y más a la bolita no le queda otra cosa que terminar acercándose a él que es mi mano extrema en este caso El borde amarillo que tengo pintado ahí. ¿Me están siguiendo? O sea, el epsilon que elijo tiene que ser cada vez más chiquito, más chiquito, más chiquito, más chiquito, de forma tal que la función vaya tomando valores cada vez más cercanos a L Si yo hago eso con la filosofía que vimos hoy, que me acerco, me acerco, me acerco, me acerco, me acerco, y no paro de acercarme, sin llegar nunca al extremo. Si yo me acerco, me acerco, restrinjo, restrinjo, Restrinjo, restrinjo, hago epsilon chiquito, epsilon chiquito, epsilon chiquito, epsilon chiquito, epsilon chiquito A la función no le queda otra que terminar acercándose a ese valor L de ahí Entonces lo que me falta para poder terminar mi explicación de definición estricta de límite es ¿Qué le pasa a F cuando X tiende a A? Perfecto, lo que le va a pasar a la función O sea, la función se va a terminar acercando a L si pasa que esto se cumple para todo.
Epsilon positivo. Tan chiquito como quieras. O sea, si esta restricción que estoy imponiendo es válida para todo épsilon positivo, tan chiquito como quieras. Decir esto en matemática es análogo a decir...
tenés la autorización de restringir más, más, más, más, más, más, más, de forma tal que la bolita termine llegando a ese extremo en el límite, en una situación límite. ¿Sabías que? Ya estamos en condiciones de declarar en una sola frase la definición formal del límite. ¿Qué sería de la siguiente manera?
Dada una función definida en un intervalo abierto que contiene a A, exceptuando posiblemente el número A, porque ya dijimos que no nos interesa si la función está definida o no en ese valor de abscisa A. Entonces, se dice que el límite de la función F cuando los valores de abscisa tienden a A, nos da por resultado L si para toda cota de error positiva, es decir, para todo epsilon positivo, ocurre que la distancia. entre los valores que nos devuelve la función y ese L es menor que esa cota de error.
En esta situación tiene que existir un número delta positivo, de forma tal que también la distancia entre esos valores de abscisa y A sea menor que ese delta, y mayor que cero por supuesto. Esta es la definición rigurosa, exacta y precisa del límite. Puff, se hizo larguísimo esto, che, se hizo bastante, bastante largo, pero no importa, no importa.
La idea es que tratamos de explicar las cosas con la rigurosidad que queremos, con la finura que necesitamos, y vimos que se puede entender, como siempre. Las cosas vistas como difíciles pasan a ser vistas como fáciles cuando uno las entiende de verdad. Y uno entiende de verdad algo cuando puede preguntarse y responderse varios y sucesivos por qué es sobre eso.
Nos vemos la próxima. Mucha suerte.