Hey Leute, mit diesem Video starten wir in die Vektor-Analysis und ich will euch am Anfang mal alle Zusammenhänge in diesem Kapitel verdeutlichen. Wir beginnen mit phi von x, y, z. Das ist unser Skalarfeld bzw.
die Potentialfunktion. Dieses ordnet jedem Punkt in einem Raum einen Wert zu. eine reelle Zahl, sprich ein Skalar. Und als Beispiel kann man sich da zum Beispiel das Temperaturfeld ansehen. In einem Raum herrscht verschiedene Temperaturen und jeder Bereich hat halt eine bestimmte.
Da ist dann die Niveaufläche sehr wichtig. Das ist die Fläche, auf der das Skalarfeld einen konstanten Wert annimmt. Zum Beispiel eine Fläche, in der es überall 20 Grad hat.
Neben dem Skalarfeld haben wir dann auch das Vektorfeld f von x, y, z. Das Vektorfeld ordnet jedem Punkt in einem Raum einen Vektor zu, also nicht mehr nur einen Wert, sondern einen Vektor, sprich auch eine Richtung, zum Beispiel das Kraftfeld. Denn Kraft ist ja nicht nur ein Wert, sondern das ist auch eine Richtung und das stellt man dann eben im Vektorfeld dar. Kommen wir wieder zurück zum Skalarfeld.
Hier können wir zum Beispiel den Gradienten berechnen. Der Gradient des Skalarfelds steht immer senkrecht auf der Niveaufläche, das haben wir oben schon definiert, und zeigt immer in Richtung des größten Zuwachses von diesem Skalarfeld-Potentialfunktion phi. Berechnet wird das Ganze mit Hilfe des Nappler-Operators, den multiplizieren wir mit unserem Skalarfeld und erhalten dann den Vektor, der sich aufbaut aus den partiellen Ableitungen unserer Potentialfunktion. Neben dem Gradienten können wir jetzt auch die Richtungsableitung zum Beispiel berechnen.
Die Richtungsableitung, die ist ein Maß für die Änderung des Funktionswertes von phi, wenn man in Richtung von a um genau eine Längeneinheit fortschreitet. Ja, und dafür multiplizieren wir jetzt unseren Gradienten von phi mit dem Einheitsvektor in a-Richtung. Und diese Einheitsvektor in A-Richtung lässt sich auch schreiben als a mal 1 durch Betrag von a.
Wir multiplizieren also zwei Vektoren und teilen dann durch den Betrag von a. Kommen wir wieder zurück zu unserem Vektorfeld. Was kann man hier berechnen?
Zum Beispiel haben wir hier die Divergenz von f, also die Divergenz eines Vektorfelds. Die Divergenz ist eine skalare Größe und sie beschreibt die Quellstärke oder Quelldichte. Es gibt verschiedene Punkte in einem Vektorfeld, die können entweder Quellen senken oder quellfrei sein, je nachdem welchen Wert eben die Divergenz von f annimmt. Ob es größer 0 ist, gleich 0 oder kleiner 0. Wir berechnen das Ganze genauso wie den Gradienten, indem wir eben diesmal unser Vektorfeld mit dem Nappler-Operator multiplizieren und dafür die einzelnen Teile, also x-Koordinate nach x abgeleitet und so weiter addieren. Neben der Divergenz können wir dann auch die Rotation eines Vektorfeldes berechnen.
Die Rotation beschreibt die Wirbeldichte eines Vektorfeldes. Und hier ist insbesondere ein Wert, eine Stelle interessant, und zwar dann, wenn die Rotation von f gleich 0 gibt. Denn dann haben wir ein wirbelfreies, rotationsfreies, beziehungsweise, dieser Punkt ist ganz wichtig, konservatives Vektorfeld. Die Rotation berechnen wir, indem wir den Nappler-Koordinator kreuzen mit dem Vektorfeld, also das Kreuzprodukt bilden und dafür eben diesen Term hier oder diese Aufstellung hier verwenden. Am besten schreibt man sich das irgendwo auf die Formelsammlung.
Ein wichtiger Punkt ist noch bei der Rotation des Vektorfeldes der Sonderfall, wenn man nur ein zweidimensionales Vektorfeld hat. Bei einem zweidimensionalen Vektorfeld fällt nämlich ein großer Teil von dieser Berechnung weg. Und zwar brauchen wir dort dann nur die z-Komponente von diesem Vektor, der ja hier normal entstehen würde bei der Rotation. Also nur unsere y-Komponente nach x abgeleitet minus die x-Komponente nach y abgeleitet.
Schauen wir uns das Ganze nochmal im Überblick an und versuchen nochmal die Zusammenhänge aufzuzeigen. zwischen Vektorfeld, Skalarfeld und vor allem auch diesem Punkt Rotation und konservativen Vektorfeld. Wir stellen nämlich hier zum Beispiel fest, wenn die Rotation 0 gibt, dann ist f konservativ.
Also das Vektorfeld ist konservativ, wenn rot von f gleich 0 ist. Wenn jetzt das Vektorfeld konservativ ist, dann existiert eine Potentialfunktion. Die können wir eben dann berechnen.
Und wenn wir den Gradienten von dieser Potentialfunktion berechnen, kriegen wir wieder das Vektorfeld raus. Durch die ganzen Zusammenhänge solltet ihr jetzt ein gutes Grundverständnis zum Thema Vektoranalysis haben. Wie man jetzt explizit mit diesen ganzen Themen rechnet, zeige ich euch in den nächsten Videos.
Also klickt einfach die Playlist durch. Bis dann, eure Nina.