Catatan Kuliah Logaritma

Pengantar Logaritma

• Logaritma: Diajarkan di kelas 10 SMA.
• Bentuk umum logaritma:
  • $$ a \log b = c $$ jika dan hanya jika $$ a^c = b $$
• Contoh:
  • $$ 5 \log 25 = 2 $$ karena $$ 5^2 = 25 $$
  • $$ 2^3 = 8 $$ ditulis sebagai $$ 2 \log 8 = 3 $$

Sifat-Sifat Logaritma

Sifat 1

• Jika basis dan bilangan sama, maka nilainya 1.
  • Contoh:
    • $$ 2 \log 2 = 1 $$
    • $$ 3 \log 3 = 1 $$
    • $$ 100 \log 100 = 1 $$

Sifat 2

• $$ a \log 1 = 0 $$ untuk semua basis a.
  • Contoh:
    • $$ 5 \log 1 = 0 $$ karena $$ 5^0 = 1 $$
    • $$ 3 \log 1 = 0 $$

Sifat 3

• $$ a^n \log b^m = \frac{n}{m} \times a \log b $$ (pangkat di depan).
  • Contoh:
    1. $$ 8 \log 16 $$:
       • Ubah $$ 8 = 2^3 $$ dan $$ 16 = 2^4 $$
       • $$ 8 \log 16 = \frac{4}{3} \times 2 \log 2 $$
       • Hasilnya: $$ \frac{4}{3} $$
    2. $$ 27 \log 9 $$:
       • $$ 27 = 3^3 $$, $$ 9 = 3^2 $$
       • Hasil: $$ \frac{2}{3} $$
    3. $$ 25 \log 125 $$:
       • $$ 25 = 5^2 $$, $$ 125 = 5^3 $$
       • Hasil: $$ \frac{3}{2} $$

Sifat 4

• $$ a \log (b \cdot c) = a \log b + a \log c $$ (perkalian menjadi penjumlahan).
  • Contoh:
    1. $$ 10 \log 25 + 10 \log 4 $$
       • $$ = 10 \log (25 \cdot 4) $$
    2. $$ 3 \log (4 \cdot 5) $$
       • $$ = 3 \log 4 + 3 \log 5 $$

Sifat 5

• $$ a \log (\frac{b}{c}) = a \log b - a \log c $$ (pembagian menjadi pengurangan).
  • Contoh:
    1. $$ 5 \log (100/4) = 5 \log 100 - 5 \log 4 $$
    2. $$ 2 \log (15/5) = 2 \log 15 - 2 \log 5 $$

Sifat 6

• Jika basis sama, maka hasilnya sama dengan bilangan.
  • Contoh:
    • $$ a \log b = c \rightarrow log b = c $$

Sifat 7

• $$ a \log \frac{1}{b} = -a \log b $$ (berubah tanda).
  • Contoh:
    • $$ 2 \log \frac{1}{8} = -2 \log 8 $$

Sifat 8

• Jika $$ a \log b = c $$, maka $$ b = a^c $$.
  • Contoh:
    • $$ 2 \log 3 = a \Rightarrow 3 = 2^a $$

Contoh Lanjutan

• Penerapan sifat logaritma dalam soal dan bagaimana mengubah bentuk logaritma.
  • Soal dengan jawaban pilihan ganda:
    • Misalnya: Jika $$ 2 \log 3 = a $$ dan $$ 3 \log 4 = b $$, maka $$ 9 \log 150 $$ dapat diselesaikan dengan menguraikan ke bentuk yang lebih sederhana.

Penutup

• Pentingnya memahami sifat-sifat logaritma dalam menyelesaikan soal-soal matematika.
• Terima kasih telah mengikuti pembelajaran ini.