Test 5'ten devam edelim arkadaşlar. Bakın ABC demiş minimum. O zaman minimumu soruyorsa ne yapıyorduk hatırlarsanız? Ortak kullanabileceğimiz kadar yazmamız lazım.
ABC şu şekilde. Bakın A'nın elemanı... zaten 1. O yüzden bunun 3'ünün kesiştiği yere 1 diyorum.
B'nin elemanları 3 ise buraya mecburen 2 diyorum. Bakın C'nin tamamı kaçmış. 5. Buraya da ne diyorum?
3 diyoruz. Yani 3 5 C'nin tamamı 5'ti. Buraya kaç kalıyor?
2 kalıyor. Hepsini toplarsan bakın kaç yapıyor? 5. Bakın tekrar ediyorum. Eğer şöyle bir şey kullansaydı.
A alt küme değildir B. İşte B alt küme değildir C gibi. Ya da A alt küme değildir C deseydi. O zaman o elemanları yani 1'i buraya, 3'ü buraya, 5'i buraya yazmak zorundaydık. Ya da maksimumu sorsaydı.
Maksimumu sorsaydı 5, 8, 9 yapacaktı. Evet. Bir de alt küme değildir derse, yani biri buraya yazdık, biri buraya yazamazsın. Şimdi minimumu bulmaya çalışalım burada. Soruyu bu şekilde düşünüp.
Şimdi buraya bir tane de olsa eleman yazıyorum ya, buraya 2 yazayım bu sefer. 5 yapması için burası da 3. Yani şunları bir karalayalım, bir de şöyle bir kez daha söyleyelim. Bakın eğer A alt küme değildir, B, B alt küme değildir, C, A alt küme... Yani hiç kimse diğerinin alt kümesi olmasın derse buraya 1 yazarsın.
Çünkü biriyi nereye yazsan, bir elemanlı ya, A onun alt kümesi olacak. 5. Peki B ve C'de de ben buralara mutlaka bir tane eleman yazmam gerektiği için, alt küm olmaması için buraya iki yazabilirim. C'nin tamamı beşti, buraya da ne kalır? Üç.
Diye iyice öğrenmekte fayda vardı. Bir kez daha ayrıntılı bir şekilde anlattım. Peki devam edeyim. Şöyle bakalım.
A fark B. Burası A kümesi olsun, burası B kümesi olsun. A fark B kaçmış?
2x-5. Kesimleri x artı 1. Şimdi A'da olmayan elemanlarla B. Şimdi bu ne demekti hatırlarsanız? B fark...
A demekti. Yani burası ne olacakmış? X olacakmış diyeceğiz.
Toplarsam 2, 3, 4, X eksi 4. Şimdi sen buraya kaç yazabilirsin? Çünkü eleman negatif olamaz. Yani eksi 1 eleman olabilir ama eleman sayısı negatif olamaz. X'e en az kaç vermek zorundasın? 3 vermek zorundasın.
Çünkü burası negatif çıkamaz. Yani 2X eksi 5 büyüktür 0. Sen buraya 2 veremezsin. 3 verirsin.
3 verirsek de 12, 8 olur. Minimum. Devam edelim.
A fark B. Evrensel küme. Bakın evrensel küme varsa bunu çizeyim.
A fark B 12'ymiş. Kesişimleri 6'ymış. Şimdi evrensel küme tamamı kaçmış? 38. Şimdi biz bilmiyoruz ki bunu.
bu muhtemelen yine evrensel kümeyi şunların birleşimi olarak almış. A'da olmayan elemanları sormuş. Ha tamam. Bakın burası kaç çıktı? Şimdi evrensel küme dediğim şey A ile A'da olmayan elemanlar değil mi?
A'nın elemanları kaçmış? 18. Burasının 38 çıkması için buraya kaç kalır? A'da olmayanlar da 20. Ha bunun kaç tanesi B'dedir?
Kaç tanesi B'nin dışındadır? O bize alakada etmiyor. A olsun B olsun. A fark B yine x kare.
Kesişimleri 1. B fark A 2x. Toplamları da yani x artı 1'in karesi geliyor. 2x artı 1 eşittir 16. Bu x artı 1'in karesidir.
Negatif olamayacağına göre eleman sayısı. Buraya en az kaç yazarım? 3 yazarım.
Evet devam. Bakalım ne demek istemiş? A birleşim B.
Bakın burayı birleştireceğiz. Bunlardan C'de olmayanları. Yani bakın şunları tek tek yazmayalım. Şimdi A birleşim B neresidir?
Onu bir şöyle gösterelim. Bakın şöyle A birleşim B burasıdır. A birli. Şimdi C'de olmayan elemanlar hangisidir? Şunlar.
Bakın C'de olmayan elemanlar bunlar. Bunları diyor ilk baştaki çizdim kümeden çıkartalım. Bakın ilk baştaki kümem şurasıydı. Ben bunları çıkartacak olursam geriye ne kalır?
C, Y, E kalır. C, Y, E kalacakmış diyoruz. Devam. Evet bunları yine çok uzun uzun anlattığım için A'dan B'yi çıkart diyor. A'nın elemanları burası.
B'nin elemanları burası. A'nın elemanları 12'den başlayacak, 2'nin katı olacakmış. 98'e kadar, son terim eksi, ilk terim.
Böyle artış miktarı artı birden. 98, 86, 43, 44. A 44 elemanlı bir kümeymiş. Şimdi ikisinin ortak olanlarına bakalım.
Hem ikinin hem dördün katı kimdir? Dördün katıdır. Yani ortak olup da dördün olanlara bakacağız. Şimdi bunlar ilk dördün katı olup ortak olan hangisidir?
20 olmaz. 24'ten başlayacağım. Yine ortak olanlara bakacağım. olmaz 96 olacakmış. Son terim eksi ilk terim 90 eksi 24, 96 eksi 24 bölü 4 artı 1 yapacakmış.
O da kaç yapıyor? 72, 18, 19 yapıyor. Yani burası 19 elemanlıymış. 44'den 19'u çıkartırsak 5 ne olacakmış?
25 olmalıymış diyoruz. Dediğim gibi çok uğraştığım, çok yaptığımız için artık uzun uzun anlatmadım. Bakın kesişimleri boş küme değildir diyorsan buraya kesim 1 yazacaksın.
A'nın elemanı ne yapacak? 9. Buraya kaç kalır? 8. B'nin elemanı 12'miş.
Buraya kaç kaldı? 11. Ben şu an neyi bulmuş oldum? Maksimumu bulmuş oldum. Yani 12-20.
Minimum bulmak istersek de bütün elemanları, yani A'nın bütün elemanlarını buraya yazabilirsin. 9, B zaten 12'ymiş. Buraya da 3 kaldı.
Bakın A birleşim B kaç eleman da yaptı? 12 yaptı. 20 ile 12'yi toplamış.
toplarsam kaç yapacakmış? 32. Haa. Ben bakın 32. Şıklarda da var.
Ama cevap o değil. Ben her uyardığım şeyi bir süre ben görmedim. Şu an AB'nin alt kümesi oldu gördünüz mü? O yüzden ben buraya 1 yazacağım. Buraya 8 yazacağım.
Yani 8, 9, 12. Yani toplamları A'nın tamamı 9 olması için. Evet. Şu an bir sıkıntı yok.
Şuraya bakalım. Beğenilemanları kaç yaptı? 12 yapmadı şu anda değil mi? Ben buranın 12 yapması için 8 ise buraya kaç yazmam lazım?
4 yazmam lazım. Toplarsam 8, 12, 13 yapacak. 20 ile 13 toplarsam da ne olacakmış? 33. Bakın şuraya bir eleman yazmam gerektiğini şuradan anladım. A, B'nin alt kümesi olmadı gördüğünüz gibi.
İlk başta yaptığım gibi olsaydı alt kümesi olurdu. Buraya da bir yazmamın sebebi kesişimleri boş küme olacakmış. Peki. Şöyle A olsun, B olsun, A, B, C. Yani evrensel kümeyi çizmeye gerek yok. Bunda hiçbir şey anlatmadığı için çizmeyelim o zaman.
A'nın dışında olan elemanlar C. Bakın. B ile kesiştiririz. B'nin elemanları ne?
B ve C. Bunda bunu kesiştirirsem buradan ne gelir? C. B'den demiş A'da olmayan elemanları.
Bakın B'den. B dediğim şey ne? B ve C. Bundan neyi çıkartacakmışım?
A'da olmayan. A'da olmayan C'yi çıkartırsam ne kalır burada da? B kalır.
C ile B'yi birleştirirsem kim gelir? B gelecekmiş diyoruz. Peki bundan da yine defalarca yaptık.
Bakın bunları toplarsam ne oluyor? Alt alta. A'da olanla olmayanı toplarsam evrensel küme.
B'de olanla olmayanı toplarsam evrensel küme. 36. Evrensel küme kaçmış? 18'miş diyoruz.
Yine bunları yerleştirelim. A ve B. A'nın eleman sayısı.
Kesişimlerinden gidelim. X artı 2. Bakın bundan bunu çıkartırsan nereye bulurum? X artı 4'ü bulurum.
Şimdi bu ne demekti hatırlarsanız? A fark B demekti değil mi? Artık bunu uzun uzun anlatmayalım. Bu ifade ne demekti?
A kesişim B'de olmayanlar. A fark B. Yani şurası kaçmış?
8. X kaç çıkar? 4. Peki A fark B 4 ise yani X'e 4 verirsem burası kaç çıkar? 8. Bakın burası 8 ise 16. B'den A'yı çıkartırsam yani şurası 16 olacakmış. Toplamlarını istemiş.
Burası da 6. Ne yapar? 22, 30. Onlarla anlaşılmıştır. A çarpı B 14 elemanları yani çarpımları 14 yapıp pozitif doğal sayılar olan sayılar lazım. İşte 1'e 14 olur, 2'ye 7 olur, 7'ye 2 olur, bir de 14'e 1 olur. 1, 2, 3, 4 elemanlı bir küme olacakmış diyoruz.
Bunun aynısını yapmıştık sanki ya. Sayısına kadar neredeyse aynı. Yine burada kesişimleri boş güme diye düşün yapmıştık hatırlarsanız. Neyse yazalım.
A, B, C. Diyor ki B, B'nin elemanları neler? B artı C. 2 katıymış. Yani A artı B B artı C'nin 2 katıymış. Buradan A gördüğüm yere B artı 2 C'ye yazacağım.
A birleşim B A artı B artı C artı A kesişim B B A gördüğüm yere ne yazacağım? B artı 2 C. Yani hatırlarsanız aynı şey 3 B artı 3 C eşittir 36. B artı C kaç çıkıyor?
12. Bakın B artı C 12 ise B artı C 12 ise yani B'nin elemanları 12 A'nın elemanları 24 çıktı. Biz de zaten B'yi istemişti. Ne olacakmış 12. Aynısını çözdük.
Yalnızca orada başka bir şey istiyordu. A birleşim B kesişimleri 6 Kesişimleri 6 imiş. Ben buraya x dersem, bakın buraya x artı 6'a yaptım. Yani burası a, burası b olsun.
4 katı kaç yapar a? 4x artı 24. Bakın burası 4x artı 24 ise burası 4x artı 18 olur. Toplamları 4, 5x artı 24. 44 eşit. 20 x kaç çıktı?
4. B'nin elemanları da ne olur? 10 yapar. Biraz hızlı gidiyorum.
Daha önce çok uzun uzun anlattığımız için. A birleşim B'den kesişimi çıkartırsam ne olur? Bakalım ne olacak? A, B, C. A artı B artı C'den, A artı B artı C'den kimi çıkartıyorum?
B'yi çıkartıyorum, 12. Yani A artı C'ye kaç eşitmiş? 12'ye. A ile B'nin, yani A artı B ile B artı C'nin toplamında 30'muş. Yani 2B artı A artı C, 30. Ben A artı C'yi kaç bulmuştum?
12, 18. B kaç çıkıyor? 9. O da onu seçiyor zaten. Peki, devam edelim. Bizden bu ifade edelim. Bakın A'dan kimi çıkartmış?
A'nın içinden. B'yi tamamen çıkartmış. Sonra C'yi tamamen çıkartmamış ama.
O yüzden denemekte fayda var. Nasıl deneyelim? Şimdi A'da olmayan elemanlar zaten bakın A'da olmayan elemanlar taranmamış. Ondan bir şey çıkartarak buraya bulamazsınız. A ile demiş şimdi bu ne demekti hatırlarsanız şu ifade ne demekti?
C kesiş. kesişim. B fark C fark B demektir.
C'den B'yi çıkartırsam şurası kalır. Bakın şurası C fark B demektir. Şurası.
Ben bununla A'yı kesiştirirsem şurayı bulmuş olurum. Yani şurası. Yalnız şurası taralı olsa olurdu.
B kesişim C'den A'yı çıkart demiş. Yani buradan A'yı çıkartmakla bu yani şurası gelir. Hiçbir ifade yok. A'nın tamamından B birleşim C'yi. Bu doğru olabilir ama burası taralı.
B Ben tek başıma anlatıyormuşum. Hiç söylemiyorsunuz. Bakın çok zor bir şey değil. A'dan demiş B birleşim C'yi. A'dan B birleşim C'yi çıkartırsam şurası taral olamaz.
Yani şurası da olmasaydı bakın şu dediği yer doğru. Bakın şu ifade ne demek? Orayı göstereyim. Bakın A'nın tamamından B ve C'yi çıkartırsam burası kalır. Bu olmaz.
Ben şıkladığını tam hani göstermek için böyle yaptım ama çok basit zaten. Cevaplılarda A'dan B'yi çıkartırsam burası direkt çıkar. Eminiz... zaten hepiniz yapmışsınızdır bu soruyu. Peki bakalım A ile B'yi birleştirelim.
Eksi 8 18 Eksi 7 Eksi 7 20 Ben bu ikisini birleştirince arkadaşlar yani neredeyim buradan başlayıp burada bitireceğim. Yani eksi 8 ile 20 olacakmış. Gayet basit. Birleştirme işlemi yapıyorum belki. Kesişimi sorsaydı şurasını alacaktım.
Ortak olanlar da burası. Şu kısım. A kesişim B yapacakmış diyelim. Evet devam edeceğiz.
Evet test altından devam edelim gençler. Gelelim. Burada çok Türkçe ifadeleri olduğu için elimden geldiğince yardımcı olmaya çalışacağım. Kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde? En az bir tek sayı bulunur.
Şimdi tekleri bir çiftlere ayıralım. Tek ve çiftler. Teklerin sayısı 3, 5, 7. Çiftler de 4, 6, 8. Şimdi toplam alt küme sayısı kaçtır bunun?
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. 2 üzeri 7. Toplam alt kümeden bütün çift olanları çıkartırsam arkadaşlar ne olacakmış? Yani bu ne yapar? 128 yapar.
1, 8, 10. 120. Bakın oluşturabileceğim tüm alt kümelerden neleri çıkartıyorum? Çift olanları çıkartıyorum. Yani tamamen o zaman geriye kalan elemanların içinde mutlaka bir tane tek sayı bulunmuş oluyor.
Tüm durumdan istenmeyeni çıkartıyorum. Peki. Bunu artık biliyoruz. Her tarafa 2 ekledim.
1 küçük eşittir, x küçük eşittir, 3. Kaç elemanlı bir küme? 1, 2, 3. Yani 2 üzeri 3'ten toplam alt küme sayısı 8. Ama öz alt küme ne demekti hatırlarsanız? Bir tane 1 çıkartacağım. Yani 2 üzeri 3, eksi 1. 7 yapacakmış. 3 elemanlı alt kümelerinin sayısı 20 olan.
Yani direkt enin üçlüsü neye eşitmiş? 20. Enin 4 elemanı. Enin dörtlüsünü istiyor. Bakın bu eni. Yani burayı çok anlayamıyorum.
Anlamadıysanız bundan sonraki videomuz zaten perpilasyon kombinasyon olasılık olacak. Orada bunu uzun uzun değineceğiz. Yani kombinasyon bu ne demektir?
n çarpı n eksi 1 çarpı n eksi 2 bölü 3 2 1. Bakın o da 20. Bakın bu da 5 çarpı 4 demektir. n çarpı n eksi 1 çarpı n eksi 2. 5 çarpı 4 çarpı 3 çarpı 2. Peki ben burada n'e kaç verelim? n'in kaç olduğunu görebiliriz.
Ona bakalım. n'in üçlüsü 20 çıkıyorsa. Burada sayı vermek tabii ki. Çarpmak çok uzun sürücü için ben böyle bir şey yaptım. Ne olsun?
6, 5, 4 oluyor galiba değil mi? Mesela bu ikisini çarparsam. 6, 5, 4. En kaç çıkıyor?
6. Bu sefer de 6'nın dörtlüsü. 6'nın dörtlü kombinasyonu 6'nın ikilisini eşitmiş. O da 6'yı 2 kez açıyorum. 6 çarpı 5 bölü 2 çarpı 1'den kaç geliyor? 15 gelecekmiş.
Evet bunlar zor geliyordur. Çünkü yani kombinasyon bilmek lazım biraz da. 4 elemanın alt kümenlerin kaç tanesinin C'ye bulunur?
Bakın bunlar C'yi kesin seçecekmişim. 3 tane daha eleman seçeceğim. Zaten C'yi seçtiğim için başka eleman seçemem. Geriye 1, 2, 3, 4, 5. 5 elemandan 3 tanesini seçmek istiyorum. Seçme varsa bakın aklınıza şeyden gelsin.
Koy. Kombin etmek hani elbise giyerken kombin ediyorsun yani combination, kombinasyon seçme işlemi vardır. Bu da 5-4-3 bölü 3-2-1 demektir. Buradan da kaç gelir? 10 gelecekmiş.
Evet devam edelim. Evrensel küme 16, A fark B. Şunları bir yazalım. A fark B, A fark B 8. Şimdi bu A birleşim B'de olmayan elemanlar.
Bakın bu ne demekti hatırlarsanız. A birleşim B'de olmayan elemanlar ne demekmiş? 3 demekmiş. Burada dışarıda 3 eleman var. Toplam 16 ise 8, 11 ise buraya kaç kalır?
5 kalır. B'nin alt küme sayısını istemiş. 2 üzeri 5'ten kaç gelecek?
32. Evet devam edelim. Evrensel küme 20. A'da olmayan elemanlar 8. Şunları bir çizelim ilk önce. A, B. Şimdi A fark B7'ymiş.
Başka da bir şey bilmiyoruz. A, B, C diyelim. A'da olmayan B artı C.
Kaçmış? 8. Evrensel küme yani A artı B artı C. Burası 7 ise A artı B artı C kaç yapar?
20. 7'si buradaysa 13 kalır. B artı C 8'di. A kaç çıktı? 5. Bizde diyor ki A'da olmayanla B'yi kesiştir.
A'da olmayanlar hangisi? B ve C. B ile kesiştirirsem B'nin öz alt küme sayısı kaçtır demiş.
Yani Burada nasıl yapacağız? C'yi bilmiyoruz ki. Bir bakayım bir daha. Evrensel küme 20. A'da olmayan elemanların toplamı 8. A'da olmayanlar, burası 12 ise burası 8 gelir. Evet, doğru.
A'da olmayanlar ile... ya da A kesişim B'dir o zaman. A kesişim B 5 olsa 2 üzeri 5 eşittir.
32. Özat küme sayısı 1 çıkartırsam 31. Şu yok arkadaşlar. Şu çizgi yok. Yoksa hatalı oluyor soru. Devam edelim.
A fark B demiş. Yani buraya A buraya B dersem burası 8'miş. Kesişimleri 5'miş.
Toplamı 20'miş. Buraya 7 kaldı. A kesişim B'nin 3 elemanlı.
Yani 5'in 3 elemanlı alt kümesini soruyor. Bu da 5 çarpı 4 çarpı 3. 5'in ikilisine de eşit bu arada bu. 3 2 1. Kaç çıkar?
10 çıkar. Ama niye çıkmadı? A fark B8, A kesişim B5, toplamları 20. Toplamları 20 ise 13, buraya 7 kalır.
Acaba bunların yerlerini mi yanlış yazmış? Yani A kesişim B'nin şeyini istese yani 7'nin üçlüsü desek. 7'nin üçlüsü 7, 6, 5, 3, 2, 1. Evet arkadaşlar 35 şu iki soru arasında. arasındaki yerleri yanlış yani şurası a kesişim B olacak burası ise anın tümleyeni kesişim B olacak yani sorunun soru kısımlarını yerlerini yanlış yazmışlar yoksa 35 çıkmaz direkt yanlış deyip siz edebilirsiniz o da bir yöntem Tabii ki diyor ki a kesişim B'nin üç elemanlar dükküme anında beğenin ortak elemanları şimdi anın elemanlarını yazalım 11 12 nereye kadar gidecek 24'e kadar gidecek anın elemanları beğenin elemanları 2'den başlayıp nereye kadar?
19'a kadar gidecek. Ortak olanlara bakalım. Yani 11 ile değil mi? Ortak olanlar 11 ile nereye kadar gidecek? 19'a kadar olan sayılar.
Ortak olan elemanlar. Çünkü bundan küçük olan 19. 19 bunun da elemanıdır. 11 ile ikisinin arasındaki sayılar. Peki burada kaç tane sayı var?
Son terim, eksi, ilk terim. 8 bir fazlası. Kaç gelecek? 9. Peki. 9'un 3 elemanının alt küme sayısı.
9'un... 3 elemanın alt kümen sayısını istiyor. 3 eleman alt kümenin kaç tanesinde asal sayı bulunmaz. Haa. Bir de bunları çıkartacağız.
Bir dakika. 11, 12 yazmam lazım. 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19. Şimdi asalları bir atalım. Asal, 13 asal, 17 asal, 18 asal. 1, 2, 3, 4 değil mi?
4'ün 1, 2, 3, 4, 5 pardon. 5'in üçlüsü lazım bana. 5'in üçlüsünü de az önce bulmuştuk zaten. Kaç gelecekti? B'ye gelecekti.
Diyor ki, A birleşim B'nin alt küme sayısı 256, 2'nin kaçıncı kuvveti 256 yapar? 8. kuvveti değil mi? En kaçmış? 8. Yani A birleşim B 8 elemanlıymış.
Buradan bunu anlıyoruz. A kesim B'nin alt kümedenin sayısı 2'nin M'ninci kuvveti kaçmış? 32 yani şurası 5'miş.
A fark B'nin alt küme sayısı 2 üzeri A eşittir 2'nin karesinden burası 2 elemanlıymış. Toplamda da 8 elemanlıydı 5'i 7 buraya 1 kaldı. B'nin eleman sayısı kaçtır? B'nin eleman sayısı kaç çıkıyor?
Gördüğünüz gibi çıkıyor. Devam edelim. Bunları vermiş kümesinin alt küme sayısı. Şimdi yazalım bunları. A var, B var, C var.
A, B, C. A kesişim B'nin elemanları A, B, C imiş. B kesişim C'nin elemanları. Bunu yazmaya gerek var mı?
Yok herhalde. Böyle çizmeye gerek yoktu gibi düşünüyorum. Şimdi köşe şu bizden ne istemiş onu bulalım.
A ile C'yi birleştiriyorum. A ile C'yi birleştiriyorum. Bunda olmayan elemanlara bakın.
Bunda olmayan elemanlara neresi? şurası yani. Bunu B'den çıkartıyorum. Eğer ben B'den burayı çıkartırsam şu kesişimleri B ile kesişimleri kalır.
Yani bakın bu ikisinin kesişimi nedir? Bununla bunu kesiştirirsem daha doğrusu şu kısım kalıyor. Onların birleşimi daha doğrusu.
Ben yanlış ifade ettim yine. Bakın A kesişim B birleşim B kesişim C dersem. Bakın şurasıyla şurasının kesişimi lazım bana. Pardon. birleşimi lazım.
Bu da A, B, C başka C'yi bir daha alamam. D ve E'den oluşur. Benim aradığım küme.
Yani şu küme A, B, C, D'ye eğmiş. Özalt küme sayısı yani 2 üzeri 5 eksi 1. 5 elemanlı olduğu için o da kaç demektir? 31. A kesişim B3 Yani burası 3 elemanlıymış. A'da olmayanla B'de olmayanların toplamı 25. Birleşimin dışında, kesişimin dışında kalan eleman sayısı. Bakalım bir şunu evrensel kümeyle çizdik.
Buraya A, B, C diyelim. A'da olmayan elemanlar B artı C. B'de olmayan elemanlar A artı C.
Bunların toplamı 25'miş. Yani B artı A artı 2C eşittir 25. Şimdi A birleşim B. Bu ne demekti hatırlarsanız? A kesişim B'de olmayan elemanlar. Yani ABC'nin toplamı kaçmış?
ABC'nin toplamı 15. Peki bundan bunu çıkartırsak bakın. Yani ben bu ifadeden bu ifadeyi çıkartırsam direkt C kalıyor. C kaç eşitmiş ona?
Eğer C 10'sa A artı B'yi de bulabilirim. A artı B kaç çıkar? B. 3 de burada var. 8. 2 elemanın alt kümesini istediği için 8 çarpı 7 bölü 2'den 28 yapacakmış.
Zor sorular bu arada. A fark B. B fark A ve A'nın alt küme sayıları sırasıyla. Şöyle yapalım. Hep 2'nin kuvveti şeklinde yapalım.
Bu ikinin kübü olduğu için burası 3. Burası 16 olduğuna göre burası 4. A'nın toplam alt küme sayısı 32 ise buraya 5 kalması lazım. 2. Bize diyor ki A birleşim B kümesinin eleman sayısı 36 olduğuna göre. Nasıl? Burada bir sıkıntı var. Olduğuna göre A kesişim B'nin eleman sayısı kaçtır?
Sırayla orantılıdır. Pardon. Çok pardon. Sorun tamamen okumamakla alakalı. Şöyle yapalım o zaman.
Bunları toplarsam 4, 6, 9x 36, x eşittir 4. x eşittir 4 ise kesişim kaç çıkar? 8 çıkmalıymış. Evet orantılıdır demiş arkadaşlar. Ben hiç okumadım. Benim hatam.
A kümesinin 2 elemanlı alt kümelerinin sayısı x, 3 elemanlı alt kümelerinin sayısı y. Yani diyor ki, A kümesi kaç elemandan oluşsun? n'in ikilisi bu x'miş, n'in üçlüsü bu da y'miş. Diyor ki bize bu diğerinin iki katıdır.
Yani y dediğim şey 2x ise ben burayı 2 ile çarpmam lazım. Bu ifadeyi açacak olursam 2 çarpı n çarpı n-1 bölü 2 çarpı 1. Bu da n çarpı n-1 çarpı n-2 bölü 3 çarpı 2 çarpı. çarpı 1. n, n eksi 1, n, n eksi 1. İkiler gitti.
n eksi 2 eşittir 6. n kaçmış? 8. x kaçtır demiş. Yani 8'in ikilisini sormuş.
8'in ikilisini demektir. 8 çarpı 7 bölü 2 çarpı 1'den 28 olmalıymış diyoruz. Peki devam edelim. 2x-5 5 olduğuna göre A üstü kümesinin 3 elemanını alt küme sayısı. Şimdi bu A kümesi ise bakın bunu hatırlayacaksınız.
Mantıktan daha doğrusu. Bu A ise A'da olmayan elemanlar. Bunun da değilini alacağım. 2x-3 küçük eşittir 5 gibi düşüneceğiz.
Geriye kalan kısmı biliyorsunuz. 5-2 bakın küçüktür değil küçük eşittir. Her tarafa 3 ekliyorum. Her taraf 2'ye bölüyorum. 4. Peki kaç eleman var burada?
Eksi 1, 0, 1, 2, 3, 4. Yani 4, 5, 6 eleman var. 6'nın üçlüsünü soruyor bize. 6'nın üçlüsü ne demektir? 6, 5, 4, 3, 2, 1. Yani 20 olmalıymış diyoruz.
Bir kümenin alt küme sayısı ile öz alt küme sayısının çarpımı ne demek o? 2 üzeri n çarpı 2 üzeri n eksi 1. 240'miş. Ardıçlık olacaklar. Hangi iki ardıçlık sayının çarpımı şey yapar? 240 yapar.
15 ile 15. 16 değil mi? 160, 80 daha evet. Yani bu 15 olacakmış.
Bu 16. Eleman sayısı kaç çıkıyor? Onu sormuyor tabii. Her zamanki gibi ben acele ettim. Siz acele etmeyin. Eleman sayısı kaçmış?
2'nin 4. kuvveti olduğu için 4. Bu kümenin 2 elemanı. Yani 4'ün 2 elemanlı alt küme sayısını soruyor. O da 4 çarpı 3 bölü 2 çarpı 1'den 6 yapmalıymış diyoruz. Devam. A'da olmayanların elemanı.
Tabii bunları yine çizelim. Şöyle. A olsun, B olsun, X, Y, Z, K olsun. A'da olmayan Z artı K. 9'muş.
A kesişim B'de olmayan. Bu A kesişim B'de olmayan demek değil mi? Yani bu ifade... A kesişim B'nin tümleyeni nedir?
A'da olmayan birleşim B'de olmayan. A kesişim B'de olmayan XZK. X artı Z artı K 15'miş. Bakın Z artı K kaçtı?
9. kaç kalır? 6. Burası 6'ymış. A fark B'de tam 6'yı soruyor. Yani öz alt küme sayısı.
2 üzeri 6 eksi 1'de kaç yapar? 64, 63 yapmalıymış diyeceğiz. Evet güzel sorular vardı.
Devam edeceğim. Test edelim. Devam edelim. A birleşim B A birleşim C. İlk önce bu ne demekti hatırlarsanız.
A birleşim B kesişim A birleşim C demekti. Yani şunu da şunu kesiştireceğiz. Ortak eleman elemanlara bakacağız yani. D'ler de ortak.
A, C, D. A, C, D. Yani 3 elemanlıymış diyoruz. Devam edelim. Şöyle A, B, C'leri çizelim. Bu A olsun, bu B olsun, bu C olsun. A'dan B'yi çıkartırsam, bakın A'dan B'yi çıkartırsam nereyi bulurum?
Şu elemanları bulurum. Bakın şu iki, şu kısım. A fark B.
Bu da A fark C demektir. A'dan C'yi çıkartırsam da nereyi bulurum? Onu biraz daha şöyle yapayım.
Mantığını anlatacağım merak etmeyin. A'dan C'yi çıkartırsam da burayı bulurum. Şimdi A'dan B'yi çıkarttım. A'dan C'yi çıkarttım.
Ortak olanları buraya yazmam lazım. Bunların ortak olanları hangisi? A ve C.
Bakın A ve C. Peki A'dan B'yi çıkartınca B ve D kalıyorsa demek ki burası B'de. A'dan C'yi çıkartınca E ve F kalıyorsa demek ki burası E ve F.
Bakın A'dan B'yi çıkartırsam A, B, C'de. A'dan C'yi çıkartırsam A, C, E, D, F. Yani sıralamayı bu şekilde yapıyoruz. Şimdi bize ne istiyor?
A'nın içinden diyor B ve C'yi çıkartın. Yani nereye istiyorum yani? Bakın hem B'yi çıkartıyorum hem C'yi çıkartıyorum. Ne kalıyor? A ve C kalmalıymış diyoruz.
Peki bu ifade ne demektir? Yine ben evrensel kümeyi çizmiyorum çünkü hiç öyle bir şey yok. A, B. A'da olmayan, şimdi bu A, B, C olsun. A'da olmayan ne var?
C. Bunu B ile kesitirirseniz. B, C ile kesirsem ne gelecek?
Burası komple C. Birleşim. A kesişim B'de A kesişim B ne olacak?
B. Bakın bu ikisini birleştirirsem ne oluşur? B.
Yani şurası komple B'miş ama bende B'de olmayanı istemiş. Yani ne lazım bana? B'de olmayan dersek B ve C'de olmayan Yani A fark B'yi istiyor. Peki A fark B dediğim şey tabi burada A fark B neye eşit? B'de olmayanları istediği için değil mi?
Ne olmuş oluyor? Ceyhan olmuş oluyor. Ben hep şey aklıma gidiyor.
Evrensel küme burada olmalı için B'de olmayan burada B'de olmayan neye eşit? A fark B'ye eşit. Peki A'nın eleman sayısı. A'dan B'yi çıkartalım.
Yani şu kısmı ve şunu atıyorum. Geriye 1-2 eleman kalıyor. Yani bu çok zor değil değil. Diyor ki A kesişim B, A kesişim B, 1, 2'ler ortak, 3, 4'ler ortak, 3'ler ve 4'ler ortak.
Bakın bu bulduğum şeyin adı bu. Peki A kesişim C'ye bakalım. Şu ikisini kesiştirelim.
Sıfırla değil, 3'ler ortak, bir de 5'ler ortak. Bu ikisini birleştirsem 2, 3, 4, 5 olacakmış. B'de olmayan elemanlar. B'de olmayan elemanlar. 1, 4, 7, 8. Bakın burası 1, 4, 7, 8'den.
A kesişim C neresi? A kesişim 3 ve 4'ü. 3 ve 4'ü çıkartıyor.
Zaten 3 olmalı için çıkartman bir anlam yok ama 4'ü çıkartabilirim. 1, 7, 8 olacakmış. Peki devam edelim.
A boş küme değil. B'de boş küme değil. A birleşim B'nin 25. A fark B zaten 5 demiş.
A'nın eleman sayısıyla B'nin eleman sayısının toplamı 29. Toplamları da 25. O zaman şu niye fazla çıkıyor? Demek ki burası 4'müş. Biz bunu formül olarak da şey yapmamış mıydık?
Yani A birleşim B dediğim şey eleman sayısı N A N B ya da N ya da S'ye fark etmez burada. Eksi N A kesişim B. Yani şurası N de olabilir. S de olabilir dediğim gibi. Peki bunların toplamı kaçmış?
29. Burası kaçmış? 25. Demek ki bu kaçmış? 4. Şimdi A'nın eleman sayısını bulduk.
A'nın eleman sayısı kaçmış? 9. O zaman B'nin tamamı kaç yapacak? 20. Burası 20 ise buraya kaç kalır? 16 kalacakmış diyoruz. Peki devam edelim.
A'nın eleman sayısı, B'nin eleman sayısı. Yani A 18 ise B'nin 17 olduğunu biliyoruz toplamdan 35 yapsın diye. A 18, B'de 17. Peki A fark B ile B fark A'nın yani şurası ile şurasının toplamı kaçmış?
21. Şimdi burayla buranın toplamı 21 ise 35 yapması için buranın kaç olması lazım? 14. A'dan B'yi çıkarttığım zaman, yanlış mı yaptım burayı? A fark B'nin eleman sayısı yani şurası ile B fark A. A'nın eleman sayısının toplamı ne çıktı? 21. Burası 21 ise olmaz.
Burası 21. Ben şuraya AB diyeyim en güzeli. Şurası da C olsun. Şimdi A'nın eleman sayısı A artı C. B'nin eleman sayısı B artı C.
Kaç eşitmiş? 35'e. A artı C kaçmış? 18. B artı C kaçmış?
17. Burada sıkıntı yoktu. Fakat şunun da bir sıkıntı vardı. A fark B dediğim şey.
A B fark A dediğim şey B Bu 21 eşitmiş Bakın A artı B 21 ise Burası 21 ise 2 C var O kaç çıkacak? 35 Buradan da 14 C 7 imiş C 7 ise A'ya kaç kalır? 11 Ben 14'ü getirip az önce buraya yazdım O yüzden hata oluştu Ama hemen gördüm Peki devam edelim gençler. A kesişim B 3'müş.
Artık bunlar bizim için çok da zor olmasa gerek. Kesişimleri 5'miş. B'nin eleman sayısından A'nın eleman sayısı 3'müş. Önce şuraları bir düzenleyelim. Bu şu demek değil mi?
Yani A'ya X... desem A'nın eleman sayısına. Hatta A'nın eleman sayısına 3x diyelim ki B'de 4x çıksın. Ben buraya 3x dersem A'nın eleman sayısına 3x dersem B'nin eleman sayısı kaçmış?
4x. Peki B dediğim şey ne çıkıyor? aynı zamanda. B'nin eleman sayısı 3x artı 3 çıkıyor. 3x artı 3 neye eşit olacak?
4x'e. Yani x eşittir 3. Birleşimini sormuş. A'nın eleman sayısı kaç?
3 yazarsam 9. Buraya 4 kalır. Buraya 3 yazarsam burası 12. Buraya 7 kalır. Hepsini de bulmuş olduk. Böylelikle ne yapar? 9, 16 yapacakmış.
Devam. O, C'de var. Bakalım yapacak bir şey yok.
Çizelim bir. A'da olmayanla B'yi kesitirmek. Bu zaten B fark A demektir arkadaşlar değil mi? Yani zaten bunu biliyoruz.
B fark A. Yani şuraya A, B, C, D, E, F, G diyelim. Şurası B fark A demektir. Yani C, D. Şurası C, D imiş. C, D ile B'yi birleştirirsem yine B olur zaten.
Orada bir şey yok. Yani şurası komple B. B kesişim.
A ile C'yi kesitirirsem F, E. Bunu B ile birleştirirsem ne oluşur? Yine D ve E dedik ama F ve E dedik. F ve E ile. F, E birleşim B. Yani şurası ve F gelmiş olacak.
Bunu kiminle kestireceğim? B ile. Yine B geliyor o zaman. Kendisi ki yani burada. Bakın.
Şurası komple ne çıktı? B çıktı. Burada da B'ye bir tek F ekli çıktı. Burası da. Yani şöyle düşünün.
B B kesişim. B birleşim E. Yani fazla bir F'm var. F diye bir elemanım var. Ama kesişimleri değiştirecek bir şey değil.
F ortak olmadığı için ne yapacağım? B'yi alacağım. A B'nin alt kümesi.
Bakın A buradaymış. B buradaymış. C de buradaymış. A'nın elemanı 3. B'nin elemanı 5 çıkması için 2. C'nin elemanı 9 çıkması için 4. A birleşim B. A birleşim.
Yani 5. Bakın 3 artı 5 demiyorsunuz. Birleşiminden bahsediyor. B birleşim C.
Yani C'den bahsediyor. 4, 6, 9. Toplarsam. Kesişiminden bahsediyor pardon.
B ile C'yi kesiştirirsem yani B demektir. O da 5. Toplarsam kaç yapıyor? 10 yapacakmış.
B'nin eleman sayısı 11. B 11'miş. B'den A'yı çıkartınca 5 ise burası 6'dır. Bu da A birleşim B 15 ise buraya 4 kalır. A'nın eleman sayılarını sormuş. Ne olacak?
10 yapacak gördüğünüz gibi. Toplamları 15. A'nın eleman A'dan B'yi çıkartınca Buraya x diyelim. A'nın tamamı 2x olması için burası x'miş demek ki. B fark A'da B'nin 3 katıymış. B fark A.
Ben B fark A'ya y desem. B 3y yapacak. Bakın B'den A'yı çıkarttığınız zaman buraya y dersem. B'nin tamamı 3y yapacak.
Yani x artı y eşittir 3y. Y x burada 2y çıkacakmış. Bu da 2y bu da 2y imiş. Toplamları 5y eşittir 15. Y eşittir 3y.
3. Kesişimleri 6. Yani çok böyle ayrıntılı iş demiyorum. Çünkü zaten yapmıştık. A boş değil. B de boş değil.
Boş küme değilmiş yani. Peki. A'dan B'ye çıkınca X artı 5'miş. B'nin tamamı 2X'miş.
Birleşimleri de yani 3X artı 5'te 8 eşitmiş. Yani buradan X 1. Bizden A fark B istemiş. Yani X'e 1 verirsem zaten ne çıkar?
6 çıkar. Bu şekilde verirse bazen diyorum ya evrensel küme çizeceğiz bazen çizmeyeceğiz diye. İşte bunu söylemesi lazım. Ben de bazen çizdim bazen çizmedim ama genelde bunu söylersen çizmemiz lazım aslında. A, 2, 3, 5, B'de buymuş.
seçimlerini bakalım bir iki ikiler ortak üçler ortak beşler ortak burada 235 235 burada ne kaldı 4 2 3 5 6 7 8 1 6 7 8 a da olmayan elemanlar. Şimdi burada çizmeye gerek yokmuş. Yani birleşimleri zaten evrensel kümeymiş. Pardon. A'da olmayan elemanlar.
Yani şurası. 1, 6, 7, 8. Bundan B'de olmayan elemanları. B'de olmayan. 4'ü çıkartacağım.
Çıkartmama bir anlamı yok zaten. 4 diye bir eleman yok. 1, 2, 3, 4. Bakın bu 4'den 3'ü çıkartalım. 4'den 1 çıkartalım 3 değil. Onun söylemesi için şöyle yapmamız lazım.
Yani A'da olmayanlar 2. eksi. B'de olmayanlar derse 4 eksi 1 3 yaparsın. Ama bak zaten bunun içinden 4 elemanını çıkart sonra eleman sayısını bul diyor.
4 diye bir eleman yok ki zaten. B, A'nın alt kümesi değildir. Hele şükür. Anlattığım şeyler geliyor.
Burada mutlaka bir eleman bulunmalı diyor. Minimumu sormuş. Minimumuması için burayı ben olabildiğince fazla yapacağım. Buraya bir tane yazmam gerekiyorsa buraya 3 yazayım ki 4 yapsın. Bunun tamamı 8 yapması için.
Burası da 5, 5, 8, 9. Bizden kesişimi istemiş zaten. Ben top tamamını bulmaya çalıştım. Evet, devam edeceğiz gençler. Test 8'den devam edelim arkadaşlar. Doğal sayı demiş.
Doğal sayılar sıfırdan başlayacaktı. Yani 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Karesi bu aralıkta olan sayı tam sayı olacak. 0, 1, 2, 3 ama negatif olanlar da var. Eksi 1, eksi 2, eksi 3 olacakmış. A'nın eleman sayısı 7. B'nin eleman sayısı 7 7 7 değil mi?
7 toplarsam 14 Peki Niye böyle bir şey var? Ona bakalım Hatayı nerede yaptık? Karesi bu aralıkta olan sayılara bir bakalım. Bir zibata var. Ya 1 ile 3 arasında olacak.
Ya da eksi 3 ile x 1 arasında olacak. Burada sıfır yok zaten. Ben uydurmuşum.
Sıfır demeyi ama yok. Toplarsam kaç olur? 13. Evet, bakın bu başka bir şey. Kesişimlerini sorsaydı, kesişimlerini ya da birleşimlerini sorsaydı başka bir şey. Kesişim olsaydı ortak olanlara bakacaktık.
Birleşimlere ne ekleyecektik? Zaten burada olduğu için eksi 3, eksi 2, eksi 1'i buraya ekleyecektik. A'nın elemanlarını yazıyorum.
1, 2, 3, 4. Kesişim. B ve C'yi birleştirip dışında kalan elemanlara bakın. Şimdi B ile C'yi birleştirdim. Dışında kalan elemanlar 1 ve 8. Ortak olanları sormuş. Yani bunların ortak olanları.
1 yapmalıymış diyorum. Devam. Toplamları 25 yapacakmış. Toplayalım. Şurayı toplayayım ilk önce.
6 9 8 artı x. Burası da 7 artı x. Eşittir kaçmış? 25, 15, x eşittir 5. A'yı sormuş. x'e 5 verirsem, şurası 3, şurası 5 verirsem 4. Neyse artık bir yazdım.
5, 9, 10, 13 yapmalıymış. Basit bir soruydu. Evet yine daha önce yaptığımız sorulardan.
x'i 4 küçük eşittir, x küçük eşittir, x eksi 2. Küçük eşittir 4. Her tarafa 2 ekliyorum. Eksi 2 küçük eşitli. X küçük eşit 6. X hangi aralıktaymış? Ama burada doğal sayı bakın.
Daha önce böyle bir tuzağa düşüyorduk neredeyse. Zaten doğal sayıları sorduğu için 0'dan 8'e kadar olan kısmı. Bu 2 ile 6, eksi 2 ile 6 arasında, yani bu 0'dan 6, 0'dan 8, o zaman 0'dan 6'ya kadar olan kısımlar.
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 ortak olanlar toplarsam kaç elemanlı bir küme yapar? 7 elemanlı bir küme yapacakmış. A kesişim B ile A fark B'yi birleştir demiş. A, B, C dedim.
A kesişim B, B. Birleşim A'dan B'yi çıkartırsam A. Bu ikisini birleştirirsem ne oluşur? A oluşur. B'nin eleman sayısı A'nın eleman sayısı demiş.
A, B. Şuraya 7x yazarsak burası kaç x'miş? 2x'miş. Bize A'nın eleman sayısı kaçtır? Y artı 2X.
3 katıymış. Kimin? B'nin.
Yani Y artı 7X'in. Buradan 3Y, 2Y eşittir. X gördüğüm yere 2'ye yazabilirmişim. X gördüğüm yere 2'ye yazıyorsam burası 4'ye yapar. Burası 14'ye yapar.
14, 15 14 15, 19. Bizde minimum B'yi sormuş pardon. O da ne yapacak? 15 yapacakmış.
Ben yine birleşime gittim. Y'ye 1 vermek zorundayım. Peki yine bunları yerleştirelim.
Kesişim şimdi 4, 3 ve 4, 3 ve 10'a bakın. Bunlar nerede birleşir? İşte ortak katları nedir yani?
Herhalde 30 olmaz. Yani çok da önemli değil gerçi de. Önemli değil derken yani... Hemen bulabileceğiniz bir şey.
Mesela 60 olsa. Buranın 60 olması için 15x olması lazım. 60 olması için 20x. 60 olması için 6x.
Bakın bunların toplamları kaç yaptı? 20x. 35-41 yapmak zorundayım.
Yani 41x ama ne yaptım gördüğünüz gibi x'e 1 verdim. Evet devam edelim arkadaşlar. Bu 8'in katı olacakmış.
Bu da 6'nın katı olacakmış. Ama kesişimlerini istiyorsa bizden hem 6'nın hem 8'in katı hem 6'nın hem 8'in katı bakın 2'ye bölüyorum 3-4 3'e bölüyorum 1 2'ye 2'ye bölüyorum 1 yani ortak katlarını aldım 24. Peki ortak olan yerler... mesela bu sayılar 24, 48 bu şekilde gidecek. Ortak olan yerleri 24 burada var ama burada olmadığı için 48'den başlayacağım. 48, 24, 24 artacak.
Peki burada ne yapacağım? 200'ü 24'e böleceğim. O da kaç kere var?
8 kere var. 32, 192. Bakın 8 artıyor. Sonuncusu da 192'ymiş. Yani 24'ün katlarını oluşturacağız.
Ama şuraya dikkat ediyorum ortak olanlar. Peki son terim eksi il terim 192 eksi 48 bölü 24 artı 1. 24 24 artması gerekiyor. Paylaş diyelim 192 eksi 24 bölü 24. Peki bu da ne olacak? 8 7 tane varmış diyeceğiz.
Yani şöyle yaptık. Bir daha açıklayalım. Bunların ortak katını aldım.
24. 24. Bu 20, 21 diye gidiyor. Bu 26 diye gidiyor. 24 bakın bunun elemanı ama bunun elemanı değil.
O yüzden ne yapıyorum? 48'den başladım. Son terimi nasıl buldum?
Ortak olan son eleman 200'den küçük olan elemanlar. 200'ü 24'e böldüm. 8 arttı.
200'den 8'i çıkarttım. 192. Sonrasını biliyorsunuz. Son terim eksi. İlk terim bölü. Artış miktarı artı 1 olacakmış.
Peki devam edelim. A birleşim B evrensel kübeymiş. Yani şurası A burası B ise bu kümelerin tamamıymış.
Bu ne demekti? A fark B demekti. Yani burası 12. Bu ise A kesişim B'nin dışında kalan elemanlar.
kesişim B'nin dışında kalan elemanlar demekmiş. Yani bunun dışında kalan elemanların yani şuraların toplamı kaçmış? 23. O yüzden buraya kaç kalır? 11 kalır.
A'da olmayan elemanlar, bakın A'da olmayan elemanlar kaç olacakmış? 11 olacakmış. Yine A birleşim B evrensel kümeymiş.
Buraya ABC diyelim. Bakın şu ifade. A kesişim B'de olmayan elemanlar.
Yani ABC. Birleşim. A fark B'de olmayan elemanlar.
A'dan. Bakın A'dan. Neyi çıkartacağım?
B'de olmayanlar. Yani A'yı çıkartırsam ne kalır yalnızca? B kalır.
Peki bu ne yaptı? Bunları birleştirirsem A, B, C oldu. A, B, C benim neydi?
Evrensel kümeydi. 3'ün katı olacak. Pozitif doğal sayı olacak. Peki 3'ün katı olup 3 ile başlayacak. Sonra 6 diye gidecek.
99. 3 daha kaç yapar? 102. Peki burada 3'ün katı olan sayılar var. Burada da 5'in katı olan sayılar var. kat olan sayılara bakacağız.
İlk önce şurayı bulalım. 102-3 bölü 3 son terim eksi ilk terim bölü artış miktarı artı 1. 99, 33, 34 tane eleman varmış. Yani A'nın eleman sayısı 34'müş.
A'nın eleman sayısı 34. Peki B'nin eleman sayısına bakalım. B 5'in katı olacakmış. Yine pozitif doğal sayı olacak. 25'i alamıyorum.
5'in katı ama 25'i alamıyorum. Nereden başlayacağım? 30. 35, 40 diye gidecek. 120. Sonuncusu da 120. Onu nasıl anladık? İşte 125'e bölünür.
Son terim eksi ilk terim. 120. Onu şurada hesaplayayım. 120 eksi 30 bölü 5 artı 1. 120'den 30'u çıkarttım.
95'e bölünür. Böldüm 18, 19. Yani bu da B'nin eleman sayısı da kaçmış? 19'muş.
Şimdi hem A'nın hem B'nin elemanlarına bakalım. Yani 3 ve 5'in katı nedir? 3 ve 5'in katı nedir? 15. Peki 15 bunun elemanı değil gördüğünüz gibi. Yani 15, 30 diye gidecek ama 15 bunun elemanı fakat bunun elemanı değil.
O yüzden nereden başlayacağım? 30, 45 diye gidecek. Son elemana bakalım isterseniz.
103'den küçük olan 15'e bölünebilen sayı o da nedir? 90. Peki son terim eksi ilk terim. Son terim eksi ilk terim.
Artış miktarı artı 1. 90'dan 30 çıktı. 60, 15'e böldüm. 4, bir fazlası da 5. Yani kesişimleri de, onu da şuraya yazayım. A kesişim B'yi de kaç bulduk?
90, 60, 4, 5 bulduk. Bakın. Peki bize A birleşim B'yi istiyor. A birleşim B neydi? A'yı toplayacağım.
B'yi toplayacağım. Kesişimleri çıkartacaktım. Peki 34'ü 19'u toplayalım. 34, 44, 53, eksi 5. O da neymiş?
48'miş. Gördüğünüz gibi zor bir soruydu. Peki. A'nın eleman sayısı da 2x dersem B'nin eleman sayısı 3x olacakmış.
Peki ve A birleşim B ile kesimlerin toplamı da 50 olacakmış. Bize B'yi sormuş. Bakın şöyle yapalım.
Eğer ben buraya y dersem kesişimlerinde a'nın tamamı 2x'ti. Buraya ne kalır? 2x eksi y.
Buranın tamamı 3x olduğu için 3x eksi y. a birleşim b yani 5x eksi y. tamamı 5x eksiye.
Kesişimleri artıye. Kaç eşitmiş? 50'ye. Buradan x eşittir 10. B'nin tamamı kaç eksi? 3 eksi.
3 ile 10'u çarparsan kaç yapar? 30 yapmalıymış diyoruz. Peki. A'dan B'yi çıkartıyor. Yine sayı doğrusu üzerine gösteriyorduk bu soruları.
Eksi 3 ile 4. 2 ile, şu 2'yi şurada yapalım. 2 ile 2 dahil. 6 dahil değil. Peki, burası A kümesi.
Burası B kümesi. Bakın, A'nın içinden B'yi çıkartırsam, A'nın içindeki B'leri çıkartırsam, burası dahil ya, çıkarttığım için ne olacak? Boşluk olacak. Eksi 3'e 2. Eksi 3'e 2 dahil değil ama onu da söyleyelim.
A birleşimde evrensel küme. Peki 120'nin %60'ını alacakmışım. A'yı nasıl bulacakmışım? 120'nin 60 bölü 100. elemanını alıyorum. 72. Burası 72'ymiş.
B'yi nasıl buluyorum? 120 çarpı 90 bölü 100'den 180. 108 ile 72'yi toplarsak bakın kaç yapıyor? 180 yapıyor.
Peki biz bunu nasıl bulacaktık? Bakın bununla bunun toplamından kesişimi yani şuraya x dersem x'i çıkartırsam bana neyi vermek zorundaydı? 120'ye vermek zorunda.
Çünkü A birleşim B neydi? A'nın eleman sayısı B'nin eleman sayısı A kesişim B'ydi. Burası neye eşitmiş?
120'ye. Biz A'yı bulduk. Kaç bulduk?
72. B'yi bulduk. 108. Eksi X 120 dedik. Peki buradan kaç çıkacakmış yani?
60 çıkıyormuş. Devam edelim. Evrensel küme buymuş. Birleşimleri %80.
Bakın şöyle AB. Birleşimleri %80 ise demek ki dışarıda eleman var. Şimdi 20'nin %80'ini alalım.
Bunlar giderse 16. Bakın 16. Burası 16 ise dışarıda 4 kalıyor. A %65'miş. 65 bölü 100 çarpı 20. Evrensel kümenin %65'i. 5'e böldüm bunu.
A'nın tamamı 13'miş. B'yi bulalım şimdi. 20 çarpı 40 bölü 100. Burası 8'miş.
Bakın bunun tamamı 8'miş. Peki burası 4'se, bakın 20 ya, burası 4'se şunların toplamı kaç yapmalı? 16 yapmalı. Peki 21, şey 13. Burası 13'se...
buraya kaç kalır 16 yapması için? 3. Peki bunun toplamı 8 yapması için 5, burası da kaçmış? 8'miş, 13 olması için.
Gerçi zaten soruyu bulduk. B farkı A istiyor ama ben hepsini bulayım. Sonra siz değerlendirin.
A ile B'yi kesiştirecekmişiz. Yine bir sayı doğrusu sorusu. A eksi 2 ile 5. Burası A. B neymiş? 1 ile 7. 1 burada bir yerde.
7 de burada bir yerde. Peki bunları kesiştirirsem ortak elemanlar ne yapar? 1 ile 5. Bakın şurası neymiş?
1 ile 5 yapmalıymış. Bundan diyor C'yi çıkart. Şimdi C'yi biliyoruz 2 ile 3. Bir tane daha sayı doğrusu çizelim.
1 ile 5'ten 2 ile 3'ü çıkartacağım. 2 ile 3'ü çıkartırsam ne olur? 1 kapalı 2 açık çünkü dahildi. Açık. Birleşim.
3 açık. 5 kapalı yapacakmış. Gördüğünüz gibi Edirne. ne şıkkı?
Demiş. Devam edeceğiz. Test 9'dan devam edelim gençler. A boş kümeden farklı.
B boş kümeden farklı. A B'nin alt kümesi. Bakın A B'nin alt kümesi imiş. Buraya A elemanı diyelim. Buraya da B elemanı diyelim.
A'nın eleman sayısı A. B'nin eleman sayısı A artı B. 6 tane B'den A'yı çıkartırsam B'den A'yı çıkartırsam ne kalır? B kalır. Eksi 1. Bunları karşıya atarsam 2A eşittir.
5B. Eksi 1'miş. Yani A'nın minimum değeri.
A'nın minimum olması için B'ye illaki bir eleman vermem gerekiyor. Çünkü 0 verirsem negatif olur. 1 verirsek.
Burası 4. A kaç çıkıyor? 2. A minimum. 2 olurmuş diyoruz. A'nın elemanı 9, B'nin elemanı...
Birleşimlerinin maksimum olması için şöyle yapalım. 9 ve 6, yani kesimleri boş küme. Minimum olması için de, bundan daha önce yapmıştık. 6 ya 3, bakın.
A ve B yine değişmedi. Minimum da 9 yapacak. Toplarsan kaç yapar?
24. Devam edelim. x eksi 1 küçüktür 3 küçüktür eksi 3. Her tarafa bir eklersem eksi 2 küçüktür x küçüktür 4. Yani eksi 1, 0, 1, 2, 3. Bakın kaç elemanlı bir küme yaptı? 5 elemanlı bir küme. 4'e bakalım.
A ile B'yi kesiştirmem gerekiyormuş. 1 ile, şimdi bunun elemanları zaten belli. 2, 3, nereye kadar gidecek?
9'a kadar. Ortak olanları alalım. Yani 1'ler ortak değil, 3'ler ortak, 5'ler ortak, 7'ler ortak, 9'lar ortak. Yani 1, 2, 3, 4. Yani şurada gelecek olan elemanlar belli zaten. Evet, devam edelim.
A kesişim B5'miş. A fark B. Yani şurasıyla şurasının toplamı da 64'müş.
Toplarsam kaç yapar? 69. Birleşim istemiş. A9, B20.
Yani bu yine minimum maksimum mu sormamış galiba. A9, B20 ise bunu nasıl düşüreceğiz? A birleşim B ile A kesişim B.
Şimdi ben buraya A, B, C diyeyim. A birleşim B, A artı B artı C. A kesişim B ile B.
Şimdi A artı B'yi biliyoruz. 9. B artı C'yi de biliyoruz. 20. Toplarsam bakın 29. Zor gözlündeki oldu ama basitmiş. Kesimleri boş kümeden farklıymış.
Burada illaki bir eleman varmış yani. A'dan B'yi çıkarttım 4. B'den A'yı çıkarttım 5. Buraya da bir tane eleman yazacaksam minimum ne yapar? 5, 9, 10 yapacakmış diyoruz. A birleşim B'ye eşitmiş. Bu A kesişim B'de olmayan elemanlar.
Yani şurayla şuraya bakın. A kesişim B'de olmayan elemanlar 16'ymış. Birleşimleri de 18 ise, tamamı da 18 ise buraya 2 kalır. A'nın eleman sayısı B'nin eleman sayısının kaç katıymış? B'nin eleman sayısının 3 katıymış.
Yani ben buraya X dersem, burası A dediğim şey 3 çarpı X artı 2'den ne yapar? 3X artı 6. Bakın A'nın elemanları 3X artı 6 ise buraya 3X artı 4 kalır. Peki bununla bunu toplarsam 4x artı 4 eşittir 16, 12, x kaç çıkacak?
3. B'den a'yı çıkartırsam x'den bahsediyor. Neymiş? 3'müş.
A, B'nin alt kümesi değilmiş. Ne demek bu? Burada illaki bir eleman varmış. A kesişim B4.
Birleşimleri de 12 ise. Maksimum, yani şuranın maksimum olması için buraya bir tane eleman da olsa yazayım. Burası 5. Buraya kaç kaldı? 7. Bakın B'nin içinden A'yı çıkartırsanız ne kalır? 7 kalacakmış.
Devam edelim. Bakın ne yapmış? B'nin içinden A ve C'nin birleşiminden B'yi çıkartmış. Gayet basit bakın. A ve C'nin birleşiminden B'yi çıkartmış.
Burada ise A, B'nin alt kümesi. Bakın A, B, B de C'nin alt kümesi. Yani dizilim bu şekilde olacak. Şimdi mesela ben buraya X desem, şuralara hiç eleman vermesem maksimum olmuş olur.
Yani A'da X. B'de X, C'de X olur. 24 X kaç olur? 8. Yalnız benim burada şeyim, hani bence şunların şöyle olması gerekiyor.
Ya da şeyi, hani öteki türlü mesela ben buraya bunlar olmazsa buraya bir eleman koymak zorundayım. zorunluluğu var diye düşünmem gerekir. Yani burası 2. Yani A x olur. B x artı 1 olur.
C de x artı 2 olur. Bu 24 eşit olur. Buradan 3 x eşittir 21. x 7 yani maksimum. 7. Gerçekçiliklerde yok ama doğrusu bence şuraların altı da çizili olmalıydı. Peki.
Evrensel küme 16'ymış. Bu B fark A demektir zaten. Biliyoruz. Bu A, bu B.
Bakın B fark A kaçmış? 6. A kesim B kaçmış? 3. A fark B kaçmış?
5. Bakın 6, 9, 14, 16 yapmadı. Demek ki diyorum evrensel küme bu şekilde olmalıymış. Peki.
Peki bu ifade B fark A demek. Birleşimini sormuş pardon. A'da olmayan elemanların toplamı nedir? 8. B'de olmayan elemanların toplamı.
Daha doğrusu A'da olmayan elemanlar şuralar. B ile bunu birleştirirsen. yani şurasını da eklersem ne olmuş olur?
Şu elemanların toplamı olmuş olur. Kaç yani? 11. Bir kez daha söyleyeyim son kısmı. A'da olmayan elemanlar 6 ve 2. Bir de B ile birleştirirsem aynı elemanı iki defa seçemeyeceğimden dolayı bunların toplamını almam gerekiyor.
Peki devam edelim. A'yı B'yi çizdik. Kesişimleri 5'miş. B fark A'ya X dersek A fark B 2X olacakmış.
Bunların toplamı da 26 yani 3X artı 5 eşittir 26. Buradan 21X7 çıkacak. A'nın elemanları sormuş. 14, 5 de burada var.
Kaçmış yani? 19. Peki devam edelim. Evrensel küme 32. A'yı ve B'yi çizelim bir.
A'yı ve B'yi. Biz biliyoruz ki bu A kesişim B'de olmayan elemanlar. Bakın A kesişim B'de olmayan elemanlar.
Çok çıktı bu. A kesişim B'de olmayan elemanlar. Şimdi A kesim B'de olmayan elemanlar 30 ise, yani burun dışında kalan elemanlar 30, toplam evrensel kümem 32 ise burası kaç yapacak? 2. B'nin tamamı kaçmış? 12 olduğu için burası 10. A'da olmayan elemanlar?
A'da olmayan elemanlar bunların toplamları kaçmış? 16 yani burası 6. Toplam 32 idi. 16, 18. Buraya kaç kalacak? 32, 18'i çıkartırsam ne olacak? 14. A birleşim B'yi sormuş.
14, 24. Ne yapacak? 26 yapacakmış diyoruz. Yerleştirdik yani bize verilenleri bir şey yapmadık.
Şimdi şu a kesişim b x eksi 2. Bakın bunu yazdıktan sonra bunu yazıyorum. Buradan bunu çıkartırsam şurayı bulacağım. Yani bu a bu b olsun yine.
Yani burası bundan bunu çıkartırsam 2x artı 6. 2x artı 6 imiş. Bundan bunu çıkartırsam 5x artı 1. Peki kesişimin 4 katı. Bakın 4 tane x eksi 2. a eşitmiş.
Yani 3x artı 4 eşitmiş. 4x yani x buradan kaç çıkar? 12. Birleşimi istemiş.
5, 6, 8x artı 5. Ben buraya 12 yazarsam ne yapar? 96, 101 yapmalıymış diyoruz. Devam. A birleşim, B birleşim, C evrensel kümeymiş.
Yani A, B ve C. Şu an burası evrensel kümeymiş. A, B ve C.
A kesişim B boş kümeden farklıymış. Burada mutlaka bir eleman varmış. Burada da mutlaka bir eleman varmış.
A'nın elemanı 8, B'nin elemanı 11, C'nin elemanı da 13'müş. B'den C'yi çıkartırsam ve C'den de B'yi çıkartırsam şimdi bakın. Buraya şöyle A, B, C yazalım. A, B, C, D, E F, G yazalım, ona göre konuşalım. A'nın elemanları toplam.
Yani şurası 8'miş. B'nin elemanları toplam. Burası 11'miş. C'nin elemanları toplam. Burası da 13'miş.
B'den C'yi çıkartırsam, B'den C'yi çıkartırsam ne kalır? E artı B. C'den B'yi çıkartırsam, C'den B'yi çıkartırsam, D artı C. Kaç eşitmiş bu?
12. Peki B'nin tamamı kaçtı? Şimdi A'yı, bakın şöyle, A'yı, şimdi A'yı, B'yi, C'yi toplasak, ama ikişer ikişer kesişimlerini bilmiyorum. Nasıl yapalım?
Buradan B eksi C bu. Boş kümeden farklı. Boş küme yapıyorum ben.
Tamam. Yani şöyle A kesişim B ben hep boş kümeden farklıya alıştığım için A kesişim B burası boş kümeymiş. A kesişim C A ile C'nin kömesi boş kümeymiş.
O zaman soru çok kolay oluyor o zaman. Pardon benim hatam. Ben yanlış.
Şurası hep eşit değilmiş gibi düşündüm. A kaçmış o zaman? 8. B kaçmış. Yani şunların toplamı 11. Yani A 8, B artı F bunların toplamı 11, C'de C artı F'de kaçmış? 13. B'den C'yi çıkartalım.
B'den C'yi çıkartırsam B artı C'den B'yi çıkartalım. Yani C kaç eşitmiş? 12. Peki ben bunları alt alt toplarsam B artı C'nin kaç olduğunu biliyorum. 12 artı 2F.
24'e. F buradan kaç çıkar? 6. Bakın F kaçmış?
6. Peki A'yı bulduk zaten. A'yı bulduk derken A'yı biliyoruz. 8. B'yi de bulabilirim artık. F'yi 6 bulduğuma göre B kaç çıktı?
Bakın 5. C kaç çıktı? C. F'yi 6 bulduğuma göre C kaç çıktı?
7. Şimdi A'yı biliyoruz, B'yi biliyoruz, C'yi biliyoruz. F'yi 6'yı da eklersem tam olacak. 13, 20, 26 yapacakmış. Yani şu başlangıçtaki şeyi ben eşit değildire alıştığım için hep sanki orada eleman olacakmış gibi düşündük ama eşittir boş küme dediği için mesela şuradaki elemanları almıyoruz. Test 10'dan devam edelim.
A 1-2-3. A fark B 1-2'ymiş. İlk önce oraya yazalım. 1 ve 2 elemanı varmış. Öyle söyleyelim.
1-2-3 ise burası 3'tür. A birleşim B. 1-2-3, 4-5. Burası 3 ise burada 4 ve 5 var. Bakın B'yi sormuş.
3, 4 ve 5. Yani Ceyhan olmalıymış. Peki bir sayının karesi 4'ten küçükse x artı 3 hangi aralıktadır? 4 ile eksi 4 arasındadır.
Her taraftan 3 çıkartıyorum. Eksi 7, 1 arasındadır. Bir de bunu düzenleyelim. x eksi 1 küçük eşittir 5, küçük eşittir eksi 5. Her tarafa bir ekliyorum. Eksi 4, küçük eşittir.
X küçük eşittir 6. B'den A'yı çıkartalım diyor. Şimdi bunun elemanları nedir? Eksi 7, eksi 6 0 ve 1. 1. Bunun elemanları nedir? Eksi 4, eksi 3, 0, 1, 6. Peki B'nin içinden A'yı çıkartırsam, şu negatif olanları, yani şu kısım komple gidiyor bakın.
Ne kalıyor geriye? 2, 3, 4, 5 ve 6. Yani 5 elemanlı bir küme kalıyormuş. Bakın bunu hep söylüyorum. Bu uyarıyı vermesi gerekiyor diye bazı yerde. Burada vermiş.
AB'nin alt kümesi değil. B'de A'nın alt kümesi değil. Yani buralarda mutlaka eleman var.
Birleşimleri 15. A'nın tamamı 8 ise maksimum B. M. Buraya bir tane yazsam. Çünkü maksimum burayı yapmaya çalışıyorum. Burası 7 oluyor. Tamamı 15 olduğuna göre 8. Burası da 7. Bakın kaç yaptı?
14 yaptı. Peki 4, 3 ve 2 nerede birleşir? 12'de birleşir.
Buraya 6x diyorum. Bakın 12x yapsın diye. Buraya 4x yapıyorum.
Buraya da 3x yapıyorum. A'yı B'yi çizelim. Kesişimleri 4x. A'dan B çıkarsa 6x.
B'den A çıkarsa 3x. Minimum demiş. Toplarsam bunları 13x. Minimum olması için x'e kaç vermeliyim? 1 vermeliyim.
Devam edelim. Evrensel küme. Şimdi bu ne demekti? A fark B.
Zaten bunu artık defalarca yaptık. Bu da B farkı A. Kesişimleri 4. Şimdi bakın evrensel küme tamamı kaçmış? 25. Evrensel kümenin tamamı 25 ise 6, 10, 15. Buraya kaç kalır? 10. Bu ne demek?
Kesişimin dışında kalan eleman. Yani onu artık çok uzun zamandır yaptık. Yok.
A birleşimin, B'nin, pardon, dışında kalan eleman demek. Peki bunun dışında kalan eleman hangisi? Kaç var? 10 var. A fark B 5'miş.
A kesişim B'nin dışında kalan elemanlar 4'miş. O nasıl olacak? Pardon, A birleşim B'nin dışında kalan elemanlar 4'miş.
Evrensel küme 17 ise, bakın şununla şunun toplamı kaç yapar? 9 demek ki buraya kaç kalıyor? 8 kalıyormuş.
Bizi de onu soruyor. Evet, A 2 ile 4 arasında. B'de eksi 4 ile 3 arasında, yani şurası B, şurası da A.
Burası da A'nın dışında kalıyor. Bu ne demekti? B fark A demektir.
B'nin içinden A'yı çıkartırsam geriye ne kalır? Bakın şu kısım kalır ama şurası boş olacak. Çünkü çıkartıyorum ya o elemanı. Burası boş. Eksi 4, 2. Burası kapalı.
Burası açık aralık olacak. Eksi 4'e 2 olacakmış. Kümeleri çiziyorum hemen. Kesişimleri 3'müş.
Ben buraya X diyeyim. Bakın burası ne yapar? X artı 3. 2 ile çarparsam B dediğim şey ne çıkar? 2X artı 6. Demek ki burası 2X artı 3'müş. Şimdi toplamları 3x artı 6 eşittir 42. 3x eşittir 36. x kaç çıktı?
12. B'den A'yı çıkart diyor. Yani şurayı istemiş. 24, 27. Şimdi benim bu soruda normalde itirazım var.
Nereden biliyoruz biz bu dışarıda eleman olmadığını? O yüzden şunu söylemek zorunda. A birleşim B.
Alt kümedir. Evrensel kümesi demek zorunda. Ya da pardon bunu değil.
Daha doğrusu A birleşim B. evrensel küme olduğunu söylemek zorunda. Yoksa böyle benim düşündüğüm şu tarzda yani A birleşim B evrensel kümenin alt kümesi olursa şurada eleman olma durumu ortaya çıkar. Onu çok net bir şekilde vermemiş. Ama artık biz de alıştık ne demek istediğini.
Peki burada ne demiş? A fark B'yi söylemiş yine. Artık defalarca aynı şeyi yapıyoruz.
Burası 5'miş. B'den A'yı çıkartırsam burası 5'miş. A birleşim B 12 ise buraya kaç kalır? 2. Kesişimi sormuş.
12 yapması için 2 gerekli. B A'nın alt kümesiymiş. Bakın bu B ise bu A olmalıymış.
A'dan B'yi çıkartırsam ne olur? 3'e 4'ü buraya yazacağım. A'nın tamamı 1, 2, 3, 4 ise buraya 1, 2 kalır. B'yi sormuş zaten. 1, 2. Peki yine daha önce çok yaptığımız soru.
Bunlar nerede birleşir? 12x de burası 4x, burası 3x, burası da 2x. Bakın A'yı B'yi çizeyim. A fark B 4x, B fark A 2x. A kesişim B'de 3x.
Toplamları 4, 7, 9x. Küçüktür 87. Buraya öyle bir sayı yazayım ki olabildiğince büyük olsun. 10 yazsam olmaz. Mecburen ne yazacağım?
9 yazacağım. 9 kere 9. 81. Toplamları da maksimum ne yaparmış? 81 yapacakmış. Bakın A birleşim B. Az önce kastettiğim şey buydu yani.
Bunu söylemek zorunda diye. Buraya A, B, C diyorum. Şimdi bu ifade ne demektir?
Bakın. A'nın tümleyenin tümleyeni A yapar. Birleşimin tümleyeni kesişim yapar. B'nin tümleyenin tümleyeni B yapar.
Yani burası A kesişim B. Yani B'ymiş. A'dan B'yi çıkartırsam, A'dan B'yi çıkartırsam ne kalır?
A. Bu ikisini birleştirirsem A, B. Yani A olmalıymış diyeceğiz. Devam edelim. Artık bundan da biliyoruz.
Bunda bunun toplamı evrensel küme. Bunda bunun toplamı evrensel küme. 48. Buradan kaç gelecek?
24. Hemen geçtim. A, B'nin alt kümesi değil. B'de A'nın alt kümesi değil.
Bu ne demekti? Buralarda mutlaka eleman bulunması gerekiyor demek. Peki kesimleri de boş küme değilmiş.
Buraya da mutlaka bir eleman yazmam gerekiyormuş. Bize minimum B'yi sormuş. Minimum B olması için ben burayı olabildiğince azaltmam lazım. Peki ben buraya 1 yazsam.
Kesimleri A'nın tamamı 10. 11 ise değil mi? A'nın tamamı 11 ise hatta şuraya 1 yazalım buraya kaç kalır? 10 burası 10, 11 topladığımda 23 gelmesi için buranın 12 olması lazım ama biz de minimum B istemiş daha nasıl minimumlaştırabiliriz?
Yani kesişimleri boş kümeden farklı. A birleşim B 23. A'nın tamamı bir kere zaten 11 ise buraya 12 kalır. Buraya olabildiğince küçük sayı vereyim ki değil mi?
B'ye küçülmüş olsun. Tam tersi. Yani buraya 10, buraya 1 vereyim.
Tamam şimdi olur. B'yi minimum yaptık. Öteki türlü maksimum çıkıyordu.
B'den A çıkınca 5'miş. A'nın tamamı 13'miş. Toplarsam kaç yapar?
18. Bunlar bizim için çok kolay. Burası boş kümeden farklı. Buraya illaki bir eleman yazacağım. Şöyle yapalım. B'den A çıkınca, buraya X dersem.
A'dan B. Burası kaç çıkarmış? 6X. Şuraya da Y diyelim.
Şunu sağlattıralım. Yani 6x artı y. Bunu 3 ile çarpacakmışım.
3y artı 3x. Bu ne demektir? 2y 3x.
2y eşittir 3x. Bu şu demek. Yani sen buraya illa ki mecburen 2 sayısını vereceksin. En az buraya da 3 sayısını vereceksin. sayısını yani x'e 2 y'ye 3 verirsem b minimum kaç yapar?
5 yapmalıymış diyoruz. Devam edeceğiz. Birinci testten devam edelim.
Bakın ne yapmış? C'nin içerisinden a kesişim b'yi çıkartmış. C'nin içerisinden a kesişim b'yi çıkartmış.
Yani çok dediğim gibi bariz belli. C'nin içerisinde beyaz olan bölge a kesişim b. A kesim B boş kümeymiş.
Boş kümeden farklıymış, pardon. Minimum A birleşim B istemiş. Peki ben buranın dördünü de buraya yazsam. Minimum A birleşim B için. Minimum A birleşim B için kesişim nedir?
Ben tabii sorunun yalnızca şu kısmına baktığım için. Yani burayı olabildiğince ne yapalım ona bakalım şimdi. A8.
Ben buraya 1 yazsam. A kaç olur? 7. B kaç olur? 3. Minimum bu ne oldu şu anda?
A birleşim. A1'leşim B ne yaptı bakın? 7, 10, 11. Bir tane daha çizeyim. 4'ünü de buraya yazalım. Buraya hiç yazmasak olur.
Çünkü orayla ilgili bir şey söylememiş bize. Burası da 3. Bakın A1'leşim B kaç çıktı buradan? Buraya 0 hiçbir şey yazmadığım için daha doğrusu. Burası 7. O zaman kesişim ne çıkacakmış? En fazla 4 çıkacakmış.
A, B. Kesişimlerini yazıyorum önce. 4. Ben buraya X dersem, bakın şurası ne yaptı? 2 çarpı X artı 4. Yani 2X artı 8. Peki A neymiş?
2X artı 8'miş. O zaman buraya da 2X artı 4 kalır. Birleşimleri 2X 3X artı 8 eşittir 11. X eşittir kaç çıktı?
1. A'dan B'yi çıkartırsam ne çıkar? 6 çıkar. Bu ifade demiş ki, A'nın elemanlarıyla B'nin elemanları. Şimdi bu buna tam bölünür zaten.
Bu da ne olacak? 3 bölü 1. Şey 3 bölü x. x'e ne verebilirim? 1, 3, eksi 1, eksi 3 değerlerini verebilirim. Aynı mantık burası için de geçer.
bunu buna böldük. 3 artı 3 bölüye bakın y'ye hangi değerleri verebiliyorum? 1, 3, eksi 1, eksi 3. Bizden ne istiyor? A birleşimi B'nin elemanı.
Elemanları nedir demiş. Şimdi burada x'lerden bahsettiği için x hangi değerleri alıyor? 1, 3, eksi 1, eksi 3. Y'de 1, 3, eksi 1, eksi 3 aldığı için aynı elemanlar.
Birleşimi ne yapar? 4 yapar. 8 yapmaz.
Devam edelim. A birleşim B istemiş yine. Bakın 4'ün katı.
A için şunları söyleyebiliriz. 4, 8 diye gidecek. 504'e bölündüğü için 500'üncü değeri alacağım. Bunu nasıl buluyordum?
Son terim eksi ilk terim. Artış miktarı 4. Artı 1'den kaç çıkar? 500 bölü 4. 250. 125. Bakın A'nın eleman sayısı buymuş.
B'ye bakalım şimdi. 6'nın katı olacakmış. 6, 12. 600. Bunu da direkt 100 olarak söylüyorum artık uzatmıyorum. Çünkü 6 parantezine alınca birden 100'e kadar oluyor. Peki bir de ortak olanlara bakalım.
A kesişim B'ye bulalım. A kesişim B hem 4'ün hem 6'nın katları nedir? 12. Demek ki 12'den başlayacağım.
Ama 500'e kadar. 500'e kadar. Çünkü ortak olan elemanları alacağım ya. 500'ü 12'ye bölebilirsiniz.
Kaç kilo? 20 de bir kere var. O da ne yapıyor? 12 çıkartırsam 8. Yani 492. 492. Son terimim de bu. Peki şimdi buraya bulalım.
Son terimim. Burada yapmamızın sebebi ne? Çünkü şeyi bulacağız.
Yani A birleşim B ne demek? A artı B eksi A kesişim B'yi bulduk. Yani şurayı bulalım. Bundan bunu çıkartırsam 480. Böyle 12 artı 1'den 41. Yani A ile B'yi toplayacağım. 125, 225, eksi 41, ne yapar?
4, 184 yapmalıymış diyoruz. A'nın içinden ortak olanları çıkaralım. İlk önce A'nın elemanlarını bir bulalım.
1'den 50'ye kadar. Şimdi A'nın içinden A'nın içinden B'yi çıkartmak demek ki kesişimlerini çıkartmak demektir. İkisi de aynı küme zaten bunların. A'dan B'ye çıkarsa ne olur?
Zıfır. Ben hiç dikkat etmedim ona. X derken A daha doğrusu.
A hangi elemanlardan oluşuyor? 1, 2, 3, 10 değerlerini alıyor. B'ye bakalım.
Pozitif dediği için 2, 4, 6, 8, 10. A kesişim B demiş. 2, 4, 6, 8, 10. Yani ortak olan elemanları. B'nin kendisi zaten.
1, 2, 3, 4, 5 tane ortak olan elemanları var. İkisi de pozitif. Peki bunu polinom bilen arkadaşlardan şöyle yapabilir, polinom bölmesiyle yapabilir.
Ben başka bir tarz deneyeceğim burada. Bunun 3 katını alıyorum. Buna kaç eklersem 7 yapar?
10 bölü x eksi 1. Bölersem bunu da, bunu buna böldüğüm zaman 3 artı 10 bölü x eksi 1. Yani aslında şöyle de yapabilirdik. 3 x artı 7'yi, hadi göstereyim onunla. Bunu 3 ile çarparsam 3 x eksi 3. Bakın ne oluyor? 10. Yani bu ifade bununla bunun çarpımı artı olmuş. Sonrasında burası bölü burası.
10 bölü 10-1 yaptım. Bunu yapmamızın sebebi şu. Onun kaç tane böleni var?
1 böler, 2 böler, 5 böler, 10 böler, eksi 1, eksi 2, eksi 5, eksi 10. Tabii ki bunu bulmanın yolu 2'nin birinci kuvveti, 5'in birinci kuvveti. Bir fazlası 2, bir fazlası 2. Çarparsam 4 tane pozitif böleni var, 4 tane negatif böleni var diyecektik. K1 nasıl bir sayı? Tam sayı olduğu için 4 buradan 4. 4 de buradan 8 tane eleman gelmeliymiş diyeceğiz.
Peki doğal sayı. A'nın elemanlarını hemen bakalım. 2, 3, 4, 5, 6. Yani yazılabilir olduğu için yazıyorum. Şimdi bu nasıl yazılır?
İlk önce şunu hatırlayalım. 1 eksi mutlak 1 eksi 2'ye'nin mutlak değeri 2'ye. eksi 1'e eşittir.
2'ye eksi 1 küçük eşittir 9. Küçük eşittir eksi 9. Her tarafa 1 ekleyeceğim. 2'ye böleceğim. 1 eklersem eksi 8. 2'ye böldüm. Eksi 4. 1 ekledim. 10. 2'ye böldüm.
5. Kesişimlerine bakalım şimdi. Zaten bunun elemanları da eksi 4'ten hatta yazayım ben oradan 0, 1, 2, 3, 4, 5. Ortak olanlara bakacak olursak 2'ler, 3'ler, 4'ler ve 5'ler ortak. Yani neymiş 4 tane eleman varmış.
A'nın elemanlarına bakacak olursak 9'dan başlayacak 20'ye kadar gidecek. B'nin elemanları 3'ün katı olacakmış. K yerine 3 yazarsam 9, K yerine 4 yazarsam 12, 15 ve 18 olmalıymış. A kesişim B 9, 12, 14, 18 yani zaten B'nin kendisi gelmek zorunda çünkü alt kümesi.
A birleşim B. Evet yine daha önce yaptığımız şeyler. A'ya hemen 4, 8, 100. Artık bunları uzun uzun bulmuyorum.
Nasıl bulacağınızı biliyorsunuz. Ben 4 parantezini alıp buldum. 4 parantezinde 1, 2, 25'e kadar gittiği için 25 dedim.
B'nin elemanları nedir? 100'den küçük 10'un katı. Yani 10, 20, 100. Bakın 10 parantezine vırsanız da burada 10 tane terim vardır.
Şimdi A kesişim B'ye bakalım. Hem 4'ün hem onun katı hangisi var? En küçük 20. Demek ki 20, 40, 60, 80, 100. Bu sefer de yazdım.
20 artı 10, 35. 1, 2, 3, 4, 5'i de çıkartıyorum. Çünkü kesişimi çıkartmak zorundaydım. Yani ne oluyor? 30 yapıyor.
Defalarca yaptık bir de yapalım. Toplayalım evrensel küme. Toplayalım evrensel küme.
34. Demek ki burası kaçmış? 17 imiş. A'da olan da olmayanı toplarsam evrensel küme. B'de olan da olmayanı toplarsam evrensel küme olmalıymış dedik.
Peki. Yazalım bize verilenleri. A birleşim B'yi vermiş.
Biz zaten şey demiştik hatırlarsanız şu ikisinin toplamı ne yapar? 3x artı 1 eksi a kesişim b kime eşit olacak? a birleşim b'ye yani 3x artı 7'ye eee ben bunu bu tarafa bunu bu tarafa atarsam a kesişim b nasıl?
burası pardon toplarsam 5x yapar o yüzden. Peki bunu bu tarafa atalım. Ne olur?
Bakın a'yı, b'yi topladım. a artı b kesişimi çıkarttım. Birleşimi verdi.
Bunu buraya atarsam da 2x eksi 6 eşittir. a kesişim b. Şimdi a kesişim b boş kümeden yani sıfırdan farklı çıkması için sen buraya 3 değil ne verirsin? 4 verirsin.
Çünkü 3 verirsen sıfır olur. Evet, A kümesi, B kümesi, A, B, C dedik. Bir kere B'yi bir yerine yazalım.
Yani burası 5 çarpı B artı C demekmiş. Yani A dediğim şey neye eşitmiş? 5B artı 5C'ye. A birleşim B yani toplamları neye eşit ona bakalım.
Burası ama 5B artı 5C A'da artı B ya onu da yazalım tabi. Buradan ne yapar? 4B artı 5C eşittir A.
A artı B artı C kaçmış? Yok A artı B artı C ile B'nin toplamı 30. Ben A gördüğüm yere ne yazabilirim? A gördüğüm yere 4B artı 5C.
Toplayacak olursam 5B 6B artı 6C yapıyor. B artı C kaçmış? 5. Peki B artı C 5 ise 5 kere 5 25. A'yı da kaç bulmuş oluruz?
25 bulmuş oluruz. Çok uzun uzun aynı şeyleri yaptığımız için A kesişim B 11'miş. Birleşimleri de 29'miş.
Minimum A'yı. Demek ki ben o zaman tüm elemanları buraya yazabilir miyim? Ona bakayım. Ben boş alt küme falan demiş mi?
Dememiş. O yüzden 29'da 11'i çıkartıyorum. Buraya da 18 yazabilirim. Bakın kesişimleri 11. Toplamları da 29 yaptı. Yani burası boş küme oldu.
Olamaz dememiş. Yani A fark B eşit değildir. Boş kümeden farklı bir şey demediği için minimum A. Yani A kümesi ne olmuş oldu? 11 olmuş oldu.
A'da olmayan B'de olmayan B fark A şunları bir yazalım. Evrensel kümeyi çizelim. Şu ne demekti? A fark B. Yani burası 5'miş.
Şimdi B'de olmayan 11 eleman varsa bakın B'de olmayan 11 eleman varsa 5 buradaysa 6 buradadır. A'da olmayan kaç tane varmış? A'da olmayan yani şunun dışında kalan elemanlar 11. 1 ise burası 4'tür.
Bakın A birleşim B'de bu ne demektir? A fark B'nin dışında kalan. A fark B kaç?
5. Bunun dışında kalan elemanların toplamını mı istemiş bizden? Evet. Ama çıkmıyor.
10 çıkmadı. Şunu bir düzenleyelim isterseniz. Bu ne demek?
A'nın değili kesişim B. Yani B fark A'ymış. Ben yanlış söylemişim. B fark A kaç yapar? 4 yapar.
Peki burada neden öyle oldu? Bu A fark B'nin... Ha bir kesişim değil bu. Tamam, pardon. Şu ilk başta söylediğim değil.
Şu son anlattığım. Bu A'nın D'yi yapar. Birleşimin D'yi kesişimdir. B'nin D'nin D'yi B yapar. Bu da ne demekti hatırlarsanız?
B fark A demekti. B fark A'da kaç? 4. Devam edeceğiz. Geldik son test.
ve çıkmış göz sorularıyla birlikte kümeler de bitiyor. Şimdi bu ne demek bakalım. A ile B'de olmayan.
Şimdi B'de A'yı bir yazalım. 1, 2, 4, 5. A'yı yazıyorum. 1, 2, 4 ve 5. B'de olmayan elemanları yazıyorum. 1, 5, 8. Bu ikisini birleştirirsem, yani birileri ortak zaten.
2 var, 4 var, 5 var ve 8 var. Bakın şu bulduğum şeyin adı A birleşim B'de olmayanlarla bu. Şimdi C'yi kesiştirecek olursak, C'nin elemanlarına bir bakın. 4 var mı? Var.
5 var mı? Var. 8 var mı?
Var. Tamam 4, 5, 8. Yani kesişim C dedik. 4, 5, 8. Devam. Bu kesişimin dışında kalan, bu da birleşimin dışında kalan eleman demekmiş. Peki.
Bu A olsun, bu da B olsun. Şuna bakalım ilk önce. Birleşimin dışında kalan eleman. Bakın birleşimin dışında kalan eleman 8. Kesişimin dışında kalan. Bu ne demekti hatırlarsanız?
A'nın D'ydi ki birleşim. A'nın D'yi. D'li birleşim B'nin değeri ne demekti?
B'nin değeri. Bu A kesişim B'nin değeri demektir. Yani şunun dışında kalan eleman kaçmış?
20. O zaman şunların toplamı bakın 12. Peki minimum demiş A ile B'nin toplamı nedir diye sormuş bize. Peki burada boş kümeden farklı bir eleman olacak. Yani sen buraya illaki bir eleman vereceksin.
Peki A'nın elemanları... Şurası x dersem buraya ne kalır? 12 eksi x. A'nın elemanları kaç?
x artı 1. B'nin elemanları kaç? 13 eksi x. Bakın toplarsam kaç yapar? 14 yapar.
Birleşimi sormamış. Dikkat edin. A'dan B'yi çıkınca 35'miş.
A'dan B'yi çıkartırsam 35. Kesişimin 4 katı. Ben buraya x dersem bakın. x dersem 4 katı.
Burası 4x'miş. Yani buraya 3x kalır. A demiş.
Yani 35 artı x. B fark A'nın 2 katı. Yani şurası 3x.
2'ye de şey yaparsam 6x. 5x 35. X ne çıkacak? 7. A birleşim B'yi sormuş.
Yani 35 artı 4x'i sormuş. Ben buraya 7 yazarsam 28, 58, 63 yapmalıymış. Evet, bir kez daha yapalım bunu.
Az önce işlem hatası yaptım. Burası A, burası B. A'nın elemanı 6. Şimdi 6'yı nereye yazacağım bilmediğim için devam ediyorum.
B'den A'yı çıkartırsam 3. Bakın B'den A'yı çıkartırsam 3. A'da olmayan elemanlar 8. A'nın dışında kalan elemanlar 8 olması için buranın 5. B'de olmayan elemanlar kaçmış? 7. Demek ki burası 2. A'nın tamamı kaçtı? 6 idi. Buraya kaç kalır? 4. Kesimlerini sormuş.
4. Az önce 4 buldum sonra bile bile hata yaptım. Evet neyse. Bunların hepsi 6'da birleşir.
Artık biliyoruz bunları. Burası 6x. 6x yapması için burasının x. Burasının da pardon 2x. x olmalı.
Burası x. B'nin tamamı 2x ise burası da x. A fark B 6x. Birleşimleri yani 8x neye eşitmiş?
32'ye x ne çıkacakmış? 4'e B'yi sormuş. 8. Devam edelim.
A'da olmayanlar ve B'de olmayanları çıkart demiş. A, B Şimdi şuraya evrensel küme çizip çizmeyeceğimi bilmiyorum. O yüzden şöyle A, B, C, D diyelim.
Şimdi A'da olmayanlar, yani C'de. Bakın şurası neymiş? Şöyle üstüne yazayım. C ve D.
Bundan demiş şeyi çıkar, B'de olmayanları. B'de olmayanlar hangisi? A ve D. A ve D.
Ben bu kümeden bunu çıkartırsam, bakın C'ye eksi A kalmaz. C'ye kalır yalnızca. Eleman olarak C'ye kalacak. Kesişim. A'da olmayan elemanlar C'de.
Bakın şurası C'de. B'yi çıkartırsam C'de'den neyi çıkartacağım? B, C'yi.
Yani C'yi çıkartacağım. Ne kalacak? D kalacak. Şimdi C ile D'nin kesişimi ne yapar?
Boş küme yapar. Birini C'ye buldun. Kesişim.
Birini D'ye buldun. C ve D'nin ortak bir elemanı yok. Onların kendisi eleman.
Peki A'da olmayan elemanlar 15, B'de olmayan elemanlar 17. Şimdi bir kere zaten bakın A'da olmayanlar artı B'de olmayanlar kaç yapıyor? 32. A artı B'de kaçmış? 16. Defalarca yaptığımız toplam. Toplarsam evrensel küme, toplarsam evrensel küme, 48, burası kaç yapacakmış? 24. Başka bir türlü sormamış zaten, hep aynı şeyler.
Bakın, A kesişim B6'ymış. Biz buraya x dersek, bakın b gördüğüm yere ne yazacağım? a 3 ile çarparsam bunu 3x artı 18. Bu 3x artı 18 yapması için buranın 3x artı 12 yapması lazım. Toplarsam 3x 4x artı 18. 50. Karşıya attım. 32. X kaç çıktı?
8. Bize de A fark B'yi yani şunu soruyor. 24, 34, 36 yapmalıymış diyoruz. Evet. Yine bu örnekle de çok karşılaştık.
A'yı yazayım hemen. 21'den başlayacağım. 24. 78. 3'e bölünür ama dahil olmadığı için 3 çıkartıyorum. 75. Bakın bunun elemanları nasıl bulacağım?
75-21 bölü 3. 3'er 3'er gidiyor. Gerçi neyse bulduk artık da devam edeyim artık. Neyse şimdi konuşmayayım.
54 bölü 3. 18-19 A'nın eleman sayısı 19'muş. Yani bizden ben hiç soru kısmını okumadığım için 15. Şimdi katılayım. istiyor.
Şimdi 15'in katı olmaz değil mi burası? 15 nasıl gidecek? 15, 30, 45 diye gidecek ya. 3 ve 5'in katı 15 çünkü.
15 elemanlarda yok. 30 bunun elemanı ama bunun değil. Ortak oranından gideceğim.
Ne olacak sonra? 15 daha 60, 15 daha 75, 15 daha 90 gidemezsin. Çünkü bunun 90 diye bir elemanı yok.
O yüzden 3 taneymiş diyelim. Evet A'yı şimdi bulmamız lazım. 3'ün katı olan 13'ü alamazsın.
15 var çünkü 3'ün katı olan. 18 nereye kadar? 75'e kadar. 75'den 15'i çıkartıyorum.
60. 3'e bölüyorum. 20. 21 tane elemanı var. Şimdi A farklı. B'yi nasıl bulurum?
A fark B dediği yer neresi? Şurası. A'nın toplam 21 elemanı var.
Kesişimlerine bakalım şimdi. 6. Yani şu kesişimi çıkartacağım. Ortak olan elemanlarına 24'ten başlamam lazım. 6'nın katı olduğu için. Çünkü 24 bunun ilk ortak...
Ortak elemanları. 24'den başlayacağım. 30 diye gidiyor.
Şimdi 75 şeyin katı değil. 6'nın katı değil. 72 altının katı.
72 ikisinin de ortak sayısı olduğu için 72'ye bakacağım. Son terim eksi ilk terim. 72 eksi 24 bölü 6 artı 1. Yani ne yapar?
48 6'ya böldüm. 8 bir fazlası. Şurası 9'muş.
21'den 9'u çıkartırsam 12 yapmalıymış diyorum. 18'den büyük 3'ün katı olacak. 18, 21, 81'i alamazsınız. Çünkü 81 dahil değil.
81'den 3 çıkartıyorum. 78. Bundan bunu çıkartıyorum. 60, 3'e bölüyorum. 20, 21. Yani A'nın eleman sayısı kaçmış?
21. B'ye bakalım. 4'ün katı olacak. B'nin elemanları 4'den başlıyor. Şunu da şöyle bir işaret yapayım. 4 sonra 8. 60'ı da alabilirim.
Çünkü 64'e bölünür. 60'dan 4'ü çıkartacağım. 4'er 4'e 4 artı. birden.
Buradan A'nın eleman sayısı kaç çıkıyor? 15. Bir de ortak kesişimine bakacağım. Peki 3 ve 4'ün ortak katı kaç?
12. Yani A kesişim B. 12'ye alamam. Çünkü bakın 12 burada var ama burada yok. 24'ten başlayacağım.
24, 12 daha. Yazılabiliyor. 36, 48 60'ı alabilir miyim?
Alabilirim. Peki 4 taneyi çıkartacağım. Yani bununla bunu toplayacağım.
36, 1, 2, 3 4'ü çıkartacağım. Yani ne yapacak? 32 yapacakmış.
Devam. Bakın B'nin içinden kimi çıkartmış? A ve C'nin birleşimini.
Bakalım var mı? B'nin içinden A ve C'nin birleşimini çıkartmış. Yani bakın zaten beyaz olan yerleri nasıl ifade edebilirsin ki? B'den bir şey çıkacak. ya belli.
Yani bakın zaten A çıkınca şurası dolu olur ama C'yi de çıkartmam gerektiği için. Evet. Devam edelim gençler. A'nın elemanları 4'ün katı olacakmış ama 32'den başlıyor. 32, 36 200'e kadar gidiyor.
Peki. 200 eksi 32 bölü 4 artı 1 200'ü 4'e böldüm. Eee No Ne olacak? 50. 32'yi 4'e böldüm. 8 artı 1 ne yapar?
42, 43. Yani çıkartıp bölmektense tek tek bölerek yaptım. Bir de böyle bir şey söyleyeyim dedim. Hem 4'ün hem 6'nın katı. Hem 4'ün hem 6'nın katı nedir?
12. Ortak olanlardan başlayacağım. Çünkü hani biz bunu daha önce yaptık. Bu ifade ne demektir? A fark B demektir. Yani burası A, burası B kümesi.
Benden bunu istiyor. Yani A'nın içinden, yani 43'ten ortak olanları çıkartacağım. 12, ilk ortak katı 48'dir. Yani 48'den başlayacağım. 12 daha işte 60. Bu şekilde geçiyorum.
gidecek. 202-192 bölünüyordu. 192 bölü 12 bölünüyor galiba değil mi? Evet 192. Son terimde 192. Nasıl yapacağım?
İşte 202'ye 12'ye böleceğim. Kalanını çıkartacağım. Bundan bunu çıkartırsam 192 eksi 48 bölü 12 artı 1 12'den 8 çıkarsa 4. 8'den 4 çıkarsa 4. 144 bölü 12 artı 1'den 12 13. Bakın şurası 13 elemanlıymış.
43'den 13'ü çıkartırsam kaç bulurum? 30'u bulurum. Peki şimdi neler var neler? A var, B var.
Bir de evrensel küme çizelim. A, B, C'de. A'da olmayanlar, şu A kümesi, bu da B kümesi. A'da olmayanlar, C ve D.
Kesişim. B kesişimi A yani ne olacakmış? B.
Bakın burası zaten ne yapar? Boş küme yapar. Fakat bir de şurada üstü tümliğini varsa, boş kümenin tümliğini nedir? Evrensel küme olacakmış diyoruz.
Evet, güzel soruydu. Bakalım birleşimleri var. A ve B'nin kesişimi kaçmış? 4. Niye birleşimden başlayamadım? Çünkü neyi nereye alacağımı bilmiyorum ki.
17. Peki A'nın elemanlarına ben buraya X dersem. Bakın şimdi B. ne çıkacak?
2 çarpı x artı 4 bununla karşı atarsam x 3. Yani b neymiş? 2 x artı 5'miş. Burası 2 x artı 5 ise burası 2 x artı 1'dir.
A birleşim b 17'miş. 3 x artı 5 17, 12, X4'müş. B'nin elemanlarını sormuş. X'e 4 verirsek 8, 9, 13 yapmalıymış diyoruz. Evet geldik son soruya.
Peki ne yapmış? A'nın içinden A ile B'nin kesişimi var. B ile C'nin kesişimi var aslında.
Evet. Bakın şöyle ki şu ikisinin ortak olan yerleri neresi? Burası. B kesişim A.
Burası ne? B kesişim C. Bakın B. B kesişim A birleşim B kesişim C. Bunu dağıtırsam B kesişim A birleşim B kesişim C imiş.
Evet devam edeceğiz. Son testte buluşacağız. Evet kümeler son test. Ve daha son test etken çıkmış göz soruları.
Şimdi bu ifadede neyi görüyorsunuz? Bu bunun üzerine dağılır. Bu B kesişim A birleşim B kesişim C demektir.
B kesişim A'yı da biliyorum. B kesişim C'yi de biliyorum. Bunları birleştirirsem.
1, 2, 4, 3, 5, 6. 1, 2, 3, 5, 6. Yani kaç elemandan oluşuyor? 5 elemandan oluşuyor. Devam.
A'nın eleman sayısını biliyoruz. B'nin eleman sayısını bilmiyoruz. A kesişim B 4. A'nın eleman sayısı 8 ise buraya 4 kalır. A birleşim B 19 ise 8 ise burası 11. Bakın B'nin eleman sayısını sormuş 15. daha kolay gelmeye başladı. Tabii ki bu sorular.
A, B'nin alt kümesi. B, C'nin. C'de değil. Bakın şöyle bir A. Şöyle bir B.
Şöyle bir C. Şöyle bir D varmış. A ile B'yi birleştirirsem B'yi elde ederim.
Hiç yazmıyorum bile. C'den B'yi çıkartırsam, C'den B'yi çıkartırsam şuradaki elemanı elde ediyorum. Şimdi bununla B'yi kesiştirirsem boş küm olur. Tekrar ediyorum. Şurası B'ydi zaten.
Şurası B. B ile C'den B'yi çıkartırsam C'den B'yi çıkartırsam şu taralı bölge olur. Onun B ile hiçbir ortak noktası yoktur. Boş küme birleşim D'de ne yapar? D yapar.
D yapar ama cevap E olur. Evet. H'linde hangisi yanlıştır demiş. 1 ve 3 alt kümedir.
Alt küme diyorsa onu bir kez daha paranteze alacak. Evet 1 diye bir elemanı var. Şöyle bir elemanı var.
Alt küme evet bu doğru. Böyle bir elemanı var mı? Evet var. C'ye bakalım.
1 ve 2 diye bir elemanı var mı? Var. Ama niye parantez içinde? Olmaz değil mi?
Yani bu yanlış gösterim. Çünkü niye? Elemanıdır da olduğu gibi gösterecek. Alt küme de parantez içinde olacak.
Bahsetmiştik. Şuna da bakalım. 2 ve 3 diye bir eleman var. bir eleman var mı?
Var. İki de var. Üç de var.
Bir kez daha parantez almış. Doğru. Bir alt kümedir. Evet. Şundan bahsediyor.
Dört de neymiş yani? C hal. Peki bunlar nerede birleşirler?
21, 42'de birleşirler. O zaman burası 42 yapması için buraya 21x diyeceğim. Buraya 14x.
Buraya da 6x. Nasıl yazdığımı hemen şöyle anlatıyorum. Bu 2 ya. Şununla şunun çarpımını buraya yazdım. Peki kesişimleri 6x'miş.
A'nın tamamı ise burası da 15x yapar. B'nin tamamı 14 ise buraya 8. X yapar. Kes şimdi.
6X. 6X en küçük kaç olabilir? 6. Çünkü X'e 1 bölü 2 veremiyorum. X'e 1 bölü 2 verirsem burası 7.5 olur.
Olmaz. x4 ile x4 arasındaymış. Real sayılardan oluşmuş.
Öteki de tam sayı. Kesişimlerine bakmış. Şimdi bir b ile yazalım. Bu a bu arada.
b-2'den başlayacağım. eksi 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 ve 7. a'nın alabileceği değerler neler? eksi 3'den başlıyor. Değil mi? Tam sayı olarak eksi 3'den başlıyor.
3'e kadar gidebilir. Yani ortak olanlar bunlarmış. Peki burada da kaç eleman var? 3, 4, 5, 6 tane eleman varmış.
Devam. A'dan B'yi çıkartalım demiş. A'dan ortak olanlara bakalım.
Böyle bir eleman yok. Üçgen diye bir eleman yok. A diye bir eleman var.
Evet çıkarttım bunu A'nın içinden. Böyle bir eleman yok. Bakın B'leri çıkartamazsınız. Ama 3'ü çıkartabilirim.
Yani şunu çıkarttım. Şu kareyi de çıkarttım. Geriye 1, 2, 3 eleman kaldı. A ile B'yi birleştirirsek ne olur ona bakalım.
Şimdi üç tanesi ortaktı ya. Şimdi şu üç tane ortak olanların ne bir tanesini şurada sileyim. A'lar ortak.
Üçler ortak. Kareler ortak. Değil mi?
Şimdi burada 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 eleman var. 7, 8, 9, 10. 10 tane de burada var birleştirirsek. Toplamları kaç yapıyor?
13 yapıyor. 13 mi 14 mü? 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. İlk başta öteki mi 4'tü? Ha şunu unutmuştum ben orada. Tamam 4. Bir kez daha oraya anlatayım.
Şimdi ortak olanları attım ya. Mesela A'nın şu ortaktı, 3 ortaktı. kare ortaktı. Geriye 1, 2, 3, 4 ben şu ikisini birleşik gibi düşündüm.
O zaman ne olacak? 13 değil de 14 olacak. Peki.
A birleşim B, A fark B kesimler. Şunları bir yazalım. Bir kere kesim biliyorum 8. Toplamlar 29 ise ben buraya x dersem burası tamamı nasıl 29 yapar? 21-x diye. Şimdi bu verilerini ne yazalım?
a'nın eleman sayısından b'ninkini çıkartalım. x artı 8'den 21-x'i çıkartacağım. a fark b'nin dörtte biri. a fark b nedir? x bölü 4. Düzenlersem burası ne yapar?
2x-13 çarpı 4 eşittir. x'miş. 6'i. bunu buraya attım.
7x eşittir. Burası kaç yapacak? 40, 52. Ama bölünmedi.
Hatam yaptık. Toplamları 29 yaptı. A'nın eleman sayısı x artı 8. B'nin eleman sayısı işte bak. 29 eksi x.
29 eksi x. Peki, yani ne olacak düzenlersem? 2x-21 çarpı 4 eşittir x 8x-7x eşittir 21 çarpı 4 x buradan kaç gelecek?
12 Bir daha yazmak istemedim. x 12 imiş. A ne oldu?
20 Evet, devam. P ile U'nun birleşimi P fark R. Burası P olsun, burası R olsun.
P fark R 6'ymış. P ile R eşitmiş. Ben buraya X dersem, burası X artı 6 ise burası da X artı 6 yapmalı ki eşit olsunlar. Birleşimleri de kaçmış?
Yani 2, pardon. X artı 12 eşittir 20. X kaçmış? 8. Kesişimlerimiz olmuş.
8. Aşağıdakiler hangisi yanlıştır? Elemanlıdır dediğinde olduğu gibi var mı? Var.
Alt kümede dediğinde 4 diye bir elemanı var ama parantez içerisine almış. Doğru. 6-7 evet parantez içinde parantez. Doğru. Boş kümede diye bir elemanı var.
Evet parantez içinde. Doğru. Ama 5 elemanı değildir demiş.
Yok öyle bir elemanı var. Değil mi? A'dan C'yi çıkartırsam A ve B'ye kalır.
Kesişim A'dan B'yi çıkartalım. A'dan B, A ve E. Gördüğünüz gibi orta kalır eleman hangisi? A yapacak. A 30, B 12, C 24. Bu bilgi bana hiçbir şey vermez.
Peki, C'den B'yi çıkartırsam, yani şunların toplamları, şuraya A, B, C diyeyim bari. Peki, C'den B'yi çıkartırsam, C'den B'yi çıkartırsam, B artı C'ye kaçmış? 20. A1c, A, B, C, D'nin toplamı.
A artı B artı C artı D'nin toplamı kaçmış? 45. Zaten A artı B kaçtı? 30. Değil mi?
A artı B 30'sa C artı D'ye kaç kalıyor? Şurası E 30'sa C artı D'ye 15 kalıyor. C artı D 15. Peki C artı D 15 ise bakın şimdi C'nin tamamı 24 ya tamamı 24. Burası 15 ise buraya kaç kalır?
9. Bakın B'yi 9 bulduysak A'dan tamamı... olduğu için buraya 21 kalır. Başka ne söyleyebiliriz? Bizden C-A C'den A yani C artı D B-C yani E'yi topla demişti. Bana C'de E lazım.
C ile D'nin toplamını biliyorum 15 ama E'yi nasıl bulacağım ona bakalım. Peki C'den B çıkınca 20 idi. Bu 9 ise burası 11 olur. Burası 11 ise D dediğim şey 4 olur. B'nin tamamı 12 idi.
Burası kaç olur? 8. Evet hepsini bulduk şükür. C'den A çıkarsa, C'den A'yı çıkartırsam 15. B'den C'yi çıkartırsak, B'den C'yi çıkartırsak 8. Toplarsam kaç yapıyor? 23 yapıyormuş.
Evet bugün bütün testleri arka arkaya çözdüğüm için artık sesim de gitmeye başladı. Ama bitecek. A'nın elemanları pozitif olacak, 3'ün katları olacak.
3, 6 diye gidiyor. 75 yani 72 olacak. Hemen bulalım. 3 parantezini alırsak 1'den 24'e kadar olacağı belli. 24 tane eleman var.
Nasıl bulacağınızı biliyorsunuz. 4'ün katı 4'den gelecek. 96'ya kadar.
Bu da 4 parantezini alırsam 24 tane eleman var. Ortak elemanları 12 olacak. Ama 12'den nereye kadar gidecek? 72'ye kadar.
Neden? Çünkü ortak olanlar nerede bitiyor? 75'te bitiyor. Burada da 12 parantezini alırsam 6 tane buradan. Peki bununla bunu topladım.
48, 6'yı çıkarttık. Ne çıkar? 42 çıkacakmış.
Evet. Yine çizelim bunları. A burada, B burada.
B'nin tamamı 8'miş. Şu kesişime X dersem, bakın şuraya X dersem A fark B, burası 3X yapacakmış. B'nin tamamı 8 ise buraya ne kalır?
8-x Bunu bunu bunu toplarsam 17 eşitmiş. 3x artı 8 17 9x3'müş. B'den A'yı çıkart demiş.
Yani 8-3'den ne gelecekmiş? 5 gelecekmiş. Evet bakın A'dan C'yi çıkartmış bir de kesimlerini eklemiş.
Bana öyle bir şey lazım. A'dan C'yi çıkartmış kesimlerini eklemiş. Bakın A'dan C'yi çıkartmış kesimlerini eklemiş. Yani bu tarz sorularda çok fazla zorlanacak bir durum yok. O yüzden hemen geçtim.
Evet, eksi 2 ile 3 arasındaki pozitif tam sayılar. Eksi 1, 0, 1, 2. Eksi 3 ile 2 arasındaki pozitif tam sayılar. Bu tam sayı da bu pozitif tam sayı. Yani 1 ve 2. Bunları kesiştirirsem bakın hangi elemanlar geliyor. Eee, nasıl olacak o iş?
Pozitif demiş. Eksi bir sıfır bir iki. Eksi bir sıfır bir iki. A'nın elemanları. B'nin elemanları pozitif dediği için bir iki.
Kesiştirirsem bir ve iki. Ama cevaba C'han demiş. Düşüneyim bir daha. Bir daha son olsun. Bunun elemanları negatif olacak.
Eksi 1, 0, 1, 2. 3 dahilliği yok. Burada da B'nin elemanları da eksi 2 olamaz. Çünkü pozitif demiş. Yani ne olacak?
1 ve 2. Zaten bunun elemanı... iki tane. Bunun elemanı dört tane. Kesişimleri en fazla iki olabilir. Oradan da bakalım.
Bir yerde muhtemelen hata vardır. Bilmiyorum yani. Onun pozitif çıkması için ne lazım? Yani muhtemelen şeyde yazımda bir hata vardır. Evet gençler.
Uzun, çok uzun bir video oldu hatta. Bütün kömeleri tek şey altında. Toplayayım dedim.
Siz bizim, bize destek vermek için Yoast ART'yi indiriyorsunuz. Yani indirseniz güzel olur. Google Play'den ve App Store'da indirin. Videomuzu beğenmeyi unutmayın.
Arkadaşlarınızla paylaşın bizleri. Bilmeyen YÖS öğrencisi varsa. Teşekkür ederim. İyi çalışmalar.