Pada video kali ini, kita akan membahas dari awal banget apa yang disebut sebagai integral. Integral disebut juga sebagai anti-turunan, maka sangat disarankan sebenarnya sebelum memahami apa itu integral, pahami dulu dengan baik apa itu turunan, karena ini sangat berhubungan. Seenggaknya basic-basicnya aja terkait. apa itu turunan, bagaimana formula-formula dasarnya. Bagi yang masih belum begitu paham apa itu turunan, tonton dulu video yang ini, linknya ada di deskripsi.
Jadi kalau kita ingat lagi, untuk turunan perpangkatan, Y sama dengan X pangkat N, itu kan dapat diturunkan menjadi N dikali X pangkat N-1. Jadi pangkatnya dikaliin ke depan, lalu dikurang 1. Contoh, misalnya kita punya X pangkat 3. X pangkat 3 itu kalau diturunkan, Jadinya 3x kuadrat Jadi 3 nya dikali ke depan lalu pangkatnya dikurang 1 Contoh lagi misalkan x pangkat 3 tambah 5 Jadinya adalah 3x kuadrat Karena konstanta itu kalau diturunkan jadinya 0 Contoh lagi x pangkat 3 dikurang 2 itu juga turunannya 3x kuadrat X pangkat 3 tambah 10 itu juga turunannya 3x kuadrat Nah proses dari kiri ke kanan ini kan kita sebut sebagai turunan Kalau kita mau ngebalikin dari kanan ke kiri Intro Kita mau cari fungsi awalnya sebelum diturunkan, itu yang kita sebut sebagai integral. Nah, jadi jelas ya kenapa integral itu disebut anti-turunan, karena emang kebalikannya. Jadi kalau kita mau konstruksi formulanya, x pangkat n itu dapat diintegralkan menjadi, kalau tadi dalam turunan pangkatnya dikali ke depan lalu dikurang 1, nah sekarang kita coba bangun kebalikannya. Berarti pangkatnya ditambah 1 dulu, lalu kita bagi ke depan.
Nah. Tadi kan x pangkat 3, x pangkat 3 tambah 5, x pangkat 3 kurang 2, x pangkat 3 tambah 10. Kalau diturunkan jadinya 3x kuadrat. 3x kuadrat kalau kita mau balikin ke fungsi awalnya, kita balikinnya kemana? Kan bisa aja ke x pangkat 3, x pangkat 3 tambah 5, dan seterusnya.
Jadi kita kehilangan konstantanya. Kita nggak bisa lacak konstanta awalnya berapa. Maka kita tambahkan c buat ngisi kemungkinan konstanta yang kita nggak tahu itu. Nah integral yang kayak gini kita sebut sebagai integral tak tentu.
Ya karena kita nggak tahu itu nilai C-nya. Nah inilah formula pertama dari integral. Formula untuk X pangkat N.
Kita coba contoh ya. Misalkan kalau kita punya X pangkat 3. Di sini yang jadi N-nya kan adalah 3. Maka kalau kita coba masukkan ke dalam formulanya, kita akan peroleh 1 dibagi 3 tambah 1 dikali X pangkat 3 tambah 1. Kita rapiin akan jadi 1 per 4 X pangkat 4 tambah C. Contoh lagi kalau kita punya X pangkat 5. Yang jadi n-nya adalah 5, maka kita akan peroleh hasil 1 per 6 x pangkat 6 tambah c. Nah kalau integral 1 per x pangkat 3 gimana?
Nah ini ekspresinya belum sama nih dengan x pangkat n. Kita ubah dulu menjadi x pangkat min 3. Berarti yang jadi n-nya adalah min 3, maka kita dapat nyatakan sebagai 1 per min 3 tambah 1 dikali x pangkat min 3 tambah 1. Kita rapiin, kita akan peroleh 1 per min 2 dikali x pangkat min 2 tambah c. Contoh lagi integral dari akar x. Akar x bisa kita nyatakan sebagai x pangkat setengah, setengah tambah 1 itu 3 per 2, maka kita akan dapat 1 per 3 per 2 dikali x pangkat 3 per 2 tambah c, atau 2-nya naik ke atas kita rapiin jadi 2 per 3 x pangkat 3 per 2 tambah c. Nah, untuk memudahkan kita dalam mengoperasikan integral, ada beberapa sifat dasar yang mesti kita pahami.
Yang pertama, dalam integral, Kalau ada penjumlahan atau pengurangan 2 fungsi, integralnya dapat kita selesaikan dengan mengintegralkan masing-masing fungsi tersebut. Maksudnya gini, misal kalau kita punya x pangkat 3 tambah x pangkat 2, ya ini bisa kita bisa aja kita kerjain x pangkat 3-nya sendiri jadi 1 per 4 x pangkat 4, dan x pangkat 2-nya sendiri jadi 1 per 3 x pangkat 3. Maka kita peroleh hasil, 1 per 4 x pangkat 4 tambah 1 per 3 x pangkat 3 tambah C. Jadi kalau ada penjumlahan atau pengurangan fungsi, cara ngerjainnya ya integralin masing-masing aja. Sifat kedua adalah kalau misalkan ada konstanta di depannya. Konstantanya kita jadiin pengali aja setelah kita integralkan fungsinya.
Contoh ada 4x pangkat 3. Nah 4-nya kita tulis ulang aja, x pangkat 3-nya kita integralkan jadi 1 per 4 x pangkat 4. Kita rapiin jadi x pangkat 4 ditambah c. Sifat selanjutnya adalah untuk integral dari suatu konstanta. Kalau kita mengintegralkan suatu konsanta, hasilnya tinggal kita kalikan x, jadi kx.
Contoh integral dari 5 dx. Maka hasilnya tinggal 5 dikali x tambah c. Contoh lagi misalkan kalau kita punya integral 2x pangkat 4 tambah 1. Nah 2-nya berarti jadi pengali aja nantinya, dikali dengan 1 per 5 x pangkat 5, ditambah 1 itu diintegralkan jadinya x.
Jadi kita dapat hasil 2 per 5 x pangkat 5 tambah x tambah c. Nah inilah dia sifat-sifat dasar integral yang mesti dipahami. Sampai sini masih gampang ya?
Nah sekarang kita coba masuk ke bentuk integral lainnya. Misalkan kita berikan batas dari A sampai B. Jadi di atas sama bawahnya ini ada angkanya, ini kita sebut sebagai batas, dan kita bacanya dari bawah ke atas.
Integral ini kita bacanya sebagai integral dari A sampai B untuk fx dx. Nah, gimana cara nyelesain integral yang ada batasnya? Sebutlah misalnya hasil integral fx itu adalah f besar x, maka integral dari A sampai B untuk fx dx itu sama aja dengan fb dikurang fa. Jadi B dan A-nya kita substitusikan ke dalam fungsi hasil integralnya, lalu kita kurangkan. Nah integral yang punya batas itu hasilnya udah nggak ada C-nya lagi.
Udah nggak ada konstanta yang kita nggak tahu nilainya. Nah integral yang seperti ini disebut sebagai integral tentu. Contoh misalkan kita punya integral 3x² dibatasi dari 2 sampai 3. Kita tinggal integralkan 3x²-nya dulu akan jadi x pangkat 3, lalu masukin batasnya dari 2 sampai 3. Nah, maka kita akan prolek.
3 pangkat 3 dikurang 2 pangkat 3. Kita jabarkan, hasilnya adalah 19. Integral tentu itu juga punya sifat-sifat dasar. Sifat-sifat integral yang kita bahas di awal tadi ini tetap berlaku ya. Ini adalah sifat-sifat dasar dari integral. Nah, untuk integral tentu kita tambahkan beberapa sifat lagi. Yang pertama, kalau kita mengintegralkan dari A sampai A untuk suatu fx, hasilnya pasti 0 untuk fungsi berapapun.
Contoh misalkan kita mau ngeintegralin 3x kuadrat dibatasin dari 2 sampai 2. 3x kuadrat itu integralnya adalah x pangkat 3. Masukin batasnya nanti jadinya 2 pangkat 3 dikurang 2 pangkat 3 lagi. Maka hasilnya adalah 0. Ini logis karena ya berapapun hasil integralnya, kalau ujung-ujungnya fa kurang fa lagi ya pasti 0 kan. Nah kita masuk ke sifat keduanya.
Kalau ada integral dari a sampai b untuk fx, itu batasnya kalau kita tukar hasilnya kita kasih minus. Contoh. Integral dari 3x² dibatasi dari 3 sampai 2. Tadi nomor 9 kan dari 2 sampai 3, sekarang kita hitung untuk 3 sampai 2. Maka hasilnya adalah x pangkat 3, kita substitusikan 2 dan 3-nya. Jadinya 2 pangkat 3 dikurang 3 pangkat 3, akan diperoleh hasil minus 19. Sifat ini juga make sense ya, karena yang awalnya fb dikurang fa, jadinya fa dikurang fb.
Jadi ya beda minus hasil akhirnya. Lalu sifat selanjutnya, kalau kita punya integral dari A sampai B, itu bisa kita nyatakan sebagai integral dari A sampai berapa dulu terserah misalkan adalah C, misalkan ditambah lagi dengan integral dari C sampai B. Jadi kalau kita lihat ujung-ujungnya dari A sampai B juga, hasilnya itu pasti akan sama nantinya.
Contoh kayak nomor 9 tadi, integral dari 2 sampai 3 untuk 3x² dx. Nah ini bisa aja kita tulis sebagai integral dari 2 misal sampai 5 dulu. untuk 3x kuadrat dx, lalu kita tambah dengan integral dari 5 sampai 3 untuk 3x kuadrat dx. Untuk batas dari 2 sampai 5-nya, nanti kita akan peroleh 5 pangkat 3 dikurang 2 pangkat 3. Untuk batas dari 5 sampai 3-nya, kita akan peroleh 3 pangkat 3 dikurang 5 pangkat 3. Kita coret-coret, rapiin, hasil akhirnya adalah 19. Jadi nilai akhirnya nggak berubah ya, sama-sama 19. Nah, ini yang kita sebut sebagai sifat-sifat integral tentu.
Simple sebenarnya, cuman ini krusial banget. Apalagi untuk soal-soal tes PTN, sering banget nih, kalau ada soal integral tentu, tricky-nya itu di sifat-sifat ini. Sampai sini paham ya?
Nah sekarang coba kita masuk ke soal-soal integral tak tentu lagi. Gimana caranya mengintegralin X pangkat 3 dibagi akar X? Ini kan bisa kita tulis dulu sebagai X pangkat 3 dibagi X pangkat setengah. Nah ini gak bisa kita integralin atas dibagi integral bawah ya.
Ini salah karena gak ada sifat integral yang bisa meng-cover itu. Kita bisa kerjain masing-masing kalau dia itu penjumlahan. Kayak sifat nomor 1 ini.
Tapi kalau dibagi atau dikali itu gak bisa. Dia beda dengan turunan. Kalau turunan kan punya aturan bagi dan aturan kalinya. Kalau integral gak ada.
Jadi gimana nih kalau kita mau ngerjain soal kayak gini? Nah kita mesti jabarkan dulu. Kita mesti ubah dulu. Untuk soal ini kita bisa bagi aja dulu. X pangkat 3 dibagi X pangkat setengah, kan dalam eksponen itu kalau dibagi pangkatnya dikurang ya.
3 dikurang setengah itu adalah 5 per 2, jadi ini bisa kita nyatakan sebagai X pangkat 5 per 2. Sehingga kita jadi bisa balik lagi ke fungsi dasarnya, x pangkat n. Di sini yang jadi n-nya adalah 5 per 2, maka hasil integralnya adalah 2 per 7 dikali x pangkat 7 per 2 tambah c. Contoh lagi, misal ada integral 2x dikali x kuadrat tambah 2. Nah ini juga nggak bisa kita kerjain masing-masing ya. Integral 2x-nya 2 dikali setengah x kuadrat, dan integral x kuadrat tambah 2-nya adalah 1 per 3 x pangkat 3 tambah 2x.
Ini salah. Karena perkalian itu nggak di cover di sifatnya. Yang di cover hanya penjumlahan dan pengurangan yang bisa kita kerjain masing-masing.
Nah, jadi kalau ada soal ke nomor 14 ini, ya kita mesti jabarkan dulu. Kita kaliin dulu untuk kasus ini. 2x dikali x kwadratnya adalah 2x pangkat 3. 2x kali 2-nya adalah 4x. 2x pangkat 3 diintegralkan menjadi 2 dikali 1 per 4 x pangkat 4. 4x-nya menjadi 4 dikali setengah x kwadrat.
Maka kita jabarkan menjadi setengah x pangkat 4 ditambah 2x kuadrat tambah c. Oke? Jadi hati-hati ya di sini ya. Perhatiin sifat mana yang bisa kita pakai, pahami betul sifat-sifat integral yang ada.
Nah, tapi gimana kalau misalkan kita punya soal integral dari 2x dikali x kuadrat tambah 2 pangkat 5. Kayak soal nomor 14 tadi, ini perkalian, jadi kita nggak bisa integrin langsung, jadi kita mesti jabarin dulu. Tapi masalahnya ini nggak mungkin juga kita mau jabarin karena panjang banget. Sekuadrat tambah 2-nya kita pangkatin 5. Jadi gimana dong buat ngerjain soal ini? Nah kalau bentuknya udah kayak gini, ini kan udah ribet ya.
Kita nggak bisa pakai sifat manapun dan formula manapun. Sehingga kita mesti manipulasi bentuknya. Nah teknik memanipulasi bentuk itu agar nanti ujung-ujungnya kita mau pakai formula dasar kita.
Nah teknik atau metode untuk memanipulasi bentuk itu kita sebut sebagai teknik integrasi. Materi terkait teknik integrasi mungkin bakal dibahas di video sendiri nantinya, karena teknik integrasi lumayan panjang ya ceritanya. Teknik integrasi itu intinya ngakalin gimana caranya, soal integral yang kita punya itu, yang bentuknya rumit, kita ubah biar bisa kita ekspresikan bentuknya ke formula dasar kita.
Teknik integrasi itu metodanya ada macam-macam. Ada metode substitusi, ada integral parsial, dan lain-lain. Bergantung sama soalnya kayak gimana.
Tapi itu bahasa nanti lah. Di video ini kita fokus ke apa itu integral, bagaimana formulanya dibentuk, apa sifat-sifat yang bisa kita pakai dalam operasi integral, dan bagaimana cara memakainya. Mudah-mudahan video ini membantu untuk memberikan pemahaman dasar terkait apa itu integral.
Terima kasih sudah like, subscribe, dan nyalakan tombol notifikasi. Silakan share video ini kalau bermanfaat. Jangan lupa tinggalin komen. Dan kalau mau belajar matematika lebih lanjut, bisa hubungi kontak di kolom deskripsi.