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Scomposizione di polinomi spiegata

Ciao ragazzi in questo video ci occuperemo di scomposizione di polinomi li analizzeremo uno per uno e poi alla fine vedremo degli esercizi generici su tutti i tipi di scomposizioni così capiremo quali usare quando non ci viene specificato visto che quella è la parte più complicata Se vi interessa uno in particolare di questi tipi di scomposizione che vedete qui al lato trovate già la barra di scorrimento di YouTube divisa in capitoli uno per ciascun tipo di scomposizione così che possiate trovarli con più facilità Bene Iniziamo iniziamo dal raccoglimento totale intanto qua Vi mostro tutti e quattro gli esempi che vi voglio portare ma partiamo Innanzitutto dal primo il raccoglimento totale è il più basilare la base di tutti i tipi di scomposizione quindi è molto molto importante è quello da applicare sempre prima rispetto a tutti gli altri metodi vediamo In che cosa consiste Allora il raccoglimento totale consiste nel fare praticamente il massimo comune divisore tra ognuno dei monomi di questo polinomio quindi poi individuiamo Due monomi che sono 1 e 2 tra questi due monomi dobbiamo fare il massimo comune divisore Cosa vuol dire fare il massimo comune divisore tra dei monomi ripassiamo vuol dire che dobbiamo prendere pezzo per pezzo tutti i monomi e vedere cosa dobbiamo raccogliere Cosa hanno in comune cioè partiamo prima dal numero quindi dal coefficiente di ogni monomio vediamo il 3 e il 2 Qual è il massimo comune divisore tra il 3 e il 2 Cosa hanno in comune il 3 e il 2 come prodotto fattori diciamo niente perché sono due numeri primi non hanno nessun termine in comune quindi quando non hanno nessun termine in comune a differenza tipo del secondo esempio che abbiamo il 6 e il 9 che hanno in comune il 3 perché il 6 è 3x2 il 9 e 3 per 3 Qui non c'è in comune niente quindi quando non c'è nulla niente vuol dire che non dobbiamo raccogliere nulla passiamo adesso invece alla parte letterale che qui c'è soltanto la x quindi guardiamo soltanto la x Cosa hanno in comune x alla terza e x x alla terza vedetelo come se fosse X per X per X è la stessa cosa scritto in modo diverso X alla seconda è come se fosse X per X Ok Cosa hanno in comune quindi hanno in comune 2x vedete Entrambi hanno 2x infatti la regola del massimo comune divisore ci dice che dobbiamo prendere quello con l'esponente più basso proprio per questo motivo perché il secondo a 2x il primo a 3x però entrambi ne hanno in comune due quindi del numero non dobbiamo raccogliere niente della X possiamo raccogliere la seconda un attimo che intanto qua cancello questo che non ci serve più possiamo raccogliere quindi un X alla seconda che la parte quindi che hanno in comune entrambi i Due monomi Ok adesso quindi cosa si fa una volta che abbiamo capito cosa possiamo raccogliere raccoglimento totale perché lo facciamo tra tutti i monomi di questo polinomio quindi apriamo una parentesi e dobbiamo scrivere quello che rimane di ogni monomio una volta che abbiamo raccolto la X alla seconda vi faccio un esempio facilissimo qui Se dal primo abbiamo raccolto X alla seconda intanto non abbiamo raccolto il numero quindi il 3 rimane se abbiamo raccolto una X alla seconda ricordate che erano così ok erano 3x tutte tutte quante a moltiplicare tra di loro se ne abbiamo raccolte due fate questo Esercizio mentale ne abbiamo raccolto due quante ne restano una Quindi io qua scrivo che è rimasto 3x quindi dal raccoglimento io ho raccolto X alla seconda mi è rimasto 3x ora dal secondo termine visto che io non ho ancora raccolto nessun segno non stiamo parlando di raccoglimento di segni Quindi io ricopio il segno meno del secondo termine cosa ho raccolto ho raccolto la X alla seconda quindi ho raccolto entrambe le X quelle che avevo scritto prima quindi è rimasto soltanto il 2 quindi chiudo parentesi e questo è il raccoglimento totale del primo esercizio non possiamo più fare altre scomposizioni ma questo lo vedremo poi più in avanti negli altri esercizi Passiamo al secondo stavolta qui partendo dal numero sempre cerchiamo di capire cosa hanno in comune il 6 e il 9 il 6 e 3 per 2 il 9 è 3x3 quindi stiamo facendo una scomposizione in fattori primi ricordate dalle anche dalle scuole medie scomposizione in fattori primi Quindi cosa hanno in comune Qual è il massimo comune divisore tra 6 e 9 a me viene sempre più facile ragionare con Cos'hanno in comune piuttosto che Qual è il massimo comune divisore Cosa hanno in comune un 3 quindi io tra questi due termini posso raccogliere un 3 sopra il raccoglimento all'interno del 3 adesso Passiamo alla parte letterale e in particolare spezzettiamolo ancora di più facciamo soltanto della a Quindi cosa raccogliamo della a Qua c'è una a qua Ci sono due a perché è alla seconda quindi è appena quindi posso raccogliere una a perché entrambi hanno almeno una a ora passiamo alla B Cosa hanno in comune B alla terza B anche qua Una sola B perché questo ne ha soltanto una quindi ne posso raccogliere solo una quindi raccolgo B ho finito di fare il raccoglimento quindi apro parentesi Scriviamo i termini che restano cosa resta del primo dal 6 ho raccolto il 3 cosa è rimasto il 2 Ricordatevi sempre che va con le moltiplicazioni quindi non va con le somme non è 3 + 3 considerato sempre come moltiplicazione quindi 3x2 se io ho raccolto il 3 mi resta un due quindi io qua scrivo due poi la a la allo l'ho raccolta tutta quindi non è rimasta più nessun altro Quindi non metto niente La B non raccolta una ma ce n'erano tre quindi mi resta una b alla seconda mi restano convince B per B Che vuol dire p alla seconda poi del secondo termine intanto ricopro il segno del 9 ho raccolto il 3 quindi resta l'altro 3 della a alla seconda ho raccolto una a quindi resta l'altra a la b la raccolta tutta quindi chiudo parentesi e questo è il raccoglimento totale adesso Passiamo a tre termini appunto raccoglimento totale vuol dire che io devo raccogliere un qualcosa che in comune a tutti e tre i termini totale Infatti per questo motivo Quindi anche qua partiamo sempre dal numero Cosa hanno in comune Il 4 il 6 e l'8 il 4 e 2x2 il 6 e 3x2 l'8 e 2 per 2 per 2 facciamo sempre la scomposizione in fattori primi quindi non scrivete l'otto come 4x2 perché il 4 non è un numero primo quindi due per due per due perché il 2 è un numero primo Quindi adesso Cosa hanno in comune Beh hanno in comune un solo due quindi io raccolgo il 2 poi passiamo alla Cosa hanno in comune ha la seconda alla terza e alla seconda devo prendere sempre quello col minore esponente quindi hanno in comune una a alla seconda poi la x Cosa hanno in comune X alla seconda x e x alla terza hanno in comune una sola X Quindi finito il raccoglimento avremo parentesi Cosa rimane del primo Beh è rimasto in due là l'abbiamo raccolta tutta della xna è rimasta una soltanto quindi 2x poi ricopio il segno cosa è rimasto del secondo c'era un 3 c'era una alla terza ma abbiamo raccolto una alla seconda quindi è rimasta una sola a e poi la x dobbiamo raccolta quindi basta del terzo abbiamo raccolto un due ma restava un 2x2 Qua ovviamente riscriviamolo come 4 di +4 poi alla seconda l'abbiamo raccolta tutta x alla terza abbiamo raccolta una quindi ne sono rimaste è rimasta una X alla seconda e quindi questo è il raccoglimento totale ora passiamo a questo che è leggermente più complicato perché ci sono le frazioni Come funziona con le frazioni Come facciamo a fare il massimo comune divisore delle frazioni in realtà è molto semplice cioè prima come vi ho fatto vedere prendevamo a parte il numero poi ogni lettera presa una per una qua al posto di prendere il numero quindi il coefficiente prendiamo prima soltanto i numeratori poi soltanto il denominatori è proprio semplicissimo quindi tra il 20 il 4 e il 5 Cosa hanno in comune il 24 per 5 Qua c'è soltanto un 4 Qua c'è soltanto un 5 quindi non hanno niente in comune i numeratori Quindi io terrei un 1 mettiamo il fratto perché ora vediamo tra i denominatori cosa ci Cosa c'è in comune tra i denominatori c'è in comune il 3 perché il 9 è 3x3 Quindi io Praticamente sto raccogliendo un terzo una frazione e ho dimenticato Però a raccogliere le lettere quindi a alla seconda e a hanno in comune una A B B e B alla seconda hanno in comune una b ora apriamo parentesi cosa è rimasto dal primo Beh del numeratore non abbiamo raccolto niente quindi io terrei sempre il 20 del denominatore avevamo già raccolto un 3 quindi è rimasto un altro 3 Poi la a l'abbiamo già raccolta la bile abbiamo già raccolta quindi questo finisce qua poi meno del numeratore non abbiamo raccolto niente quindi resta un 4 del denominatore abbiamo raccolto un 3 quindi resta un altro 3 alla seconda abbiamo raccolto una quindi resta a la b l'abbiamo raccolta tutta e quindi resta soltanto a poi più il 5 non l'abbiamo raccolto qua non metto niente al denominatore perché il 3 l'abbiamo raccolto tutto cioè non si scrive quindi 5 Ah l'abbiamo raccolta tutta B alla seconda l'abbiamo raccolto una ne era rimasta un'altra Vi mostro Adesso un paio di esercizi un po' più complicati sul raccoglimento totale però siccome una tecnica che ci servirà anche negli altri metodi successivi è bene che la facciamo adesso Allora partiamo dal primo Noi abbiamo una lunga scritta con le parentesi Io vi ricordo tutti gli esercizi sulle scomposizioni che hanno qualcosa dentro parentesi Li dovete risolvere senza fare i calcoli Quindi se ci sono le parentesi ci sono per un motivo vuol dire che c'è una scomposizione che si può fare senza fare i calcoli Allora intanto individuiamo i due termini che formano questo polinomio i termini noi li possiamo individuare perché sono sempre separati da delle somme o delle differenze che sono fuori dalle parentesi quindi in questo caso vedete che c'è questo più Quindi tutto questo è un termine tutto insieme una moltiplicazione come se fosse un X per y un qualcosa una quantità per un'altra quantità a meno una tutto insieme più un altro termine che è 2B per a -1 vedete Quindi come tutto insieme un termine e l'altro termine questi due termini Cosa hanno in comune fuori dalla parentesi niente sotto tutti diversi però la parentesi ce l'hanno uguale Quindi noi possiamo fare un raccoglimento totale della a -1 a -1 È un termine dentro parentesi che va visto tutto insieme quindi a meno uno che noi stiamo raccogliendo poi per apriamo parentesi Come si fa normalmente in una in un raccoglimento totale Cosa rimane del primo termine se io ho raccolto a -1 Beh mi rimane la A perché questo lo raccolto Quindi quello che rimane è a cosa mi rimane dal secondo termine dove ho raccolto a meno 1 mi rimane 2B più due quindi questo è il risultato finale perché è il risultato finale perché fuori dalle parentesi al contrario del testo iniziale non ci sono più o meno ma c'è un bar noi sappiamo di aver finito o quasi a meno che non ci siano altre scomposizioni da fare altro tipo che dopo vi farò vedere avremmo capito di aver finito soltanto quando in mezzo a tutte le parentesi Ci sono soltanto moltiplicazioni o eventualmente divisioni ma non succederà in queste scomposizioni basilari e soltanto moltiplicazioni quindi in questo caso Abbiamo terminato adesso Vediamo il secondo che ancora un pelino più complicato però il metodo è sempre quello intanto individuiamo il numero di Termini che ci sono il primo è questo vedete ci sono questo segno più e questo segno più che sono gli unici segni più o meno fuori dalle parentesi Quindi questo è il primo termine questo è il secondo termine questo è il terzo termine sono tre termini in totale hanno qualcosa in comune questi tre termini Sì se vedete a meno X a -x a -x ogni termine ha la a -x vado a Cavo e quindi raccolgo a meno X a mettere una parentesi quadra per sicurezza Quindi cosa Rimane se io dal primo termine ho raccolto a meno X intanto venivano là poi da questa a meno X alla seconda se io ho raccolto una a -x mi resta l'altra a -x e per farvelo capire meglio Ve lo scrivo in questo modo qua se noi abbiamo a meno X alla seconda questo lo possiamo vedere come a -x per a -x un numero per se stesso quindi se noi abbiamo raccolto una a -x resta l'altra a -x quindi raccolto una resta l'altra - X poi dal secondo termine resta un +2 dal terzo termine resta un più X per a -2 perché la meno X abbiamo raccolta Ok A questo punto solo a questo punto cioè quando abbiamo fatto la scomposizione Quindi vedete che fuori parentesi c'è un per come prima Noi possiamo fare tutte le somme che vogliamo qui dentro Insomma e prodotti quindi ricopiola a -x iniziale apro di nuovo la parentesi quadra questo è alla seconda meno a X ho fatto la moltiplicazione + 2 lo ricopio più a x meno 2x in questo caso meno Ax è più a X si semplificano la loro somma fa 0 il resto lo ricopio quindi fa a meno X per alla seconda + 2 - 2x questo qua sono tre termini ma sono diversissimi tra di loro Anche con i metodi che vedremo dopo non si potrà più scomporre e quindi lo lasceremo così e questo sarà il risultato dell'e raccoglimento parziale quando è da usare il raccoglimento parziale Allora innanzitutto il primo da usare in ogni esercizio O almeno da provare per vedere se funziona e il raccoglimento totale Quindi ogni volta l'inizio di ogni esercizio Dobbiamo controllare se tutti i termini di un polinomio hanno qualcosa in comune se non lo hanno Allora passiamo agli altri raccoglimenti se lo hanno prima facciamo quello totale e poi eventualmente guardiamo gli altri Quindi quando si fa il raccoglimento parziale abbiamo detto dopo il totale ma in quali circostanze quando abbiamo un numero pari di Termini Oddio non funziona sempre però diciamo che una condizione necessaria se c'è un numero pari di Termini in questi qua sono quattro quattro quattro e qua ne abbiamo 6 termini vedete sei monomi allora in questo caso possiamo provare a vedere se funziona il raccoglimento parziale In cosa consiste quindi lo dice la parola stessa raccoglimento parziale Quindi prima raccoglievamo qualcosa che era in comune a tutti i termini di un polinomio stavolta dobbiamo raccogliere qualcosa che è in comune ad alcuni termini poi qualcos'altro che sarà in comune ad altri termini in modo da far venire qualcosa che ora vi mostrerò col primo esercizio allora guardiamo il primo esercizio sono quattro termini quando sono quattro di solito c'è qualcosa da raccogliere a due a due quindi da Due monomi raccoglieremo qualcosa da altri Due monomi raccoglieremo un'altra cosa Quindi guardate qua i primi due hanno in comune entrambi la b gli altri due hanno in comune entrambi il 3 quindi potremmo raccogliere Dai primi due la b dagli altri due il 3 e vedere che cosa succede qualcuno di voi potrebbe dire Beh sì però il primo il terzo hanno anche in comune la a il secondo e il quarto hanno in comune la Y come faccio a capire quale raccoglie è indifferente se raccogliete O l'uno o l'altro Vi verrà esattamente lo stesso risultato ci sono sempre due modi per fare un raccoglimento totale il terzo questo modo cioè fare un raccoglimento tra quello che in comune al primo il quarto al secondo e il terzo in questo caso non funzionerà quindi voi potete scegliere o il primo che vi ho fatto vedere o il secondo metodo che vi ho fatto vedere per esempio raccogliamo la B del primo e dal secondo è il 3 Dal terzo al quarto e vediamo che cosa succede quindi facciamo un raccoglimento tra il primo e il secondo termine quindi hanno in comune abbiamo detto la b cosa resta dal primo se raccogliamo la b resta la a dal secondo resterà la Y Quindi io qua chiudo la parentesi Io ho finito il mio raccoglimento dei primi due termini Adesso passo a quello degli altri due cosa raccolgo io il 3 ok Sì ma in generale dobbiamo anche aggiungere il segno quindi in questo caso stiamo anche raccogliendo un segno più cioè non stiamo facendo niente di particolare col segno Quindi io aggiungo più 3 notate qua ci deve essere sempre o una somma una differenza non va bene che voi mettere tipo soltanto il 3 e basta perché in quel caso significherebbe che qua ci fosse una moltiplicazione ma non deve esserci o sono differenza Cosa rimane dal primo dei due terni sarà cogliamo il 3 rimane la a cosa raccogliamo dall'altro rimane la Y Eccoci la condizione fondamentale affinché funzioni il raccoglimento parziale e che quello che rimane dalle due parentesi nelle due parentesi deve essere esattamente uguale Quindi adesso noi abbiamo a + y e a + y Quindi abbiamo fatto bene a raccogliere parzialmente in questo modo cosa succede Adesso come vi ho fatto vedere prima e in questo caso dobbiamo raccogliere fare un raccoglimento totale di tutta la parentesi tutto quel a + y che tutto insieme quindi io raccolgo a più Y sempre tenendolo tra parentesi cosa resta poi dal primo termine dopo che ho raccolto a + y resta una b cosa resta dal secondo termine una volta che ho raccolto a + y resta un 3 quindi 1 + 3 e quindi questo è il raccoglimento parziale il raccoglimento finisce o almeno in questo caso quando fuori dalle parentesi non abbiamo più né somme e né differenze ma tutti i termini si moltiplicano tra di loro quindi a + y * B + 3 raccoglimento finito passiamo adesso al secondo Qual è il metodo che io preferisco per capire subito al volo se posso usare il raccoglimento parziale guardando i coefficienti i numeri se io vedo che già i numeri sono a coppie Quindi quattro quattro tre tre vuol dire che nel 90% dei che 99% dei casi vuol dire che l'esercito è fatto in modo che possiamo applicare il raccoglimento parziale e io decido quali raccogliere tipo in questo caso il primo è il terzo insieme poi il secondo il quarto insieme in base ai numeri Quindi io in questo caso guardo soltanto i numeri vedo 4433 fatto quindi dal primo e dal terzo raccolgo il 4x per vedete che hanno in comune anche la x quindi dal primo che cosa resta resta una X perché non l'abbiamo raccolta dal secondo abbiamo raccolto il 4 e la x resta una Y quindi più Y poi dal secondo e dal quarto hanno in comune soltanto il 3 quindi io raccolgo il più 3 dentro mi resta dal primo una X dal secondo una Y Quindi vedete esattamente la stessa quantità Quindi o ho fatto il raccoglimento in modo corretto adesso raccogliamo questo X + Y e dalla prima dal primo termine resterà un 4x dal secondo termine resta un 3+3 quindi raccoglimento finito cosa succede invece se non abbiamo delle coppie di numeri vedete Prima avevamo quattro quattro tre tre ora non ci leviamo più Però succede una cosa particolare qua nello specifico un attimo in realtà è sottinteso Qui c'è uno ok l'altro modo per vedere se se possiamo applicare il raccoglimento parziale è sempre guardare i numeri ma guardare che il 10 e il doppio di 5 il 2 e il doppio di 1 quindi già da qui possiamo capire di poter effettuare raccoglimento parziale quindi non soltanto quando abbiamo due coppie uguali di numeri ma anche quando tipo uno è il doppio dell'altro e l'altro è il doppio dell'altro deve essere sempre il doppio Se questo è il doppio di questo questo deve essere il doppio di questo se fosse stato il triplo anche l'altro deve essere il triplo andiamo a vedere quindi dai primi due vedete che hanno in comune il 5 perché dentro il 10 c'è un 5 quindi io raccolgo un 5 ma c'è anche una a da raccogliere Quindi io raccolgo 5A dal primo termine che cosa resta qua resta un 2 perché 5 * 2 fa 10 e resta una a dal secondo resta il meno perché c'era il meno il 5 abbiamo raccolto là l'abbiamo raccolto resta la B quindi anche dentro la seconda parentesi deve restare 2+1 vediamo da questi due io cosa raccolgo hanno in comune se vede soltanto la Y quindi il numero non ha niente in comune quindi io raccolgo più Y Apro parentesi Dal primo mi resta un 2A dal secondo mi resta meno B sarebbe meno 1 B ma vedete hanno la stessa quantità dentro parentesi quindi adesso io vado a capo mi metto qua e raccolgo il 2 a meno B da Entrambi questi due termini uno e due Dal primo mi resta 5 a dal secondo mi resta più Y e quindi è fatto Ora io vi faccio vedere una cosa cancello questo primo passaggio lascio il risultato vi faccio vedere che funziona in maniera esattamente uguale se io anziché raccogliere i primi due e poi il terzo e il quarto raccolgo invece da insieme il primo e il terzo e il secondo il quarto Perché io potrei dire il 10 e 5 Volt 2 il 5 e 5 volte 1 quindi dovrebbe funzionare lo stesso modo vi faccio vedere che funziona Allora dal primo e dal terzo raccogliamo stavolta hanno in comune soltanto un due due quindi raccolgo il 2A dal primo resta 5 perché 5x210 a e dal terzo resta soltanto una Y Quindi 5 at Y vedete che già sta tornando la stessa quantità Poi dagli altri due io devo fare in modo che dentro parentesi resti di nuovo un 5A + Y però vedete stavolta è un caso particolare entrambi i due termini sono entrambi negativi Quindi se io raccolgo soltanto la b dentro mi resterebbero due pensieri negativi Ma io non voglio che dentro ci siano due termini negativi perché io voglio che ci sia 5 a + y sono entrambi positivi Quindi allora raccolgo il meno raccolgo meno B vedo che hanno in comune il meno Quindi io raccolgo il meno meno B dentro parentesi dal primo cosa resta se ho raccolto il meno dentro resta un più e come se io avessi tolto il meno e quindi il segno diciamo Allora raccogliere il meno Se volete Se volete Vederle in maniera più semplice vuol dire cambiare il segno Quindi se c'è meno e ho raccolto o meno dentro rimarrà un più quindi non lo metto neanche abbiamo raccolto la b resta 5 a anche qua abbiamo raccolto il meno Quindi cambiamo il segno più la birra abbiamo raccolta resta Y Avete visto 5A + Y adesso cosa dovrei fare Dovrei raccogliere il 5 a + y tra entrambi ed è questo e poi dal primo resta 2A che è questo dal secondo resta meno B che è questo quindi vedete siamo arrivati allo stesso identico risultato Quindi o raccoglie questo modo o nell'altro il risultato deve venire identico se io però avessi raccolto il primo e il quarto e poi il secondo il terzo non mi sarebbe venuto la stessa quantità tra parentesi quindi quel caso sarebbe stato sbagliato Ora vediamo l'ultimo stavolta perché non ci sono quattro termini ce ne sono sei perché come ho detto all'inizio il raccoglimento parziale funziona quando c'è un numero pari di Termini Questo è un caso un po' più particolare nel senso che ci sono più modi per risolverlo noi possiamo o notare che per esempio c'è un due due due in tre termini e poi gli altri tre hanno la b la B e la B quindi io potrei raccoglierli a tre a tre anzi che come prima due a due oppure e viene esattamente lo stesso risultato fare che raccolgo tipo la x da questi due poi raccolgo la Y da questi due e dagli altri due Non raccolgo ogni cioè raccoglierò un 1 in modo tale che dentro parentesi resti sempre un due HP viene esattamente lo stesso risultato però comunque noi decidiamo di raccogliere che mi sembra anche più facile più veloce raccogliere quelli col 2 quindi 33 e quelli con la B quindi 3 prima e tre dopo Quindi partiamo da quelli col 2 quindi dal terzo il quarto il sesto io raccolgo il anno anche due a hanno anche due angoli quindi raccolgo il 2 dal primo cosa mi resta Y dal secondo che cosa mi resta niente quindi uno quando non resta niente È uno perché io se poi facessi di nuovo la moltiplicazione ora vi faccio vedere un attimo dall'ultimo rimane la x Se io facessi adesso la moltiplicazione tra questo e questo una normale moltiplicazione tra un monomio e un polinomio mi devo mi devono tornare gli stessi risultati di prima quindi il primo è 2A Y ed è giusto il secondo è 2A per 1 e quindi mi torna 2A e quindi è giusto dal terzo 2 a X quindi giusto se io quando ne avessi messo niente dico Ok non è rimasto niente Quindi zero lo tolgo poi non sarebbe tornato lo stesso di prima Quindi zero è sbagliato bisogna mettere l'uno ora qua ho finito lo spazio torno a capo quindi qua dovrei mettere in più torno a capo metto un altro più dagli altri tre abbiamo detto raccogliamo la b quindi mi resta X dal primo Y dal secondo e poi dal quinto vedete qua non rimane niente Abbiamo raccolto tutto quindi uno adesso scrivere risultato magari un po' più piccolino magari in questo momento di qua vedete che dentro parentesi è rimasta la stessa quantità Quindi io faccio X + Y + 1 lo raccolgo e poi tutto quanto che Moltiplica 2A al primo più B al secondo e quindi questo è il risultato e questo era il raccoglimento parziale differenze di quadrati anche chiamata con il nome di Somma per differenza È l'inverso di quello che noi eravamo abituati a fare per esempio in questo caso quando appunto avevamo una somma per differenza tra due termini x + 2 e x - 2 cosa si faceva in questi casi quindi si faceva il anziché fare tutte le moltiplicazioni il quadrato del primo termine quindi il quadrato della x meno il quadrato del secondo termine quindi il quadrato del 2 quindi il 4 Quindi perché si chiama differenza di quadrati perché qua abbiamo una differenza tra due termini che sono al quadrato perché il 4 il quadrato di 2 quindi adesso noi quello che faremo è l'operazione inversa cioè passe dalla differenza di quadrati di nuovo alla somma per differenza e questo si chiama appunto scomposizione Scomporre il polinomio Quindi come si fa a capire quando applicare la differenza di quadrati guardate i numeri guardate i numeri perché i numeri che noi troviamo in questo esercizio sono sempre dei numeri molto particolari sono sempre dei numeri che sono il quadrato di un altro numero quindi questo già ci dà un diciamo un suggerimento su quali metodi utilizzare questo e anche altri che dopo vi mostrerò per esempio qua vediamo che c'è un 16 Qua c'è un 4 un 9 un 25 sono tutti sempre il quadrato di qualcosa in matematica ogni volta che vedete questi particolari numeri dovete sempre pensare che c'è qualcosa di particolare che non sono numeri a caso come il 47 quindi l'esercizio vuole che voi facciate una determinata cosa in questo caso a differenza di quadrati quindi dobbiamo notare che c'è una differenza quindi una un segno meno in mezzo tra due termini e poi due termini al quadrato vedete costruisce una X al quadrato e un 16 e quindi come si fa a ragionare noi dobbiamo sempre pensare che questo sia Appunto una somma per una differenza Ok dobbiamo riempire gli spazi vuoti Facciamo così per il primo esercizio la x abbiamo una X alla seconda quindi dobbiamo fare l'operazione inversa se qua facevamo il quadrato noi dobbiamo fare l'inverso del quadrato quindi la radice Qual è la radice di X alla seconda o se volete vederlo in un altro modo X alla seconda è il quadrato di quale termine di che cosa e il contratto di X quindi ho qua metto x il primo termine e la x 16 e il quadrato di cosa è il quadrato di 4 e quindi questa somma per differenza sarebbe x + 4 per x - 4 andiamo a vedere il secondo quindi è davvero una somma per differenza controlliamo il 4 è il quadrato di 2 Questo è il quadrato di qualcosa già il 9 ci deve dire che ci siamo perché il 9 e il quadrato di 3 alla seconda è il quadrato ha la quarta e il quadrato di a alla seconda vi ho già dato la soluzione perché voi dovete vedere alla seconda come alla quarta come alla seconda tutto la seconda Ricordatevi dalle proprietà delle potenze che quando c'è una cosa del genere si fa il prodotto tra gli esponenti quindi 2x2 4 Quindi questo è il quadrato di alla seconda quindi scrivo il primo 4 il quadrato di cosa di 2 questo è più perché prima c'è la somma o differenza è indifferente l'ordine vale la proprietà commutativa Però io sono abituato a mettere prima la somma poi 9 nel quadrato di 3 alla quarta il quadrato di alla seconda per adesso la differenza Quindi io ricopi di nuovo il 2 devo ricopiare la stessa cosa ma mettendo il meno in mezzo 3 alla seconda fatto e il gioco è fatto questo è uno dei più facili che c'è una delle scomposizioni più semplici che ci siano Qua abbiamo le frazioni cosa succede con le frazioni stessa identica cosa cioè quando mi potrei inventare un 9/25 9 è sempre il quadrato di 3 quindi 9/25 e il quadrato di che cosa è il quadrato di 3 quindi alla decima e il quadrato di alla quinta perché se ci pensate alla decima sempre per la proprietà delle potenze uguale Dalla Quinta alla seconda perché 5x2 fa 10 Quindi qua con gli esponenti dovete fare diviso 2 funziona così poi il secondo un quarto è il quadrato di che cosa beh uno è il quadrato di se stesso quindi lasciamo comunque uno 4 il quadrato di 2 B alla quarta il quadrato di B alla seconda e poi ricopiamo 3/5 a alla quinta meno stavolta un mezzo B alla seconda fatto ora Questo è un tantino più difficile magari da capire che va risolto una differenza di quadrati quando non vi dico esattamente che qui c'è una differenza di quadrati nel senso l'unica potrebbe fare tutti i conti Ok quindi svolgere il quadrato di binomio svolgere altro quadrato di binomio e poi trovarsi sei termini e vedere magari di fare un parziale eccetera eccetera ma no di solito questi esercizi sono fatti per essere scomposti subito quindi magari il professore nel compito e l'interrogazione vuole che voi lo scomponiate senza fare tutti i calcoli Come si scomporre senza aver fatto tutti i calcoli beh vedete che questo è qualcosa al quadrato ha più B è tutto al quadrato quindi quello è il quadrato di qualcosa e il quadrato di a+b poi c'è una segno meno Quindi una differenza tra due termini Questo è il quadrato di x - y Quindi io se volete facciamo un primo passaggio con le parentesi quadre Questo era il quadrato di che cosa era il quadrato di a + b poi più la prima è la somma Questo è il quadrato di che cosa il quadrato di x - y non hai bisogno non c'è bisogno di mettere le parentesi Però intanto lo voglio fare per farvi vedere ora la differenza Quindi io ricopio la stessa cosa a + b meno x meno y l'ho fatto l'ho fatto con le parentesi quadre tonde perché non voglio che sbagliate di qua perché x meno y è tutto insieme il segno vero va messo prima di X - Y Quindi quando io faccio questa cosa qua adesso posso togliere le parentesi tonde e quindi mi resta Ah più b + x + y e dall'altra mi resta a più B qua devo cambiare il segno di entrambi quindi meno X Però più Y perché c'è meno e meno Quindi se lo fate Tutto insieme senza mettere le doppie parentesi Ricordatevi che il meno sta davanti a tutta la parentesi Quindi se cambiate direttamente la x dovete cambiare anche direttamente la Y e quindi qua non si può più fare niente e quindi questo è il risultato finale Questa è la differenza di quadrati quadrato di binomio anche in questo caso bisogna fare l'operazione inversa a cui eravamo di solito abituati Cioè di solito eravamo abituati ad avere questo e di fare l'operazione appunto del quadrato di binomio quindi fare il quadrato del primo a alla seconda poi il doppio prodotto col segno più se qui dentro c'era il più col segno meno se qui dentro c'era il meno e poi il quadrato del secondo quindi B alla seconda Adesso faremo l'operazione inversa cioè noi partiremo da un polinomi del genere e andremo verso la forma del quadrato di binomio Quindi come si fa a capire quando utilizzare un quadrato di binomio Innanzitutto ci devono essere 3 termini 3 uno per il quadrato uno per l'altro quadrato è il terzo per il doppio prodotto Quindi occhio la differenza tra la differenza di quadrati e il quadrato di minore la differenza di quadrati è sempre tra due termini quadrato di binomio è tra tre termini quindi cosa dobbiamo fare intanto la cosa più facile è intanto individuare i due quadrati quindi individuare che c'è un termine alla seconda e termina la seconda poi penseremo il doppio prodotto Quindi intanto guardiamo il primo esempio il primo esempio ha la X alla seconda che il quadrato di qualcosa il quadrato di x poi abbiamo 6x vedete che il 6 non è il quadrato di qualcosa quindi lo lasciamo perdere per adesso e poi c'è il 9 che il quadrato di 3 quindi io già intuisco la forma che deve assumere il quadrato di binomio dentro parentesi quindi io avrei una cosa del genere ok E io allora intanto inserisco il risultato dopo controlleremo se è giusto dico X alla seconda il quadrato di x 9 e il quadrato di 3 qui dentro che segno metto qui dentro dobbiamo mettere il segno in teoria del doppio prodotto vedete questo qui ok l'ultimo termine che ci è rimasto il terzo termine quindi 6x il 6x è un segno più quindi io metto un segno più Ora è corretto quello che abbiamo scritto proviamo Proviamo a vedere se il doppio prodotto viene veramente sex perché gli altri li abbiamo già controllati Vediamo se doppio prodotto è 2 per questo per questo 2 per X per 3 2 per 3 fa 6 6 x giusto fatto il primo è risolto ora passiamo al secondo anche in questo caso controlliamo se ci sono due quadrati Io intanto vedo il 9 subitissimo che è un quadrato Poi il 12 lo vedo che non è un quadrato Quindi per adesso lo lascio perdere poi il 4 il 4 è un quadrato ma 4 alla seconda alla seconda è il quadrato di a Quindi 4 alla seconda e un quadrato un altro modo per vedere se dei termini sono veramente dei quadrati o meno e guardare il segno i quadrati devono avere sempre il segno più davanti perché il segno quando noi siamo abituati a fare il doppio il quadrato di binomio il doppio prodotto può avere il più o il meno a seconda di i quadrati sono sempre positivi perché anche se io avessi x-3 al quadrato quando poi faccio il quadrato del meno 3 al quadrato diventa più quindi in ogni caso i due quadrati sono sempre positivi quindi in questo caso se avessi avuto qua un -9 questo non sarebbe stato un quadrato di binario ci deve essere per forza il più quindi apriamo parentesi il primo il quadrato di quale termine è il quadrato di 2A il secondo il terzo qui è il quadrato di 3 qua vedo che c'è un segno meno nell'altro termine perché il doppio prodotto è negativo Quindi qua Metto il meno controlliamo se è veramente Questo è il doppio prodotto quindi devo fare due per due a per -3 Quindi intanto il segno fa meno perché più per meno meno Quindi ci siamo due per due per tre 2 per 2 fa 4 * 3 12 ci siamo e poi c'era la a 12 a fatto quindi quello è il quadrato di binomio poi passiamo al terzo Io intanto vedo che c'è un 10 che non è un quadrato qua non c'è nessun numero ma è come se ci fosse uno e ricordatevi l'uno è un jolly questa frase mi sentirete dirla molto spesso l'uno Possiamo vederlo in questo caso come il quadrato di se stesso quindi io in questo caso questo lo posso classificare come un termine al quadrato perché ho X al quadrato e Y al quadrato anche il 25 che il quadrato di 5 quindi questo è il quadrante perché c'è zh alla quarta quindi anche questo è il quadrato di qualcosa quindi io apro la parentesi e metto Intanto il primo e il quadrato di che cosa il quadrato di XY poi metto il terzo e il quadrato di 5z alla seconda ora il segno del doppio prodotto è il meno controlliamo il doppio prodotto Quindi stavolta lo scrivo che un po' più lunghetto quindi il doppio prodotto dovrebbe essere due per XY per -5 Z la seconda quindi sarebbe Intanto il segno meno Poi il numero 2 per 5 10 e poi le lettere x y z alla seconda che vedete che è lo stesso quindi anche questo è corretto ora passiamo all'ultimo che ha le frazioni non cambia assolutamente nulla io devo sempre controllare per i quadrati ora vedete che c'è No in realtà c'è qualcosina di diverso volevo ingannarvi un pochettino perché 81 25esimi è il quadrato di qualcosa perché 81 al quadrato di 9 25 il quadrato di 5 quindi questo è un quadrato Anche perché c'è X alla quarta 25 quarti è il quadrato di 5 mezzi quindi è giusto 9 X alla seconda Beh anche questo è un quadrato 9 il quadrato di 3 X alla seconda è il quadrato di x abbiamo 3 quadrati cosa facciamo e ricordatevi Uno è il segno meno davanti Quindi già questo deve essere il primo suggerimento la prima Campanella d'allarme che vi dice quello non è un quadrato Perché i quadrati devono sempre avere il segno positivo Allora io intanto mi considero come quadrati questo e questo e magari vediamo poi se questo che ho sottolineato diversamente è il doppio prodotto quindi apriamo le parentesi mettiamo il quadrato il primo il primo è il quadrato di 9/5 X alla seconda Questo è il quadrato di 5 mezzi poi il terzo termine ha un segno meno Quindi il doppio prodotto sarà negativo e quindi questo è il risultato controlliamo se è giusto quindi controlliamo se il doppio prodotto fa veramente -9x alla seconda vediamo allora il doppio prodotto sarebbe due per nove quinti X alla seconda per -5/2 Allora intanto posso semplificare è una moltiplicazione a 3 quindi 5 5 via 2 2 via mi resta il meno il 9 e la X alla seconda ci siamo quindi quello era veramente doppio prodotto quindi questo deve essere un modo per farvi capire Come individuare prima i due quadrati e poi alla fine fare diciamo la prova del nove per vedere se il terzo termine era veramente il doppio prodotto in quel caso quindi questo Questa è la forma corretta del quadrato di binomi trinomio speciale anche detto trinomio particolare in alcuni libri Quindi ho messo entrambi i nomi quando va utilizzato Allora come il quadrato di binomio va utilizzato solo se ci sono tre termini e appunto si chiama trinomio c'è un polinomio formato da tre termini però quando noi possiamo applicare il quadrato di binomio applichiamo il quadrato di binomio che è più facile più veloce da da applicare da scrivere quando invece quello che abbiamo davanti non è un quadrato di binomio Allora cerchiamo di applicare la regola del Trione speciale per esempio guardiamo qua il primo esempio ci assicuriamo intanto che non sia un quadrato di binomio in teoria tecnicamente un quadrato ce l'abbiamo che ha la seconda ma gli altri due non sono quadrati quindi siccome abbiamo bisogno avremo bisogno di due quadrati per avere un quadrato di binomio questo non è un quadrato di binomio proviamo quindi a scomporlo come trinomio speciale Cosa si fa allora Io qua Metto Intanto un numeretto 1 perché questo ci importa Intanto un altro numeretto 1 la prima Regola fondamentale perché ci sono due modi di scomporre speciale La prima è guardare Intanto il coefficiente della diciamo il coefficiente del termine di secondo grado quello che ha la seconda o X alla seconda e nel trinomio più semplice e noi abbiamo che questo coefficiente è sempre uno quindi non abbiamo qua il numero quindi è uno questa regola si può applicare soltanto se il termine di secondo grado ha come coefficiente 1 Come si applica Allora si prendono gli altri due coefficienti quindi questo 1 questo più uno teniamoci sempre il segno e questo Meno 2 è in ordine scriviamo che il +1 è la somma di due numeri che ora dobbiamo cercare di capire quali sono e il prodotto è -2 cioè noi dobbiamo trovare due numeri tali che la loro somma sia 1 Cioè questo coefficiente qua senza la quindi questo più uno e il loro prodotto sia -2 quindi dobbiamo prenderci totalmente tutte le combinazioni di numeri che all'inizio il mio consiglio è partire dal prodotto Quindi anche senza senza il segno evitiamo un attimo di pensare al segno il prodotto è due Quali sono tutte le combinazioni di due numeri che mi danno come prodotto il 2 col 2 è facile Sono esattamente due e uno due per uno E l'unico modo per fare due quindi i nostri due numeri sono uno e due io vi consiglio intanto di scrivere così ora eventualmente aggiustiamo i segni perché possono avere dei segni più o meno dobbiamo fare in modo adesso che la loro somma sia più uno e che il loro prodotto sia meno 2 Io di solito parto sempre dalla somma e dico se la somma è positiva vuol dire che almeno un numero positivo ci deve essere ogni caso come facciamo a fare in modo da arrivare a uno come somma Beh semplicemente più due e meno uno meno uno più due fa più uno un attimo controlliamo l'ultima cosa il prodotto verrebbe negativo Sì più per meno meno meno meno uno per più due fa meno 2 ok Abbiamo trovato i due numeri cosa molto importante cosa ci facciamo adesso con questi due numeri che abbiamo trovato semplicemente quando adesso Scriveremo la risoluzione della scomposizione metteremo ricopieremo la lettera senza il quadrato quindi a e ricopriamo il primo numero dentro una parentesi poi per di nuovo la lettera e ricopiamo il secondo numero con tanto di segno quindi a -1 per +2 quindi questa è la scomposizione se ora noi facessimo di nuovo il prodotto apera per due eccetera eccetera ritroveremo di nuovo il trinomio di partenza e quindi questo vuol dire che è corretto Passiamo al secondo ve ne faccio vedere un altro Allora qui Qua c'è sempre l'uno quindi possiamo sempre applicare questa regola semplice quindi noi dobbiamo trovare due numeri tali che la loro somma sia meno 5 il loro prodotto sia più sei Ricordatevi sempre in ordine somma e prodotto quindi il primo dei due è la somma il secondo dei due è il prodotto Quindi quali sono i due numeri tali che la somma e -5 il prodotto è 6 partiamo dal prodotto Come facciamo a fare come prodotto 6 scriviamo tutte le possibili coppie di numeri che ci sono come prodotto 6 abbiamo intanto uno per 6 e quella più semplice la più banale e poi abbiamo anche due per tre quindi cerchiamo di escluderne una ora guardiamo la somma Come possiamo arrivare al -5 Questo è un caso particolare perché al 5 togliete un attimo il segno al 5 intero Se ci potrebbe arrivare vedete col 6 e l'1 facendo 6 - 1 al limite cambiando i segni oppure con due più tre quindi cerchiamo di capire qual è la nostra soluzione io potrei dire ok Parto dalla prima 6 e 1 Vediamo se funziona per arrivare a -5 mi servirebbe che il Safe sia negativo e l'uno positivo quindi meno 6 + 1 fa -5 cosa succede però quando io provo a vedere se il prodotto è corretto meno per più in teoria Fa meno ma il prodotto deve essere più quindi la prima coppia non funziona proviamo la seconda la somma deve essere meno 5 l'unico modo per arrivare almeno 5T 2.3 sarebbe mettere -2 e -3 perché Meno 2 meno 3 fa -5 Quindi ci siamo controlliamo il prodotto meno per meno più -2 * -3 fa più 6 Ok abbiamo trovato la nostra coppia Quindi adesso andiamo a scrivere di nuovo a perdiamo il primo Meno 2 per a -3 il secondo fatto e anche questo è risolto quindi tutti così somma e prodotto ora passiamo a quelli un po' più complicati cioè quando il coefficiente del termine alla seconda non è più uno Allora l'inizio È simile cioè noi dobbiamo trovare sempre due numeri tali che la somma è sempre questo coefficiente quindi la somma deve essere più 7 il prodotto stavolta deve essere questo più 3 come prima Però gli dobbiamo moltiplicare il 2 iniziale quindi anziché essere 3 il prodotto stavolta è 6 Questa è una iniziale differenza mettiamola così ok riprendiamo di nuovo tutti tutte le coppie che ci danno come prodotto 6 abbiamo detto 1 e 6 oppure 2 e 3 però lo vedete già che al 7 non ci arriviamo col 2 col 3 quindi questa coppia la possiamo già escludere direttamente al 7 ci possiamo arrivare senza semplicemente facendo uno + 6 quindi più uno e più sei Questa è la nostra coppia adesso c'è l'altra differenza però anziché scrivere direttamente la soluzione in questo modo dobbiamo fare qualcosa di più di diverso diciamo un po' più lungo sarà il procedimento in questo caso e cioè io riscrivo di nuovo totalmente questo polinomio tranne il secondo termine Ora vi faccio vedere Intanto lascio uno spazietto in mezzo però vi faccio vedere il primo è il terzo termine li riscriviamo Come erano al posto del secondo che era 7x io scrivo questi due numeri accompagnati ogni volta Dalla x quindi più sarebbe 1X Quindi metto X più 6x cioè io ho preso il 7x lo spezzato in due pezzi xsx In modo tale che se io li so Massi di nuovo cosa che non faremo perché altrimenti torneremo di nuovo come prima Torniamo appunto come prima quindi non è cambiato niente Cioè io ho fatto un'operazione o spezzettato questa 7x non è cambiato nulla cioè il risultato è sempre corretto l'uguaglianza funziona comunque Allora a cosa ci è servito fare questo passaggio Perché adesso un attimo il cancello un po' perché quello non ci serve più adesso abbiamo quattro termini vi ricordate cosa funziona con quattro termini il raccoglimento parziale andiamo a vedere i coefficienti due e uno quindi due il doppio di 1 6 e 3 6 è il doppio di 3 quindi possiamo raccoglierli a due a due seguendo i coefficienti come abbiamo fatto per il raccoglimento parziale quindi dai primi due raccogliamo quello che hanno in comune cioè soltanto la x e quindi del primo resta 2x perché una l'abbiamo raccolta dal secondo resterà soltanto uno quindi vediamo se nella seconda parentesi ci resta comunque il 2x + 1 dal terzo del quarto raccogliamo il 3 vedete hanno in comune soltanto il più 3 raccolto il 3 qua ci è rimasto 2x e racconto Il Trend Qui c'è rimasto uno vedete la parentesi è uguale Quindi adesso mi metto qua io raccolgo quel 2x + 1 che era comune a entrambi i termini questo e questo dalla prima raccolta il 2x + 1 mi resta soltanto X dalla seconda accolto il 2x + 1 mi resa soltanto il 3 e quindi questa è la soluzione del nostro esercizio abbiamo scomposto il trinomio di partenza Quindi vedete che quello che cambia è guardare sempre prima il coefficiente della X alla seconda in questo caso se è uno avevo il mezzo più veloce e se non è uno diamo il mezzo un po' più lento che comunque funziona sempre comunque più veloce di Ruffini Quindi ve lo suggerisco adesso andiamo a vedere questo caso particolare il quarto esercizio quindi Ripartiamo come al solito il coefficiente non è uno quindi somma 12 e prodotto sarebbe 13 * 3 quindi 2009 Ora noi potremmo provare tutte le possibili combinazioni per arrivare al 39 A parte che mi pare che le uniche due siano 1,39 oppure 3 e 13 perché il 13 numero primo Insomma No comunque non dovrebbero esserci altre altre possibili soluzioni al 39 Comunque col 39 l'uno non arriviamo al 12 col 13 e il 3 non arriviamo al 12 potremmo stare qui un'ora a pensare a tutte le possibili combinazioni In modo tale da trovare questi due numeri non ci riusciremo Perché Perché quando non ci riusciamo vuol dire che il trinomio semplicemente non è scomponibile quindi io non lo posso scrivere in nessun altro modo è così e resta così neanche se io applicassi la regola di Ruffini Non riuscirei comunque a scomporlo quindi questo resta così cubo di binomio qua Vi ho messo le formule del cubo di binomio in entrambi i casi cioè quando c'è il più e quando c'è il meno vi ricordo che è l'unica cosa che cambia sono i segni del secondo e del quarto termine se c'è il più Ovviamente se li scrivete in ordine io Vi suggerisco altamente di ricordare la formula in quest'ordine perché è molto più semplice Secondo me perché abbiamo gli esponenti del primo pezzo quindi della a che vanno sempre a scendere 3 2 1 e poi non c'è quelli della B che vanno a salire Cioè zero che non c'è 1 2 3 quindi se li ricordate così i coefficienti saranno sempre 1 3 3 1 e quindi un modo almeno veloce per me per ricordare la formula a memoria nel caso in cui ci fosse il meno il secondo è il quarto termine hanno il segno negativo quindi la cancello tutti questi e partiamo con il primo quindi noi ci troviamo di fronte questa cosa qua Questo polinomio qua e dobbiamo capire perché questo è un cubo di binomi Intanto come si fa a capire se è un cubo di binomio prima regola devono essere quattro termini perché vedete che ci deve essere il cubo del primo il cubo del secondo fondo e i due tripli prodotti quindi quattro termini in totale vuol dire che dobbiamo andare a cercare come per il quadrato di binomio cercavamo i quadrati per il cubo di binomi dobbiamo cercare i cubi Quindi qua c'è un cubo perché X al cubo e poi c'è l'uno perché l'uno al cubo è sempre uno quindi l'uno è un jolly e Possiamo vederlo come il cubo di se stesso quindi abbiamo trovato i due cubi quindi esattamente come facevamo per il quadrato di binomio Noi scriviamo la parentesi stavolta mettendo alla terza Scriviamo i due termini quindi x e 1 perché x alla terza è il cubo di x 1 e il cubo di 1 al centro cosa mettiamo se sono tutti più chiaramente metteremo in più esercizio fatto Però ovviamente testiamo per vedere se questi qua Qui dove sto sottolineando adesso Erano veramente dei tripli prodotti quindi cosa Facciamo per vedere se erano dei tripli prodotti quindi prendiamo il primo che è questo qua sarebbe 3 per il Passiamo al secondo per il secondo termine quindi 3x il primo termine alla seconda Sarebbe qua la x quindi X alla seconda per 1 che è 3x alla seconda è il primo C'è poi il secondo sarebbe 3x il primo quindi a per b alla seconda per quindi uno alla seconda che fa sempre uno quindi 3x che è questo qua quindi ci siamo Il primo è risolto quindi intanto noi scriviamo la soluzione dei cubi poi andiamo a vedere eventualmente se c'erano se quelli erano veramente dei tempi prodotti andiamo a vedere il secondo quindi Quali sono i cubi in questo intanto che vediamo che ci sono dei segni meno però ora cerchiamo di capire Allora cubi x alla terza è chiaramente un cubo 12 X alla seconda già lo vedete se semplicemente dalla X X alla seconda non può essere un cubo neanche la x può essere un cubo 64 è un quadrato però è anche un cubo è il quadrato di 8 però è anche il cubo di 4 Perché 64 16 16x4 e 64 Quindi io scrivo X scrivo il 4 scrivo il cubo al centro che segno metto il meno siamo vedete in questo secondo caso dove il secondo e il quarto termine sono negativi Quindi vedete che sono scritti in ordine prima extraterrestri alla seconda x e poi manca la X quindi questo è il secondo è giusto quello è il quarto è giusto x-4 al terzo verifichiamo quindi il primo triplo prodotto sarebbe 3x il primo alla seconda quindi X alla seconda per 4 ovviamente col segno meno perché in quello ci sta il segno meno che è questo meno 3x4 fa 12 Quindi questo fa meno 12x alla seconda è giusto andiamo a vedere il secondo quindi sarebbe 3x il primo X per il quadrato del secondo quindi 4x4 16 quindi per 16 perché questo viene positivo perché sarebbe meno 4 alla seconda quindi questo segno più è per il fatto che c'è il quadrato del numero negativo e quindi questo fa 48 x ed è giusto quindi abbiamo verificato che quello è veramente un cubo di binomio passiamo adesso all'ultimo che è un po' più complicato perché ci sono anche le frazioni Allora cerchiamo di individuare se ci sono due cubi intanto qua vedo un mix al cubo quindi verifichiamo se questo è un cubo l'8 l'8 il cubo di 2 il 27 e il cubo di 3 quindi questo è un cubo poi Qua c'è un due terzi due terzi già si vede che non può essere un cubo a parte c'è anche la X alla seconda anche se c'è la y alla terza questo non è un cubo Qua c'è una x e basta quindi neanche questo è un cubo poi abbiamo l'ultimo un Ottavo Beh l'8 è il cubo di 2 quindi un Ottavo sarebbe il cubo di un mezzo Perché uno è cubo di se stesso y alla terza sarà il cubo di y alla terza perché 3 * 3 fa 9 quindi Ok abbiamo individuato i due cubi che sono questo e questo se Guardate sono scritti in ordine andiamo a controllare gli esponenti x alla terza X alla seconda X alla prima qui non c'è X Sembrerebbe di sì guardiamo la y X qua non c'è come se fosse Y elevato alla Zero non c'è y alla terza y^6 y la nona vedete che aumenta sempre la x diminuisce sempre la Y aumenta sempre quindi sono scritti in ordine Quindi io faccio la solita parentesi metto la terza Questo è il cubo di che cosa sarebbe il cubo di due terzi che abbiamo detto 8 è cubo di 2 27 cubo di 3 x il segno che segno metto ci sono i due meno alternati più o meno Più o meno mi dice già che al centro c'è il meno qua e poi l'altro questa abbiamo detto il cubo di un mezzo e Y alla nona e il cubo di y alla terza quindi questo è il risultato Ma andiamo come al solito a controllare Allora triplo prodotto quindi 3x il primo alla seconda quindi due terzi X tutto alla seconda per il secondo termine che è meno ora Almeno lo metteremo davanti Quindi qua non si può semplificare perché ancora dobbiamo svolgere il quadrato occhio Quindi 3x facciamo il quadrato che sarebbe 4/9 X alla seconda il meno lo mettiamo direttamente davanti Quindi togliamo tutte le parentesi quindi facciamo 3 E 9 li semplifichiamo 4 e 2 li semplifichiamo e quindi resta meno due terzi X alla seconda y alla terza e ci siamo Andiamo a verificare il secondo cancello che non ho più spazio quindi è il triplo prodotto stavolta del primo per il quadrato del secondo quindi il primo quale sarebbe 2/3 X il secondo sarebbe meno un mezzo y alla terza Questi li possiamo già semplificare vi resterebbe 2x il meno questo sarebbe al quadrato il meno sparisce adesso perché c'è il quadrato per un mezzo al quadrato fa 4 quindi un quarto y alla sesta adesso semplifichiamo il 2 col 4 e quindi viene un mezzo X Y Nella sesta e ci siamo anche su questo quindi questo è il cubo di binomio corretto Adesso vediamo velocemente gli ultimi che sono Rimasi cioè il quadrato di trinomio e somme differenze di cubi che sono quelli che di solito escono di meno negli esercizi si vedono meno spesso allora il quadrato di trinomio Vi ho messo qui la vecchia forma del quadrato di trinomio non è molto differente da quella del quadrato di binomio stavolta abbiamo tre termini quindi trinomio abbiamo il quadrato del primo il quadrato del secondo più il quadrato del terzo e poi tutte le combinazioni dei doppi prodotti quindi due volte il primo per il secondo due volte il primo per il terzo e poi due volte il secondo per il terzo quindi quando noi ci troviamo sei termini del genere in teoria potremmo provare a risolverlo come raccoglimento parziale però in teoria se vediamo che un quadrato di binomio è anche più veloce quindi io vedo che ci sono tre quadrati che sono a la seconda B alla seconda e 16 che il quadrato di 4 e poi altri tre termini che non sono dei quadrati Quindi quello che devo fare è scrivere al solito la parentesi con i tre termini che sarebbero a B e 4 perché sei di circa il quadrato di 4 senza mettere i segni in mezzo adesso dobbiamo controllare i doppi prodotti quindi esattamente come facevamo per il quadrato di binomio Dobbiamo controllare i doppi prodotti sono corretti al momento Lasciamo stare i segni Poi per i segni vediamo che un po' più complicato quindi il primo vedete che ha la B quindi io mi aspetto che sia il prodotto tra il primo e il secondo Quindi doppio prodotto dalla prima e secondo 2A B cioè poi questo sarà quello tra il primo e il terzo due volte per a per 4 che fa 8A c'è E questo sarebbe quello tra il secondo e il terzo quindi due volte B per 4 fa 8b Cioè ora dobbiamo andare a vedere i segni Come facciamo a capire quali segni dobbiamo mettere visto che ci sono dei 6 e se sono tutti più è facile Io metto più più e ho finito se ci sono dei meno in mezzo noi dobbiamo controllare e vedere il prodotto tra il primo e il secondo che questo termine qua è negativo come fa a diventare negativo almeno uno dei cioè uno dei due non almeno uno dei due deve essere negativo quindi OA o B Negativo teniamocelo a mente il prodotto tra il primo e il terzo anche questo deve essere negativo Quindi se il prodotto della prima e seconda negativo quindi uno dei due è negativo è uno dei due è negativo Allora io posso mettere il segno posso supporre che la a se negativa quindi io dico se la è negativa è ovvio che e questi due sono positivi È ovvio che il prodotto tra i primi due mi viene negativo Anche questo mi viene indicativo e l'ultimo questo qua mi viene invece positivo e infatti tutto torna Uno potrebbe dire Eh ma meno per meno fa più e fare tutti i conti diversamente io potrei anche metterli al contrario in questo modo e funzionerebbe Comunque il prodotto tra i primi due è negativo perché più per meno meno il prodotto tra il primo e il terzo negativo più per meno meno il prodotto tra il secondo e il terzo è negativo È positivo perché meno per meno fa più torno ugualmente risultato è sempre lo stesso e come è sempre uguale il fatto che voi nel quadrato di binomio o scrivete x - 2 alla seconda O scrivete meno X più 2 alla seconda quindi spostando il segno o di qua o di là risultato non cambia perché il doppio prodotto è sempre quello sarà sempre negativo anche in questo caso stessa cosa quindi questo era il quadrato di trinomio Eccoci arrivati all'ultimo somma differenza di cubi vi ho scritto quale forme ora vi do una maniera per ricordare facilmente la formula della somma differente pubblica è sempre la più complicata da ricordare allora ci sono le due parentesi Quindi partiamo da quella della somma ci sono le due parentesi nella prima parentesi voi dovete ricopiare i due termini Senza calcolare il fatto che siano alla terza quindi ricopiarli anche col segno se è una somma qua va messo il segno più se è una differenza va messo il segno meno Quindi già da ricordare la differenza tra la somma e la differenza Poi la seconda parentesi è tipo quella di un quadrato di binomio vedete ci sono i due quadrati e c'è il termine del prodotto soltanto che l'unica differenza che non c'è il doppio prodotto non c'è un due lì ma è un prodotto e basta quindi questa è l'unica differenza Come si fa a ricordare i segni i segni dei quadrati come ricordate dalla formula del quadrato di binomio sono sempre positivi ci saranno sempre i più davanti alla seconda e b e la seconda il segno del prodotto sarà opposto al segno che abbiamo messo qua cioè opposto al segno della formula di partenza Quindi se la somma di cubi Il primo è positivo il secondo questo qui tra i due che cambiano è negativo Cioè il contrario nella differenza di cubi Il primo è negativo il secondo quello del prodotto invece sarà positivo Questa è l'unica cosa che cambia tra le due formule gli altri due sono sempre positivi alla seconda idea la seconda saranno sempre positivi Quindi adesso andiamo ad applicare questa formula ai nostri esercizi Allora individuiamo Intanto i due cubi sono x alla terza e 8y alla terza x alla terza e il cubo di x 8 y alla terza e il cubo di 2y siamo nel caso della somma quindi la prima formula Quindi io apro la prima parentesi devo scrivere i due termini senza i cubi cioè questi due qua devo mettere questi due quindi X + perché siamo nella forma della somma 2y prima parentesi fatta andiamo a fare la seconda ora non Guardate più questa Guardate quello che abbiamo scritto sotto i due termini quindi dobbiamo fare il primo alla seconda quindi X alla seconda poi c'è il prodotto Però stavolta Guardate il segno negativo quindi meno il prodotto tra x e 2y quindi sarà 2 xy e poi ci sarà il quadrato del secondo quindi più 4 y alla seconda Da notare regole importantissima che mi fa risparmiare un sacco di tempo quando fate la formula della somma a differenza di cubi la seconda parentesi non è mai scomponibile mai può sembrare un quadrato di binomio ma non lo è non si può Scomporre in nessun modo né come quadrato di binomio né come trion speciale né con Ruffini niente resta così l'esercizio è finito passiamo adesso al secondo che è la formula della differenza stavolta per vedere c'è il segno meno Quindi intanto andiamo a vedere i due termini Quali sono i nostri A e B Allora 27 è il cubo di 3 x alla sesta è il cubo di X alla seconda Mentre dall'altra parte 1 è al solito anche il cubo di se stesso quindi tra X alla seconda e 1 andiamo a scrivere la prima parentesi quindi dove li dico piano entrambi rimettendo il segno del testo iniziale quindi in questo caso il meno Quindi abbiamo 3x alla seconda meno 1 e la prima parentesi fatta poi quadrato del primo che sarà 9 x alla quarta Poi più perché nella formula c'è il più il prodotto tra i due sarebbe 3x alla seconda più il quadrato del secondo che è 1 fatto questa è la somma e differenza di Pupi adesso Passiamo a questo schemino importantissimo per capire negli esercizi Quale tipo di scomposizione utilizzare al posto di un altro screensaver ho imparato la memoria Insomma è la cosa che vi salverà la maggior parte delle volte negli esercizi vi dà quindi delle regole su cosa fare una volta che vi trovate davanti un esercizio la prima primissima cosa da fare sempre la prima regola provare a vedere se si può fare un raccoglimento totale se non lo fate se lo dimenticate se non lo vedete l'esercizio attività più complicata da risolvere ci saranno numeri più alti calcoli più grossi da fare quindi Ricordatevi sempre di vedere all'inizio se è possibile fare un raccoglimento totale se poi non è possibile o comunque dopo che l'avete fatto Cosa succede come si procede nel 99% dei casi ci sono magari delle eccezioni esercizi molto complicati bisogna contare il numero di Termini se noi abbiamo soltanto due termini Allora possiamo controllare se è una differenza di quadrati o una differenza o somma di cubi Quindi qua è facile capire se c'è un quadrato magari sarà un quadrato ci sono dei cubi sarà qualcosa con la somma a differenza di cubi lì è abbastanza semplice se magari c'è un quadrato e l'altro No semplicemente non si potrà scomporre Ma passiamo a quelli più interessanti Cosa succede quando ci sono tre termini io Da adesso in poi li ho messi in ordine per un motivo cioè prima il quadrato di binomio e poi il trinomio speciale che significa che prima se tre termini prima dovete provare a vedere se un quadrato di binomio dopo se sei sicuri che non sia un quadrato di binomio passate a provare a vedere se un trinomio speciale vedete sempre in ordine cioè un quadrato di binomio si può risolvere anche come termometro speciale Quindi anche se poi partiste dal termometro speciale Comunque trovereste la soluzione e che più lenta è semplicemente più lenta Quindi se imparate subito a capire che quello è subito un quadrato di binomio lo fate in un attimo col treno speciale Ci vuole un po' di tempo Quindi sempre in ordine se sono quattro termini anche qua guardate prima il cubo e poi il raccoglimento parziale nella maggior parte delle volte non si potranno comunque scomporre ehm cioè se un cubo e un cubo non non potete risolverlo come raccoglimento parziale quindi a volte ci saranno dei casi in cui dovete per forza controllare prima il cubo di binomi Insomma so che magari è più facile controllare prima il raccoglimento parziale ma controllate prima il cubo Mi raccomando poi se sono 6 termini controllate prima il quadrato di binomio e poi al limite il raccoglimento parziale tipo quello che abbiamo visto prima che è un po' più complicato ma è sempre un parziale ora Se volete vedere degli esercizi generici quindi su tutti i vari tipi di scomposizioni trovate qui da qualche parte un link all'altro video dove invece ho messo soltanto esercizi vedremo appunto tutti i tipi come potete vedere Non ho messo un qualcosa che doveva essere qua in mezzo dove ci sono cinque termini perché non c'è una regola specifica Ma è un caso un po' particolare Quindi cliccate