Kvadratická funkce

Definice

• Kvadratická funkce má předpis: (f(x) = ax^2 + bx + c)
• Podmínka: (a \neq 0)
• Definiční obor: všechna reálná čísla
• Grafem je parabola

Graf kvadratické funkce

• Parabola je kuželosečka a je osově souměrná
• Osa souměrnosti je kolmá na osu x
• Průsečík s osou y: dosažením (x = 0), získáme (c)
• Průsečíky s osou x: kořeny kvadratické rovnice (max. dva kořeny)
• Vrchol paraboly: záleží na souladu A
  • pokud (a > 0): parabola otevírá nahoru
  • pokud (a < 0): parabola otevírá dolů
• Souřadnice vrcholu:
  • x-ová souřadnice: aritmetický průměr kořenů (\frac{x_1 + x_2}{2})
  • y-ová souřadnice: dosažením x-ové souřadnice do funkce

Příklad

Zadání funkce

• Funkce: (f(x) = x^2 + 4x + 3)
• Definiční obor: všechna reálná čísla

Výpočet průsečíků a vrcholu

• Průsečík s osou y: (c = 3)
• Průsečíky s osou x:
  • (x_1 = -3)
  • (x_2 = -1)
  • Rozložení: (3x + x = 4x), (3 \times 1 = 3), (x\times x = x^2)
• Souřadnice vrcholu:
  • x-ová souřadnice: (\frac{-3 + (-1)}{2} = -2)
  • y-ová souřadnice: dosadíme do funkce ((-2)^2 + 4(-2) + 3 = -1)
  • Vrchol: ((-2, -1))

Kreslení grafu

• Vyšetříme průběh funkce
  • Funkce není sudá ani lichá (za (f(-x)))
  • Osa souměrnosti je uprostřed mezi kořeny ((x = -2))
  • Vykreslíme průsečíky ((-1, 0)), ((-3, 0)), vrchol ((-2, -1)) a průsečík s osou y ((0, 3))

Obor hodnot

• Zjistíme z grafu, že obor hodnot je ([-1, \infty))

Rekapitulace

1. Kvadratická funkce: (ax^2 + bx + c)\
2. Podmínky a definiční obor
3. Graf: parabola, symetrie, průsečíky, vrchol
4. Praktický příklad ureje: výpočet, kreslení grafu a určení hodnot