Kvadratická funkce

Jul 24, 2024

Kvadratická funkce

Definice

  • Kvadratická funkce má předpis: (f(x) = ax^2 + bx + c)
  • Podmínka: (a \neq 0)
  • Definiční obor: všechna reálná čísla
  • Grafem je parabola

Graf kvadratické funkce

  • Parabola je kuželosečka a je osově souměrná
  • Osa souměrnosti je kolmá na osu x
  • Průsečík s osou y: dosažením (x = 0), získáme (c)
  • Průsečíky s osou x: kořeny kvadratické rovnice (max. dva kořeny)
  • Vrchol paraboly: záleží na souladu A
    • pokud (a > 0): parabola otevírá nahoru
    • pokud (a < 0): parabola otevírá dolů
  • Souřadnice vrcholu:
    • x-ová souřadnice: aritmetický průměr kořenů (\frac{x_1 + x_2}{2})
    • y-ová souřadnice: dosažením x-ové souřadnice do funkce

Příklad

Zadání funkce

  • Funkce: (f(x) = x^2 + 4x + 3)
  • Definiční obor: všechna reálná čísla

Výpočet průsečíků a vrcholu

  • Průsečík s osou y: (c = 3)
  • Průsečíky s osou x:
    • (x_1 = -3)
    • (x_2 = -1)
    • Rozložení: (3x + x = 4x), (3 \times 1 = 3), (x\times x = x^2)
  • Souřadnice vrcholu:
    • x-ová souřadnice: (\frac{-3 + (-1)}{2} = -2)
    • y-ová souřadnice: dosadíme do funkce ((-2)^2 + 4(-2) + 3 = -1)
    • Vrchol: ((-2, -1))

Kreslení grafu

  • Vyšetříme průběh funkce
    • Funkce není sudá ani lichá (za (f(-x)))
    • Osa souměrnosti je uprostřed mezi kořeny ((x = -2))
    • Vykreslíme průsečíky ((-1, 0)), ((-3, 0)), vrchol ((-2, -1)) a průsečík s osou y ((0, 3))

Obor hodnot

  • Zjistíme z grafu, že obor hodnot je ([-1, \infty))

Rekapitulace

  1. Kvadratická funkce: (ax^2 + bx + c)\
  2. Podmínky a definiční obor
  3. Graf: parabola, symetrie, průsečíky, vrchol
  4. Praktický příklad ureje: výpočet, kreslení grafu a určení hodnot