Tak ahoj lidi, děkuji za příjmu do svého dnešního videa. Tady mám video na kvadratickou funkci, takže ukážeme si nějakou teorii a graf, jak se kreslí. Dále bych vám chtěl sdělit, že děkuju za ten příjmu, jste odběrali, co byl za poslední měsíc kvůli příjmačkám. Přes 700, moc vám za to děkuji.
jako odměnu zlepšuju kvalitu videí a to tím způsobem, že tady tady vlcač zhruba až někam sem byla skřínka, která mi překážela, proto jak víte, tak jsem vždycky psal vlcač sem, ale nikdy jsem třeba nepsal tady, teď už tady můžu hezky chodit, mám tady můj sebe... pěkně rozmáhnout a jistě se to projeví na kvalitě, jak vidí. U funkcí toho ceníme, protože jedna, tady budu kresit graf, tady budu řešit informace, které mi pomůžou ten graf nalézt.
Ale, pátí k tématu. Kvalitatická funkce, co je funkce, víme, takže to nebudu vůbec vysvětlovat. Kvalitatická funkce je funkce s předpisem f od x se rovná ax na druhou plus bx plus c. Podmínky jsou jednoduchý a jen jedna A to taková, že a musí být různé od 0. Jinak by to nebyla funkce kvadratická, protože by to nebylo.
Takže by to bylo buďto lineární, ale kdyby i b bylo 0, tak by to bylo jenom funkce konstantní. Definičním oborem této funkce jsou všechny reální čísla. Protože s umocňováním není žádný problém.
To není ta jedna operace. Druhá mocnina, i násobní, i sčítání, je definovaná pro všechny dální čísla bez výjimky. Není tam žádná odmocnina, logaritmus, celé ještě dělení. sudármocně, no, ne rychle, s lichou problém taky ne.
Sudármocně a logaritmus, dvělení a ráda něco šefnout, takže definitivní obor jsou reálná čísla. Obor hodnot není tak jednoduchý, určitě dělá se většinou z grafů, případně ze souřadních zvrchů, ale o tom si řekneme i za chvíli. Grafem funkce je křivka, která se nazývá parabola.
Parabola je křivka, je to kuželosečka, o tom tady více asi nebudu vysvětlovat, protože to je téma na jiný video, na celý video to třeba budu dvěset minut minimálně. Je to kuželosečka, je to taková křivka, vypadá trochu jako švihadlo. Třeba takhle nebo takhle. Jo. A má vlastnost, že každá parabola, myslím, že každá, je osově souměrná.
Osoby jsou měnná. To se hodí vědět. Proč? Protože to využijeme. Můžeme kreslit jednu půlku té paraboly, že jo?
A druhou půlku se dá jen překlopit. Vlastně podle té osy. Osa souměnnosti v grafu kvadratických funkcí má ještě jednu dobrou vlastnost.
A to taková, že ta osa... souměrnosti je kolma na osu x. To je dobré vědět.
To nám dost pomůže, ta vlastnost. Takže tohle rozhodně využijeme při kreslení grafu. Dále při kreslení grafu se hodí vědět, jestli...
Myslím, že existují průsečíky s osami. A ty v našem případě existují rozhodně. Průsečíky jsou y. Existuje vždycky maximálně jeden, kdyby byly dva, tak to není funkce. Kdyby byly dva a víc, tak to není funkce.
Existuje buď to jeden nebo žádný, v případě kvadratické funkce vždycky jeden. A je to x je 0. A jak to zjistím? No všechny body na y mají tu vlastnost, že jich x je 0. Tak já za x dostaním 0. A co mi zbyde? No ten cancour, to c. To je jedinej průstečík s osou y.
Průstečík s osou x může být buď to žádný, nebo jeden, nebo dva. A je to nečekaně, to jsou vlastně jenom kořeny té rovnice. Když se na to podívám, to všechny bude na...
na x mají y 0 a f je to jako y rovná se něco a y rovná se něco. To je to samý, já používám jenom f, mám to radši. Když na to dosahu jdu v 0, tak mi vyjde nějaká kvadratická rovnice. Tu vyřeším a mám průzlištíky, co jsou x. Takže bx...
jsou buď to žádný, nebo jeden, nebo dva. x1, 0. x2, 0. Jestliže kořeny jsou v komplexním čísla, tak ani jeden není. Jestliže je tam jeden dvojnásobný kořen, tak si ty plusičky kryjou.
Nebo ty body jsou, jak se tomu říká, totožený. Jo, totožený. Ty body, je tam jeden. Prostě ta parabola se štrychne o 8x. V jednom bodě.
Vrchol té paraboly je na tým. Takže... Ale o vrcholu řeknu právě teď.
Každá parabola, proč jsem ji mazal, nevím, má vrchol. Jo? Je to to místo, když to tak řeknu jednoduše, tak který je nejvíc dlouhý.
nebo nejvíc nahoře. Záleží asi na věk, na polaritě to ne, to je asi jiný pojem. Na směru té parabolice je buď to takhle, nebo takhle. To určuje A. Když je A větší než 0, to si napíšeme rozhodně.
tak ta parabola vypadá zhruba takhle, a když je a menší než 0, tak vypadá takhle. To určuje vlastnosti toho vrcholu. Ve vrcholu se mění monotónnost funkce. To je dobré vědět.
Když se kouknu, tak odsaď sem je klesající, ale když to řeknu, tak nesprávně, když je funkce zleva do prava, tak je klesající, když zprava do levá je rostoucí. Tady je nejdřív klesající a pak rostoucí a tady je nejdřív rostoucí a pak klesající. A to záleží na tom ačku. Míní se tam jednak monotonos, no a jednak je to vlastně, v tomhle případě to minimum tý funkce, v tomhle případě maximum tý funkce. Vždycky umíme určitě ten minimum nebo maximum, protože to druhý je v nekonečnou, respektive v mínus nekonečnou v tomhle případě.
Tak je to asi tak k vrcholu. A nám by se hodilo umět najít vlastně jeho souřadnice. Ještě bych k vrcholu dodal, že graf osátý, Paraboli prochází vrcholem. A tahle vlastnost je strašně důležitá a my ji při kreslení rozhodně využijeme.
Ta osa souměrnosti se nám moc bude hodit. Souřadnice vrcholu. Souřadnice vrcholu, když využijeme to, že parabola je osově souměrná, nakrytíme si nějaký příklad.
Tady je. jeden kořen, druhý kořen a vrchol. Podle toho, co jsem řekl, že parabola je osoba, která je souměná osé kolma a prochází vrcholem, tak co z toho vyplývá? Ta osoba bude přesně uprostřed.
Aby vlastně... Nechce se mi čárkovat tu čáru, protože by to trvalo dlouho. Nebudu to fixovat tady blbě. Tady nám stát, znamená, že si označím třeba A, a tady celé množství asi označím B, se musí rovnat.
Co vyplývá? No že ten... X-ová složenice vrcholů je přesně uprostřed mezi x1 a x2. A jak si věříte, to je přesně uprostřed.
No, aritmetickým průměrem, že jo? Takže vx, souřek x-ová služenice vrchovou, je aritmetický průměr kořenů. To je jedna možnost, jak to spočítat. Ještě si to klidně můžeme odmít, jak to spočítat obecně. Takže x1 je minus b plus odmocněnice z krimenantu je lomeno 2a, x2 je minus b minus odmocněnice z krimenantu lomeno 2a, a když to dáme průměr, já to napíšu, A, fuj toto píšu.
to celé lomeno dvěma. Tak co vidím? No, bůst odmocnění z diskriminátu, mínus odmocnění z diskriminátu se krátí a zbyde mi toto. Mínus dvě B, lomeno dvě A, lomeno dvěma. Potážmo lomeno dvě.
Já se napíšu jako složený zlomek, dva lomeno jednou. No a jak se upravuje složený zlomek? No takže, mější členy, Lomeno vnitřní členy. Dvojky zkrátím, jedničku se mám představit jenom, abych byl jasný, co říkám, a víte mi, že minus b lomeno dvě a je správný výsledek. Vždyť b je minus můj dál cenu.
Tamhle cenzoreto považuji za nadbytečný a jiný bych se nepamatoval. Proč? No protože ty kořeny, ty průsečky stejně patří k vlastně zjišťování jakého průběhu té funkce a stejně musím je počítat.
A jak zítkám b y, y-ovou slunici vrcholu, dalo by se to dělat tak, že to... Z tohohle z toho prostě dosadím do tohohle, ale ten zorec, co vidíte, je hnusnej docela, si to ani nepamatuju, není důvod. Dosadíme bx a vypočítáme prostě funkční hodnotu. Hotovo, není co řešit. Tohle by řekl, že k teorie všechno.
Myslím si, že daleko líp si to prozvíčme, jestli to prakticky namalujeme jaký graf. Takže rychlý opáčko, kvadratická funkce, ax na druhou plus bx plus c. předpis, přičem A je různý od 0, na B a C nejsou požadavky.
Definiční obor jsou reálná čísla. Obor hodnot není tak jednoduchý, závisí na složenících vrcholů, na Vy. Grafem je parabola. která je osově souměrná a přednímte, osa souměrností prochází vrcholem paraboli a je kolmá na osu x, což využijeme průsečík se y získám dosazením za x, tím mi tohle vypadne, zbyde mi jen samou rek C, průsečík z osou x znikne tak, že celou funkci položím rovnou nul a vyřeším kvadratickou rovnici kdy kořeny jsou pak průsečíky z osou x souřadnice vrcholu x získám tak Tak, že spočívám aritmetický průměr těhnevou kořenu vypočítaných. souřadnice, jak to říct, y-ovou, takže dosadím vypočítanou souřadnici do předpisu funkce, tímhle se to vypsilo.
Tady je odvození toho vzorečku na ten průměr ke kořenu, ale my si dáme příklad, to myslím, že bude jednodušší. Nakreslení grafu, kde si procvičíme všechny tyto věci. Takže, sbírka petáková, strana 29, cvičení 54, příklad 1. Mějme funkci f od x se rovná x na druhou plus 4x.
plus 3. Takže, jak na to půjdeme? Chybí po nás graf, souřadnice vrcholu a ještě musím obor hodnot. Takže, definiční obor, nebo já se tady, já se to budu ptát sem. definičním oborem jsou reálná čísla. Není problém.
Píšu bohu a i když je to nadbytečný projekt, proto dopatří k kreslení grafu jakýkoliv funkce určitý definiční obor. Obor hodnot zatím nevíme. Pardon, spadla mi knížka.
Oborhodnot zatím nevíme, vyřešíme ho podle souřadnic vrcholu, které vypočítáme. Takže to ještě zatím necháme otevřený. Já se tady namaluju souřadný mnicový osy.
Asi zhruba takhle, co tak předvídám, jak to bude vypadat. Tak, teďka si uděláme takový krok, který není nutný, v tomhle případě ani by mi nepomohl, ale patří k vyšetřování průběhu funkce, tedy k ekrasení grafu. Je to tak, že si vypočtu, kolik je f od minus x. tedy za x dosadím minus x, tedy to je minus x, to celé na druhou, plus 4 krátem minus x, plus 3, což se rovná, x na druhou minus...
4x plus 3. A teďka sledu. Je ten výsledek stejný jako předpis funkce? Není. Funkce není sudá.
Je ten výsledek, ten výraz, co jsme získali opačnej tomuhle výrazu? Není. Protože to by muselo být minus x na druhou, minus 4x minus 3 a tady jenom minus 4x, dva minusy chybí. Ta je způsobeně ani lichá, tedy nemůžu využít žádný zvýhod plynoucí ze sudosti nebo lichosti funkce.
Škoda. Jinak funkce kvadratická je sudá právě tehdy, kdy když tohle je 0. Když b je 0. Jo, pak už to bude seget. Jo, bude. Tak kdyby tady nebylo 4x, ale jen x do dobu plus 3, tak ta funkce je sudá.
Ale vraťme se zpátky k vyšetřování průběhu. Nebo ke kreslení grafu. To ještě není vyšetřování průběhu.
Vyšetřování průběhu je vlastně postup, při kterém kreslím graf funkce, o které prakticky nic nevím. A jen kreslím, aniže bych o něj cokoliv znal. My o kvadratické funkci víme, ale cos?
Průsečík to jsou y. je vlastně bod, x je 0, y je kolik? 3. To je ten sensor, který násobí x. Takže, jestli mám asi větší měřítko na tom grafu, ať to vypadá hezky.
Tady je průsečík s osou y. Průsečíky s osou x budeme počítat. Tak, když je to, jak jste to dělal, jednoduše jako rovnice, podle toho si napíšu.
Teď bych na to mohl použít oblíbený středočkovský vzorec na řešení kvadratických rovnic, ale mi se jim nechce psát, já jsem by to slína, já to rozložím. 3x plus x je 4x, 3 x 1 je 3, x x x na druhou, hotovo. Z toho pyné, že x 1 je minus 3, x 2 je minus 1. Takže průsečky jsou x, jsou minus 3, 0 a minus 1, 0. Zakrsíme do grafu. Takže to je tady a tady.
Jo, jinak je dobrým zvykem body, který přímo využívám, popsat jejich, vlastně jak to díká, souřadnici. Jo, zatím jsem využil minus jedničku, minus trojku a trojku. takže dobrým zvykem je to popsat.
Dokonce, abychom ten graf měl jakýkoliv smysl, tak aspoň jeden popisek na jedné ose musí existovat. Možná i na dvou, na obou dvou osách, přesně nevím teďka. Ale kdybych neměl ani jeden popisek, tak nevyměřítko toho grafu. Nevím, jestli tady je miliarda nebo minus miliarda nebo minus jedna.
Aspoň jeden popisek být musí. Souřadnice vrcholu určíme jako průměr kořenů aritmetický, což je minus 3 minus 1 lomeno dvěma, což je minus 2. Jo, minus 3 gen 2 mají minus 2, to je ale sedmá třída, tím už tady vážně nechci držovat. A co jsme těma zjistili?
No zjistili jsme, kudy bude procházet osa soběrnosti paraboly. Teď už víme x-ovou souřadnici vrcholu, no ale jim těžký tu osu. Zhruba jak kreslil.
Kdybych to měl kreslit hezky, tak by to vypadalo hezky. Teď by to chtělo y souřadnice vrcholu. Tu zítkám dosazením, takže minus dva... Já to vás napíšu.
Takhle. minus 2 na druhou plus 4 krát minus 2 plus 3 což se rovná minus 2 krát minus 2 je 4 4 krát minus 2 je minus 8, plus 3 je plus 3, 4 plus 3 je 7, minus 8 je minus 1. Takže vy je minus 1, takže co z toho vyplývá? Jsou řadnice vrcholu, paraboly, jsou minus 2, minus 1. Tak a co už je jednodušší?
No ten vrchol si tady nějak zhruba hodíme. Poznačíme ho. Teoreticky bych už mohl kreset graf, ale já doporučuji takovej trik.
Doporučuju si ten y vrchol, průseční, co jsou y, si podle osy překlopit ještě sem, pak to mám hezčí. takže pak bych měl problém, že by se mi mohlo stát, že by mi ta parabola mohla utíct, když ji kreslím. Takhle mám záchytné boty tady, takže ji nakreslím na mé stěji.
Teď já to jenom přenesu, tady je mídu štyřka, to je to bavě zhruba tady, a můžu kreslit, nemám tenhle, tenhle, tenhle, tenhle a tenhle bod. Teď to nějak zkusím, hnusně nakreslit, jak se znám. Zhruba. Takhle jen popisek, když napsal sem, a mě už si to nechce psát.
Tak když kreslím graf, tak je dobrý přímo do toho grafu, někam takhle vedle, napsat, co jsem to vlastně nakreslil. Za graf funkce. No a to je hotovo. Ještě ale abych nezapomněl, tak se nám splní na obor hodnot. Ten už není těžký určit.
Tady je minus jednička. No a kde jsou zjední hodnoty? Minus jedna, nula, jedna, dva, tři, čtyři až nekonečno. Takže minus jedna tam patří až nekonečno.
Zůstavíme se na to, co se nás ptá. knížka mi spadla, ale já ji asi zvednu, to by bylo různá. Souřadnice vrcholu jsme určili, souřadnice průsečíků s osami jsme určili, načetněte graf jsme určili, obor hodnot je nade mnou. Takže to je celé video, já doufám, že se vám video líbilo, pokud ano, tak prosím o hodnocení, pokud ne, tak taky povídět, co zlepšit. Mějte se pěkně, mějte se hezky, na víno, na shledanou a ahoj.