Función Logaritmo Natural

Definición

• Logaritmo natural se define en relación a la función exponencial de base $e$.
• Exponencial de base $e^x$:
  • Dominio: todos los reales.
  • Imagen: $(0, +∞)$, ya que es siempre positiva.
  • Es continua y monótona creciente, ya que su base es mayor que 1.

Existencia de la Inversa

• Al ser continua y monótona, por el teorema de la función inversa, existe su inversa.
• La inversa de $e^x$ es el logaritmo natural, denotada como $\ln(x)$.

Características del Logaritmo Natural

• Dominio: todos los números estrictamente positivos.
• Imagen: todos los números reales.
• Es continua y derivable en su dominio.

Gráfica

• La gráfica del logaritmo natural es el espejo de la gráfica de la función exponencial respecto a la línea $y = x$.
• Comportamiento:
  • $\lim_{{x \to \infty}} \ln(x) = \infty$.
  • $\lim_{{x \to 0^+}} \ln(x) = -\infty$.

Derivada del Logaritmo Natural

• Proceso usando la regla de la cadena:
  • $\frac{d}{dx}[\ln(x)] = \frac{1}{x}$.
• Dominio de la derivada: $(0, +∞)$.

Aplicaciones de la Derivada

• Utilizada para derivar funciones del tipo $\ln(2x)$, $\ln(x^2 + x)$, etc., aplicando la regla de la cadena.

Derivación de Funciones Exponenciales

• Si $f(x) = a^x$, entonces $f'(x) = \ln(a) \cdot a^x$.
• Ejemplo: $\frac{d}{dx}[3^x] = \ln(3) \cdot 3^x$.

Funciones con Base y Exponente Variables

• Ejemplo: $f(x) = (x^2 + 1)^x$.
• No se puede derivar directamente usando reglas estándar.
• Aplicar logaritmos a ambos lados para simplificar y luego derivar.
• Utilizar la propiedad del logaritmo para "bajar" el exponente.

Método para Derivar

1. Aplicar el logaritmo a ambos lados de la función.
2. Usar la propiedad: $\ln(a^b) = b \cdot \ln(a)$.
3. Derivar la nueva expresión simplificada.
4. Despejar la derivada original.

Resumen

• El logaritmo natural es clave para entender funciones inversas de la exponencial.
• Permite derivar funciones complejas donde las variables aparecen en base y exponente.
• La regla del logaritmo es esencial para muchas aplicaciones matemáticas, especialmente en el cálculo de derivadas complejas.