vamos a definir ahora otra función nueva la función logaritmo natural y la vamos a definir en relación con la función que definimos anteriormente que es la exponencial de base y si recuerdo la hemos visto de la exponencial de base y al x pero no función cuyo dominio eran todos los reales su imagen que si bien no la calculamos pueden ustedes calcularla y además como hemos dicho de la función siempre positiva es también intuitivo ver que su imagen es el intervalo de cero más infinito abierto en cero nunca toca el valor cero esta función y habíamos visto además que era una función continua en todo su dominio y monótona porque todas las exponenciales son monótonas esta en particular como su base es un número más grande que uno es monótona creciente y entonces como nuestra función continua y monótona por el teorema que hemos visto cuando vimos función inversa tenemos de la función inversa estamos seguro que existe la inversa efe qué vamos a llamar una nueva función que larga poner a efe al menos 1 para no andar escribiendo todo el tiempo fl - 1 y esa función se llama el logaritmo natural de x en la función bastante particular porque es una función que se define como la inversa del exponencial o sea se define a partir de la inversa de otra función no tiene fórmula de esta función así como los pasos se acuerdan cuando vimos el ejemplo de que cuba se x + 1 creerme hemos puesto que en una función continua monótona creciente y que por el dim inversa pero que no podíamos encontrar una fórmula para la inversa de la experiencia le pasa lo mismo una función que es continua que es monótona por lo tanto inversa tiene pero vamos a poder encontrar nunca una fórmula para la inversa una cuenta que yo pueda hacer y que me dé los valores de la inversa sin embargo es una función tan importante la inversa le pueden ser que le ponemos nombre y se va a llamar logaritmo natural que sabemos de esta función logaritmo natural como es la inversa del exponencial sabemos automáticamente su dominio su dominio de que coincide con la imagen del revés para el logaritmo coincidir con la imagen del exponencial porque son inversas una de la otra entonces el dominio son todos los números positivos estrictamente positivos conocemos la imagen de esta función logaritmo natural son todos los números reales porque coincide con el dominio de la función f también sabemos que esta función es continua en todos sus dominios ha de ser más distinto y esta función es de yo hablé también por supuesto si todas estas propiedades tenemos para el hogar y material estas dos continuidad y viabilidad como hicimos la exponencial ahora vamos a demostrar si nos vamos a si vamos a asumir las como correcto podemos incluso también hacer la gráfica de la función logaritmo por qué vimos la otra vez en el vídeo anterior la gráfica de la función exponencial que era una cosa así esta es ya la equis quedan 0 vale 1 y vimos cuando vemos función inversa que la gráfica de las funciones inversas era el espejo de la gráfica de la función original respecto de la recta igual x entonces la gráfica de esta se obtiene esperando a ver qué organismo perdón sostiene espesando está respecto de la recta igual x se acuerda que también es de momento algunos ejemplos por ejemplo si esta función pasa por el 0 1 su inversa va a pasar por el 10 se iba a cortar por acá y si esta gráfica esta función tiene una cinta horizontal en el eje x su inversa va a tener una cinta vertical en el eje y yo acercarme cosas y acá se irá asintóticamente a menos infinito también intuitivamente lo vemos de la gráfica pero de nuevo si ustedes van en la punta tienen la demostración de que esto es así podemos ver que el límite cuando x tiende a infinito del logaritmo de x es más infinito si los puntos el organismo siempre crece crece crece crece crece se va a infinito aunque fíjense que se va a infinito mucho más despacio que el exponencial exponencial como que se va súper rápido el logaritmo sobre el finito pero mucho más lento vamos a chan chan también podemos ver de nuevo lo vamos a definitivamente de acá pero ustedes tienen la demostración en el apunte que si yo calcula el límite cuando me acerco al 0 por la derecha del logaritmo de x este límite me da menos infinitos y si yo me acerco a x el pronaa 0 por derecha en el logaritmo se va a menos infinito fíjense que no puedo acercarme a cero por otro lado en el caso del hogar es bueno podría calcular para el logaritmo el límite cuando existen de cero por la izquierda porque a la izquierda del cero no hay dominio entonces no tengo cómo acercarme si el dominio del logaritmo es de 0 para la derecha tampoco por supuesto tendría sentido sí si alguien les preguntara esto esto no tiene sentido el límite wade que tiene al menos infinito de logaritmo de x inicial o plantear porque no hay dominio para irme caminando al menos infinito entonces no podría nunca pensar en querer calcular este límite qué más podemos saber de la función logaritmo natural podemos calcular su derivada si para que el proceso de derivada vamos a hacer un pequeño truco si antes de hacer eso entonces vamos a repasar cuál es el truco del truco no hay ningún truco es simplemente usar el hecho de que definimos al logaritmo como la inversa del exponencial se acuerdan que hacían unas funciones inversas y le aplicamos al mismo número se fueron si yo hacía la inversa de una función aplicada a un número a cualquiera esto me devolvía el número a que yo había metido acá dentro porque la inversa de esa silla en las cuentas que de hecho la f lo mismo si yo le aplicaba la función f al resultado de haberlo aplicado a la inversa a algún número b esto me daba el mismo número b está en las propiedades que tenía a la inversa justamente de ese deshacer las cuentas que hizo una función y daba lo mismo el orden en que yo hacía la composición porque una función es la inversa de la otra acción son inversas mutuamente sí sí f en este caso sí que la inversa df efe es la inversa de g entonces el logaritmo de la exponencial tienen esta relación también porque son una inversa de la otra o sea lo que estoy diciendo es por ejemplo si yo calculará el logaritmo de que alá 4 el resultado de esta cuenta es 4 porque al 4 le estoy aplicando la función exponencial y después estoy aplicando la función abismo que como son inversas una de otras se cancelan entre sí o lo que es lo mismo si yo hubiera hecho al lugar istmo de 4 el resultado también es 4 porque al 4 le aplicó el logaritmo y el resultado de eso le aplicó el exponencial como les ponencia lo mismo son inversas una de otra se cancelan en tres entre comillas y me devuelven el número del cual yo había arrancado que en este caso uso por supuesto si esa es la propiedad que vamos a usar entonces para ver la deriva entonces que vamos a decir que vamos a plantear vamos a partir del hecho de que e a logaritmo natural de x como dijimos es exponencial en los ritmos son inversas una de otra si yo a la x le aplicó el logaritmo después le aplicó el exponencial que el resultado va a ser x se van a cancelar entre sí les por decir el logaritmo y me van a dejar el número de cristal del cual yo a franklin vamos a derivar entonces los dos lados de esta igualdad si y si estas dos funciones son iguales la derivada también son iguales de este lado r si la derivada de x es 1 y destinado para este lado voy a usar lo que aprendimos en el vídeo anterior tengo una composición de funciones tengo el logaritmo metido dentro de x metido dentro de la exponencial como tengo una composición la voy a derivar por la regla de la cadena gris primero derivada la función de afuera en este caso el exponencial se acuerda dijimos cuando de igual potencial me queda exactamente lo mismo y como utilizando la regla de cadena como exponente le dejo lo que ya tenía y después por la regla de la cadena debe multiplicar por la derivada de este exponente que es justamente lo que no conozco el organismo le voy a despejar si antes de despegar me llega y digo nada pero esto es el logaritmo x esto acabamos de decir que el algoritmo de crisis tenemos que x y entonces ahora puedo despejar la derivada derivada la derivada del logaritmo de x es uno sobre x sí entonces sí que x es el reaganismo x que prima x es 1 sobre x y fíjense y como el dominio de g desde cero más infinito el dominio de su derivada también es de 0 a más infinito ojo con esto esto se acuerda en la consulta si bien si yo miro a esta función como una función aislada del mundo que puedo decir a la cuenta de uno sobre xs en x igual 0 después entonces demás pues sí sí pero está uno sobre que no apareció de la nada apareció porque es la derivada del logaritmo entonces si es la derivada de esta función el dominio de ésta no puede ser más grande que el dominio del logaritmo que era de ser infinito como único problema que tienen estas funciones en el 0 y el 0 ya está fuera del dominio no tengo que sacar nada más pero tampoco puedo agregar nada más del dominio de esta derivada es deseo a más infinito si yo le digo por ejemplo porque si yo quisiera hacer el análisis de la función de organismos y ver si es creciente con qué concavidad y demás tendría que analizar el signo de esta derivada o el signo de la derivada segunda y en este análisis de signos no me puedo olvidar cuál es el dominio que tiene esta función derivada si es la función o son 1 sobre x pero con dominio de 0 a más infinito y así como hicimos con la exponencial a partir de ahora esto lo vamos a usar como una fórmula de derivación como una regla de derivación entonces por ejemplo si yo tuviera que derivar el logaritmo de 2x como hago me tengo que dar cuenta que tengo una composición de funciones sí porque tengo un 2x metido dentro del logaritmo entonces para derivar lo voy a usar la verdad la cadena real en este primero deriva la función de afuera que existe en este caso es el logaritmo porque si yo tuviera que hacer las cuentas el orden sería el primero la cuenta de acá y por último la cuenta del hogar 1 sobre y recordemos que por la regla de la cadena lo que yo tengo que poner acá como argumento de esta derivada es lo mismo que ya tenía adentro de la función en este caso 12 x por dice la cadena la derivada de lo que esté acá adentro la derivada de 2 x es 2 si esto se cancelan y fíjense que estaba 1 sobre x exactamente igual que si fuera la del lugar y no de hecho es una propiedad interesante el logaritmo que no importa qué nombre ustedes le pongan haga su derivada siempre es igual por ejemplo qué pasa si tuviera que derivar el lugar y tmo de x cuadrado más x pero ahora mismo aplicó la regla la cadena de la función de más afuera en la función logaritmo esto será 1 sobre lo que ya tenía dentro del logaritmo x cuadrado más x por la derivada de lo que tenía dentro no me olvido del paréntesis 2 x 1 sí y listo esa es la derivada de esa función y así es como vamos a usar la derivada del logaritmo ahora que tenemos el logaritmo entonces vamos a usarlo por un lado para completar la derivada de la función exponencial que yo les había comentado que nos había quedado trunca si yo tenía esa función vamos a poner fx al aire x su derivada f prima hayamos hecho que era efe prima en cero x a la equis sí pero no sabíamos cuánto vale este número está bien entonces vamos a hacer lo siguiente vamos a llamarle a este número es prima en 0 como está puesto en el apunte una constante casi a un 9 así que no sé cuánto vale quiero calcularlo quiero averiguar entonces lo que estoy diciendo es que la derivada de la x es este número caso a por él mismo cómo vamos a hacer para que el vélez de derivada bueno vamos a usar algunas propiedades del lugar y tmo las propiedades de los logaritmos los tienen que repasar si tienen 32 unidades en la punta de moya la vieron en matriz pero es muy importante que las manejemos porque estas propiedades son las que hacen además al lugar y tmo una función muy interesante a la hora de hacer un montón de cuentas la pérdida que vamos a usar en la que dice que el logaritmo de un número de elevado a una potencia c es lo mismo que el exponente ser por el logaritmo de la base en una suele decir como que lo amo baja los exponentes y hace que este exponente baje y quede multiplicando acá delante entonces cómo vamos a usar esta propiedad vamos a calcular el logaritmo de a a la x y con esa propiedad vamos a decir esto es lo mismo que x por el logaritmo de a esta igualdad se cumple por esta propiedad yo lo que vamos a hacer es vamos a tomar o aplicar función exponencial de los dobladores de igualdad es decir vamos a usar estas dos como exponentes de una función exponencial si aplicar la función es el mismo que aplicar cualquier otra función del cuadrado sacar raíz cuadrada cosas que solemos hacer cuando tenemos resolver ecuaciones y aplicó de los dos lados de la igualdad la misma operación en este caso la exponencial pero voy a hacer un truco de este lado si me fijo me quedo la exponencial del logaritmo de una cosa o el bolso lo mismo como el exponencial en los ritmos son inversas unas de otras y yo les aplicó una continuación de la otra así bien seguidas se cancela y entonces me devuelven este número que estaba acá que es a la equis si prestan atención que acá no puedo hacer lo mismo si acá no tengo la exponencial el logaritmo seguido uno seguido de otros y hay una equis multiplicando en el medio bien por qué hago esto porque entonces ahora lo que voy a hacer es derivar esta igualdad de los dos lados a la derivada de la deriva que queremos calcular es lo mismo que la derivada de llegar a ésta porque la deriva quiero calcular y acá de nuevo tengo que aplicar la regla de la cadena para derivar porque tengo una composición tengo el elevado a una función que es equipo el logaritmo de a recuerden que a era un número y por ende el logaritmo de a es un número esto es como tener a la x por 80 como se deriva esto por la exponencial que queda tal cual está y multiplicó por la derivada del exponente lo dirige adentro el exponente dijimos es x por un número entonces la derivada será este número lo natural si recuerda yo acá no estoy poniendo paréntesis y no sé soy usar pero en realidad esto es el logaritmo es una función y lo que selectiva al lado es el argumento de esa función si el logaritmo del número a y esto está cantidad que está acá ya lo habíamos escrito pero si era a equis o sea en definitiva esa derivada que nosotros estábamos buscando la derivada de a la x es el logaritmo natural de a este es el caso que me interesaba por la equis sin su número x a la equis y ha perdido ahora lo uso si por ejemplo si en algún lado para este tipo de derivar 3 a la equis de 3 a la x será el logaritmo de tres por tres metros y listo lo uso como una nueva regla de derivación bien este entonces primero esto que llegamos a la función logaritmo el segundo uso que le vamos a dar a la función del organismo es para derivar un tipo de funciones que todavía no habían aparecido pie es como una mezcla de algunas de las cosas que estuvimos haciendo ahora estuvimos trabajando con funciones polinómicas sí funciones potencias con cualquier exponente que eran funciones donde la variable la x aparecía en la base y los exponentes siempre eran números número constante después introdujimos en el vídeo anterior la función exponencial es una función donde la base es un número una constante y la equis son las variables aparecen en el exponente pero yo puedo mezclar todo inventarme por ejemplo una función donde la variable aparezca tanto en la base como en el exponente esta función no es una función potencia porque si bien hay una en que se la basta también aquí es transparente y las potencias no tienen eso pero tampoco es una función exponencial porque las funciones exponenciales la base tiene que ser un número una constante esta función no es ninguna de las dos y por ende no lo puedo derivar con ninguna de las reglas que conocemos hasta el momento no puedo ganar la potencia no puedo aplicar la regla de la exponencial de hecho no vamos a aplicar ninguna regla para agregar estas funciones sí uno podría inventarse con una regla para algunos casos muy sencillos pero cuando eso la complica un poquito de la función ya esa regla deja de funcionar sí o se vuelve demasiado compleja entonces lo que vamos a hacer es vamos a hacer vamos a inventar otra otra manera de derivar esta función en realidad lo que vamos a hacer es simplificar primero esta expresión y derivar la expresión simplificada como la vamos a simplificar usando justamente esta propiedad de los logaritmos de hacer bajar los exponentes y lo que yo voy a hacer es aplicar la función logaritmo a los dos lados de esta igualdad y ahora me voy a valer de la propiedad de los logaritmos de hacer caer los exponentes para reescribir esto y voy a decir el logaritmo df de x es x x el logaritmo de x cuadrado más 1 y ahora lo que voy a hacer es derivar esta igualdad y fíjense que hasta ahora no había derivado nada si lo único que hice fue aplicar el logaritmo para que se me caiga el exponente una vez que el exponente se cayó ahí aplicó derivada tiran el que ahora todas las variables están en la base sin el piso no tengo mezcla de variables en base y el exponente convertir esta potencia en un producto esa es la magia que tienen lugar y entonces vamos a derivar desde el lado vamos a ver que es derivar como digo cualquier función del que conocemos acabará acá cuando voy a derivar tengo que prestar atención de este lado que tengo una composición tengo una efe metida dentro de un logaritmo de bola voy a derivar usando la regla de la cadena para la cadena dice primero del logaritmo que la función que está aplicado afuera entonces vamos a escribir la derivada así vamos a escribir que estamos derivando esto voy a derivar y entonces digo bueno para llevar acá arrancó por el logaritmo 1 sobre lo que ya tenía adentro fx por la derivada del otro efe prima de x que es justamente la que yo quiero encontrar y este lado tengo producto entonces voy a derivar usando la regla de productos derivada del primero por el segundo sin derivar más el primero sin derivar por la llegada del segundo acá tengo de nuevo una composición en una función metida dentro del organismo entonces derivó primero el logaritmo 1 sobre lo que ya tenía adentro por la derivada de lo que tenía dentro que es 200 y casi termino yo lo que quería encontrar recuerden era el primer x entonces lo que ahora despejó voy a poner un corchete como que hay una suma que esta va a tener que multiplicar a todos esta fx que estaba dividiendo la pasé multiplicando para después escribir esto un poquito más compacto si quería casi termina para terminar es reemplazar fx por lo que valía que era todo esto de acá arriba ya tengo la derivada de esta función fíjense el dio que es una función que aparecía super inocente tokio la derivada en gigante de más está decir ni se les ocurra pensar en querer simplificar si esta expresión la queda así listo no le vamos a andar buscando mucha vuelta está bien si bien dotando del vierta muy claro arriba bien no no va a salir de haga unas reglas y no vamos a poder inventarnos una regla para derivar esto ayuda vamos a tener que hacer es cada vez que nos encontremos con el problema de tener quería una función donde la variable aparece tanto en la base como el exponente nos tenemos que tomar el trabajo de primero calcular el logaritmo de los dos lados si esta igualdad y derivar esa igualdad y recuerda que acá no derive a aplicar el ritmo después recién deriva después además que use la propiedad del otro para que el exponente se caiga si el color en los dos lados uso la propiedad lo vengo para tirar el exponente por abajo y ahí derivó de los dos lados y terminó despejando y eso es todo