[Musica] Ciao ragazzi in questo video diamo un'occhiata ai concetti di base che sono necessarie ad introdurre da prima la goniometria e poi la trigonometria Cominciamo con il porci la seguente domanda ragazzi consideriamo un piano cartesiano come quello che vi ho riportato qui e centrata nell'origine Disegniamo una differenza di raggio r qualsiasi a questo punto consideriamo un punto P che sta sulla circonferenza per esempio qui ma potete immaginare di prenderlo in qualunque altra posizione sulla circonferenza e la domanda che vogliamo porci è la seguente Come posso descrivere la posizione del punto P utilizzando un solo parametro la prima cosa che potrebbe venire in mente per descrivere la posizione di P è quello di assegnare le sue due coordinate per esempio la sua x e la sua Y e Questo naturalmente va benissimo Però noi vorremmo trovare un modo per poter descrivere la posizione di P utilizzando un solo parametro e vedete che qui non mi è sufficiente a segnare la x del punto P perché di punti che hanno la stessa x e che stanno sulla circonferenza ce ne sono due quindi le coordinate cartesiane funzionano ma devo usarle entrambe vediamo invece come è possibile utilizzare un solo parametro e per fare questo ragazzi possiamo procedere in due modi la prima cosa che uno può fare è dare la lunghezza dell'angolo che il raggio che parte dall'origine e che arriva fino al punto P forma con il semiasse positivo delle ascisse Quindi uno può dare la misura di quest'angolo qui utilizzando per misurare l'angolo i gradi sessagesimali per capirci ragazzi i gradi sessagesimali sono quelli che utilizziamo nella vita di tutti i giorni quando diciamo che un certo angolo misura 45° piuttosto che non 60° e così via E per convenzione quando si fa goniometria e trigon metria si è soliti misurare gli angoli partendo dal punto a e procedendo in senso antiorario quindi l'angolo corrispondente al punto a sarà 0 in questo caso l'angolo corrispondente al punto P sarà proprio l'angolo Alfa c'è però un'alternativa questo sistema ragazzi Infatti Uno potrebbe decidere di descrivere la posizione di P fornendo la misura dell'Arco orientato che partendo da a arriva fino al punto P quindi la lunghezza di quest'arco ato che vi ho misurato in viola qui ho messo la freccetta per dirvi che si orienta in questo modo non perché la freccetta faccia parte dell'Arco l'unità di misura convenzionalmente utilizzata per la misura degli archi è il radiante cerchiamo di capire come si fa ad ottenere la lunghezza di un certo arco in radianti Allora Supponiamo che il nostro Arco ap facendo riferimento alla figura abbia lunghezza l e che il raggio della nostra circonferenza sia lungo R Allora la lunghezza della l'arco ap misurato in radianti che potremmo indicare tra di noi con Rho ap si ottiene facendo il rapporto tra la lunghezza dell'arco misurata nell'unità di misura che volete voi diviso il raggio della circonferenza misurato Ovviamente nella stessa unità di misura vedete quindi che si tratta di un oggetto a dimensionale perché è il rapporto tra due oggetti che si misurano con la stessa unità di misura per capire meglio come funziona la cosa ragazzi consideriamo Questo esempio e Supponiamo di dover descrivere la posizione del punto P che si trova a metà dell'Arco AB su questa circonferenza di raggio r potete immaginare che R sia quello che volete allora come facciamo a descrivere la posizione di P possiamo dire che l'angolo Alfa misura 45° e questo identifica in maniera univoca di quale punto P stiamo parlando una volta che la circonferenza è fissata Oppure possiamo dire che la lunghezza dell'arco AP misurata in radianti Quanto vale ragazzi proviamo a pensarci Quanto è lungo quell'arco a vedete che se l'angolo alfa è 45° allora vuol dire che l'arco ap è 1/8 se ci pensate bene della circonferenza ci siete Infatti è metà di 1/4 di circonferenza e quindi la sua lunghezza sarà proprio 1/8 di quella dell'intera circonferenza che sappiamo misurare 2 p r Allora per fare la lunghezza dell'arco in radianti dobbiamo prendere la lunghezza dell'arco e dividerla per il raggio della circonferenza a questo punto vedete che R va via con r qui possiamo semplificare e ci è rimasto pi qu4 Naturalmente un discorso analogo si può fare se il punto p si trova in un qualsiasi altro punto della circonferenza chiaramente avremo che cambierà la misura di Alfa in gradi e corrispondentemente cambierà anche la lunghezza dell'arco misurata in radianti adesso dobbiamo capire due cose importanti La prima è che se io ho fissato un certo angolo alfa come in questo caso qui Se io raddoppio il raggio della circonferenza chiaramente Raddoppia anche la lunghezza dell'arco ap ci siete e se triplico il raggio della circonferenza triplica anche la lunghezza dell'arco che ha Alfa come angolo al centro corrispondente è chiaro no Quindi la lunghezza irradianti di un arco che corrisponde ad un certo angolo al centro Alfa come nell'esempio qui dell'Arco ap e di questo angolo alfa qui è indipendente dal raggio della circonferenza vedete infatti che la misura dell'Arco ap ci viene pi qu4 indipendentemente dal raggio r che si semplifica nei conti quindi che il raggio fosse 1 m 2 m o 50 km Avremo sempre concluso che ap misura P quar radianti la seconda cosa che discende direttamente dalla prima è che sapere la misura di Alfa in gradi no Oppure sapere quanti radianti misura l'arco a rappresentano la stessa informazione quindi dare l'angolo in gradi o dare l'arco in radianti sono due modi del tutto equivalenti di descrivere la posizione di P Quindi ad ogni angolo alfa corrisponde univocamente un'unica misura dell'Arco corrispondente in radianti e viceversa proprio in base alla corrispondenza biunivoca che c'è tra la lunghezza di un certo arco in radianti e la misura in gradi dell'angolo al centro adesso associato si è scelto di utilizzare il radiante come unità di misura degli angoli nel sistema internazionale per questo motivo ragazzi in quasi tutti i contesti formali in matematica si preferisce l'utilizzo dei radianti rispetto ai gradi sessagesimali si vede anche subito che l'utilizzo dei radianti consente di ottenere andando avanti delle formule molto più semplici molto più belline esteticamente che non l'uso dei gradi sagges Oh un'altra cosa che sentirete spesso dire è angolo radiante no o angolo misurato in radianti Allora è chiaro che formalmente la misura in radianti fa riferimento all'arco rapportato al raggio però proprio perché c'è una corrispondenza Bi univoca se volete no tra la misura in radianti e la misura in gradi è chiaro che si può usare il radiante per alludere all'angolo a questo punto e quindi di solito si dice brutalmente angoli radianti o angoli in radianti e questo non genera nessuna confusione No perché è perfettamente chiaro quello che si intende E proprio per questo Ribadisco il radiante è l'unità di misura ufficiale degli angoli nel sistema internazionale di misura perfetto ragazzi adesso che abbiamo capito che utilizzare la misura in gradi sessagesimali o la misura in radianti Per quanto riguarda un qualunque angolo alfa è sostanzialmente equivalente ci resta da capire come facciamo a passare dalla misura in gradi alla misura in radianti e viceversa per fare questo Fortunatamente è sufficiente ricordarsi una semplice proporzione che dice che la misura dell'angolo Alfa in radianti sta alla misura dell'angolo Alfa in gradi quindi immaginate di prendere un angolo alfa No la sua misura in radianti sta alla sua misura in gradi come 2 pi che rappresenta la misura dell'angolo giro in radianti sta a 360 che sarebbe la misura dell'angolo giro misurato in gradi sessagesimali Ah se vi state chiedendo come mai l'angolo giro misura 2 P greco radianti ragazzi è facile Basta che vi ricordate la definizione che abbiamo visto prima l'angolo radiante è l'arco che nel nostro caso no se consideriamo l'angolo giro è l'intera circonferenza quindi 2 P R che dobbiamo poi dividere per il raggio e quindi vedete che l'angolo giro È proprio 2 pi radianti proviamo a considerare Questo esempio ragazzi a quanti radianti corrispondono 30° Come facciamo a rispondere a questa domanda basta che applichiamo la proporzione E cosa otteniamo che la misura in radianti che è quella che stiamo cercando sta alla misura in gradi che nel nostro caso è 30° come 2 pi sta a 360° e se applicate le proprietà delle proporzioni concludete subito che la misura in radianti di Alfa viene uguale a pi6 E con questo ragazzi si chiude la nostra introduzione all' goniometria direi che abbiamo messo abbastanza carne al fuoco e abbiamo tutti gli ingredienti base che ci servono per introdurre le funzioni goniometriche nel prossimo video che troverete linkato Tra pochissimo ci occuperemo quindi delle funzioni seno coseno e tangente di cui Vedremo nel dettaglio tutte le principali proprietà come sempre ragazzi se avete trovato utile questa video lezione Vi è piaciuta ricordatevi di mettere mi piace e se vi fossero rimaste delle domande fatemele pure nei commenti qui sotto e vi risponderò il prima possibile a presto [Musica] a [Musica]