in questo video cominciamo a parlare delle operazioni che si possono fare con le frazioni algebriche in particolare dell'operazione di addizione e sottrazione come al solito partiamo da qualche esempio Esegui le operazioni di addizione e sottrazione e semplifica se possibile I risultati ottenuti quindi vediamo questa operazione abbiamo Uno fratto 1 più 2x + X alla seconda più x fratto x alla seconda + 2x + 1 allora Questo è un esempio molto semplice perché chiaramente queste due frazioni hanno lo stesso denominatore qua semplicemente i monomi sono scritti in un ordine diverso rispetto a come sono scritti qua ma sappiamo che la somma è commutativa quindi possiamo semplicemente sommare i numeratori Quindi abbiamo uno più X al numeratore e al denominatore riscrivo uno dei due perché sono assolutamente identici riscriviamo questo X alla seconda + 2x + 1 Ok per poter semplificare devo Scomporre il numeratore e il denominatore al numeratore ho un binomio di primo grado del tipo X + numero x - un numero Questo 1 + X lo posso scrivere come x + 1 senza problemi al denominatore Hockey X alla seconda è il quadrato di x 1 al quadrato di 1 e 2x è il doppio prodotto tra x e 1 quindi questo qui è il quadrato di un binomio e lo posso scrivere come x + 1 elevato alla seconda più perché il doppio prodotto ha un coefficiente positivo Quindi questi due hanno lo stesso segno come al solito anche se non è esplicitamente richiesto nella consegna dell'esercizio devo scrivere le condizioni di esistenza che in questo caso saranno che x + 1 deve essere diverso da zero perché x+1 alla seconda è diverso da 0 se soltanto se la base è diversa da zero Quindi diciamo che gli esponenti possiamo anche lasciarli perdere direttamente quando scriviamo le condizioni di esistenza Quindi abbiamo sappiamo che X deve essere diverso da -1 Uno lo portiamo dall'altra parte diventa meno uno ora che abbiamo scritto le condizioni di esistenza posso osservare che al numeratore al denominatore ho due fattori uguali quindi posso dividere sia al numeratore che il denominatore per x+1 e ottengo x + 1 / x + 1 fa 1 al denominatore o x + 1 alla seconda che devo dividere anch'esso per x + 1 e fa x + 1 quindi questo denominatore semplicemente va via e quindi quello che ottengo è la frazione 1 fratto x + 1 quindi questa somma è equivalente a questa frazione posto che X non può assumere valore meno 1 ma questo per forza qua non ci sono dubbi se io metto meno uno al posto della X il denominatore si annulla e quindi Chiaramente la frazione non è definita vediamo ora un esempio un pochino più complesso cioè entriamo veramente nel vivo dell'addizione sottrazione tra frazioni algebriche 1 fratto alla seconda meno 1 meno 1 Fratto alla seconda meno a meno 1 fratto alla seconda + a vediamo che in questo caso non siamo fortunati come nel caso precedente Cioè non abbiamo tre frazioni con lo stesso denominatore quindi per sommare queste tre frazioni Dovrò fare dei calcoli è fondamentalmente dovrò fare gli stessi calcoli che devo fare quando devo sommare tre frazioni numeriche cioè devo calcolare il minimo comune multiplo tra i tre denominatori per calcolare il minimo comune multiplo devo scomporre i denominatori Allora il primo denominatore è una differenza di quadrati quindi diventa 1 fratto alla seconda e il quadrato di a 1 il quadrato di 1 quindi diventa a +1 per a -1 e vediamo che qua ho due fattori irriducibili a più un numero a meno un numero è sempre irriducibile poi meno 1 fratto questo denominatore si può scomporre con un raccoglimento totale vediamo che sia in questo monomio che in questo monomio compare la a quindi posso raccogliere a con l'esponente più basso con Sviluppare e ottengo alla seconda diviso a che fa a meno a diviso a che fa meno 1 meno 1 fratto anche in questo denominatore posso raccogliere una posso fare un raccoglimento totale quindi a aperta parentesi alla seconda diviso a fa a più a diviso a che fa 1 Ok vediamo che adesso i denominatori ho tutti quanti i fattori irriducibili Cioè ho scritto tutti i denominatori come prodotti di fattori irriducibili quindi sono pronta per calcolare il minimo comune multiplo tra tutti i denominatori per calcolare il minimo comune multiplo devo moltiplicare tutti i fattori comuni e non comuni ciascuno ha preso una sola volta con l'esponente più alto con cui compaiono quindi vediamo che ha più uno compare qua e qua sempre con esponente 1 quindi prendo a+1 una sola volta con esponente 1 a -1 compare qua e qua quindi scrivo a -1 sempre con esponente 1 e poi a compare sia qua che qua lo prendo una sola volta sempre con esponente 1 di solito i monomi si mettono all'inizio però se vogliamo metterli alla fine non cambia assolutamente niente e ora devo riscrivere i numeratori quello che si fa con i numeri è denominatore nuovo diviso denominatore vecchio per numeratore vecchio per capire che cosa devo scrivere al numeratore però quando abbiamo a che fare con i polinomi la cosa più agile da fare che assolutamente equivalente è questa Allora innanzitutto riscrivo il numeratore vecchio e poi mi domando per quanto ho dovuto moltiplicare questo denominatore per farlo diventare così chiaramente l'ho dovuto moltiplicare per a E quindi avendo dovuto moltiplicare questo però devo moltiplicare anche il numeratore per a questo per la proprietà invariantiva se moltiplico per una quantità sotto moltiplico anche per la stessa quantità sopra quindi uno a poi Qua c'è un meno scrivo o meno e di nuovo il numeratore per quanto dovuto moltiplicare questo denominatore per farlo diventare denominatore nuovo Basta vedere che cosa gli manca Ah ce l'ha a -1 ce l'ha gli manca solamente a +1 e quindi anche qua al numeratore dovrò moltiplicare per a+1 poi c'è il meno scrivo il meno riscrivo il numeratore vecchio e qua faccio lo stesso discorso per quanto dovuto moltiplicare il denominatore vecchio per farlo diventare denominatore nuovo Basta vedere cosa gli manca Ah ce l'ha a +1 ce l'ha gli manca a meno 1 e quindi moltiplico anche il numeratore per a -1 ora per essere precisi le condizioni di esistenza avrei dovuto farle Nel passaggio precedente perché io sto a moltiplicando numeratore denominatore di ciascuna frazione per una quantità che non sono sicura sia diversa da zero Però io preferisco farle adesso e suggerisco i miei studenti di farlo adesso perché questo è il momento in cui vedo tutti i fattori del denominatore quindi posso scrivere le condizioni di esistenza senza rischia evitare di ripetere delle cose se io lo faccio qua scrivo a più uno diverso da zero a -1 diverso da 0 a diverso da zero e magari ha un occhio distratto può capitare di scrivere di nuovo a -1 diverso da zero quando invece l'ha già scritto prima quindi io consiglio di farlo proprio nel passaggio in cui si scrive il minimo comune multiplo tra tutti i denominatori Ok quindi facciamolo lo scrivo qua condizioni di esistenza devo richiedere che tutti i fattori del denominatore siano diversi da zero quindi devo chiedere a diverso da zero a+1 diverso da zero e a -1 diverso da 0 quindi ha diverso da zero già mi ha dato un valore che devo escludere a non può assumere valore 0 qui porto l'uno dall'altra parte diventa meno uno quindi ha diverso da -1 e qua porto il -1 dall'altra parte diventa a diverso da 1 quindi Queste sono le mie condizioni di esistenza a può assumere qualunque valore reale tranne Zero - 1 e 1 ok e vado avanti con i conti qua ho un po' di moltiplicazioni da fare Allora uno ha chiaramente lo posso riscrivere semplicemente come a poi -1 per a fa meno a meno 1 per +1 fa meno 1 e vado avanti qua -1 per a fa meno a meno 1 per -1 fa più uno al denominatore riscrivo esattamente la stessa cosa che ho scritto al passaggio precedente al numeratore ancora un po' di conti da fare allora Notiamo che abbiamo a e meno a che sono opposti Quindi li posso elidere e poi ho meno uno e più uno che sono opposti li posso elidere Quindi al numeratore Rimane solamente meno a al denominatore ho a a+1 E a -1 che si moltiplicano tra di loro bene ora noto che ho a sia il numeratore che al denominatore posso tranquillamente semplificare Cioè posso dividere il numeratore e il denominatore per a perché nelle condizioni di esistenza Ho dichiarato che a sarà diverso da zero Quindi divido sopra e sotto per a qua diventa uno qua anche diventa uno quindi quello che rimane è -1 Fratto a +1 per a -1 il meno in genere si scrive davanti alla linea di frazione quindi meno 1 Fratto a +1 per a -1 di nuovo questa frazione è equivalente al testo di Questo esercizio quindi è equivalente a questo ma Ricordiamoci che a non può assumere nessuno di questi valori uno meno uno chiaramente perché se no il denominatore si annulla Anche qua ma non può assumere neanche valore 0 anche se qua il denominatore non si ha nulla per a uguale a zero ma siccome questa deriva diverso da questa abbiamo che questa qui e questa qui sono davvero equivalenti Se escludiamo tutti i valori che abbiamo dichiarato nelle condizioni di esistenza vediamo infine quest'ultimo esempio 1 fratto x alla seconda meno 2x + 1 - 2 fratto x alla seconda meno 1 meno 1 fratto x + 1 Ok ormai Dovremmo aver capito qual è la procedura la primissima cosa che dobbiamo fare è scomporre denominatori Quindi qua il denominatore abbiamo un trinomio di secondo grado vediamo che X alla seconda il quadrato di x 1 è il quadrato di 1 e 2x è il doppio prodotto tra x e 1 quindi questo si scompone con x meno perché il doppio prodotto a coefficiente negativo uno tutto quanto elevato alla seconda meno 2 fratto Qua abbiamo una differenza di quadrati e abbiamo già detto che si scompone con X + meno per x meno 1 perché X alla seconda il quadrato di x e 1 è il quadrato di 1 Invece qua Questo denominatore è già irriducibile perché ha un binomio del tipo x+ numero x - un numero quindi lo riscriviamo così com'è Ok calcoliamo ora il minimo comune multiplo tra tutti questi denominatori quindi faccio una linea di frazione lunga e per comporre il denominatore nuovo dovrò moltiplicare tutti i fattori comuni non comuni ciascuno preso una sola volta con l'esponente più alto con cui compaiono Quindi abbiamo che x - 1 e qui e qui e l'esponente più alto con cui compare è 2 quindi dovrò scrivere x - 1 alla seconda poi x + 1 compare qui e compare qui quindi scriverò x + 1 perché compare solamente con esponente uguale a 1 ok e adesso faccio i calcoli per scrivere il numeratore facciamo come prima quindi scrivo il numeratore vecchio e poi mi domando per quanto dovuto moltiplicare questo per farlo diventare così cioè che cosa gli manca x meno 1 alla seconda ce l'ha gli manca x + 1 quindi moltiplicherò anche il numeratore per x + 1 poi meno 2 Cioè meno e poi riscrivo il numeratore e mi domando cosa manca Questo denominatore per diventare questo denominatore Allora x+1 ce l'ha x-1 anche però qua ha esponente uguale a 2 Cioè vuol dire che qui in questo denominatore c'è x-1 Invece qua c'è x-1 per x - 1 quindi gli manca un x-1 e quindi moltiplico per x - 1 meno riscrivo il numeratore e cosa manca Questo denominatore Allora x + 1 c'è chiaramente gli manca x-1 alla seconda e qua quando ho scritto questa somma come un'unica frazione scrivo le condizioni di esistenza perché così non ho il rischio di ripetere qualcosa allora x - 1 alla seconda è diverso da 0 quando x - 1 è diverso da 0 e poi Hockey x + 1 anche lui deve essere diverso da zero Quindi da qui ricavo che X deve essere diverso da 1 da qui ricavo che X deve essere diverso da -1 come al solito porto dall'altra parte Quindi Queste sono le condizioni di esistenza X può assumere qualunque valore reale tranne uno e meno 1 e faccio i conti al numeratore quindi uno per X fax 1 per 1 fa 1 poi -2 per X fa meno 2x - 2 per meno 1 fa meno per meno più due poi qui non posso moltiplicare perché x - 1 è elevato alla seconda quindi riscrivo solamente il meno che è come scrivere meno uno per e all'interno della parentesi svolgo il quadrato del binomio non ho neanche bisogno di fare particolari conti perché so già che è uguale a questo Tuttavia il quadrato del primo X alla seconda il doppio prodotto è meno 2x più il quadrato del secondo è più uno tutto fratto è al denominatore riscrivo lo stesso denominatore di prima ora mi mancano da togliere queste parentesi Quindi tutta la parte prima La riscrivo Volendo potrei anche sommare i monomi simili ma tanto vale farlo una volta sola e qua tolgo le parentesi poiché c'è un meno davanti cambierò il segno di tutti i termini all'interno delle parentesi quindi meno X alla seconda questo diventa più 2x questo diventa meno 1 e al denominatore riscrivo x-1 alla seconda per x + 1 Ok finiamo i conti al numeratore Allora meno 2x + 2x sono opposti e si possono elidere più uno e meno 1 sono opposti e si possono elidere quindi Cosa rimane scriviamolo in ordine decrescente di grado mi rimane meno X alla seconda poi mi rimane più X e poi mi rimane più due al denominatore riscrivo tutto questo ora apparentemente sembrerebbe finita qua però questo polinomio al numeratore ha una parvenza di trinomio speciale o meno davanti Però noi possiamo raccogliere questo meno cioè posso raccogliere per meno uno il meno lo porto fuori e quindi dovrò dividere tutti i coefficienti di questi monomi per meno uno che significa cambiare il segno quindi meno X alla seconda Dentro la parentesi diventa X alla seconda + X diventa meno x e più due diventa meno 2 perfetto il denominatore riscrivo come al solito x-1 alla seconda per x + 1 vediamo ora Se questo è un trinomio speciale Cerco due numeri che moltiplicati diano Meno 2 e che sommati diano meno 1 se ci penso un po' mi rendo conto che questi due numeri sono meno due e più uno Infatti Meno due per più uno fa meno 2 Invece meno due più uno come somma fa -1 quindi il meno al numeratore lo riscrivo e questo trinomio si scompone come x - 2 * x + 1 e di nuovo al denominatore scrivo tutto questo quindi x - 1 alla seconda per x + 1 ora Notiamo che ho x + 1 sia il numeratore che al denominatore lo posso semplificare a cuor leggero perché nelle condizioni di esistenza ho imposto che x + 1 fosse diverso da 0 quindi ho detto che X non può assumere valore meno 1 che è quello che Annulla questo valore qua quindi posso semplificare se divido sopra e sotto per x+1 questi due diventano entrambi uno e quindi quello che ottengo è meno x meno 2 fratto x - 1 alla seconda il meno in genere si mette davanti alla linea di frazione quindi meno x meno 2 e sotto scrivo x-1 alla seconda in alternativa un'altra cosa che posso fare è togliere queste due parentesi poiché c'è il meno davanti ottengo meno X più 2 che come scrivere due meno x e al denominatore rimane sempre x-1 alla seconda queste due scritture sono assolutamente equivalenti in alcuni libri si potrebbe trovare una scrittura di questo tipo con il meno davanti in altri libri invece senza meno davanti una questione di estetica ma chiaramente queste due frazioni indicano la stessa quantità di nuovo il risultato che abbiamo ottenuto qua è equivalente alla somma che c'era nel testo a patto che X non assuma valore 1 ma neanche valore meno 1 valore 1 chiaramente perché se metto uno al posto della X anche in questa frazione il denominatore diventa 0 e la frazione non è definita ma non può assumere neanche valore meno uno perché questa frazione qui è equivalente a questa solamente se tolgo tutti i valori che annullavano questi denominatori se avete trovato utile questa lezione mettete mi piace Lasciatemi un commento e iscrivetevi a matematica