चैप्टर 5: Continuity और Differentiation

ओवरव्यू

• चैप्टर दो मुख्य हिस्सों में विभाजित है:
  • कंटिन्यूटी
  • डिफरेंशियेशन

कंटिन्यूटी

• Concept of Continuity:

  • कोई फंक्शन f(x) कंटीन्यूअस होता है यदि किसी भी पॉइंट a पर इसकी लिमिट निम्नलिखित हो:

    \\lim_{{x \to a^-}} f(x) = \lim_{{x \to a^+}} f(x) = f(a)
    

  • उदाहरण:

    • यदि a = 2 तो:

    लहा ल: \lim_{{x \to 2^-}} f(x) = L
    रह ल: \lim_{{x \to 2^+}} f(x) = R
    और f(2) = F
    

    यदि L = R = F, तब f(x) x = 2 पर कंटीन्यूअस है।

  • Graphical Interpretation:

    • एक लाइन में कोई ब्रेक नहीं होनी चाहिए।
    • ब्रेक होने पर यह डिस्कंटीन्यूअस होता है।
• Process:
  • फंक्शन की लिमिट निकालनी है फ़ंक्शन का लेफ्ट पार्ट देखना है और राइट पार्ट देखना है।
  • अगर दोनों बराबर हैं और वो पॉइंट की वैल्यू भी सेम है तो वह कंटीन्यूअस है।
• Special Cases:
  • जब दो फंक्शन का जोड़ या गुणा किया जाता है, तो वे भी कंटिन्यूअस होते हैं।
  • कुछ विशेष फंक्शंस जैसे पोलिनोमियल्स (e.g., x², x³ etc.) और ट्रिगोनोमेट्रिक फंक्शंस (sin x, cos x) हमेशा कंटिन्यूअस होते हैं।

Examples

1. Example 1:
   • f(x) = x + 3; चेक करना है x = 3 पर:

     \lim_{{x \to 3}} f(x) = 3 + 3 = 6
     f(3) = 6
     ठीक है, क्योंकि लिमिट और वैल्यू एक बराबर है। इसलिए, funkशन x = 3 पर कंटिन्यूअस है।
     

2. Example 2:
   • f(x) = |x| / x; चेक करना है x = 0 पर:

     \lim_{{x \to 0^-}} \frac{x}{|x|} = -1
     
     \lim_{{x \to 0^+}} \frac{x}{|x|} = 1
     
     क्योंकि -1 ≠ 1 इसलिए f(x) डिस्कंटीन्यूअस है।
     

Questions and Explanations

1. Concept: बॉसिभिन के 6th से 13th क्वेश्चन में सभी पॉइंट्स को चेक करना होता है।
2. Specific Examples:
   • Ex. 1: f(x) = x - 5, चेक करना है = All real numbers except 5
   • Ex. 2: f(x) = Polynomial function जैसे 2x² - 1 जो all real numbers पर कंटीन्यूअस होते हैं।

Key Points to Remember

• फंक्शन x = a पर कंटीन्यूअस होता है यदि:

  \lim_{{x \to a^-}} f(x) = \lim_{{x \to a^+}} f(x) = f(a)
  

• पोलिनोमियल्स और ट्रिगोनोमेट्रिक फंक्शंस हमेशा कंटीन्यूअस होते हैं।
• लिमिट निकालना और ल हे और रल देखना महत्वपूर्ण होता है यदि ग्राफ में क्लियर न हो।

मुझे उम्मीद है यह सारांश आपके लिए मददगार सिद्ध होगा!