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त्रिकोण और समरूपता के मूल सिद्धांत

So, hello everyone, this is Shobet Irwan. आज किस वीडियो में हम बात करने वाले हैं, Triangle Chapter के बारे में. इस पूरी वीडियो में, इस Chapter को बिल्कुल लिचोड के, उखाड के ऐसे फैकने वाले हैं. मैंने देखा यार, बाकी चैनले ना इतना भारी बना रखा है, चिल ब्रो, चिल. इस concept के साथ आपको इस chapter को मैं पढ़ाने वाला हूँ पूरी शिद्धत से आपको आराम से देखना है करते हैं श्रीगडे इस chapter का सबसे पहले हर एक बच्चे को पता है जब भी हम एक chapter को शुरू करते हैं तो अपनी छट पे लिख लेते हैं कि भाईया इस साल जो हमारा aim है वो है कि सो बटा सो लेके आना है हमें maths में और अगर आपको शोबित भाईया पढ़ा रहे हैं इस तरीके से आपको पूरी की पूरी maths मैं पढ़ाने वाला हूँ ठीक है चैप्टर है ट्राइंगल्स, नाम से ही क्लियर हो रहा है, एक ऐसी फिगर जिसमें की तीन एंगल्स हों, उसे हम क्या कह देंगे, ट्राइंगल कह देंगे, ट्राइ मतलब क्या है, ट्राइ मतलब तीन, और एंगल्स हमने बच्चोंने पढ़े हैं यह एंगल जिसके तीन angle हो उसे हम क्या कहे देंगे triangle कहे देंगे अरे भाईया इतना तो हमें पता ही है अच्छा मैंने का मालो ये triangle है बहुत पता है न तुम्हें चलो तमारा test लेता हूँ मालो ये triangle है ये है A ये है B और ये है C अगर मैं आपसे पूछूं कि इस triangle में क्या आप बता सकते मैंने कहा बहुत बढ़िया जी, अब बताओ इसमें angles कौन-कौन से हैं? आप कहोगे, अरे यार भाईया, आप क्या nursery में हैं क्या हम? हमें साफ-साफ दिख रहा है, एक angle है ये देखो, ये angle A, एक angle है माल लो ये, और एक angle भाईया हमें दिख रहा है, ये angle C. तो बईया angle A, angle B, angle C, ये तीना में side angles दिख रहे हैं, मैंने कहा बहुत बढ़िया, मैंने कहा क्या तुमने एक property पढ़ी है कि इन तीनों angle का sum 180 होता है, आप कहो गया रे यार बईया आप हमें क्या बच्चा समस्ते हो क्या, हाँ angle जितने भी होते triangle के अंदर वाले, उनका sum 180 degree हो ध्यान से देखो ध्यान से देखो मैंने angle A की जगह angle BAC लिख दिया तो क्या मैंने कुछ गलता करा यहाँ पे क्या मैंने कुछ गलती करी आप कोई के नहीं भाईया ये तो हमने lines and angles पे पढ़ा है कि angle A को अगर हम और specifically बोलना चाते हैं कि ये जो BAC angle है ये जो angle BAC है ये ही angle A है angle CAB भी लिख सकते हैं CAB या BAC एक ही बात है तो हमने angle A को या तो angle BAC या angle CAB भी इस तरह से लिख सकते हैं हमने क्या करा? और अच्छे से explain कर दिया, और अच्छे से describe कर दिया angle A को आप कहो के भाईया यार पर इतना describe करने के क्या फायदा है जब angle A से समझ में आई रहा है क्यों हम pen kink waste करें? मैंने कहा हूँ pen kink waste नहीं कर रहे, देखो क्यों हर एक तीस का math में logic होता है, ठीक है? मालो आपका कुछ इस तरह की figure थी, ठीक है? ये A है, ये B है, ये C है, ये D है, अब मैं आपसे बोलूं कि यहाँ पे Angle A लोकेट करके दिखाओ, फ़स गए, क्या हम Angle A इसे कहेंगे, क्या हम Angle A इसे कहेंगे, या फिर Angle A इस पूरे को कहेंगे, तो इसलिए कुछ Figures में, खाली Angle A लिखने से बात नहीं बनेगी, हमें मैं आपसे बोलूं ये वाला एंगल बताना है तो इसको क्या लिखोगे आप इसको लिख दोगे एंगल DAC एंगल DAC तो इसलिए कई जगें खाली एंगल A से काम नहीं पड़ेगा हमें इस तरह से पूरा explain भी करना पड़ सकता है अगर confusion हो रही हो तो ठीक है तो ये reason है कि हम ए क्या मैं angle B को angle ABC लिख सकता हूँ? angle B को angle ABC लिख सकता हूँ? आप कहो के बिल्कुल लिख सकते हैं मैं कह रहा हूँ क्या मैं इसको angle CBA भी लिख सकता हूँ? आप कहो के बिल्कुल लिख सकते हो बई CBA या ABC एक ही बात है मैंने कह बहुत बढ़िया क्या मैं इसको ACB लिख सकता हूँ? angle ACB लिख सकता हूँ? क्या मैं angle C को BCA भी लिख सकता हूँ? या फिर angle BCA तो ये सारी चीज़े हमने triangles के बारे में पढ़ ली, ये सब हम बच्चमन में भी पता था कुछ हमने भारे नहीं पढ़ा, ठीक है, तो ये है basic triangle का मतलब, कि एक ऐसी figure जिसमें कि तीन angle तीन sides हो, उसे हम क्या कह देंगे, triangle कह देंगे, triangle में जितने भी अंदर वाले interior angles होते हैं, नहीं, नहीं, नहीं, यह जो पूरे चैप्टर है, यह है congruency of triangles के उपर based, अब हम पढ़ने वाले congruency of triangles, two triangles are said to be congruent if the side and angle of one triangle are equal to corresponding side and angle, अरे भाई, दिमाग पढ़ गया, नहीं समझ में आ रहा है, मेरे को भी नहीं आ रहा है, पहले यह समझते हैं कि congruency का मतलब क्या होता है, ट्राइंगल ट्राइंगल भूल जाओ, अभी हम बात कर रहे हैं जनरल, कॉंग्रूइंट फिगर्स क्या होते हैं? फिगर्स हेविंग सेम शेप और सेम साइज आओंड नोन एस, कॉंग्रूइंट फिगर्स, क्या बोला मैंने? एसी फिगर जिनकी शेप और साइज बराबर हो, ये एक सरकल है, ये क्या है यहाँ पे बना हुआ? ये एक, ट्रायंगल है, तो अगर मैं आपसे पूछू क्या इन दोनों की shape same है, आप कहोगे नहीं भाईया, अब shape की बात है, ये हो डेगली तो फिर size तो बात की बात है, तो अगर इनकी shape same नहीं है, तो क्या ये congruent होंगे, नहीं, they are not congruent, मैंने कहा अच्छा अच्छा, तो भाईया ये तो यहाँ पे size same नहीं है therefore हमें कह सकते हैं कि यह भी congruent नहीं होंगे अच्छा यह बता ना कि मालो एक square है इस तरह का जो कि यह 4 और एक और square है जिसकी भी side 4 है क्या यहाँ पे हम कह सकते हैं कि यह congruent है क्या इन दोनों की shape same है बिल्कुल same है क्या इन दोनों का size भी same है yes they are congruent figures मालो मालो मालो एक ही है circle जिसकी radius है 2 और एक और है circle जिसकी भी radius है 2 तो इसमें हम देख सकते हैं कि इसकी shape भी same है, दोनों circle हैं, और इनका size भी same है, दोनों radius same है, तो हम ये भी कहेंगे कि ये भी congruent है तो congruent figures का मतलब यह होता है, ऐसी figure जिनकी shape और size same है, उन्हें congruent figure कहेंगे आपके NCRT में एक और definition लिख रखी है कि अगर मालो मैंने इसको काटा कैंची से और उठा के इसके उपर रख दा, तो फिर वो छिप जाएगा, समझ रहे हो, भी photocopy तो है एक दूसरे की, भी इस वाली square को काट के, कैंची से काटा और इसके ऊपर रख दिया तो पीछे वाला छिप जाएगा बट हम सवाल में ऐसा कोई कर देखते हैं कि भाई एक्जाम में आपका सवाल आया और आपने लिया क्विशन पेपर को केंची से काट के कि भाईया तो ये सिर्फ एक्स्प्लेइन करने के लिए इदर से सिर्फ right वाला दिख रहा है तो ये भी congruent है एक ने दूसरे को छिपा लिया तो इन्हें हम congruent figures कहते हैं पर हम इतनी सारों को पढ़ना ही नहीं है इतना सारा क्या करेंगे हम पढ़के सरकल वरकल क्या पढ़ना है हमारा तो काम सिर्फ triangle का है आज का कर रखा है triangles को, तो हम इतना सब क्यों पढ़ें, हमारा तो काम है भाईया, कि सीधा triangles के बारे में बताओ, ठीक है, तो triangles के बारे में पढ़ते हैं, कि भाई, दो triangles कब congruent होंगे, मालो एक triangle है ये, ठीक है, ये triangle है, इसको मैं थोड़ा सा और अच्छे से बनाता हूँ, जैसे कि, म तो ये 120 और ये 60 डिग्री हो गया मालो ठीक है इस तरह से हमने माल लिया मैंने ये 60 कैसे करा क्योंकि sum of three angles 180 होगा ठीक है ऐसा नहीं कि मैं कुछ भी लिख दो कि 80, 40, 30 नहीं तीनों का sum 180 होना चाहिए तो हमने पढ़ाई है माल लो ये वाली side जो है ये तीन है ये वाली side माल लो साथ है ये वाली side माल लो छे है अब मैंने को इसकी congruent figure बनानी है congruent मतलब बिल्कुल सेम इसकी photocopy बनानी है माल लो मैंने ab की length की ऐसे तीन बनाया अब मेरे को क्या बनाना है 7 बनाना है अब मैं 7 जो बनाऊंगा क्या हूँ कैसे बना सकता हूँ कि ये लो ये बना दिया 7 नहीं मेरे को 7 80 डिगरी पे जाके बनाना पड़ेगा कि मैं यहाँ से अब 80 डिगरी घूमूँगा फिर उसके बाद मैं ऐसे 7 बनाऊंगा समझ मेरी मेर फिर मैं 60 degree के लिए गया, 60 degree के लिए गया, फिर उसके बाद मैंने क्या बनाया, 6 बना दिया इस तरह से जॉइन करके, ठीक है, और इसके बाद हम देखेंगे, यह तो 40 हो गई, क्योंकि तीनों का sum 180 होता है, ठीक है, यह तक बात समझ में आ गई, तो मैं बोल देता हूँ कि यह वो PQ के बराबर करना पड और angle A बराबर angle P करना पड़ेगा, भाई AB PQ के बराबर angle A, angle P के बराबर होगा, दूसरा फिर मैंने क्या करा, मैंने जो वाली side हो इसके बराबर करी, कि मैंने AC बराबर कर दिया PRK, और मैंने angle 60 और 60 बराबर करा, मतलब angle C equal to angle R करा, फिर मैंने क्या करा, कि CB बराबर कर दिया मै तो अगर ये सारी conditions satisfy होती हैं, तो हम ये कह सकते हैं कि therefore triangle ABC will be congruent to triangle PQR, क्या मेरी बात यहाँ पर समझ में आई, जो मैंने बोला, मैंने क्या बोला, जैसे जैसे मैंने इसकी photocopy बनाई है, उसको मैंने words में लिखा है, जिस तरीके से मैंने photocopy बनाई है, उसको मैंने words में लिखा AC line के corresponding line मैंने मनाई PR, ठीक है, मैंने AB के corresponding line मनाई PQ, मैंने AC के corresponding, AC के corresponding PR, AC के corresponding PR, CB के corresponding RQ, CB के corresponding मैंने RQ बनाया, और मैंने angle A के corresponding angle P को बराबर रखा, angle C के corresponding angle C के corresponding angle R को बराबर रखा, और angle B के corresponding angle Q को बराबर रखा, जब मैंने ऐसे corresponding angles और corresponding sides को बराबर करा, तब मैं ये देख सकत क्या मैंने पिछली स्लाइड में ये लिखा है? एक बार पढ़ना definition स्लाइड पॉस करके, एक बार पॉस करके, एक बार पॉस करो, बहुत अच्छा लगेगा देखो एक बार पॉस करके पढ़ो, अब मज़ा आएगा पढ़ लिया? Two triangles are said to be congruent Two triangles are said to be congruent if side and angle of one triangle are equal to corresponding side and angle of other triangle ये तो बोला, क्या बोला वेरे? कि side and angle, side and angle of one triangle are corresponding r equal to corresponding side angle of other triangle की ab pq corresponding corresponding का मतलब समझ आ रहा है बच्चों को समझ में नहीं आता है corresponding का मतलब मैंने आपको समझा दिया की ab के corresponding pq, ac के corresponding pr और cb के corresponding qr 80 के corresponding 80, a के corresponding b angle, c के corresponding r angle, b के corresponding q angle यही मैंने लिखा है यहाँ पे की ab के corresponding pq, ac के तो दो triangle कब congruent होंगे यह बहुत basic सी चीज है इसको समझना अच्छे से ठीक है इसी के ऊपर पूरा के पूरा चैप्टर है तो आपको समझ में आना है और समझ में आ गया होगा ना बहुत आसानी से समझा रहा हूँ इसे बाई बाई की तरीके से समझा रहा हूँ के मेरे भाई देख या मेरी बहन द ठीक है मेरी जान? देखो ध्यान से एक ए ट्राइंगल है A, B, C एक ट्राइंगल है P, Q, R तो मैंने ये बोला मैंने ये बोला कि अगर A, B बराबर हम कर दें P, Q के बई, A, B मैं बराबर कर दूँ P, Q के और एंगल A मैं बराबर कर दू एंगल P के फिर B, C मैं बराबर कर दू हूँ QRK BC मैं बराबर कर दूँ QRK ठीक है और angle B equal to angle Q कर दूँ angle B equal to angle Q कर दूँ कि वह corresponding sides and corresponding angle को बराबर करना है मेरे को फिर अगर मैं AC बराबर कर दूँ PRK यह AC बराबर कर दूँ PRK यह AC यह बराबर कर दूँ PRK और angle C equal to कर दूँ angle RK angle C equal to कर दूँ angle RK अगर मैं ये सारी चीजे करके दिखा दूंगा, तो मैं ये कह सकता हूँ कि दिन, अगर ये सब मैंने करके दिखा दिया, कि angles और sides मैंने corresponding बराबर कर दी, तब मैं बहुत हक से कह सकता हूँ कि ABC will be congruent to triangle PQR. क्या मेरी बात यहाँ पर समझ में आ रही है? कि अगर मैंने ये सब चीजे करके दिखा दी, तो मैं हक से कह सकता हूँ कि ABC is congruent to triangle PQR. यहाँ तक मेरी बात समझ में आ गई? समझ में आ गई? कि मैं एक corresponding sides और corresponding angle बराबर करने हैं. जैसे ही मैं बराबर कर वैसे मैं कह सकता हूँ कि ये दोनों triangle क्या होंगे congruent होंगे क्या इसका converse भी true है दिमाग लगाओ कि अगर ये दोनो congruent हैं अगर ये दोनो congruent इतना नहीं दे रखा हमें हमें इतना दे रखा है कि ये दोनो congruent हैं होगा obvious से बात होगा अगर दोनो photocopy हमें बोल दी दिया अब हम क्या कर रहे थे अब हम जाच परताल कर रहे थे कि फोटोकॉपी है या नहीं इन्होंने बोल दिया कि फोटोकॉपी है अब भाई ये फोटोकॉपी है तो अब्यासी बातें सारे कोरस्पॉंटिंग जो होंगे साइड्स और एंगल बराबर होंगे क्या बोला मैंने क्य triangle A, B, C is congruent to triangle P, Q, R पहले मैंने क्या लिखा था? मैंने if के बाद लिखा था वो सारी angle वे angle अब मैं बोल रहा हूँ कि हमें बोली दिया photocopy है हमें बोली दिया दोनों congruent है तो अगर ये सब हैं तो क्या मैं ये बोल सकता हूँ? then क्या मैं ये बोल सकता हूँ? कि देखना अब देखना अब आएगा थोड़ा सा twist angle A बराबर angle P होगा angle A बराबर angle P होगा एंगल B बराबर एंगल Q होगा, एंगल C बराबर एंगल R होगा, एंगल C बराबर एंगल R होगा, अच्छा भी यह corresponding है, मतलब कि जिस हमने sequence में यहाँ पे PQR लिखा है, इसका भी एक महत्व है, इसको भी हम उल्टा सीधा नहीं कर सकते, मैंने कहा बिल्कुल नहीं कर सकते, अगर ABC PQR के करुस्पोर्ट है, congruent है, तो A, पहला वाला, पहले वाले के बराबर, दूसरा वाला, दूसरे वाले के बराबर, तीसर वाला, एंगल, तीसरे वाले के बराबर, समझ गए, तो जिस sequence में लिखा है, बहुत ज़रूरी है, दूसरा, sides का गरम देखे तो, AB बराबर होगी PQ के, इसको कहते हैं, corresponding, corresponding, Angles of Congruent Triangle या फिर C, A, C, T Corresponding Angles of Congruent Triangle इनको हम कहते है Corresponding Angles of Congruent Triangle फिर A, B बराबर PQ के B, C बराबर QR के और AC बराबर PRK, इन्हें क्या कहेदेंगे हम, इन्हें हम कहेदेंगे corresponding sides of congruent triangle, और हम इतना सारा नहीं लिखना चाहते, तो हम क्या कर सकते हैं, इन सब को, इन सब को, इन सब को combine करके हम कहेदेंगे corresponding parts of congruent triangle, या फिर short में CPCT, यह बहुत जगह हम use करने वाले हैं, क्या बोला मैंन कि अगर हम इस तरह से दे रखा है कि ABC is congruent to PQR तो ये सारे relation क्या है? corresponding parts of congruent triangle ठीक है? दो चीज़े हमने क्या पढ़ी? दो चीज़े हमने क्या पढ़ी? कि अगर हमें दो triangle दे रखे हैं, angle, sides, right ये सब दे रखे हैं कि ये सब बराबर हैं तो हम कह देंगे कि ये triangle congruent है और अगर हमें बोल ही रखा है कि triangle congruent है कि हमें angle वैंगल दे रखे हैं तो हम बोल सकते है कि इनके corresponding parts हैं corresponding angle and sides हैं वो भी बराबर होंगे समझ में आगे मेरी बात? मैंने अभी बीच में एक line बोली कि यह जो sequence है कि a पी के बराबर होगा b के बराबर है यह important है इसका मतलब कुछ बच्चे नहीं समझ में आया होगा जैसे कि हमें बोल रखा है एक a triangle है ठीक है एक a triangle है आपका और एक a triangle है आपका और हमें थोड़ा सा ना ऐसे गुमा रखा है मालो ये triangle ए ए वी सी और ये triangle ए पी क्यू आर ठीक है ये सब है हमें दे रखा है मालो एक लल्लू प्रॉब्लम हम कर रहे हैं LP हमें दे रखा है कि if triangle ABC is congruent to triangle QRP अब यहाँ पे मैंने थोड़ा सा change कर दिया अगर ये सब है तो राइट रिलेशन्स बिट्वीन, राइट दा रिलेशन्स बिट्वीन, बीडवीन ऐसे लिख देते हैं हम, कोरोस्पॉंटिंग पार्ट्स आफ कॉंगुरेंट राइंगल, वो सब बताओ, जो मैंने अभी लिखा ना कि वो राइंगल और ये सब बराबर होंगे, अब बताओ हाँ, तो हमें दे रखा है कि ABC is congruent to QRP, यह हमें दे रखा है, अब मेरे को बताने है CPCT क्या क्या होंगे, कि congruent part जो हैं, congruent sides और congruent जो angle होंगे, उनके बीच में relation है, देखो, हमें यह दे रखा है, अब देखो, पहले angle का लिखते हैं, कि पहला पहले के बराबर, कि angle A equal to angle Q होगा मैंने किस तरह से लिखा कि पहला पहले के पराबर दूसरा दूसरे के पराबर तीसरा तीसरे के पराबर आप यह नहीं कह सकते कि बईया QRP लिखा है मेरे को तो QRP अच्छा नहीं लगता बईया इसको PQI क्यों नहीं लिख रहे क्योंकि इसी तरी तो यह जो sequence जिस तरह से लिखा है, यह बहुत important है, कैसे लिखना है sequence में, यह मैं आपको बता दूँगा, अब यह अगले वाले equation में, but यह sequence बहुत important है, मैं आपको बस यह समझाना चाहूँ, अगर मैं sides में relation लिखूं, तो ab बराबर होगा qr के, bc बराबर होगा rp के, और AC बराबर होगा QP के तो यह सारे जो है यह है Corresponding Parts of Congruent Triangle CPCT तो जब भी हमें Angle दे रखे होंगे इस तरह से तो हम उनको Congruent प्रूव कर सकते हैं और Congruent हमें दे रखा है कि दो Triangle Congruent हैं तो नाचने लग जाओ जब भी आपको प्रूव कर दो आप कि दोनों Triangle Congruent हैं यह अभी आपको आगे एहसास होगा एक Question करते हैं ये question है, जिसमें ये बोल रखा है कि दोनों triangles congruent है, prove करो, तो congruent prove करने के लिए अभी तक हमने क्या देखा, कि angles corresponding बराबर कर दो, और corresponding sides बराबर कर दो, तो कैसे करेंगे हम यहाँ पर, देखो, क्या मैं यह देख सकता हूँ कि यहाँ पर angle A जो है, वो angle Q के बराबर है, 265 है, बह R के बराबर है यहाँ पे, दोनों 55 हैं, क्या मैं यह बोल सकता हूँ कि angle C जो है वो angle P के बराबर होगा, कैसे हो गया बाइया, क्योंकि बाइया तीनों का sum 180 हो गया, तो तीनों का sum 180 हम कैसे प्रूव कर दिया, कि 65 plus 55 plus angle C equal to 180 होगा, तो angle C जो होगा, वो होगा 180 minus 120, तो angle C जो हो� तो angle P जो होगा, वो होगा 180 minus, बई तीनों का sum 180 है, तो angle P निकल सकता है, ऐसी यहाँ पर angle C 60 निकल दिया हमने, और यहाँ पर 180 minus 120, तो angle P equal to यहाँ पर भी 60 आ गया, तो यहाँ पर भी हमने 60 निकल दिया, समझ गए, दो angle दे रखे थे, तीसरा हमने लिकाल लिया, sum of angles, sum of all angles, 180 हो ये 12 है ये 12 है BC बराबर होगा PR के ये 15 ये 15 AC बराबर होगा PQ के तो हमने देख लिया कि ये सारी चीज़ें हमने प्रूफ कर दी अब हम ये बोल सकते हैं बिल्कुल हक से बोल सकते हैं कि triangle is congruent to triangle पर कौन सा triangle अब देखो वापस से यहाँ पे जो है ना correspondence बहुत matter करेगी कि triangle ABC जो है वो किसके congruent होगा, क्या मैं यहाँ पर लिख दूँ PQR वह यहाँ कुछ भी लिख दे तो मेरा मन है, मेरे को तो PQR अच्छा लगता है लिखा पर अगर हम इसका cross check करेंगे तो पहला क्या पहले के बराबर है तो यह गलत हो गया अब यह बिलकुल सही relation हो गया है कि triangle ABC is congruent to triangle QRP क्या बेरी बात समझ गई? अब देखो ये लिख दिया मैंने क्या मैं ये भी देख सकता हूँ कि ये वाली relation भी सही बैट रहे हैं ये जो मैंने यहाँ पर side वाली लिख देखो ABQR तो ABQR ठीक है? Corresponding मैं चेक कर रहा हूँ जब भी आपका सवाल ऐसे आप congruent proof कर दो ABC बरापर PQR लिख दो अरे नहीं, इसका ही तो matter है, सारा तो, सारा खेल तो sequence का ही है तो AB और QR बराबर, क्या BC बराबर PR हमें दिख रहा है corresponding? BC बराबर PR दिख रहा है हमें, PR, RP एक ही बात है बाई, PR, RP है तो बारा ही तो जब भी आप ऐसे प्रूव करोगे न, एक बार cross-check कर लेना कैसे cross check करोगे कि उपर जो लिखा है क्या वो यहाँ पे corresponding के तरह बैट रहा है या नहीं बैट रहा है समझ गए मेरी बात तो यह हमने एक बहुत ही लल्लू सी problem करी है अब मान लो आपको इतने सारे angle ना दिये गए हों तो इतना बड़ा चेप्टर कोई होगा 4 exercise है आपकी 5 वाले ऑप्शनल भी है तो इतना बड़ा चेप्टर कोई बनाने की खाली यही है कि बही तैको एंगल दे दी तैको साइड दे दी और हो गया नहीं कुछ तो होगा आगे क्या कुछ ऐसा हो सकता है कि हम कम information में भी उसको congruent proof कर दें क्या कुछ ऐसा हो स कम information भी दे दी तो भी हम congruent prove कर दें हमें बस ये दे रखा है दो side दे दिया, एक angle दे दिया, दो side एक angle दे दिया क्या अभी भी हम इसको congruent prove कर सकते हैं, कोई तरीका है? है यह�� है आगे जो आपका पूरा chapter है हम कुछ ऐसे theorems या फिर ऐसी properties पढ़ेंगे जिसमें कि हम कम information के साथ भी congruent prove कर सकते हैं कि नहीं triangles को कि भी मान लो हमें दो साइड दे दिया और बीच का एंगल दे दिया भी हमें दो साइड दे दिया और उन दोनों साइड को बीच में जो एंगल बना रहा है ये अगर उन दोनों साइड और उस एंगल के बीच के बराबर हैं corresponding तो वो दोनों triangle के होगे concurrent होगे ये ही हम कुछ properties कुछ हम पढ़ने वाले हैं आगे जिसको हम बोलते हैं criteria for congruence of triangle कुछ criteria हैं आपके 4-5 उसमें से पहला criteria जो है वो है SAS congruence rule मतलब की S का मतलब है side, A का मतलब है angle, और S का मतलब है side. Side angle side congruence rule. Side angle side congruence rule क्या कहता है? Two triangles are congruent. दिहान से पढ़ना, दिहान से पढ़ना. Two triangles are congruent. If two sides are included angle of one triangle, those sides और उसके बीच का जो angle है, included angle, are equal to corresponding two sides, उसके corresponding जो two sides हैं. और जो included angle है अगर उसके बराबर हमने proof कर दिया तो वो दोनों triangle भी concurrent होंगे जैसे कि यह से नहीं समझ में आता फिगर से नहीं समझ में आएगा जब तक मैं फिगर से नहीं समझाएंगे तो नहीं मजाएगा तो माल लो एक ये triangle है और एक ये triangle ठीक है मेरे जान एक ये triangle है ABC और एक triangle है PQR ठीक है तो ABC और PQR इस तरह से अगर, क्या बोला मैंने, आप देखो, दियान से देखना, बहुत दियान से देखना, बहुत दियान से, अगर मैं AB बराबर PQ बता दू, अगर हमें दे रखा है कि AB बराबर PQ है, BC बराबर QR है, BC बराबर QR है, और इन दोनों के बीच में जो एंगल बन रहा है, बहुत दियान अगर वो angle B जो है, वो corresponding PQ और QR के included angle के बराबर है, अगर angle B बराबर angle Q है, तो हम ये बोल देंगे, तो हम ये बोल देंगे, तो हम सिर्फ इन तीन information से ही बोल देंगे, कि triangle ABC is congruent to triangle PQR, कैसे बोल दिया हमने, हमने बोल दिया side angle side congruence rule से, side angle side rule से, side angle side, बाई इसके side और इसकी corresponding side, इसकी दूसरी corresponding sides और इन दोनों के बीच के angle जो है, वो बराबर है, क्या बोला मैंने वापस देखो, two triangles are congruent, अब समझ में है की definition, two triangles are congruent if two sides and included angle, two sides and included angle are equal to the corresponding two sides and included angle of other triangle, अगर ऐसा बराबर है, तो हम कह देंगे कि ये दोनों triangle क्या है, congruent, तो अगर मैं इस सवाल को आप से बोलूं आप से प्रूव करने के लिए क्या आप कर दोगे? क्या आप कर दोगे? कर दोगे? कैसे कर दोगे? बताओ हम क्या देख रहे हैं? हम ये देख रहे हैं कि AB जो है वो 10 QR के बराबर है वो 10 दोनों के दोनों 10 है ये 10 ये भी 10 तो जो AB है वो QR के बराबर है हमें दिख रहा है और हमें दिख रहा है कि BC जो है वो PR के बराबर है भाई ये जो BC है ये PR के बराबर है जरूरे नहीं भाई ऐसे तो triangle कैसे भी भून सकता है उससे क्या फर्क पढ़ रहा है हमें ये देखना है कौन सा किस के बराबर है और अगर उसको बराबर करने के बाद हमें कुछ relation दिख रहा है तो हम कहते हैं कौन क्रुवेंट है ये आ� correspondence मतलब ये नहीं है कि सेन तरीके से बना होना चाहिए, corresponding मतलब कि ये इसके परापर हो गया, ये इसके परापर हो गया, और हम ये देख सकते हैं कि इन दोनों साइड्स के बीच का एंगल, इन दोनों साइड्स के बीच का एंगल जो है, वो एंगल R के बराबर है, यह क्या थे, यह बोत 12 थे, और यह क्या है, बोत 55 है, ऐसे बीच में हमें साथ साथ में लिखना होगा कि क्या reason है तो हमने देखा कि side angle side side angle side side angle side कि बाई दो sides और उसके बीच के angle दो sides उसके बीच के angle अराबर है तो हम ये कह सकते कि by side angle side congruence rule क्या हम ये बोल सकते कि triangle ABC is congruent to triangle अब बताओ क्या लिखूंगा, आप सोचो कैसे लिखूंगा मैं, इससे लिखने की कोशिश करो, कि A B बराबर मेरे को QR करना होगा, तो मैं यहाँ पर QR लिख देता हूँ, ठीक है, बई A B बराबर QR करना होगा, ऐसी दिमाग लगाना है, ऐसी दिमाग लगाना है, ABC तो लिख द अब तीनों को हम verify करके देखते हैं, ठीक है, तीनों को verify करके देखते हैं, जो तीनों पर condition हम लिखे हैं, क्या हमने ये relation सही लिखा है, क्या ये भी बराबर QR हो रहा है, ये भी बराबर QR हो रहा है, ठीक है corresponding है, B बराबर R हो रहा है, second, second, बिल्कुल हो रहा है, BC बराबर PR, ये तो जब भी आपको दो side और included angle of one triangle, दो side और included angle of other triangle दिख जाएं equal, तो आप ये कह दो कि दोनो triangle congruent है भाईया, अब तो मज़ा आ गया भाईया, और जैसे ये दोनो triangle congruent है, जैसे ये दोनो triangle congruent है, तो आप ये बोल सकते हो कि by CPCT, by CPCT, कि भाई ये जो length होगी, जो angle C होगा, C, और, ए जो है वो पहले वाला पहले के बराबर होगा ए जो है वो क्योंकि बराबर होगा तो यह सब हम जो है ना CPCT से बाद में लिख सकते हैं तो जैसे ही आपको दो ट्राइंगल कॉन्ग्रूइंट प्रूफ कर दो आप भाई आप नाच ले लग जाना आप कहना भाईया मज़ा आ कि वो कहता है कि भाई बस तेरा ये काम है कि तेरे को ना कॉंग्रेंट प्रूफ करना है उसके बाद CPCT भाई समाल लेगा समझ गए अब क्विश्चन्स करते हैं बहुत प्यारे प्यारे क्विश्चन्स मैं आपके लिए लेके आया हूँ आप देखोगे कि बाकी और जो चैनल्स हैं मैं आपको समझाओंगा फिर उसके बाद आपका कोई भी question होगा ना सारे बन जाएगी, क्योंकि यह बहुत conceptual questions है, मैं आपको कहीं पे नहीं बताऊंगा, कि यह NCRT का question है, RD का question है, यह RS का question है, मैं नहीं बताऊंगा, क्योंकि मेरे हिसाब से, आपको अगर concept पता है, तो कहीं कभी question हो आप कर दोगे, concept क्या है, side angle side, side angle side of one triangle is equal to corresponding side angle side of other triangle, यह concept है, अब इसके बाद चाहे वो सवाल RD का हो, चाहे वो सवाल NCRT का हो, नहीं फरक पड़ता, आप देखो कि बाकी teacher जो ncrt उठाकर रटवाते रहते हैं कि भाई 7.1 का ये question कर लो, 7.2 का ये question कर लो, ये कर लो, ऐसे तरह से sequence wise करवाते रहेंगे, ऐसे कोई होती है पढ़ाई, फिर बच्चे जो हैं वो बाद में जाके बड़ी classes में डरते हैं, क्योंकि वो क्या करते हैं, और publication की book हो, कोई sample paper हो, आपको फर्क नहीं पड़ेगा, आपके लिए तो वो सवाल है, नया सवाल है मेरे लिए, मेरे को concept पता है, मैं कर दूँगा, आपको रटने के जोट नहीं पड़ेगी, कहीं पे भी mention नहीं करूँगा, आप देखो कि बाकी lectures में, और जो teachers पढ़ाएंग हमें दे रखा है O is midpoint of AB, AB का midpoint है O, तो ये और ये angle sides बराबर होंगे, और CD का भी है, तो ये और ये sides बराबर होंगे, बहुत बढ़िया, जब भी आप geometry का कोई सवाल कर रहे होगे, तो सबसे पहले हमें क्या करना होता है, मैंने lines and angles वाले chapter में बताया था आपको, सबसे पहले तो अगर O AB का midpoint है तो AO बराबर B होगा, बाई midpoint है तो दोना sides बराबर होगी, and अगर ये D का भी midpoint है तो CO बराबर D होगा, यहाँ में दे रखा है, because, क्यूं, क्यूं, because O is midpoint, O जो है वो midpoint है, इतना में समाल में दे रखा है, बाई इतना ही दे रखा है और बोल रखा है, prove करो कि AOC is congruent to BOD, AOC, AOC, और BOD इन दोनों को मैंने को कॉंग्रेंट प्रूफ करना है देखो जो चमक रहे हैं दोनों इन दोनों को कॉंग्रेंट प्र� कैसे कॉन्ग्रेंट प्रूफ करोगे? कैसे करोगे? बताओ कैसे करोगे? अभी बताया मैंने भी प्रॉपर्टी लगाएंगे हम? कैसे लगाएंगे हम? देखो, देखो, देखो, बहुत असान है अरे यार कुछ नहीं है, लललू है, देखो तू प्रूफ, क्या क्या प्रूफ करना है हमें? बट आपको ये तीन चीजें प्रूफ करनी है ठीक है अब आते हैं प्रूफ पे तो सबसे पहला काम जब भी आप कोई जिमेट्री का सवाल करो आपका सबसे पहला काम है डाइगराम बनाओ गिवन टू प्रूव लिखो उसके बाद ही शुरुबात करोगे ये बिलकुल गाठ बान लो कि भाई मेरे को जब भी जिमेट्री का सवाल दिखेगा पर उससे क्लियर रहता है क्योंकि जब फायदा होगा और उस समय हम याद नहीं आया given to prove लिखना तो आप कहोगे याद given to prove याद ले रहा तो इसलिए लिखो हर सवाल में figure और given to prove लिखना है अब हमें प्रूफ करते हैं कि AOC जो है वो BOD के congruent है अब देखो in triangle AOC and triangle BOD गौर करते हैं कि हमें दे रखा है कि AOC बराबर BOD गिवन है, कि यह साइड इस साइड के बराबर है, और हमें दे रखा है CO बराबर, DO भी दे रखा है, तो हमें CO बराबर, DO भी दे रखा है, यह भी हमें गिवन है, खाली खाली इस वाले ट्राइंगल को देखो, यह जो ट्राइंगल है, इसको मैंने चपा लिया अपने मुझे, इस ट्राइंगल को देखो, साइड, साइड, अगर इन दोनों साइड के बीच वाला इंक्लूडिड एंगल यह, अब यह जो मैंने आपको included angle बनाया है अगर इन दोनों angle को मैं बराबर कर दूँ किसी तरह से तो मैं side angle side वाला का ungrounds rule लगा सकता हूँ लगा सकता हूँ, लगा सकता हूँ, बिल्कुल लगा सकता हूँ कैसे लगाऊँगा कि अगर दो line आपस में intersect कर रही है तो vertical या opposite angle क्या होते हैं बराबर होते हैं कि ये line और ये line आपस में intersect कर गया हो पे तो ये vertically opposite angle बराबर तो होंगे तो हम ये बोल सकते हैं कि यहाँ पे जो ये angle 1 है या फिर इसको 1 छोड़ो पूरा ही लिखते हैं angle AOC जो है angle AOC जो है वो angle BOD के बराबर है क्यों vertically opposite angle AOC BOD के बराबर है अब अगर मैंने ये angle ये side angle side जो है ये congruent proof कर दी तो हम कह सकते हैं कि triangle AOC is congruent to triangle BOD क्या मैं ऐसा लिख सकता हूँ by side angle side congruency rule एक बार verify कर लेते हैं कोई बात लिख जा रहा है मैंने इस तरह से लिखा हो तो मैंने direct लिख दिया कि मैंने ऐसा दिखा कि ये side included angle side और ये side included angle side जो हैं बराबर हैं अब मैं एक बार इसको verify करके देख लें कैसे verify करते हैं हमने क्या लिखा है A O B O A O B O match हो रहा है बहुत बढ़िया, AOC BOD, AOC BOD, बिल्कुल corresponding चल रहा है, CODO, क्या, CODO, बिल्कुल सही है, तो हम यह कह सकते हैं कि यह siege जो है, यह आपस में क्या हो रही है, verify भी हो गया है, तो क्या हम बोल सकते हैं कि पहला part prove हो गया, यहाँ पर हम लिख सकते हैं क्या, कि यह first proved, first prove हो गया, अब हम CPCT का use करेगे CPCT से हम कह सकते हैं कि angle AC, side AC equal to BD बहुत हम अनाल से बोल सकते हैं कि AC और BD भी तो बराबर होंगे कैसे वेरिफाई कर लो AC बराबर BD होगा CPCT से हमने बोल दिया तो लो जी, दूसरा भी proof हो गया यहाँ से हम बोल सकते हैं second is also proved अब जो तीसरा है, अब जो तीसरा वाला पार्ट है, यह जो तीसरा वाला पार्ट है, AC parallel to BD, AC parallel to BD, यह प्रूव करना है, इसके लिए हमें थोड़ा सा, Lines and Angles जो हमने चैप्टर पढ़ा था, उसको revise करना पढ़ेगा, जिसको revised है, वो भी सुलनो, जिसको अभी पढ़ा है तो वर्टिकली ओपोजिट एंगल बराबर होंगे मालो ये एंगल 1, 2 है तो एंगल 1 इकॉल टू होगा और मालो ये 3, 4 है ये एंगल 3 और ये एंगल 4 है तो एंगल 3 इकॉल टू एंगल 4 होगा ये क्या है ये सारे वर्टिकली ओपोजिट एंगल है एक लाइन है ये ये एल है ये एम है और एक लाइन है ये जिसे हम कहते हैं ट्रांसवर्सल पी दो पैरलल लाइन है एल है पैरलल टू एम दे रखा है और पी इस ट्रांसवर्सल जब दो लाइन को एक ऐसे लाइन कट करते हैं तो उसे हम Transversal कहते हैं और इसमें कुछ Properties होती हैं, क्या Properties होती है मेरी जान? Properties यह होती हैं कि जो Alternate Interior Angles होते हैं Alternate Interior Angles जो होते हैं वो Equal होते हैं अब Alternate Interior Angles, देखों Interior Angles कौन से हैं यह सारे इसमें बहुत सारे Angles बन रहे हैं, 2, 3, 4, जैसे 1, 2, 3, 4, और यह 5, 6, 7, 8 ये मैंने lines and angles वाले chapter में बहुत अच्छे से समझा है, बहुत time देखे समझा है, तो अगर आपको और अच्छे से समझने है, तो आप वाला lecture देख लेना, ठीक है, आपको channel पे मिल जाएगा, इससे पिछले वाला lecture है, अभी मैं आपको जल्दी जल्दी बता रहा हूँ, alternate interior angle equal हो यह होता है alternate interior angle, alternate exterior angle भी बराबर होंगे, जैसे कि वो भी equal होंगे, जैसे कि 1 बराबर 7 है, यह exterior alternate है, और 8 बराबर 2 है, corresponding angles जो होते हैं, corresponding angles जो होते हैं, वो भी equal होते हैं, now corresponding angles कौन-कौन से हैं, देखो, relation देखना, मैं जैसे-जैसे बोल रहा हूँ पर देखना, angle 1 equal to angle 5 होगा, angle 4 और angle 3 equal to angle 7 होगा ठीक है एक छोड़के एक 1 5 के बराबर 4 8 के बराबर 2 6 के बराबर 3 7 के बराबर तो यह क्या है corresponding angles जो होगे यह भी equal होगे और जो co-interior angles हैं co-interior angles हैं वो supplementary होते हैं कौन से co-interior angles interior angle on same side of transversal interior angle on same side of transversal जैसे कि angle 5 plus angle 4 जो होगा यह 180 degree होगा and angle 3 plus angle 6 जो होगा, ये भी 180 degree होगा, ये same side of transversal, ये इस वाली same side, ये ये वाली same side, तो 3 और 6 का sum 180, 4 और 5 का sum 180, ठीक है, समझ गए, इतना समझ में आ गया, ये है, एक और चीज़ है, कि अगर आपको दो line दे रखे हैं, ये line और ये line, और आपको बताना है, कि ये दोनों line L और M या फिर ये जो corresponding angles बन रहे हैं इनको बराबर बता दो या फिर ये जो दो angles बन रहे हैं को interior इनका sum 180 कर दो तो जो जो चीज़े मैंने यहाँ पर बोली कि ये equal होते हैं अगर आप ये equal प्रूफ कर दो कि तो इसका converse भी true है यहाँ पर आप मैं दे रखा था कि L is parallel to M अगर L parallel to M है तो ये सारी चीज़े होंगी true और अगर इनमें से एक भी true हो गई तो L parallel to M होगा ये triangles का ही नहीं है ये triangles chapter का नहीं है क्योंकि ये triangles chapter का नहीं है ये Lines and Angles चेप्टर का है। Lines and Angles अगर आपको अच्छे से पढ़ना है। मात्र 2-2.5 गंटे में मैंने पढ़ा रखा है। बहुत प्यारे तरीके से, बहुत कैड़े तरीके से। आप वो लेक्चर देख सकते हो। सवाल ये कहता है कि हमें ये और ये पैरलल प्रूफ करना है। कि देखो। AC और BD, मेरे को इसको parallel proof करना है, AC और BD को, तो माले लो ये transversal है, जो इन दोनों को cut कर रही है, अब लाल वाले को देखो और सब बोल जाओ, तो ये दो line है और ये transversal है, अगर मैं इस angle और इस angle को बराबर proof कर दूं, तो मैं कहा दूंगा ये दोनों line parallel है, क्यों, क्योंकि ये तो ये line और ये line दो line है ये transversal है और ये alternate interior angle है अगर इन दोनों को मैंने बराबर बोल दिया तो मैं कह दूँगा कि ये दोनों line भी paddler हैं और मैं ये बोल सकता हूँ कि by CPCT, by CPCT मैं ये बोल सकता हूँ कि angle OAC, क्या बोल सकता हूँ मैं? angle OAC या फिर COAC जो ये angle है, OAC ये वाला angle equal to angle OBD होगा O B D होगा by CPCT और अगर ये दोनों हो गया तो हमें कह देंगे AC इस पर लेट टू बीडी क्यों ऑल्टरनेट इंटीरियर एंगल ऑल्टरनेट इंटीरियर एंगल से कि समय तो बस यह लाइन एंगल का एक कंसेप्ट लगना था यहां पर सीपी सीटी से सब चीज प्रूव हुई है दोनों OAC इस तरह से बन रहा है, OBD इस तरह से बन रहा है, तो यह क्या हो गया, corresponding है तो हो गया, दोनों सेम pattern में जा रहे हैं न, OAC, OBD, तो बिल्कुल corresponding बन रहा है, तो दोनों CPCT से मैंने proof कर दिये, यह और यह बराबर है, और यह transversal था, ये दो line, ये transversal, ये alternate interior angle दोनों प्रापर है समझ गए मेरी question को? था न प्यारा question, ये बहुत basic सा question, बहुत लल्लू सा question है बस आपको lines and angles अच्छे से आना चाहिए triangles में बहुत जगह use होता है, आगे जो आप questions करोगे मेरा मन नहीं मानेगा क्योंकि आपसे एग्जाम में फिर सवाल नहीं होगे यहाँ पे लेक्चर में आप देख रहे होगे तो आपका असान असान सवाल मज़ा आएगा कि यार शोबित बिया किता अच्छा पढ़ा रहे है सारे सवाल होते जा रहे है बहुत असान था बहुत असान था बहुत असान था दोनों पराबर, तो हमने बोल दे दो राइंगल कॉनक्रुरेंट, कॉनक्रुरेंट है तो सेकंड पार्ट प्रूव हो गया CPCT से, तीसरा पार्ट भी CPCT से, बस आपको पता होना चाहिए कि alternate इंटी राइंगल को पराबर करना है, तो दोनों लाइन, पहल ललोंगी, समझ गए, अगला question, हमें दे रखा है कि AC बराबर AD है, AC, AC बराबर AD है, और AB bisects angle A, AB, A को bisect कर रहा है, इस पूरे angle A को, AB bisect कर रहा है, तो मतलब ये और ये angle भी बराबर होंगे, बहुत कभी भी कोई angle जो है, ये मालो ये पूरा बड़ा angle है, और इसको ये line bisect कर रही है, तो ये दोनों ठीक है इसका मतलब होता है bisector का मतलब angle bisector तो AB जो है वो angle bisector of angle A है show that ABC is congruent to B, ABD क्या बोला मैंने, क्या बोला मैंने ये बोल रहे हैं कि show करो ABC, ABC ये वाला triangle और ABD triangle जो है ये congruent है ये दोनों जो चमक रहे हैं यहाँ पे इन दोनों को मेरे को congruent prove करना है कैसे prove करूँगा बहुत आसान है given क्या AC बराबर AD दे रखा है given और AC बराबर AD दे रखा है, and, angle, CAB, equal to angle, DAB लिख सकता हूँ मैं, बिल्कुल लिख सकता हूँ, CAB बराबर DAB, बाई, दोनों को bisect कर रहा है, तो ये दोनों angle बराबर कर दिया है, मैंने बता दिया, given है, ठीक है, to prove, क्या prove करना है मेरी भाई, prove हमें करना है कि ABC जो है, वो congruent है, triangle, ABD के, अरे शबाश, अरे prove देखते हैं, अरे बहुत जल्दी, अरे बहुत बढ़िया है, अरे देखो, इंट्रा एंगल ABC और ABD बहुती प्यारा सवाल है बहुती आसान सवाल है आपको बस एक छोटी सी चीज समझनी है कि ABC और ABD में अगर हम ध्यान से देखें तो AC बराबर AD हमें दे रखा है क्या है ये गिवन है एंगल CA भी बराबर एंगल DA भी दे रखा है हमें बाई साइड एंगल अगर बराबर हो जाएं, तो तो मज़ा आ जाएगा, भाई इन दोनों triangle को मैं थोड़ा बाहर निकाल कर दिखाओं आपको, देखो ये है, A, C, B, और एक triangle है ये, D, A, B, हमें ये रखें ये दोनों angle, ये दोनों side बराबर, हमें बोल रखें ये दोनों angle बराबर, अगर मैं इन तो यार एक बात बता मेरी जान यहाँ पे क्या मैं यहाँ पे AB बराबर AB लिख नहीं सकता क्या common AB उपर वाले triangle में भी है नीचे वाले triangle में भी है हमें इसको ही तो equal बताना है और AB तो AB के बराबर ही होगा अरे नहीं होगा क्या? बाई ये pencil अपने आपके तो बराबर होगी, ये pencil जो है, ये अपने आपके तो बराबर होगी, आप अपने आपके बराबर नहीं हो, बाई आप अपने आपके तो बराबर ही हो, मैं आपसे बूचो शोबित, क्या तु शोबित के बराबर है, या निकि दोनों एक दूसरे के common ही तो थी, दोनों एक दूसरे जुड़ी हुई थी, अब हमने कहा बहुत बढ़िया है, जुड़ी हुई है, तो दोनों बराबर ही है, तो हमने क्या कर दिया, ये दोनों common है, तो हम ये देख सकते कि by side angle side criterion, हम बहुत सकते कि triangle ABC will be congruent to triangle ABD, क्या मैंने जो दोनों में इस तरह से बन रहा है, इस तरह से तो बन रहा है दोनों में, दोनों corresponding है, बिल्कुल, हमने check कर लिया, दोनों corresponding है, ठीक है, और AB बराबर AB, AB बराबर AB, ठीक है, बहुत बढ़िया, सही तरह से लिखा है, सही sequence में लिखा है, तो ये, hence proved हो गया, इस question में क्या नया था ठीक है, और, और, ठीक है, यह triangle बन गया, A, B, C, और यह बन गया, A, D, E, समझे कौन-कौन से हैं, अब मैं इसको अलग color से बनाओंगा, तो आप समझोगे कौन से दो, देखो, एक ही है, दिख रहे है, अब दिख रहे हैं दो triangle, तो एक triangle है, यह लाल वाला पूरा, ठीक है, अब मैं लाल से भी थ एक ये लाल वाला है और एक ये अरा वाला है तो इन दोनों ट्राइंगल में आप देख सकते हो इन दोनों ट्राइंगल में आप देख सकते हो कि एंगल ए जो है वो कॉमन आ रहा है एंगल ए जो है वो कॉमन आ रहा है कि भाई ABC ये थी ABC लेड वाला मैंने इधर निकाल लिया मैं आपको एक बार बात समझा रहा हूँ देखो यह रेड से बना दिया है और यह ग्रीन वाला बना देखा हूँ यह जो मैं अभी ग्रीन बना देखा हूँ इसको मैं बाहर ये, ये, ये, ये जो ये देखो सबसे ऊपर question बना हुआ है इसमें angle ये हमें common देख रहा है जो नोटर angle में बिल्कुल इस तरह सही है तो ये common है हो गया proof आगे एक और सवाल करें प्यारा था ये अच्छा सवाल है दियान से देखना है इसको देखो AB बराबर CF हमें दे रखा है कि ये AB जो है ये चोटी सी length जो है ये part ये बराबर है CF के ये चोटे part के ये और ये बराबर है हमें दे रखा है ये यहाँ पर ये चोटी सी mistake है मेरी ये ओके ओके ओके यह जो है ना यहाँ पर यह AFE जो है एंगल है हमें दे रखा है यहाँ पर यह question मैं थोड़ा सा ठीक कर रहा हूँ यह एंगल AFE है यह एंगल AFE equal to CBD है ट्राइंगल नहीं CBD equal to angle CBD है यह दे रखा है हमें ठीक है तो हमें दे रखा है AB बराबर CF और EF बराबर BD यह दे रखा है और एंगल AFE एफ ए यह एंगल जो है यह बराबर है सीबीडी के सीबीडी के कि आप दो ट्राइंगल देख सकते हो जिनको हमें कांग्रेंट रूप करना है कि इनको में कांग्रेंट रूप करने देख सकते हो एफ एफ ए और सीबीडी इन दो ट्राइंगल इसको मैं बाहर निकाल लेता हूँ, इसको मैं बाहर निकाल लोगा तो कुछ इस तरह स एफी, एफी, और इसको मैं बाहर निकालूँगा, तो ये बन जाएगा कुछ इस तरह से, बी एसी, बी डीसी, हमें दे रखा है कि ये इसके बराबर, और हमें दे रखा है यह angle जो है यह angle इस angle के बनाबर और हमें ना यह पूरी side नहीं दे रखी सबसे बड़ी दिक्कत इस सवाल में यही है सबसे बड़ा जो सरदर्द इस सवाल में यह है कि हमें सब यह चोटा चोटा part a b यहाँ पर कोई बीच में b पाया कर रहे हैं और बस इसके चोटे से पार्ट के पराबर है हमें पूरा नहीं दे रखा अगर हम ये पूरा दे देते ना अगर हम ये बोल देते अगर हम ये बोल देते कि जो AF है ये जो AF है ये side AF जो है अगर ये AF BC के पराबर बोल नहीं है तो हम देख लेंगे बहुत आराम से side हो जाएगा concurrent proof पर ये side पूरी नहीं दे रखी छोटी छोटी part दे रखा है क्या कि इन्होंने AB बराबर CF कर रखा है अगर ये पूरा AF बराबर BC बोल देते ये जो common part है अगर इसको भी add कर देते क्या बोला मैंने क्या बोला मैंने क्या बोला सुना सुना, क्या, कि अगर ये common part को भी add कर देते, तो काम बन जाता, तो हम add कर देते न, मेरी जान, देखो, देखो, देखो, अब समझो, अब समझो question को, ठीक है, देखो, अब योना flow में आ गया हूँ, given to proof अभी उपर लिखता हूँ, पहले मैं क्या करूँगा, देखो, हमे अब मैं क्या करूँ, add कर देता हूँ दोनों में common part, कौन सा adding, bf, both side, दोनों sides मैंने bf add कर दिया, इसमें, तो ab plus bf equal to cf plus bf हो गया, तो ab और bf को add करा, ab में bf add करा, तो af बन गया, अरे बन गया नहीं बन गया, देखो, ab में bf add करा, तो af बन गया, और अगर cf में bf, cf में b तो AF बराबर BC, यह हमारा first equation, बहुत बढ़िया, AF बराबर BC, अब तो होई किया सवाल, अब लिख लेता है सजा के, given क्या था, given था AB बराबर CF, और EF बराबर BD, और angle AFE, angle CBD के बराबर यह given था to proof proof हमें क्या करना है मैं जल्दी जल्दी लिख रहा हूँ ठीक है triangle AFE is congruent to triangle CBD यह हमें proof करना है अब हम proof पर आ गए तो proof में सबसे पहले तो हमने क्या करा common part add कर दिया क्यों हमने common part add करा क्योंकि जब मैं बोल रहा था कि AB बराबर CF कर दिया AF बराबर BC बन जाता मैंने कहा common add कर देते हैं क्योंकि अगर किसी भी equation में, मालो 2 equation बराबर है, मालो 2 equal to 2 लिखा है, तो अगर दोनों तरफ मैंने 1 और 1 add कर दिया, तो क्या फरक पड़ गया, तो कटना ही था, पर हमने क्या करा, हमारी सहूलियत हो गई, जैसे हमने दोनों तरफ BF add करा, वैसे तो यह कट जाता, पर हमने अ� आपको feel आजाएगी, आपको सवाल देखते ही feel आएगी कि कुछ part जो common हो रहा है, समझे, अब हम आजा करते हैं कि इसका, आगे करते हैं, अब हम concurrent prove कर देते हैं कि in triangle A, F, E and किन-किन को prove करना है, A, F, E और C, B, D को होते हैं, इन दोनों triangle को देते हैं, C, B, D को, अगर इन दोनो triangle क्या? AF AF बराबर BC यह तो हमें दे ही रखा है फिर हम angle ले लेते हैं, कौन सा AFE बराबर angle CBD यह हमें given है बाई side angle side और angle तक पहुँच गया हम side और angle तक पहुँच गया हम, side और angle तक पहुँच गया हम बापस तीसरी side ले लेते हैं कि EF बराबर होगा CBD के, यह भी हमें given है यह बराबर CBD, यह हमें given है तो अगर हम ये सारी चीजे बता दी हमने, तो हम बोल सकते हैं कि side angle side congruency rule से triangle A, F, E will be congruent to triangle C, B, D, क्या इसे हम verify भी करने हैं एक बार, मैंने कहा बिल्कुल कर लो भाईया, देखो, क्या A, F बराबर B, C verify हो पा रहा है, A, F बराबर B, C verify हो रहा है, बिल्कुल हो रहा है, क्या A, तो यहाँ पर हम कह सकते हैं कि दो लो triangle क्या हो गए, concurrent proof हो गए, hence, proved, this सवाल is done, बढ़े आगे, देखो, जैसा जैसा अभी मैंने आपको बताया था, वैसे ही आगिया, समझ गए, जैसे मैंने आपको बताया था, आगिया, अब कर नहीं सवाल सवाल को, देखो, अच्छा सवाल है, प्यारा सवाल है, बहुत ललू सा सवाल है, ललू problem given, x and y are 2.1 equal side a, b and a, c, अच्छा equal side a, b and a, c, तो बोल रखा है कि a, b equal to a, c है, शबाशे, such that a, x equal to a, y भी दे रखा है, a, x equal to a, y भी दे रखा है क्या, a, x equal to a, y, a, x equal to a, y, और यह जो पूरी साइड है, x c वराबर y b, अरे बा, क्या, ये x c जो है, ये y b के बराबर है, तो हमें जब भी, पहले हमने पहले सवाल करें, उसमें क्या कहता है वो, वो कहता है पहले congruent proof कर दो, और फिर उसके बाद CPCT से कर दो, पर इसमें मैं congruent proof करने के लिए इससे direct बोल दिया कि इस दोनों साइड वर जिन triangles में हमें किसको prove करना है? XC बराबर YB करना है तो हमें जिस triangle में XC और YB आ रहा है और उसके बाद के जो कुछ angles का हमें relation पता है उन दो triangles को अपनी सहुलियत के साथ उठा लेता है मैंने क्या बोला? मैं अच्छा सुनो में ये जान कि जिस triangle में हमें XC और YB का CPCT से निखा लेंगे हम दिमाम के बन रही है पिछर कि हम दो triangle को concurrent करके XC बराबर YB करेंगे CPCT से पर XC बराबर YB जब हम कर पाएंगे तो XC और YB वाला कोई triangle उठा लेते हैं जिसमें xc और yb हो, अब ऐसा तो नहीं है कोई भी triangle उठा लो, बही xc और yb जो हैं, बही xc और yb जो हैं हमारे, xc जो हैं, और yb जो हैं, वो तो इन दोनो triangle में भी आ रहे हैं, yb, xc, पर इन दोनो triangle को कर मैं उठा लूँगा, कोंग्रेंट प्रूफ करने के लिए, तो मेरे को इसमें और sides के बीच का कोई relation कोई पता है, हमें sides के relation के इनका पता है, हमें उन दोनो का पता है, हमें ये बड़ी वाले का पता है, तो हम ऐसे दो triangle उठाएंगे, मैं आपको concept, मैं फिर आपको feel दिला रहा हूँ, मै कैसे सोच रहा हूँ मैं? मैं ऐसे सोच रहा हूँ कि भाई मिरको ना XC और YB बराबर करने हैं, किन-किन को बराबर करना है मिरको? XC और YB को, तो मैं ऐसे दो ट्राइंगल उठाऊँगा जिनमें ये दोनों तो इंक्लूड होई, और जो मिरको पता है वो भी इंक्लूड हो, तो हम इंदू ट्राइंगल को उठाएंगे, क्या बोला मैंने? प्रूफ, चमक्पर आएगा क्या? रुक जा मेरे भाई, हाँ, प्रूफ इंड ट्राइंगल इंड ट्राइंगल, ए बी वाई अब देखना उधर ए बी वाई, एंड ट्राइंगल क्या मैं इन दोनों को बाहर निकालना और अच्छे से दिख जाएगा मैं चीज है तो ABY को बाहर निकालना अगर मैं तो ये रहा ABY ABY और ACX को बाहर निकालना तो वो ACX ये रहा ACX हमें दे रखा है कि AY इकॉल टू AX हमें दे रखा है AY इकॉल टू AX दे रखा है AY AX बाराबर है AX AY बाराबर है हमें दे रखा है ये दोनों बड़ी साइड भी बराबर हैं, AB और AC भी बराबर हैं, और हमें दिख रहा है ये एंगल भी कॉमन है, ये तो हमने अभी देख लिया था, तो जैसे ही हमें ये दोनों एंगल कॉमन दिखे, तो हमें दिख लिया कि वही साइड, एंगल साइड, वह या फिर angle BAY equal to angle CX, क्या both angle है, both common, common है दोनों, ठीक है, भी angle पर अब angle है common, और हमें दे रखा है कि AX, AY equal to AX दे रखा है, given है, हमें ax equal to ay दिरखा था या फिर ay बराबर ax, मैंने ay पहले इसलिए लिखा क्योंकि aby की बात हो रही है, ठीक है, aby की बराबर हो रही है, तो पहले aby के लिए पहले इस वाले triangle की बात करेंगे नम तो ay बराबर ax हो गया, आपकी बन है, so हम यह कह सकते हैं, therefore by side angle side congruency rule triangle, triangle, triangle aby will be congruent to triangle acx, क्या मैं यहाँ पर इसको देख सकता हूँ कि यह verify हो रहा है यहाँ पर, aby और acx, मैंने बोल तो दिया ही तो A भी बराबर AC, A भी बराबर AC, हो रहा है, BAY बी ए वाई इकॉल टू सी एक्स, सी एक्स, बहुत बढ़िया वेरिफाई हो रहा है, ए वाई इकॉल टू एक्स, क्या, ए वाई इकॉल टू एक्स, बहुत बढ़िया, तो यह हम कह सकते हैं कि यह वेरिफाई भी हो रहे हैं, तो बहुत बढ़िया हमने दोनों डोनों ट्राइ समझ गया? असान सवाल था न? कुछ भी नहीं था, बस यह था कि angle एक common है, वो हमें देखना था, यह मैंने आपको बताई दिया, तो हमने क्या करा? हमने वो, अपने सहूलियत के एसाप से हमने वो दो triangle उठाए, जिनमें xc और y भी आना था, यह सबसे बड़ा इसम बहुत सारों में आ रहा होगा पर आपको relation के बारे में पता है आपको sides के बारे में relation दे रखा है हमें दे रखा है AXAY के बारे में AXAY और AB AC के बारे में तो उन triangle को लो जिनके बारे में relation दे रखा है उन triangle को और AXAY और YB वाले triangle को लो जिसमें AXAY और YB है next हमारी दूसरी number property आती है, जिसे हम कहते है, angle side angle, क्या बोलते हैं हम इसे, इसे हम बोलते हैं, angle side angle, ASA congruency rule, यह क्या कहते है, बच्चे समझी होंगे, कुछ बच्चे दो दिन, नाम सही, बहिया वो था side angle side, पिछला क्या था, side angle side, कि ये side, फिर एक angle, फिर side, अब क्या है, angle side angle, क ये angle और ये side और ये angle तो अगर इस तरह से हम कर देंगे तो मैंने वो ही बोला भी यहाँ पे कि आपको नाम से समझ में आ जाएगा कैसे क्योंकि शोगल भाई आपको पढ़ा रहे हैं हाँ हाँ हाँ बदला कर रहा है तो आपको नाम से ही समझ में आ गया होगा कि इस वाले में हम क्या कर रहे हैं कि मालो ABC और PQR हैं तो अगर अगर angle A बराबर angle P है ये angle A जो है angle B बराबर angle Q है angle B बराबर angle Q है और इन दोनों के बीच का side include हो रही है AB equal to अगर PQ है क्या बोला मैंने two triangles are congrative two angle and included side यह included side है इन दोनों के बीच में include हो रही है non included कौन से है यह वाली side जो included है और यह वाली side non included है यह exterior है बाहर है तो हम यह कह सकते हैं कि दो angle and included side of one triangle दो angle and included side of one triangle are equal to corresponding two angles corresponding two angles and included side of other triangle अगर यह बराबर है तो हम यह कह सकते हैं कि by angle side angle हम यह बहुत सकते हैं कि triangle ABC will be congruent to triangle PQR यह हमने second property समझ ली पहली हमने क्या पढ़ी side angle side कि बई दो side और बीच का angle side angle side अब हम पढ़ रहे हैं दो angle और बीच का included side दो angle और बीच का included side दो angle और बीच का included side अगर पराबर हैं तो दोनो triangle concruent होंगे सवाल करें सवाल करें use हो रही हैं देखो मेरी जान गिवन, L is parallel to M and P is parallel to Q, to prove, प्रूव हमें क्या करना है, triangle ABC is congruent to triangle CDA, ये प्रूव करना है, क्या, देखो कौन कौन से की बात कर रहा हूँ मैं, ADC, ABC, ABC is congruent to C, डी ए ये दो ट्राइंगल की बात करना हुआ है ये दो दो चमक रहे हैं अरे कॉमन दिग्गे आ एसी एसी कॉमन दिग्गे दोनों में चलो बहुत बढ़िया ये तो हमें करना था ये ही तो मैं दिखाना चाहरा था आपको कि प्रूफ अगर मैं लिखूँ और मेरे को बोलना है कि इन ट्राइंगल ए बी जी ए ट्राइंगल सी डी ए अगर इन दोनों एल इस पेल्डल टू एम दिहान से देखो मेरी जान, अभी थोड़ी देर पहले आपको बताया कि L is parallel to M, और ये अगर एक transversal की तरह है, ये हम देखें, तो ये angle और ये angle बराबर होगा, और, और, ये angle और ये angle भी तो बराबर होगा, कैसे बराबर होगा, क्योंकि ये alternate interior angle है हा हा तो हम ये बोल सकते है कि angle b a कौन सा पहना गया हा angle b b a ये क्या था c था न ये हा b a c equal to angle d c a alternate interior angles और इसी तरह से हम बोल सकते है कि angle angle ACB equal to angle CAD, ये भी वर्टिकली, ओ, interior opposite angle, alternate interior angles, समझ में आगे मेरी बात, और हमें दिख गया कि AC बराबर, AC common, तो हमने देखा कि angle, side angle, तो हम ही कह सकते हैं कि by, angle side angle, ASA congruency rule, triangle ABC will be congruent to triangle CDA और हम यह बोल सकते हैं कि यह यहां से hence proved है क्या मैं इनको भी वापस से verify करता हूँ, मेरा काम होता है जब भी मैं किसी सवाल को करता हूँ, मैं verify ज़रूर करता हूँ कि मैंने sequence चाहिए लिखा है नहीं लिखा कैसे verify करता हूँ मैं, कि BAC और DCA, BAC और DCA, DCA, क्या यह है दोनों बी एसी और डी सी ए गांग या डी सी ए डी सी ए कि दोनों सही बैट रहे हैं बिल्कुल सही बैट रहे हैं ठीक है एसी बराबर एसी दिख रहा है कोरोस्पॉंडिंग में एसी बराबर एसी दिख रहा है दिख रहा है बहुत बढ़ी और तीसरा एसी बी बराबर सी एडी एसी तो लाइन जे नंगल अच्छे से आनी चाहिए मेरी जान, नहीं आती तो शोगुद दिया का लेक्शर है, दाई गंटे में, टू एक्स पर करके, एक गंटे में निप्टा दोगे, निप्टा लेना, चलो, आगे बढ़ो, आयो, एक और प्यारा सा सवाल, फिर मज़ा आएगा और angle BAD बराबर angle EAC लिखा हुआ है क्या? AC बराबर AE AC बराबर AE AB बराबर AD AB बराबर AD BAD BAD ये angle बराबर EAC EAC ये angle ये दोनों हमें दे रखे हैं ये सारी चीज़ें दे रखे हैं और ये two proof क��या है? हमें proof क्या करना है? हमें proof करना है BC बराबर DE दो साइड को बराबर करना है तो इन दोनों साइड को contain करने वाले दो triangle में बराबर कर दूँगा फिर उसके बाद CPCT लगा दूँगा, simple है समझ गए? तो और या आख मारे, आख मारे तो मैंने आपको क्या बताया? मैंने आपको क्या बताया? कैसे? कि भाई हमें BC बराबर DE करना है हमें BC और ये जो DE है इन्हें बरापर करना है तो इनको contain करने वाले दोनों triangle उनको हम बरापर कर देगी हैं तो इस तरह से बोला है हाँ हाँ हाँ उल्टा मत समझ लेना भाई हाँ तो BC जो ये BC है इसको और DE इन दोनों को बरापर करना है तो हम ऐसा करते हैं कोई दो triangle उठाते हैं जिनमें इसको हम बाद में CPCT से prove कर पाएं तो मालों मैं ये triangle उठाओं और ऐसे भी होने थी है जिसमें हमें पता हो कि भाई वो relation relation है हमारे पास मान लो मैं ये triangle उठाओं, A, B, C और एक triangle मैं उठा लो ये बड़ा वाला, दो triangle, देख रहे हैं ये दो triangle, ध्यान से देखना, ध्यान से देखना, जो मैं बोलता जा रहा हूँ ना, उसको ध्यान से देखना, थोड़ा सा दिमाग वाला सवाल है, ठीक है, इसको देखना, proof देख आबी सी तो यह एबी सी है यह ए है यह भी है यह सी है और एक मैं यूज कर रहा हूं एडीए कौन सा एडीए कुछ इस तरह का बना हुआ है यह एडीए तो हमें दे रखा है क्या एसी बराबर एइ एसी बराबर एइ दे रखा है एबी बराबर एडी रखा है एबी बराबर एडी रखा है तो हमें दो साइड है अगर ये बीच का एंगल ओयोयोयोयोयोयोयोयोयोयोयोयोयोयोयोयोयोयोयोयोयोयोयोयोयोयोयोयोयोयोयोयोयोयोयोयोयोयोयोयोयोयोयोयोयोयोयोयोयोयोयोयोयोयोयोयोयोयोयोयोयोयोयोयोयोयोयो कैसे बनेंगे दोनों एंगल बराबर? वहीं साइड तो एंगल बराबर दे रखे हैं, हमें साइड एंगल साइड से अम्प्रूव कर देंगे, जो हमने पहले बढ़ी थी, साइड एंगल साइड उससे अम्प्रूव कर देंगे, ये छोटे एंगल दिख रहा है, क्या बोल रखा है हमें angle BAD equal to angle EAC हमें already दिया रखा है जो मैंने blue से बना रखे है वो मैं already दिया रखा है कि ये दोनों बराबर है बह ये ये तो बराबर दिया है हमें तो ये तो मैं given है अब मैं क्या कर दूँ common add करता हूँ कि adding angle DAC both sides वो जो छोटू सा red वाला angle है ना DAC दोनों sides मैंने add कर दिया तो angle BAD प्लस एंगल DAC एकॉल टू दोनों साइड एड करेंगे एंगल DAC एकॉल टू एंगल EAC प्लस एंगल DAC तो DAC DAC दोनों साइड एड कर दीए अगर मैं अब BAD और DAC को एड करते देखों क्या BAD में DAC इस yellow इस blue में ये red एड कर दू तो ये बड़ा वाला बन जाएगा क्या BAC यह जो मैंने लिखा है, इसको पॉज करके बहुत ध्यान से देखो, इन दोनों को एड़ करेंगे, तो क्या वो बड़ा वाला ग्रीन बनेगा, देखो, देखो, जल्दी, पॉज करके देखो, जो मैंने लिखा है, क्या मैंने सही लिखा है, क्या BAD और DAC इन दोनों को एड़ कर क्या ये सही लिखा है मैंने, और जैसे ही मैंने ये लिख दिया, अब मैं क्या करूँगा, अब मैं करूँगा, इन ट्राइंगल, ABC, एन ट्राइंगल, एडी, इन दोनों अगर मैं ट्राइंगल के बात करूँ, तो हमें दे रखा है, क्या, हमें दे रखा है, एंगल बी एसी बराबर एंगल ईएडी यह हमने अभी प्रूव कर दिया फ्रॉम फर्स्ट क्या बोला मैंने एसी बराबर एसी बराबर एडी दे रखा है मैं यह एंगल बराबर यह एंगल हमने कर दिया अभी हमने निकाला है क्या कि बी एसी बराबर ईएडी यह हमन यह तीनों चीज़ें यहाँ पर बताइदी इनको तो हम यह बोल सकते हैं अब हम बिल्कुल हक से बोल सकते हैं अपने कि by side angle side हम यह बोल सकते हैं कि triangle ABC will be congruent to triangle ADE क्या मैंने यहाँ पर सही बोला है यह सब तो AC बराबर A ही हो रहा है बिल्कुल angle A बराबर angle A हो रहा है और तीसरा A भी बराबर A D क्या AB बराबर AD, तो हमें बोल सकते हैं कि ये S, S, S, दोनों congruent हमने prove कर दिये, जैसे ही हमने congruent prove कर दिये, वैसे हम लिख सकते हैं कि by C, B, C, D, by C, B, C, T, हम ये लिख सकते हैं कि BC बराबर D, क्या? BC बराबर D, BC बराबर D, ये तो हमें prove करना था, क्या? कि BC बराबर D, तो इस सवाल म देशे हमने दोनों साइड एड करा, तो हमें दिखिया कि ये बड़े-बड़े एंगल बन गए, और इनी ट्राइंगल, बड़े-बड़े एंगल के ही ट्राइंगल के हमें जरती है। अच्छा सवाल है, एक बार आप ध्यान से इसको नोट करो, इतने मैं पानी पीके आता हूँ। अच्छा सवाल है, अराँ से पॉस कर एक ए ट्राइंगल है और इसी के जैसा हमने एक और ट्राइंगल ले लिया है तो एक ट्राइंगल है आपका ABC और एक ट्राइंगल है आपका PQR तो AAS, Concurrency Rule क्या कहता है, धियान से सुनना, थोड़ा सा अलग है ये क्या कहता है कि Two triangles are congruent if two angles and a non-included side. क्या बोला मैंने? कि if angle A बराबर angle P है, angle B बराबर angle Q है. क्या बोला? angle A बराबर angle P है, angle B बराबर angle Q है, तो two angles, if any two angles and a non-included side, ये तो included हो गई, ये दोनों तो included हो गई, तो इसकी तो बात करी नहीं रहे, क्योंकि अगर हम इसकी बात करने के तो ये क्या बन जाएगा? A, S, A बन जाएगा, अभी हमने पहले बढ़ा, तो हम इसकी बात बाई इन दो angle के included कौन सी है, इन दो angle के included ये है, इन दो angle के अंदर ये वाली side आ रही है, इसको छोड़ के बाकि जो दो हैं, या तो AC बराबर हो जाए PR के, या तो AC बराबर हो जाए angle B equal to angle Q मैंने उपर लिख दिया, या तो AC बराबर हो जाए PR के, या फिर BC बराबर हो जाए QR या तो ये इसके बराबर हो जाए, या ये इसके बराबर हो जाए, अगर कुछ इस तरह का हो जाए, तो हम ये कह देंगे कि triangle ABC will be congruent to triangle PQR by angle, angle, and side, angle, angle, and side, angle, angle, side, angle, angle, side, तो कोई भी दो angle और एक non-included side, दो angle, एक non-included side, अगर ये बराबर हो जाए, तो हम ये कह देंगे कि य angle-angle-side concurrency rule से concurrent है तो हमने अभी तक 3 पढ़े अभी हमने तक 3 पढ़े ठीक है revise करवाइदता हूँ आपका जल्दी से क्या? सबसे पहले हमने पढ़ा side-angle-side side-angle-side क्या कहता है? कि side-angle-side ठीक है इस तरह से रेटा करो फिर दूसरे होते है angle-side-angle angle-side-angle क्या कहता है? angle-side-angle फिर तीसरा हमने पढ़ा angle-angle-side angle-angle-side क्या कहता है? कि angle-angle और दूसरे में से तो अगर कुछ इस तरह का आ जाएगा तो हम इन तीन properties से approve कर सकते हैं कोई भी जो हमें सहुलियत के साथ से लगेगी वो हम लगा लेंगे ठीक है आगे बढ़ते हैं question देखते हैं कोई बहुत प्यारा सा बहुत प्यारा question है देखो given blue pen given तो given क्या है मेरी जान L is bisector of angle A यह जो L है यह angle A का bisector है तो यह जो angle A है इसको बस यह बोला हुआ है, तो सबसे पहला हो गया angle QAB equal to angle PAB होगा, given है, क्यों, because L is bisector of angle A, BP and BQ are perpendicular from B to the arms of A, BP and BQ are perpendicular, अच्छा यह perpendicular जा रहे हैं यहां से, ठीक है, ठीक है, तो BP is perpendicular to AP and BQ is also perpendicular to आप बहुत बढ़िया हैं, आप बहुत बढ़िया हैं, आप बहुत बढ़िया हैं, आप बहुत बढ़िया हैं, आप बहुत बढ़िया हैं, आप बहुत बढ़िया हैं, आप बहुत बढ़िया हैं, आप बहुत बढ़िया हैं, आप बहुत बढ़िया हैं, आप बहुत बढ़ APB, देखो मैं कौन सा बोल रहा हूँ, अब ये चमकता रहेगा, रोके जा, रोके जा, APB, APB, और PAB, और, और, और AQB, AQB, इन दोनों triangle को हमें करना है, तो हमें एक तो common दिख गया, और हमें दो angle दिख गया, अरे यार भाईया, क्या ही सवाल है, और दूसरा हमें अब आते हैं प्रूफ पे, देखो मेरी जन प्रूफ बहुत आसान है, बहुत आसान है, इन ट्राइंगल A, P, B, एंड ट्राइंगल A, Q, B, हम ये देख सकते हैं कि हमें दे रखा है कि एंगल, एंगल, एंगल, P, A, B, इक्कुल टो एंगल Q, पी एकुल टू एंगल बी क्यू ए बोत नाइनटी दे रखा है मैं गिवन बोत नाइनटी है और मैं बोल सकता हूं कि यह भी बराबर एक विकॉमन बड़ा चोटा हो जाएगा बड़ा चोटा हो दोनों में कॉमन तो यह बराबर एक तो मैं बोल सकते कि देखो अब देखो दिखना देखना इस वाले ट्राइंगल को देखो पर वाले को अरे मिट मत इस वाले उपर वाले को देखो, तो दो angle और non-included side, दो angle, included तो यह वाली side है, पर दो angle और non-included side, और दो angle और non-included side बरापर है, तो हम यह कह सकते हैं, कि by angle-angle side criterion, हम हो सकते हैं कि triangle कौन-कौन सा था, APB will be congruent to triangle AQB. एक बार वेरिफाइड कर लें मेरी जान, जल्दी से वेरिफाइड कर लेते हैं, कैसे, PAB, QAB, क्या, PAB, QAB, शबाश, BPA, P और Q, सिंपल देख लो, जरूर नहीं है बार बार पूरा बड़ा बड़ा देखो, बस बीच वाला देखो, कि P बड़ा बड़ Q है क्या, P बड़ा ब� दूसरा गाम है, बीपी बराबर बीक्यू करना है, बीपी बराबर बीक्यू कैसे करेंगे हम? बाई ये बीपी बराबर हमें करना है, ये बीक्यू के, तो हम कैसे करेंगे? सीपी सीटी से, था ललू सवाल विलकुल, बीपी बराबर बीक्यू, हो गया सेकेंड वी प्रूव, तो दोनों के दोनों हैंस प्रूव, नेक्स सवाल, बहुत आसान था, अब आते हैं, ससस, ये तो बहुत आसान है, मतलब यार, एक ये ट देखना यार, मतलब तुम तो सवाल, अब तो आप अब तो आप ऐसे देख के ही समझ जाओगे कि किस property के भाईया बात कर रहे हैं, मतलब आपने नाम से समझ लिया होगे कुछ बच्चों ने कि side side side, side side side मतलब ये इसके बराबर कर दो, ये इसके बराबर कर दो, और ये इसके वैसे वैसे आपको पता चलने लग जाता है कि क्या है, अब आपको पता चले गया, कि भाईया, क्या लिखने वाले हैं, A B बराबर P Q हो जाए, B C बराबर Q R हो जाए, और A C बराबर P R हो जाए, अगर तीनों की तीनों साइड बराबर हो जाए, तो हम कहते हैं कि triangle A B C will be congruent, don't कि यह इसके corresponding वाली side, यह इसके corresponding वाली side, और यह इसके corresponding वाली side अगर यह सारी corresponding साइड बराबर हैं, तो triangle क्या होगा? Concurrent होगा, if triangle three sides of triangle are equal to corresponding three sides of triangle, then triangle is congruent, चबाशे, अगले बड़े हैं, सवाल करते हैं बहुत प्यारा सा इस सवाल में आप देखेंगे, कि हम कुछ बहुत ही तगड़ा रमांच करने वाले हैं तो रमाच यह है कि यह जो है एबी जीडी यह एक पैललोक राम है और आपने बच्चपन में पढ़ाता कि अगर एक पैललोक राम है तो यह साइड यह साइड के पैललल और एक्कॉल भी होगी और यह साइड के पैललल और एक्कॉल भी होगी तो अपोजिट साइ ये पैडलोग्राम में हमने बच्पन में पढ़ा था बस्पन का हमारा ये प्यार था और हमें यहाँ पे दे रखा है कि गिवन एबी सी डी ये पैडलोग्राम ठीक है समझ गए इफ टू ट्राइनल्स आर इक्कुल ट्राइनल्स कौन से होते हैं ये एसी और बीडी अब हमें क्या करना है टू फाइंड तो फाइंड एंगल ABC अच्छा है जी मैं ये एंगल ABC, यह बड़ा वाला angle find का, इस सवाल को न प्यार से पहले देखना ध्यान से, जैसे मैं आपको कर रहा हूँ, जैसे ही यह सवाल हो जाएगा, आप समझ जाओगे कैसे मैंने कर रहा हूँ, देखो, solution, ध्यान से देखते रहें अभी, जो मैं दो triangle की बात करूँ, उनको देखो, in triangle, ADB, in triangle, BCA, इन triangle ADB and BCA, कौन-कौन से ADB and BCA? ADB and BCA, तो इनको मैं बाहर निकाल लेता हूँ, ADB, इसको बाहर निकाल लेता हूँ, तो ये A, ये D, और ये B, और BCA, बहुत बहुत बहुत क्यों opposite sides of parallelogram are equal दूसरा मैं क्या लिख दूँगा ab बराबर लिख दूँगा मैं ab के क्यों because of common दोनों के दोनों common है और जो bd है वो बराबर है ca के क्यों bd बराबर ca bd बराबर ca है क्यों क्योंकि ये given है तो हम इसके साथ की, therefore triangle ADB will be congruent to triangle BCA by side-side-side congruency rule, जो मैंने यहाँ पर लिखा है, इसको verify कर लेते हैं जल्दी से, कैसे verify करेंगे, AD बराबर BC, AD बराबर BC, AB बराबर AB, AB बराबर AB, बीडी परापर सी है, तो बीडी परापर सी है, शबाश, तो ये verify भी हो गया, अब हमें क्या करना है न, देखो, मैंने इन दोनो triangle को क्यों उठाया, इन दोनो triangle को मैंने इसलिए उठाया, जिससे मैं इस वाले बड़े angle को, इस वाले बड़े angle को, इस वाले बड़े angle, इस वाल एक्कुल टू एंगल एबीसी भाई बी एडी बी एडी एक्कुल टू एंगल एबीसी एबीसी तो इसको और इसको मैंने बराबर कर दिया ठीक है यह दोनों में बराबर कर दिया इसको फर्स्ट लिख देते हैं अब देखो मेरी बात अब ध्यान से सुनना अब आएगा मजा यह पैरिलोग्राम है तो AD जो है यह जो AD है कि यह पैरिलोग्राम तो BC रहीगी क्योंकि यह पैरिलोग्राम है AD पैरिलोग्राम तो BC होगी और क्या मैं AB एज़र ट्रांसवर्सल बोल सकता हूँ अब इसको ऐसे देखो ऐसे करके देखो मैं इसको उठाकर बना देता हूँ जहाँ पे देखो AD और BC, तो मैंने यह जो है ना इसको, इसको मैंने ऐसे गुमा के यहां बना दिया, ADBC, और यह जो AB है वो यह रहा है, यह Transversal की तरह काम कर रहा है, यह Angle, यह Angle, क्या आप बता सकते हैं इन दोनों Angle में क्या relation है, दो line पैंडल हैं, एक Transversal है, और यह दोनों, ट्रांसवर्कल, ट्रांसवर्सल के सेम साइड वाले एंगल है, सेम साइड आफ ट्रांसवर्सल, को इंटीरियर एंगल, को इंटीरियर एंगल, तो हम ये बोल सकते हैं कि, हम ये बोल सकते हैं कि, एंगल, तो ये को इंटीरियर एंगल है, तो BAD, प्लस एंगल ABC, इकल टो 180 डि� बाई, BAD ये वाला एंगल और ABC ये वाला एंगल दोनों का सम्म क्या होगा, इन दोनों का सम्म जो होगा, वो 180 degree होगा, पर हमें पता है from first कि BAD और ABC पराबर है, तो मैं BAD के जगह ABC तो लिख सकता हूँ यहाँ पर, ABC प्लस ABC लिख सकता हूँ क्या मैं यहाँ पर, equal to 180 degree लिख सकत एक्वल टू वन एटी डिग्री यह टूट के यहां अपन में जाएगा तो एबीसी एक्वल टू वन एटी अपन में टू तू से यह गया तो एक्वल टू नाइनटी तो हमें एंगल एबीसी एक्वल टू नाइनटी मिल गया एंगल एबीसी एक्वल टू नाइनटी डिग्र मैंने दो triangle उठाए, कौन-कौन से, जिसमें मेरे को co-interior angle दिखे अब मेरे को co-interior angle का कैसे दिमाग में आया? मेरे को co-interior angle का कैसे दिमाग में आया? कि जब भी मेरे को कोई angle find करना होता है ना, तो मेरे दिमाग में दो चीज़े घूमती हैं मैं आपको बताता हूँ, देखो, जब भी मेरे को कोई angle find करना होता है ना, तो मेरे दिमाग में दो चीज़े घूमती हैं या तो वो किसी line पे एक ray बन रही हो, तो मेरे को पता है, ये और ये, 1 और 2, angle 1 plus angle 2 जो होगा यह 180 degree होगा, यह हमने पढ़ा था linear pair axiom कि बई एक line पे अगर एक line पे अगर एक ray जा रही है तो दो adjacent angle का sum 180 होगा यह हमने पढ़ा था lines and angles में और मैंने एक यह पढ़ा था कि दो parallel lines एक transversal है तो जो interior angle होंगे यह दो interior angle जो होते हैं यह एक interior angle, angle 1 plus angle 2 जो है यह 1 और 2 जो है, इनका sum भी 180 degree होगा इस angle का value find कर पूरे question में मेरे को कहीं पर भी किसी angle की value नहीं दिया रखी मेरे को direct बोल दिया ABC की value निकालो अब मैं कैसे निकालो जब मेरे को पता ही नहीं है किसी एक की भी value अब किसी एक की value पता हो तो मैं कह दू कि अच्छा मालो इसकी पता है तो ये alternate interior angle इसकी पता है तो ये alternate interior angle को जुगार लगाओंगा या तो मैं कहीं से line पर ये देख लूँ या मैं कहीं से parallel line देख लूँ और को interior angle को प्रावर करूँ को इंटीरेंड का सम्मानिटी कर दो ये मेरे दिमाग में घूमता है तो इसको बहुत important concept है अभी तक के लिए क्योंकि अभी तक हमने ये दो चीज़ें पढ़ी हैं अभी तक के लिए बहुत important concept है इसको लिख लो कि जब भी कोई random angle find करना होगा तो या तो ये use करेंगे या ये use करेंगे क्या? या तो हम adjacent angle रूणेंगे नहीं से कि भी adjacent angle दिख जाएगा इसे यह एक पेडलोग्राम है, पेडलोग्राम तो मेरे दिमाग में चला अच्छा पेडलल लाइन्स है, पेडलल लाइन्स है, यह एंगल निकालना है, यह एंगल और यह एंगल दोनों मिलके 180 होंगे, तो मैंने सोचा इन दोनों को बरावर कर देता हूँ, क्योंकि बरावर कर द� इसलिए ये एक बहुत important सवाल है मैंने पहले लिख लिया था समझ गए? आगे बढ़े? चल्दी से आगे बढ़ते हैं अब आज चुका है आपका final congruence rule जो हम इस chapter में पढ़ने वाले हैं जो की है RHS congruence rule right angle hypotenuse side R का मतलब right angle, H का मतलब hypotenuse, S का मतलब side कि मालो एक triangle है ये, ठीक है, और एक triangle है ये, भाई एक triangle है आपका ABC, एक triangle है आपका PQR, और हमें बोला गया है, कि अगर ये दोनों right angle triangle हैं, क्या, कि triangle ABC and triangle PQR are right angle triangle, अगर ये right angle triangle हैं, अगर ये right angle triangle हैं, और, क्या, कि if they are right angle triangle, and, hypotenuse कौन-कौन सी है, AC बराबर अगर PR है, AC बराबर अगर PR है, and, दोनों में से कोई भी एक side, बही, right angle हो गया, right angle हो गया, hypotenuse हो गया, और side, या तो AB बराबर कर दो तुम PQ के, या तो AB बराबर कर दो PQ के, या फिर दूसरी side कोई भी ले लो, BC बराब ये दोनों condition satisfy हो रही है, किसी भी right angle triangle में, किनी भी दो right angle triangle में, अगर hypotenuse बराबर है और कोई एक side corresponding वाली बराबर है, तो हम ये कह देंगे कि these two triangle, angle ABC, will be congruent to triangle PQR, तो आप ये समझ गए हो, कि ये जो RHS congruency rule है, ये तब ही लगता है, जब आपके सामने दो right angle triangle हो, जब भी आपक तो इसमें hypotenuse और कोई एक side को बराबर करते था। जैसे कि, अब करते हैं हमें एक सवाल। देखो, हमें बोला गया है कि ABC, हमें बोला गया है कि prove that angle opposite to equal side of an isosceles triangle are equal. मतलब कि, मालो एक isosceles triangle, isosceles triangle क्या होता है? isosceles triangle होता है ये, isosceles triangle का मतलब होता है कि, मालो ये triangle अगर isosceles है, तो इसमें ये जो opposite sides होती हैं, ये बराबर होती हैं। दो साइड्स अपस में बराबर होती हैं तो बोला गया कि अगर ये दो साइड्स जो हैं ओपोजिट साइड्स जो हैं इनके ओपोजिट वाले जो एंगल हैं ये भी एक्वल हैं ये प्रूव करना है क्या कि प्रूव देट एंगल ओपोजिट टू एक्वल कि ये ओपोजिट साइड्स के मतलब इनके ओपोजिट जो एंगल है तो बोला गया कि अगर ये दोनों साइड इक्कॉल हैं, तो ये जो एंगल्स हैं, ये भी इक्कॉल होंगे, एंगल्स opposite to equal sides are also equal, एंगल्स इसके opposite ये, इसके opposite ये, ये हमें प्रूफ करना है कि ये इक्कॉल है, ठीक है, ये हमें प्रूफ करना है, चलो, देखो, देखो, गिवन triangle ABC जिसमें की AB बराबर AC है proof to prove proof में क्या करना है? proof में करना है angle ABC equal to angle ACB होगा इसको proof करने के लिए हमें construction करनी होगी देखो ध्यान से देखना थोड़ा सा दिमाग वाला सवाल construction क्या करनी होगी construction करनी होगी हमें की draw AD perpendicular to BC A से एक perpendicular draw करो BC की तरफ A से एक perpendicular draw करो A से एक perpendicular draw करो ऐसे तो A से हमने एक perpendicular draw करी BC पे जो की intersect कर रही है माल लो डी पे, तो हमने क्या करा, एडी एक परपेंडिकुलर ड्रॉव करी, बी सी पे, एडी एक परपेंडिकुलर बी सी पे, अब हम प्रूफ करेंगे, अब हम ये देखें, कि इन ट्राइंगल, इन ट्राइंगल, एबी डी, एंड ट्राइंगल, एसी डी, अगर मैं आपको इस ट् बहुत 90 है, दोनों के दोनों right angle triangle दिख रहे हैं हमें, क्या हम यहाँ पे दोनों right angle triangle दिख रहे हैं, देखो, देखो, देखो, देखो, यह triangle और यह triangle, क्या यह दोनों right angle triangle हैं, हम इन दोनों के तो study कर रहे हैं, तो इन दोनों को study कर रहे हैं, दोनों के दोनों right angle AD equal to ADB होगा common तो हमने क्या करा कि इन दो right angle triangle में इन दो right angle triangle में hypotenuse और ये side को बराबर कर दिया ये side तो बराबर है ये common है AD बराबर AD common है तो हम ये कह सकते हैं कि by right angle right angle hypotenuse side RHS rule कि triangle ABD will be congruent to triangle ACD verify कर ले वरिफाई कर ले देखो, D बराबर D, D बराबर D, थर्ड पर लिखा है, AB बराबर AC, AB बराबर AC, AD बराबर AD, AD बराबर AD, तो हम कह सकते हैं कि दोनों हमने verify भी कर दिया कि सही लिखा है, अब हम कहेंगे कि by CPCT, by CPCT angle ABC will be equal to angle ACD, ABC equal to angle ACB होगा, कि बाई ये angle, ये जो angle है, ये angle इस angle के बराबर है, तो एक isosceles triangle में, क्या बोला मैंने? एक isosceles triangle में, एक isosceles triangle में, एक isosceles triangle में, ये आपका एक isosceles triangle है, ये एक isosceles triangle है, ठीक है? इस isosceles triangle में, इस isosceles triangle में, दो sides जो होती हैं, opposite वाली वो बराबर होती हैं, तो अगर आपको दो sides बराबर दे रखी हैं, तो ये दो angles जो opposite वाले होंगे, ये भी बराबर होंगे, ये ना एक बहुत important theorem है, इसको आपको ध्यान रखना है, कि अगर ABC जो है, ये एक isosceles triangle है, if triangle ABC is isosceles, तो angle B equal to angle C होगा, opposite angles are equal, क्या? क्या? कि opposite angles are equal, opposite angles to equal sides, जो equal sides है, उसके opposite angles are equal, इसका converse भी true है, converse क्या कहता है? converse कहता है, कि अगर एक triangle में, अगर एक triangle में, दो angle equal है, if angle 1 equal to angle 2 है, if angle 1 equal to angle 2 है, तो, ये बराबर ये होगा, तो, जो opposite sides होगी, वो भी बराबर होगी, then, opposite sides are also equal, तो ये दोनों property जो मैंने आपको बताई, समझ में आगे मेरे, क्या बताए मैंने, मैंने बताए, isosceles triangle है, आइसोसलेस ट्राइंगल में जो ये equal sides हैं, इनके opposite वाले angle एकल होंगे, ये एकल sides हैं, इसके ही ये opposite वाले angle एकल होंगे, और अगर दो angle एकल हैं, तो opposite sides बराबर होंगी, ठीक है, तो sides एकल हैं, तो opposite angle बराबर, और angle एकल हैं, तो opposite sides बराबर, समझ गए, angle एकल हैं, तो opposite sides बरा� उस कोई भी triangle में उस कोई भी triangle में अगर आपको बोल रखे है कि ये side ये side बराबर है तो बिना सोचे समझे अच्छे ये बराबर ये होगा या फिर आपको बोल रखे है कि ये isosceles triangle है तो आप कहोगे ये बराबर ये होगा समझ गए ये working rule है कि prove that prove that angle opposite to equal sides of triangle isosceles triangle are equal क्या कि prove that एंगल अपोजिट टू इक्कॉल साइड्स इक्कॉल साइड्स के जो पोजिट एंगल है यह बराबर है यह हमें प्रूव करना है यह प्रूव आपका एग्जाम में आएगा चोटा सा प्रूव है सीपी सीटी से प्रूव हो जाता है बस आपको एक परपेंडिकुलर डालना ह क्या बोरक है? LM equal to MN QM equal to MR QM equal to MR, ML is perpendicular to PQ, ML is perpendicular to PQ, अच्छा, और MN is perpendicular to PR, ठीक है, prove that PQ equal to PR, क्या, ये PQ जो है, ये बड़ा वाला, ये PR के बराबर है, ये prove करना है, शबाशे, देखो मेरी जान, एक बात समझो, एक बात समझो, एक बात समझो, to prove, PQ equal to PR proof देखो in triangle, ध्यान से देखना जब आप एक बार मैं कर दूँगा फिर आप समझोगे कि क्या करना चाहता है in triangle QML and triangle RMN ये छोटे वाले जो triangle है, ये और ये, इन दो triangle के मैं बात कर रहा हूँ हमें दे रखा है कि QM equal to MR, given दे रखा है, यह QM equal to MR given है, चीक है, QM equal to MR given है, LM equal to MN, यह भी given है, ML equal to MN, यह भी given है, और भाईया यह तो 90 degree है, तो in triangle, in, या फिर हम ऐसे लिख दें कि यह in right triangle, तो दोनों right angle triangle है, right angle हो गया, यह hypotenius हो गया, यह hypo है, ठीक है, और ये क्या है, ये एक side है, तो हम ये बोल सकते हैं कि by right angle hypotenuse side, हम ये बोल सकते हैं कि triangle Q ML is congruent to triangle RMN, तो इन दोनों को हमने congruent prove कर दिया, जैसे ही हमने इनको congruent prove करा, मैं ये बोल सकता हूँ कि angle Q जो है, वो angle R के परापर होगा, देख सकते हैं आप, कि angle Q पहले वाला, प ठीक है, अब आप देख सकते हो कि in triangle PQR, PQR triangle में angle Q equal to angle R है, तो हम यह बोल सकते हैं कि यह angle Q जो है, यह R के बराबर है, तो PQ बराबर PR भी तो होगा, so PQ बराबर PR भी तो होगा, क्यों, क्यों होगा PQ बराबर PR, because these are sides opposite to equal angle. ठीक है, पहले हमने क्या करा, अब देखो, इस question की ना, ऐसे, क्या कहेंगे अज़े, खुबसूरती देखो, खुबसूरती क्या है इस question की, कि पहले मैंने छोटे वाले triangles उठाए, पहले मैंने छोटे वाले triangles उठाए, मैंने ये triangle और ये triangle उठाए, इन दोनों को मै तो मैंने कहा right angle के सामने वाला है hypotenuse, ये और ये hypotenuse बराबर, एक side बराबर, तो ये दो रहा दिखते ही, मैंने कहा कि ये दोनों congruent है, ठीक है, भाई देखो, देखो, देखो, एक चीज देखो, कुछ बच्चों के दिमा में एड़ आउट कुछ बच्चे कहेंगे कि भाईया opposite sides बराबर तो ये angle भी बराबर है अरे भाई ये इसके बराबर है ये आपस में बराबर नहीं है जो isosceles triangle वाली property है ना isosceles triangle वाली property वो isosceles triangle वाली property है कि एक triangle में दो sides अगर same triangle में दोनों sides बराबर हो चाहिए कुछ बच्चे सोच रहे होंगे कि भाईया कि भाईया ये और ये बराबर ये और ये बराबर नहीं है, ये दो और ये दो, ये बराबर है, दोनों opposite, अलग-अलग, जो है, triangle है वो है, तो मेरी बात समझो, इस question की खुबसूरती में बता रहा था, कि मैंने पहले क्या करा, मैंने इस triangle और इस triangle को उठाके, कॉंग्रेंट प्रूफ कर दिया, कॉंग्रेंट प्रूफ कर दिया, मैंने ये angle और ये angle CPCT के से equal पर आ दिया, ये angle ये angle CPCT से बराबर कर दिया, Q और R, अमें को छोटे को बुल गया, अमें को इसे बुल जाओ, अब बड़े triangle को देखो, PQR को, तो इनके opposite वाली side भी तो equal होगी अगर ये जो है ये बराबर ये है तो अभी हमने पढ़ा कि ये बराबर ये होगा इस तरह से हमने प्रूव कर दो बहुत प्यारा question है बहुत खुबसूरत question है तो सबसे पहले छोटे वाले triangle उठाए opposite जो sides हैं वो भी बराबर होगी समझ गए ये है इस जो property हमने पढ़ी अभी उसका खुबसूरती कि आपको जब भी एक जब भी आपको दो opposite sides बराबर करनी हो नीचे वाले जो हैं अल्ले उ यह अगर आपको angle बराबर करने हो तो opposite sides को बराबर कर दो simple, देखो जैसे, इस वाले triangle को देखें, इस वाले question को देखें एक हमें isosceles triangle दे रखा है ठीक है, isosceles triangle देखते ही दिवाग में बन जाना चाहिए कि यार ठीक है एक isosceles triangle है ABC तो AB बराबर AC ठीक है, दे रखा है, AB बराबर AC, बहुत बढ़िया, शबाश तो given given एबी बराबर AC bisector of angle B and C intersect each other at O angle B का bisector angle B का bisector और angle C का bisector जो है ये एक दूसरे को O पे जाके मिलते हैं ये O पे ठीक है तो ये bisector है और ये भी bisector है ठीक है join A to O अच्छा A को O से join कर दें हम show that O B equal to O C OB equal to OC, इसको prove करना है, शबाश, चलो ठीक है, यहां में दे रखा है, एक तो यह, और bisector जो है उसके बारे में लिख लेते हैं कि angle, angle ABO equal to angle OBC होगा, ठीक है, ABO equal to OBC, यह bisector है, equal है, और angle ACO equal to angle BCO होगा, ठीक है, angle ACO equal to BCO, यह दोनों angle बराबर होगे, यह मैंने Maths के language में, two proof, first, O B बराबर हो सी, second, AO bisects angle A, अच्छा, हमें prove करना है, second, AO bisects angle A, मतलब ये जो angle बन रहे हैं, दोनों बराबर होंगे, ठीक है, कि angle BAO equal to angle CA होगा, ये भी हमें prove करना है, ठीक है, शबाश, prove करते हैं, चलो, O B बराबर OC प्रूफ करना है ये O B और ये OC प्रूफ करना है ये O B और OC प्रूफ करना है कैसे प्रूफ करेंगे दोनों बराबर हैं सोचो सोचो कैसे प्रूफ करेंगे मेरी जान अअअअ देखो देखो देखो हमें ये isosceles triangle दे रखा था तो हम ये बोल सकते है कि angle B बराबर angle C होगा क्यों because these are angles opposite to equal sides अंगल opposite to equal sides है ये दोनों equal sides है तो इसके opposite है इसके opposite है तो angle opposite to equal sides अंगल B पूरा और angle C पूरा जो है ये बराबर होगा क्या मैं angle B को angle OBA plus angle OBC इस तरह से लिख सकता हूँ sorry क्या मैं angle B को OBA plus OBC लिख सकता हूँ? क्या? OBA plus OBC बाई इस पूरे angle को ये plus ये ही तो लिखा है इस पूरे angle को ये छोटे angles का सामी तो लिखा है लिख सकता हूँ और मैंने देखा है OBA OBA equal to OBC है तो मैं ये लिख सकता हूँ OBA की जगह angle OBC plus angle OBC तो ये बन जाएगा twice of angle OBC ऐसे ही अगर मैं बात करूँ आपसे, क्या मैं angle C को, angle A, C, O, plus angle O, C, B लिख सकता हूँ, पर angle C जो पूरा है, angle C है, इसको मैंने ये plus ये लिखा, ठीक है, पूरे को सीखा लिखा, पर ये दोनों तो बराबर है, ये दोनों तो बराबर है, AC और OCB, OCB या OCB, ये दोनों बराबर तो ये twice of angle OCB हो जाएगा, तो ये गया, ये गया, तो angle OBC equal to angle OCB हो गया, कौन-कौन से, बाई ये जो angle है, ये वाला angle जो है, ये इस angle के भी पराबर हो गया, तो अगर हम इस triangle को आप देखें, क्या, in triangle, in triangle, OBC, OBC triangle में अगर हम देखें, तो हम ये देख सकते हैं कि, इस वाले triangle को देखो, सिर्फ इस वाले triangle को, ये दो angle बराबर हैं तो opposite sides भी बराबर होंगी, क्या OB equal to OC होगा, क्या sides opposite to equal angle, क्या यहां तक मेरी बात समझ में आ रही है, समझ गए, मैंने क्या करा, पूरा angle था, ये angle, ये angle बराबर है, ये angle, ये angle बराबर है, तो मैंने तो ये छोटे वाले एंगल दोनों बराबर हो गए जैसे ये छोटे वाले दो एंगल बराबर हो गए मैंने कहा इसके opposite size भी बराबर होगी इसके opposite ये, इसके opposite ये जब दोनों बराबर हैं तो इनके opposite भी बराबर है तो OB equal to OC अब हमें प्रूफ करना है AO bisects angle A ठीक है, O B बराबर O C है, अब हमें AO BISEX angle है, मतलब हमें प्रूफ करना है कि angle, ये वाला angle और ये वाला angle बराबर है, ठीक है, बहुत बढ़िया, अब आप ऐसा करो कि इस triangle को देखो, जो मैं अब यहाँ पर बनाने जा रहा हूँ, ठीक है, मैं यहाँ पर इसको solve करूँगा, प ठीक है, मेरे को उन दो नाइंगल को बराबर करना है, तो मैं इन दो ट्राइंगल को कॉंकुरेंट कर दूँ, कैसे कॉंकुरेंट प्रूफ करूँगा, देखो बहुत असान है, अभी तो हमने पढ़ा जस्ट, क्या, कि इन ट्राइंगल, इन ट्राइंगल A O, A B O, एंड ट्रा ओबी बराबर ओसी हो जाएगा, ओबी बराबर ओसी, अभी हमने प्रूफ करा, यह गिवन है, क्योंकि आईसोसलिस ट्राइंगल है, यह हमने अभी फर्स्ट में प्रूफ करा, फर्स्ट में प्रूफ करा, और ओए बराबर ओए होगा कॉमन, ओए बराबर ओए होगा कॉमन, सम तो हम ये कर सकते हैं कि by SSS criterion, side-side-side criterion, triangle ABO will be congruent to triangle ACO और जब ये दोनों congruent हो गए हैं, तो ये दोनों congruent हो सकते हैं, तो हम ये CPCT से prove कर सकते हैं by CPCT, CPCT से हम ये prove कर सकते हैं कि angle BAO, angle BAO will be equal to angle OAC और जैसे हमने यह प्रूव कर दिया बी ए ओ एकुल टू ओ ए एसी कौन सा बी ए ओ यह एंगल एकुल टू ओ एसी यह एंगल तो यह दोनों एंगल हमने एकुल कर दिया है मतलब कि यह जो ए ओ है यह बाई सेक्टर ऑफ एंगल है समझ गए क्वेश्चन को हमने कैसे सॉल्व करा समझे थोड़ा सा थोड़ा सा हाई लेवल क्वेश्चन हम कर रहे हैं यह आपके एंसी आर्टी का एक विशेष बट थोड़ा सा दिमाग वाला क्वेश्च जो है, उनको बराबर कर दिया, जिससे हमने opposite sides को बराबर कर दिया, हमने क्या करा, इन opposite angles को बराबर कर दिया, जिससे opposite sides बराबर हो जाए, जैसे opposite sides बराबर हुए, फिर हमने तीनों sides बराबर दिख रही थी, दोनों angle की, उससे हमने उनको congruent proof कर गए, angle का bisector बता दिया, एक और स आईसोसिलिस तो यह और यह बराबर DBC यह भी आईसोसिलिस टो एंगल तो यह और यह बराबर शबाश दोनों का सेम बेस है BC बहुत बढ़िया ABD बराबर ACD यह बड़ा एंगल गिवन गिवन है हमें AB बराबर AC और BD बराबर B DC, ठीक है, isosceles triangle है, इस तरह से हमें दे रखा है, to prove, angle ABD equal to angle ACD, यह बड़े-बड़े angle हमें एक समान prove करने है, देखो मेरी जान, एक बात समझो आप, जैसे ही हम इस वाले सवाल में, यह सवाल थोड़ा tricky सवाल है, कि same base BC, तो भाई दिमाग में आएगा रे यार, सेम बेस है, सेम बेस है, तो हम यह वाला ट्राइंगल और यह वाला ट्राइंगल यूज़ कर लेते हैं महिया, सेम बेस हो जाएगा और यह दोनों साइड हो जाएगी, आ, है ना, पर अरे एक सेकिन, हमें तो यह दोनों साइड की जरू यह वाला triangle ले लेता हूँ पर जैसे वो यह वाला triangle लेंगे अब इनको congruent prove करने के लिए इसको इसके बराबर करना पड़ेगा यह इसके बराबर कोई है यह तो इसके बराबर है यह तो same triangle की चीजे बराबर हो गई तो same triangle की चीजे बराबर हो गई अब कैसे करें अब हम ऐसा करें कि तो भाईया हम ऐसा करें कि अअअअअ यह ऐसो से तो यह एंगल और यह एंगल पराबर, यह एंगल और यह एंगल पराबर, पर इससे भी हमें कोई फार्क नहीं बढ़ रहा, तो हम क्या क���ेंगे यहाँ पर, थोड़ी सी दिमाग लगाएंगे और देखो, यह थोड़ा सा tricky सवाल था बस, कि आपको दिमाग लाना पड़ेगा, क्या करा हमने, हमने करा construction, हमने कर दिया join AD, AD join कर दिया, जैसे हमने AD join करा, अब देखो, अब हम कौन-कौन से triangle ले रहा है, in triangle ABD, and triangle ACD, हमें बोल सकते हैं क्या, कि AB बराबर AC हमें दे रखा है, हमें BD बराबर, हमें, DC दे रखा है और AB, AD बराबर AD जो है ये common है और ये दोनों हमें given है बाई इन दो triangle को हम देख रहे हैं इसको देखो देखो किसको किसको किसको ये और ये इन दो triangle को देख रहे हैं जो यहाँ चमक रहे हैं देख रहे हैं तो इन दो triangle में ये बराबर ये ये बराबर ये और ये common जैसे यह होगा, तो हमें दिखा कि यहाँ पे यह triangle ABD will be congruent to triangle ACD होगा, देख लें, proof देख लें, ABAC के बराबर, ABAC, BDDC के बराबर, BDDC के बराबर, ADDC के बराबर, AD, ADDC के बराबर, ADDC के बराबर, तो हमने यह देख लिया, AD बराबर AD है, यहाँ पे common है, AD बराबर AD, तो AD, AD के SSS तीनों साइड बराबर SSS congruence rule हम इन दोनों को बराबर कर देंगे जैसे हम इन दोनों को बराबर कर दिया तो हम इनका सकते हैं कि by CPCT CPCT से हम क्या कह सकते हैं कि B बराबर C angle B बराबर angle C और यही हम एप्रूफ करना है ABD यही पूरा angle B equal to angle C आगी समझने बात आगी final question आज की इस चैप्टर का सवाल को समझेना आप? सवाल को समझेना क्या करा है हमने सवाल में? हमने क्या करा? थोड़ा सा, थोड़ा सा इसमें दिमाग हमने यह लगाया कि यार यह तो इसने हमें गुमा दिया, इसमें BC और यह बराबर कोई है, यह और यह बराबर है simple, मज़ा आ गया, अब आते हैं आखरी सवाल में, बहुत important सवाल, बहुत ही प्यारा सवाल, देखो, ABC एक isosceles triangle है, in which AB बराबर AC, हमें दे रखा है, AB बराबर AC, AD बराबर AB, और AD जो है, ये AD जो है, ये AD जो है, ये भी AB के बराबर है, AD AB के बराबर है, अब एक बात समझो, ए बाई AB जो है वो AD के बिराबर है और AB जो है वो AC के बिराबर है तो जब ये दोनों AB AC के बिराबर है और AB AD के बिराबर है तो AC equal to AD भी तो होगा बाई ये इसके बिराबर और ये इसके भी बिराबर तो ये और ये भी तो बराबर होगे तो हमने ये देख लिया कि AC बिराबर AD होगा तो हमें क्या है ये given में हमने लिख लिया है हमें क्या करना है हमें यहाँ पर लिख दें to prove prove हमें करना है कि angle BCD is the right angle मैंने अभी बोला मैंने अभी बोला क्या BCD is the right angle मतलब कि angle BCD equal to 90 degree हमें prove करना जब भी आपको किसी figure में अभी मैंने आपको थोड़ी दर पहले बताया था इस चीज जब भी आपको किसी figure में जब भी आपको किसी figure में हमें क्या BCD इस angle को हमें 90 degree prove करना है एक तो वो Linear pair वाला, line, ray, line, ray, line, ray, line, ray, line, ray, या फिर parallel, parallel यहाँ दिख नहीं रहा, तो line और ray, मतलब कि ये और ये, इनके ही यूज़ करेंगे, पर इससे पहले हम क्या करेंगे न, देखो proof, देखो समझो, समझो, question को समझो, question को समझो, हमें इन दोनों का sum 180 degree करना है, क्या, ये 1 है और ये 2 है, ठीक है, ये 1 है और ये 2 है, ये दोनों एंगल बराबर हैं, अगर ये दोनों साइड बराबर हैं, तो ये दोनों एंगल भी बराबर होंगे, तो अगर इसको आप 3 बोलेंगे, तो इसको भी 3 बोल देंगे, और अगर ये दोनों साइड बराबर हैं, बहीं साइड के अपोजिट वाले एंगल जो हैं वो ए सबसे पहले तो हमें करना है कि angle 1 plus angle 2 equal to 180 degree prove करना है पर अभी हमें angle 1 और 2 के value नहीं पता तो हम क्या कर सकते हैं इसको यहीं पर छोड़ देंगे पहले हम क्या करते हैं कि in triangle ABC ABC में देखो इस वाले triangle में देखो angle 1 plus twice of angle 3 equal to 180 बोल सकता हूँ मैं angle sum property ASP तीनों angle का sum 180 तो angle 1 plus 3 plus 3 180 तो 3 plus 3 2 angle 3 तो हम यहाँ से लिख सकते हैं कि angle 1 equal to 180 minus 2 of angle 3 बोल सकता हूँ क्या? बिल्कुल बोल सकता हूँ मैं तो यहाँ पे यह लिख दिया मैंने ठीक है? समझ गए? ऐसे ही अगर मैं बात करूँ आपसे इस वाले triangle में क्या? in triangle ACD ACD में अगर मैं बात करूँ आपसे तो angle 2 plus twice of angle 4 angle sum property से 2 plus twice of angle 4 2 plus twice of angle 4 2 plus 4 plus 4 180 2 plus twice of angle 4 angle 2 को क्या मैं 180 minus twice of angle 4 लिख सकता हूँ क्या तो ये 1 और ये जो 2 यहाँ पर हमने निकाला है उसको यहाँ डालते हैं क्या 180 minus twice of angle 3 plus 180 minus twice of angle 4 equal to 180 ठीक है ये 180 से 1 180 क्या तो हम ही कह सकते हैं कि 180 minus twice of angle 3 minus twice of angle 4 equal to 0 तो यह minus minus वाले उदर ले जाए तो 180 equal to twice of angle 3 plus twice of angle 4 2 को common ले लेते हैं twice of angle 3 plus angle 4 equal to 180 2 को नीचे ले लेते हैं तो 180 upon my 2 equal to angle 3 plus angle 4 तो angle 3 plus angle 4 equal to 180 upon my 290 क्या हम यह निकालना था क्या angle 3 और angle 4 का sum निकालना था मैं 90 degree तो angle 3 plus angle 4 जो है इसको हम लिख सकते है angle BCD equal to 90 hence proved तो हमने देखा कि यह line है यह ray है इन दोनों के adjacent angle का sum 180 होगा पर यह अभी 1 और 2 पता नहीं था 1 और 2 पता नहीं था तो हमने कहा यह triangle है इस triangle का sum 180 इस triangle का sum 180 3 और 4 के sum की value मिल गई 3 plus 4 3 और 4 मिलकर ही तो पूरे angle C बना रहे हैं और यह angle C हमें चाहिए था इसके 90 degree प्रूफ करना था आपका triangle chapter समाप्त होता है यहाँ पे ठीक है अब मैं आपको revise करवा देता हूँ कि हमने क्या-क्या चीज़े पढ़ी हैं इस पूरे chapter में यह बहुत ही interesting chapter है क्योंकि यह पूरी के पूरा chapter जो triangle है ना यह आपकी practice के ऊपर डिवेंड करता है जितना ज्यादा प्रैक्टिस करोगे उतना ज्यादा जितने ज्यादा आप सवाल करोगे अभी हमने कितने सवाल करेंगे यहाँ पे राउंड हमने करीब 10-15 सवाल करेंगे 10 सवाल तो पक्का करेंगे हमने पर ये सारे कंसेक्चुल सवाल थे सबसे पहले हमने पढ़ा हुआ है कि फिर मैं कुछ रूल पड़े सबसे पहले हमने पड़ा साइड एंगल साइड ठीक है क्या पड़ा हमने सबसे पहले हमने पड़ा सबसे पहले हमने पड़ा साइड एंगल साइड साइड एंगल साइड क्या होता है कि साइड एंगल साइड यह होता है कि side angle, फिर हमने देखा कि यार एक होता है कि angle, angle side, कि बई दो angle और कोई भी एक non, non, non including side, बई ये तो including हो गई, पर ये non including कोई भी एक non including side, फिर हमने देखा SSS, SSS क्या होता है, कि तीनो side जो है, वो तीनो side के corresponding के बराबर हो जाएं, तो ये concurrent होंगे, फिर हमने देखा दो right angle, right angle दे right angle triangle दे रखे हैं, तो दो right angle triangle में अगर आप hypotenuse और कोई भी एक side को पराबर कर दोगे, कोई भी एक side को पराबर कर दोगे, तो क्या होगा, वो concurrent हो जाएगा, यह हमने पाँच congruency के rules पढ़े, फिर हमने देखा कि अगर कोई isosceles triangle है, कोई isosceles triangle है, तो opposite angles equal होंगे, या फिर अगर आपको दे रखा है opposite angles equal है, तो opposite sides होंगी, वो पराबर होंगी, बस यह पढ़ा हमने, बस. बस ये, ये ही, ये हमने कुछ properties पढ़ी, ये हमने 2 theorem पढ़ी, इसको मैंने proof भी करके देखा RHS से, इसी के उपर पूरा का पूरा आपका chapter भढ़ा हुआ है, ठीक है, अब आपका काम क्या है, मैंने आपको सारे concept बता दिये, अब आपको NCRT उठानी है, ठीक है, आपके दिमाग में ये सारे concepts clear हैं, आपको सब पता है कि मैंने ये पढ़ा है, मातर कितने, 5, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ये तो एक ही है, 6, मातर, मातर 6 concepts हैं आपके पूरे chapter में, मातर 6 concepts, देख रहे हो, सिर्फ ये 6 concepts हैं, इनको अपने दिमाग में बिठा लो, ठीक है, या फिर आ यह सबसे best तरीका है करने का, यह 6 के 6 concept, इसकी photo ले लो, ठीक है, screenshot ले लिया, हाँ, इसका screenshot ले लिया, इसको उठा के सामने चिपका दिया, अब जैसे ही आप सवाल कर रहे हो, हो रहे हैं बहुत बढ़िया, नहीं हो रहे हो तो उठा लो, देखो कि कौन सा लगे, कौन सा लगे अब आपको इसके concept सारे पता है, अब आपके आपने NCRT के सावाल अपने आप कर रखे हैं, दम लगाना है, नहीं हो पाएंगे, कोई बात नहीं हो, और दिमाग लगाँगा, जरूरी नहीं है पहली बारी में हो पाएंगे, पर आप जितनी ज़्यादा practice करोगे, triangles पूरा practice के तब तक के लिए भाई पढ़ना है, फोड़ना है, कहर मचा देना है, आग लगा देना है, अगला आपको कौन सा चेप्टर थी है नीचे कमेंट में बताओ, ठीक है, जितना भी बड़ा ये चेप्टर बनाओ, आई होप आपको अच्छा लगा होगा, अच्छा लगा होगा त आप कमेंट सेक्शन में बताओ आपके लिए वो सारी चीज़ें हाज़िर होंगी बाबाई टेक केयर मिलते हैं अगली वीडियो में