Γραμμικά Συστήματα
Μέθοδος της Αντικατάστασης
- Λύση συστήματος με αντικατάσταση:
- Δίνεται το σύστημα: (2x + y = -4) και (x + 3y = 3).
- Λύνουμε την πρώτη εξίσωση ως προς (y):
- Αντικαθιστούμε στη δεύτερη εξίσωση το (y):
- (x + 3(-2x - 4) = 3)
- Απλοποίηση και λύση για (x):
- Εύρεση (y): Αντικαθιστούμε (x = -3) στην πρώτη εξίσωση:
- Λύση συστήματος: ((x, y) = (-3, 2))
Μέθοδος Αντίθετων Συντελεστών
- Δίνεται το σύστημα: (2x - 3y = 16) και (3x + 4y = -10).
- Εφαρμογή μεθόδου:
- Πολλαπλασιάζουμε την πρώτη εξίσωση με 3:
- Πολλαπλασιάζουμε τη δεύτερη εξίσωση με -2:
- Προσθέτουμε τις εξισώσεις:
- Αντικατάσταση (y) στην πρώτη εξίσωση:
- (2x - 3(-4) = 16)
- (x = 2)
- Λύση συστήματος: ((x, y) = (2, -4))
Λύση Συστήματος με Τρεις Εξισώσεις
- Δίνεται το σύστημα: (x + y = -2), (y + z = 3), (z + x = 11).
- Προσθέτουμε κατά μέλη τις εξισώσεις:
- (2x + 2y + 2z = 12)
- (x + y + z = 6)
- Χρήση σχέσης:
- (x + y = -2), (-2 + z = 6) (\Rightarrow z = 8)
- Χρήση τρίτης σχέσης:
- (8 + x = 11) (\Rightarrow x = 3)
- Χρήση δεύτερης σχέσης:
- (y + 8 = 3) (\Rightarrow y = -5)
- Λύση συστήματος: ((x, y, z) = (3, -5, 8))
Άσκηση με Μεγάλα Νούμερα
- Δίνεται το σύστημα: (579x + 421y = 2579) και (421x + 579y = 2421).
- Προσθέτουμε κατά μέλη:
- (1000x + 1000y = 5000)
- Διαιρούμε με 1000:
- Αφαιρούμε κατά μέλη:
- (158x - 158y = 158)
- Διαιρούμε με 158:
- Λύση συστήματος:
- Προσθέτουμε κατά μέλη τις σχέσεις:
- (2x = 6) (\Rightarrow x = 3)
- Αφαιρούμε κατά μέλη τις σχέσεις:
- (2y = 4) (\Rightarrow y = 2)
- Λύση συστήματος: ((x, y) = (3, 2))
Συμπέρασμα
- Η επίλυση γραμμικών συστημάτων μπορεί να γίνει με διάφορες μεθόδους όπως η αντικατάσταση, οι αντίθετοι συντελεστές και τεχνάσματα.
- Κάθε μέθοδος έχει τα πλεονεκτήματα της ανάλογα με τις συνθήκες του συστήματος.
Σημαντικό: Η παρουσίαση εστιάζει στην κατανόηση των μεθόδων και όχι μόνο στη λύση. Επόμενα βίντεο θα περιέχουν πιο περίπλοκα παραδείγματα.