Καλώς ήρθατε. Σήμερα θα μιλήσουμε για τα γραμμικά συστήματα. Συγκεκριμένα έχω ετοιμάσει τέσσερις ασκήσεις.
Κάθε μία λύνεται και με έναν διαφορετικό τρόπο. Ας ξεκινήσουμε. Να λύσετε το σύστημα με τη μέθοδο της αντικατάστασης.
Πολύ ωραία. Ξαναγράφουμε το σύστημα. 2χ και ψ ίσον πλήν 4. Χ και 3 ψ ίσον 3. Πολύ ωραία.
Ας πούμε λιγάκι τι κάνουμε όταν λύνουμε συστήματα με τη μέθοδο της αντικατάστασης. Αρχικά, λύνουμε την πρώτη εξίσωση ως προς κάποιον άγνωστο. Στην περίπτωσή μας θα λύσουμε την πρώτη εξίσωση.
Ξύσσωση ως προς ψ. Άρα θα γίνει πλήν 2χ πλήν 4χ και 3ψ ίσον με 3. Ωραία. Συνεχίζουμε.
Αφού λύσουμε την πρώτη εξίσωση ως προς κάποιον άγνωστο, στην περίπτωση μας ως προς ψ, αντικαθιστούμε στη δεύτερη εξίσωση το ψ με αυτό που έχουμε βρει εδώ πέρα. Άρα αν το ψ είναι πλήν 2χ πλήν 4, Η δεύτερη εξίσου θα γίνει χ και 3, αντί για ψ θα έχω πλήν 2χ πλήν 4 ίσο με 3. Άρα έχω ψ ίσον πλήν 2χ πλήν 4 και χ πλήν 6χ πλήν 4 εις 12 ίσο με 3. Ωραία, κάνουμε πραξούλες και θα βρούμε πόσο κάνει το χ. Πολύ ωραία, διαιρούμε με το συντελεστή του αγνώστου που είναι το πλήμμου 5 άρα το χ προκύπτει να είναι οπα, με συγχωρείτε 3,5,15 άρα το χ προκύπτει πλήμμου 3 ωραία, πολύ ωραία Τέλεια, τώρα αφού βρήκαμε το χ, τι κάνουμε. Αντικαθιστούμε το χ ίσον πλήν 3 στην πρώτη εξίσωση και βρίσκουμε το ψ.
Άρα από εδώ προκύπτει ότι, που είναι ο στυλός μου, προκύπτει ότι το ψ είναι πλήν 2 επί πλήν 3 πλήν 4, 2, 3, 6 πλήν 4, Συνεπάγεται το ψ είναι 2. Οπότε, τι θα πούμε τώρα αφού βρήκαμε και το χ και το ψ. Θα απαντήσουμε και θα πούμε άρα το ζεύγος χ, ψ είναι ίσον με πλήν 3,2 είναι η λύση. του συστήματος και εκεί τελειώνει η άσκηση Ωραία προχωράμε πάμε εδώ πέρα για να δούμε τι έχουμε να λύσετε το σύστημα με τη μέθοδο των αντίθετων συντελεστών.
Πολύ ωραία. Πάμε να δούμε πώς θα λύσουμε συστήματα με αυτή τη μέθοδο. Λοιπόν, ξαναγράφουμε αρχικά το σύστημα, όπως πάντα.
Βλέπετε, 2Χ-3Ψ. ίσον 16, 3Χ και 4Ψ ίσον μείον 10. Πολύ ωραία. Ωραία, τώρα, παιδιά, η μέθοδος των αντίθετων συντελεστών τι ακριβώς είναι. Αν παρατηρήσουμε εδώ το σύστημα, για παράδειγμα, ας παρατηρήσουμε τα χ.
Δεν έχουμε κάποιο πρόβλημα, ας παρατηρήσουμε τα χ. Μπορώ με κάποιες μεθόδους, με κάποιους πολλαπλασιασμούς, με κάποιες διαίρεσεις, να μετατρέπω... Για παράδειγμα το χι εδώ να είναι πιχι 15χι λέω εγώ τώρα και κάτω να είναι πλήν 15χι. Οπότε αν προσθέσω αυτές τις δύο ή τις αφαιρέσω, δεν έχει σημασία, τις δύο αυτές εξισώσεις.
να φύγουν και να μείνει μόνο ένας άγνωστος, να μείνουν μόνο τα ψ. Αυτή είναι η μέθοδος των αντίθετων συντελεστών. Οπότε πάμε εδώ πέρα και λέμε, ξέρεις τι, εδώ έχω 2χ, εδώ έχω 3χ. Για να πολλαπλασιάσω την πρώτη με το 3, για να δούμε τι θα βγει. Οπότε πολλαπλασιάζω και όταν λέω πολλαπλασιάζω την πρώτη εξίσωση με το 3 δεν εννοώ μόνο αυτό το μέρος, εννοώ όλη την εξίσωση.
και το α μέλος και το β. Άρα, αν πολλαπλασιάσω με το 3 θα γίνει 2,3,6χ. Μείον 3 επί 3 θα γίνει 9ψ, ίσον με 3,16,48. Ωραία. Τώρα, την από κάτω δεν θέλω να την αφήσω όπως είναι.
Θέλω τι, θέλω να κάνω το 3x, να το κάνω πλήν 6x, ώστε να γίνουν αντίθετοι συντελεστές, ώστε να μπορέσω να τους διώξω. Οπότε αν πολλαπλασιάσω με το πλήν 2, τι θα έχουμε, 2, 3, 6, άρα πλήν 6x. 2, 4, 8 με το πλήν πλήν 8 ψ.
Και με το 10 θα γίνει 2, 10, 20. Πολύ ωραία. Τώρα τι κάνουμε σε αυτή την περίπτωση. Προσθέτουμε καταμέλι.
Ωραία. Προσθέτουμε τις δύο εξισώσεις κατά μέλη. Άρα τι έχουμε, τι προκύπτει. 6χ συν πλήν 6χ, 0χ. Άρα 0. Πολύ ωραία.
Πλήν 9ψ και πλήν 8ψ, πλήν 17ψ. 48 και 20. 68. Ωραία. Αν διαιρέσουμε με το συντελεστή του αγνώστου, ο οποίος είναι το πλήν 17, θα έχουμε ψ ίσον 68 προς πλήν 17. άρα θα προκύψει ότι το ψ είναι πλήν 4. Και από τη στιγμή που βρήκαμε το ψ μπορούμε να πάμε σε μία από τις δύο εξισώσεις, σε όποια θέλουμε.
Ωπα, με συγχωρείτε. Ας πάμε στην πρώτη, η οποία λέει ότι 2χ πλήν 3ψ είναι ίσο με 16. Άρα προκύπτει ότι το 2χ και 3,4,12 ίσον 16. 2χ ίσον 16 αφαιρούμε και στα δύο μέλη το πλήν 12. Άρα θα έχω 16 πλήν 12 θα μας κάνει 4. Και αν διαιρέσω και τα δύο μέλη με το συντελεστή του αγνώστου που είναι το νούμερο 2, θα έχω χ ίσον 4 δια 2, δηλαδή 2. Άρα τελική απάντηση, τι θα πούμε. Άρα το ζεύγος χ, ψ ίσον με το χ είναι 2, το ψ είναι πλήν 4, είναι η λύση του συστήματος.
Ωραία. Τέλεια. Και λύσαμε την άσκηση.
Πάμε να δούμε τώρα κάτι τελείως διαφορετικό. Να λύσετε το σύστημα, λέει εδώ πέρα. Και μας δίνει, αντί για δύο εξισώσεις, μας δίνει τρεις.
Χ και Ψ ίσον πλυμ δύο, Ψ και Ω ίσον τρία, Ω και Χ ίσον με 11. Για να το λύσουμε αυτό το σύστημα, σίγουρα αυτό το σύστημα μπορεί να λυθεί, με συγχωρείτε για τα σαρδάμ, σίγουρα αυτό το σύστημα μπορεί να λυθεί είτε με τη μέθοδο της αντικατάστασης είτε με τη μέθοδο της απαλυθής. Αλλά εμείς δεν θα επιλέξουμε να το λύσουμε με κάποιον από αυτούς τους τρόπους. Θα χρησιμοποιήσουμε ένα τέχνασμα για να δούμε και κάτι διαφορετικό. Τι μπορώ να κάνω για να λύσω αυτή την άσκηση διαφορετικά.
Μπορώ να πάω και να προσθέσω... Κατά μέλη την. 1 και 2 και 3. Και τι θα προκύψει. Αν προσθέσουμε κατά μέλη θα έχουμε.
Χ και ψ. Και ψ και ω και ω και χ. Ίσον με 3 και 11. 14 μείον 2, 12. Άρα θα έχω 2χ από εδώ. Και 2ψ και 2ω ίσον με 12. Πολύ ωραίος εδώ. Τώρα παρατηρούμε ότι το 2 υπάρχει παντού.
Άρα. Άρα μπορούμε να το βγάλουμε κοινό παράγοντα. Άρα θα έχω 2 επί χ και ψ και ω ίσον με 12. Αν διαιρέσω και τα δύο μέλη με το 2 θα προκύψει ότι χ και ψ και ω μας κάνει 6. Πολύ ωραίος εδώ.
Αυτή θα την ονομάσω σχέση νούμερο 4. Και αν τώρα πάρω λίγο χαμπάρι τι γίνεται, η σχέση 1 έδινε ότι το χ και ψ κάνει πλήν 2. Άρα η σχέση 4 κάνοντας χρήση της σχέσης 1. Πώς θα γίνει. Χ και ψ μας κάνει πλυν 2, άρα θα έχω πλυν 2 και ω ίσον 6. Άρα το ω αν προσθέσω και στα δύο μέλη τον αριθμό 2 θα γίνει 6 και 2, 8. Άρα μόλις βρήκα το ω. Άρα αν πάω στη σχέση νούμερο 3, τι θα έχω. Ω και χ ίσον 11. Άρα θα έχω ω και χ, που είναι 8, και χ ίσον 11. Άρα συνεπάγεται ότι το χ θα είναι, αν αφαιρέσω και στα δύο μέλη το 8, 11 πλήν 8, θα έχω 3. και από τη σχέση 2 μπορώ να πω ότι το ψ θα είναι 3 πλήν 8 άρα συνεπάγεται ότι το ψ είναι πλήν 5 άρα βρήκα και τους τρεις αγνώστους άρα απαντάω, δεν τελειώνω εδώ πέρα απαντάω ότι το σύστημα άρα το γραμμικό σύστημα Έχει μοναδική λύση.
Την χ, ψ, ω είναι ίσον με 3 πλην 5, 8. Και εδώ πέρα τελειώνει και αυτή η άσκηση. Πολύ ωραία. Και σαν δωράκι για το τέλος του βίντεο έχουμε αυτήν εδώ την υπέροχη ασκησούλα που χρειάζεται και λίγο παραπάνω σκέψη για να απαντήσουμε.
Βέβαια είδαμε ένα τέχνασμα στην προηγούμενη άσκηση οπότε για αυτόν τον λόγο την κάναμε για να σας βοηθήσει κάπως να καταλάβετε περαιτέρω τι μπορούμε εδώ πέρα να κάνουμε. Τα νουμεράκια είναι λίγο μεγάλα, οπότε με το τέχνασμα που είδαμε πιο πριν μπορούμε να απαντήσουμε και σε αυτή την άσκηση. Αν ονομάσω την πρώτη εξίσωση 1 και τη δεύτερη 2, τι θα έχω.
Πάω. Και προσθέτω κατά μέλη 1 και 2. Τι θα προκύψει. 579 και 421 μας κάνει 1000. Το ίδιο και εδώ. 421 και 579 μας κάνει 1000. 2579 και 2421 αν τα προσθέσουμε μας κάνει 5000. Ωραία, τώρα μπορώ να διαιρέσω και τα δύο μέλη με το 1000, οπότε 1000 δια 1000 θα κάνει μονάδα.
Το ίδιο και εδώ, 5000 δια 1000 κάνει 5. Τέλεια, άρα έχω την πρώτη μου σχέση. Έχει και ψήσων 5. Τώρα, αν πάρω και τις δύο σχέσεις... Και της αφαιρέσω κατά μέλη, προκύπτει τι?
Προκύπτει, για να δούμε. 579-421 κάνει 158, όχι, μειον. 158 ψ ίσον 2579 μείον 2421 κάνει 158 και αυτό.
Άρα αν διαιρέσω μπροστά και πίσω και τα δύο μέλη με το 158, προκύπτει ότι το χ πλην ψ κάνει μονάδα. Τέλεια. Και τώρα τι θα κάνουμε. Έχω βρει δύο σχέσεις.
Χ και ψ ίσον 5 και χ πλην ψ ίσον 1. Αν τις πάρω αυτές τις δύο σχέσεις και τις προσθέσω κατά μέλη, τι θα προκύψει. Θα προκύψει ότι 2χ ίσον 6, άρα το χ είναι 3. Και αν τις αφαιρέσω κατά μέλη θα έχω χ πλην χ φεύγει, ψ πλην το πλην ψ, δηλαδή ψ και ψ, 2 ψ, έτσι, τις αφαιρώ κατά μέλη, 5 πλην 1, 4. Άρα το ψ κάνει 2. Άρα τελείωσε η άσκηση και γράφω ότι το ζεύγος... Χ, ψ ίσον με 3,2 είναι και η λύση του συστήματος. Αυτά παιδιά για τα γραμμικά συστήματα. Οκ, ήταν κάπως απλά, αλλά σκοπός μας ήταν να κατανοήσουμε και λίγο τις μεθόδους σε αυτό το μάθημα.
Θα ανεβάσω κάποιο άλλο βίντεο στην πορεία που θα έχει κάτι πιο εξυζητημένο. Σας ευχαριστώ πολύ που παρακολουθήσατε. Τα λέμε.
Καλό απόγευμα.