Notas sobre Mecânica da Similaridade

Introdução

• Ferramenta útil: Mecânica da Similaridade.
• Problema central: resolução da segunda lei de Newton (equação diferencial de segunda ordem).
• Função força permite antever propriedades da solução sem resolver a equação.

Conceitos Básicos

• Reescalonamento: quando se muda a distância, a trajetória pode ser diferente.
• Se a velocidade for escolhida corretamente, a órbita pode ser a mesma, mas reescalonada.
• Objetivo: descobrir como reescalonar as variáveis para manter a solução invariável.

Transformações de Escala

• Posição: R' = αR
• Tempo: T' = βT
• Massa: Não alterada nas transformações de espaço e tempo.
• Aceleração: ganha um fator
  • Aceleração = comprimento / tempo²
  • Aceleração transformada: α/β².
• Para a equação (F = MA) ficar invariável, a força também deve se transformar da mesma forma.

Exemplos na Queda Livre

• Queda livre: força peso constante.
• Lado esquerdo da equação não muda (força uniforme).
• Para a equação permanecer invariante: α = β².
• Consequência: tempos de queda são proporcionais à raiz da altura.

Gravitação Universal

• Força é inversamente proporcional ao quadrado das distâncias.
• Transformação da força: F = 1/α² * F.
• Para a equação ficar invariante: α³ = β².
• Resultado: a razão entre escalas de comprimento ao cubo é igual à razão entre escalas de tempo ao quadrado (relacionado à terceira lei de Kepler).

Comparação de Órbitas Similares

• A razão entre cubos das escalas de distância é igual à razão entre quadrados das escalas de tempo para órbitas similares.
• Aplicável a quaisquer escalas de comprimento (perímetros, semieixos, etc.).
• A terceira lei de Kepler é mais complexa e se aplica a órbitas não semelhantes.

Aplicabilidade da Mecânica da Similaridade

• Aplica-se quando a força F é escalável com algum parâmetro.
• Exemplos de forças que não são escaláveis (exponenciais) não se aplicam.
• Muitas forças são escaláveis, tornando a análise de similaridade útil e elegante.

Velocidades e Escalas

• Importante considerar que a velocidade também precisa ser reescalonada.
• Exemplo prático: se um objeto é solto de uma altura h com velocidade v₀, ao reescalonar, a nova velocidade se torna √α * v₀.

Problema Prático

• Desafio: Um relojoeiro quer uma corda 20% menor para um pêndulo. Se antes cada oscilação era de 1 segundo, quantas oscilações o novo pêndulo terá?
• A equação de movimento para pequenas amplitudes pode ser usada para escalar a nova oscilação.

Conclusão

• A mecânica da similaridade é uma técnica valiosa que será aplicada ao longo do curso.