Selamat berjumpa dengan video pembelajaran matematika. Kali ini kita akan mempelajari tentang binomial, segitiga pascal, dan binomium newton. Ketiganya adalah merupakan suatu kesatuan materi yang sangat diperlukan untuk mempelajari matematika.
Dari binomial ke segitiga pascal hingga binomium newton. Binomial atau suku 2 merupakan pelajaran ajabar matematika di SMP. Kita mulai dengan suku 2 berpangkat 0, A tambah B pangkat 0 adalah 1. A tambah B pangkat 1, A tambah B.
A tambah B kuadrat dibuat menjadi A tambah B kali A tambah B. Dan kita gunakan sifat distributif perkalian menjadi A kali A tambah B tambah B kali A tambah B. Hasilnya adalah A kuadrat tambah 2AB tambah B kuadrat.
Sekaligus ini sudah menjadi suatu rumus. dalam pangkat 2 selanjutnya A tambah B pangkat 3 dengan cara seperti yang tertulis ini digunakan distributif perkalian maka kita peroleh hasil A pangkat 3 3A kuadrat B tambah 3AB kuadrat tambah B pangkat 3 Kemudian kita cari A tambah B pangkat 4, A tambah B pangkat 5, dan seterusnya. Nah, berikut kita akan lihat hasil yang kita peroleh sampai A tambah B pangkat 7. Jika kita mau memperhatikan, Urutan pangkat untuk bagian A dan bagian B. Bagian A, pangkatnya turun satu-satu.
Kalau kita lihat mulai dari sini. 2, 1. 3, 2, 1, 0. 4, 3, 2, 1. 5, 4, 3, 2, 1. 654321 7654321 Sebaliknya Untuk B mulai 0 012 0123 Terus sampai Sampai di 7, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Kemudian, kalau kita perhatikan, jumlah pangkat untuk A dengan B selalu sesuai dengan pangkat suku 2. Jadi kalau pangkat 4 Maka jumlah pangkatnya selalu 4 Ini 4 3 tambah 1, 4 2 tambah 2, 4 1 tambah 3, 4 Lihat 6 Pangkat 6 Jumlah pangkatnya 6 5 tambah 1, 6 4 tambah 2, 6 3 tambah 3, 6 2 tambah 4, 6 1 tambah 5, 6 Begitu juga dengan 7 Jadi untuk A tambah B D pangkat 6 tidak akan kita dapati suku yang berbentuk A pangkat 4, B pangkat 3. Karena jumlahnya sudah 7. Atau A pangkat 4, B. Karena jumlahnya cuma 5. Jadi harus kalau A pangkat 4, pasti B-nya pangkat 2. Kalau A-nya pangkat 3, pasti B-nya pangkat 3. Begitu juga.
Kalau A tambah B pangkat 8, maka untuk A pangkat 5, B. B-nya harus pangkat 3. Kita lihat di sini. A pangkat 4, B-nya harus B pangkat 3, karena jumlahnya harus 7. Seperti itu. Selanjutnya, kita sisikan hanya bagian hasilnya ini. 1, A tambah B, dan seterusnya.
Suku 2-nya kita hilangkan. Kemudian, kita jadikan berbentuk segitiga. Nah, kita mulai ke segitiga pascal.
Ini sebenarnya yang ditamakan segitiba. TG3 pascal khususnya untuk yang berikut kita lihat disini koesien-koesien pada A dengan B belum ada atau ada satu tetapi tidak dituliskan Kita tuliskan itu supaya lengkap. Kemudian yang berikut, kita hilangkan semua A dengan B dan operasi penjumlahan supaya tertinggal koefisiennya seperti ini.
Ini yang dinamakan segitiga pascal. Yang didapat oleh Blitz Pascal. Menyusun seperti ini. Jadi, yang ada di hadapan kita ini adalah koefisien daripada urayan suku 2. Binomial, bilangan berpangkat. Bilangan suku 2 berpangkat.
Nah, jadi kita lihat. Ya, ini koefisiennya yang kita ambil. Ya, koefisiennya yang kita ambil.
Nah. Dari koefisien ini kita bentuk kembali, kita tulis kembali koefisiennya, hanya koefisiennya. 1, ingat, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 3, 3, 1, 1, 3, 3, 1, 1, 4, 6, 4, 1, 1, 4, 6, 4, 1. Nah, sekarang kelihatan bahwa... Bilangan 2 ini didapat dari 1 tambah 1. 3 ini didapat dari 1 tambah 3. 3 didapat 2 tambah 1. Maksudnya 1 tambah 2. 4 didapat dari 1 tambah 3. 3 tambah 3 adalah 6. 3 tambah 1 adalah 4. Nah sekarang kita bisa tebak.
Bahwa 1 tambah 4 akan tertulis 5 di sini. Ini akan tertulis 10. Di sini akan tertulis 10. Di sini akan tertulis 5. Nah, kita lihat hasilnya. ya, 1, 5, 10 10, 5, 1 dan selanjutnya kita akan dapati 6, 15, 20 15, 6 ya, oke demikian halnya, kita lanjutkan terus sampai pangkat 7 ini 1, 7, 2, 1, 3, 5, 3, 5 2, 1, 7, 1 nah, sama itu ini ya koefisien dari Urayan pangkat 2 ini, pangkat suku 2 berpangkat adalah sama dengan yang ada ini.
Sekarang kita akan hubungkan koefisien-koefisien pada segitiga pascal itu dengan konsep kombinasi. Masih ingat kombinasi, permutasi, dan faktorial. Nah, Kalau kita masuk ke kombinasi, maka ini bukan lagi pelajaran SMP, tapi sudah merupakan pelajaran SMA atau perguruan tinggi. Jadi konsep di SMP, materi di SMP berakhir di sini.
Nah, selanjutnya kita bisa sambung ke konsep kombinasi di SMA. dan atau di perguruan tinggi nah masih ingat mengenai kombinasi yaitu cnk adalah n! per k!
n! dengan n! n!
n! dan seterusnya nah dengan catatan bahwa 0! itu adalah 1 Dengan demikian, kita lihat bahwa C00 itu adalah 1, C101, C111 itu bisa dihitung sendiri itu. Dari mana bisa ini ada langkah-langkah perhitungannya. Ingat 0!
itu 1, jadi 1, 1, 1, 1. 2, 0, 1, 2, 1, 2, 2, 1, 3, 0, 1, 3, 1, 3, 3, 2, 3, 3, 3, 1, 4, 0, 1. 414, 426, 434, 441, dan seterusnya. Kita cari. Kemudian ini, kombinasi-kombinasi nilai-nilai kombinasi ini, kita ganti ke koefisien dari urayan suku 2. ini kita masukkan ke segitiga pascal yang ada kita ganti ini nilai-nilainya ini kita masukkan ke sini ganti ke angka-angka dari segitiga pascal seperti ini maka kita akan lihat ini sama ini nah sekarang kita masukkan Ini kombinasinya menjadi koefisien dan dari urayan pangkat suku 2 berpangkat ini yang membentuk segitiga ini kita masukkan ganti di tempat koefisiennya jadi C N K ini C 74 ini pengganti dari koefisien yang berada disini C 42 pengganti dari koefisien yang berada disini tadinya C 42 itu ya lihat itu C 42 di 3 2 adalah lihat sini ya kita lihat kalau C kalau A pangkat 3 B pangkat 2 itu 10 dan disini adalah C 52 ini ini 10 ya Nah kita rapatkan ini ke sebelah kiri kita hilangkan Bentuk segitiganya, ini tetap bentuk segitiga, tetapi sudah menjadi segitiga siku-siku. Nah, kemudian, karena ini merupakan penjumlahan, kita gunakan notasi sigma. Ingat, notasi sigma SMA dan dipergolongan tinggi ini, notasi sigma dikalkuluh 1. Begitu juga kalkulus di SMA mempelajari notasi sigma ini kita singkat dalam notasi sigma kita dapati seperti berikut C00 adalah sigma 0K C 0 K 0 K A 0 kurang K B K Nah begitu juga ini Kita lihat yang untuk 7 Sigma 7 K 0 C 7 K A 7 kurang K B pangkat K Jadi kalau kita mulai dari Ini K0, ini K0, A pangkat 7, B pangkat 0. Kita lihat di sini kalau 4 ya.
K4 jadi sigma 7, 4. K mulai dari sampai 4, maka dia mulai dari 0 sampai 4. 1, 2, 3, 4, 5. Sampai di 4 ada 5. Kita dapat itu. Jadi kita ambil yang tanda sigma nya semua kita ambil hanya yang tanda sigma ini nah sigma ada ini bisa diperpanjang terus tidak sampai 7 tetap terus sampai n dan Ini yang dinamakan Binomium Newton. Ini adalah bentuk yang paling singkat.
Dari semua ini kita satukan, kita kenal dengan nama Binomium Newton. Jadi, sigma NK n berjalan jadi dia mulai dari berapa ini n012 dan seterusnya 78 ya sampai n ini menjadi binomium Newton biasanya binomium Newton ini menjadi konsumsi matematika di perguruan tinggi bukan lagi di SMA binomium Newton jadi binomium Newton adalah sigma NK, K mulai dari 0, C NK itu kombinasi C, A pangkat N kurang K, B pangkat K. Binomium Newton ini menjadi ringkasan dari segitiga paskalnya dari blaze paskal.
Kita tidak perlu menghafal segitiga pascal itu dengan menambahkannya berturut-turut ke bawah, kita hanya menghafal satu rumus ini, binomium Newton. Nah, sebagai contoh, A tambah B pangkat 10 berarti sigma 10 K 0 C 10 K A 10 kurang K B pangkat K. Nah ini kita mulai dengan menghitung 0, 1, 2, dan seterusnya.
Ini 10, 10 kurang 0 ini. Ini jumlahnya selalu 10 ini. Ini jumlahnya selalu 10. Ini jumlahnya selalu 10. 10. Ini ya. Ini 10 sama jumlah 10 ini ya, pangkat dari A dengan B.
Begitu terus, kita lihat. Jadi 10 kurang 8 tambah 8, 10. 10 kurang 9 tambah 9, 10. 10 kurang 10 tambah 10, 10. Ya. A-nya turun, naik turun satu-satu, ini jadi 10, 9. 9, 8, terangkan B, naik 1, 1, mulai 0, 1, 2, terus begitu.
Jadi ini yang kita peroleh hasilnya. Dan kombinasinya ini, koopsiennya ini merupakan kombinasi. Jadi C10, 10, C10, 2, 4, 5, dan seterusnya ini ada tambah di sini. Terus begitu. Ayo kita masuk ke hasilnya ini ada tambah ya kalau kita ambil ini ada tambah sebagai penyambung ya kita teruskan Soal sebagai contoh soal Tentukan koefisien pada P pangkat 15 Ki pangkat 10 Pada binomium 2P kurang Ki pangkat 25 Nah jadi Ini wajar pertanyaannya 15 Tambah 10 25 Oke Nah kalau kita memperhatikan disini Bahwa 2B ini sebagai A, jadi A, B, tambah B, B apa?
B adalah min Ki, jadi kita selesaikan, binomium CNK. Karena pangkat Ki adalah 10, berarti K-nya 10, ingat ini, B pangkat 10. Kemudian, karena pangkat P adalah 15, berarti N kurang K 15, yaitu 25 kurang 10, 15. Jadi, pada B ini 15. Jadi, harusnya 2, 2P pangkat 15, jadi 2 pangkat 15, P15. Jadi yang pertama sudah kita dapat 2 pangkat 15. Nah, sekarang tinggal kita hitung kombinasinya ini.
Kombinasi. Kombinasi CNK, ingat N-nya adalah... 25, K nya 10. Jadi, koefisiennya adalah C2510.
Nah, ini terlalu besar kita hitung. Ini sangat besar. Sehingga kita bisa tulis saja, koefisien dari P pangkat 15, Ki pangkat 10 adalah 2 pangkat 15, C2510. Nah, 2 pangkat 15 saja kita hitung. Sudah besar, apalagi kita kali dengan C2510.
Ini kali ya, dikali. Jadi 2 pangkat 15 dikali C. Jadi 2 pangkat 15. Berapa hasilnya itu? 2 x 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, terus sampai pangkat 15. Kemudian kali dengan hasil dari kombinasi 25 dan 10. Besar sekali bilangan ini.
Itu adalah koefisien yang ada pada P15. Ki P pangkat 15, Ki pangkat 10 pada binomium atau suku 2 berpangkat 25 ini. Demikian berakhir pelajaran kita tentang Dari binomial ke segitiga pascal hingga binomium newton.
Nanti kita berjumpa dalam materi selanjutnya. Pada materi yang lain.