Всем привет С вами ахмадуллин Искандер и сегодня мы наконец-то разберём всю алгебре за седьмой класс это видео я сделал последующим книжкам обложки которых вы увидите на экране нет у нас Макарычев Мерзляк Мордкович Дорофеева и мой любимый учебнику Никольского который в седьмом классе меня Не порадовал что радует так это то что в седьмом классе почти по-любому учебнику одноэтажный программа Поэтому если вы сомневаетесь смотреть видео обязательно смотрите всё что у вас будет седьмом классе и даже больше будет здесь самый классный читаю книжку Макарычева и мерзляка Никольск меня совсем не порадовал Хотя обычно я топил за него и совсем не понравилось книжка Дорофеевой Кроме того хочу сказать что у меня уже есть видео вся математика за пятый и шестой класс который вы можете притянуть свои знания соответственно 5 и 6 класс при этом а в каких-то учебниках что-то проходят в шестом классе что-то В пятом а соответственно к седьмому классу они уже приходят примерно с одинаковыми знаниями Поэтому если вам что-то будет непонятно или сложное это видео обязательно посмотрите видео за пятый класс сколько они уже тоже скажем так проверено Ютубом там много просмотров много хороших комментариев ссылка на них будет в описании Ну и условия выхода следующего ролика это 100000 просмотров и 5000 лайков на этом видео набирайте быстрее и выйдет алгебра за восьмой класс поэтому ставим лайки пишем комментарии делимся этим видео со своими друзьями учителями всем тем кому она может помочь Ну и Также хотелось бы сказать что я на этом видео ничего не зарабатываю у меня включена минимальное монетизация YouTube от которой я тоже ничего не зарабатываю поэтому спонсором этого видео являюсь я и мой брат У меня с моим братом написано Некоторое количество пособий по логике критическому мышлению и так далее которые очень интересные на них хорошие отзывы ссылочку тоже будет описание можно заказать на таких магазинах как Wildberries и Ozon Поэтому если вам нравится моя деятельность и вы хотите поддержать меня и прокачать мозги ещё не только в математике заказывайте наши книжки какие-то будут полезны для вас какие-то для ваших младших братьев и сестёр Ну и теперь кому не лень Можете написать что начала алгебре за седьмой класс на такой-то Минуте такой-то секунде степень числа для того чтобы записывать произведение нескольких одинаковых чисел и это запись благ более й лаконичный придумали степень например произведение четырёх пятёрок можно записать как цифру 5 а и с верхним индексом 4 читается это как 5 в степени 4 или 5 в четвёртой степени вообще в общем случае если мы записать А в степени N означает произведение множителей каждый из множителей равен а число а называется основанием степени или просто основание а число n называется показателем степени или просто показать Ну и вообще стоит сказать что пока мы только рассматриваем в натуральной степени то есть в качестве н.у. возможное число там 12345 и так далее Ну ещё отдельным и потом скажем про 0 если посмотреть на это определение и взять в качестве н единицу то это значит что в качестве множителя мы возьмём а один раз то есть а первый это просто самой число A5 1 это просто 501 это просто 001 это просто здесь разберём некоторые простейшие примеры 34 Что это значит Это значит 3 x 3 x 3 x 3 для того чтобы это умножить удобно сначала 3 х 3 это будет 9 этот 3 умножаем на трибуну 99 на 980 10 в квадрате 0 в любой степени всегда будет 0 да потому что сколько нулей выбрана себя не умножали вас всегда будет получаться 0 - 63 это нас - 6 x - 6 x - 6 смотрите во-первых ответ у нас получится отрицательный Да потому что вот эти минус на минус плюс и ещё один - останется теперь 636 ещё на 6216 этого ответа - 216 - 24 это нас - 2 - 2 - 2 - 2 здесь нас ответ уже будет положительный потому что всё разбиваются на пары да каждая пара при перемножение даст нам минус на минус плюс и поэтому ответ в итоге будет положить N2 NO2 это 4 ещё на 4 будет 16 и того ответ 16 разобрав вот эти случае мы можем сделать некоторые выводы возводят положительное число в любую степень мы всегда будем получается положительное число если мы возводим отрицательное число в четную степень то есть ^ там 1357 и так далее мы будем получать отрицательное число если мы отрицательное число подводим в четную степень то есть степень 2468 и так далее мы будем получать положительное число Ну и Давайте разберём ещё несколько примеров - X X - X X - X X X X - 30 всего это мы можем записать минус икс 5 мы уже знаем что при возведении отрицательного числа в нечётной степени у нас - остаётся поэтому мы можем а немножко упростите выражение не писать просто минус икс в пятой то есть таким образом вот сейчас у нас всё - их возводилась в пятую степень А сейчас это запись означает что мы просто их возводим в пятую степень а потом перед результатом ставим знак минус А минус б а минус б на А минус б Но это можно записать как А минус B в 3 да потому что здесь у нас основанием является А минус б что дальше-то выбросить никак не можем Но не для этого нужно там раскрывать скобки но сейчас у нас тема степени x x y x y x x y получится X X Y в 4 степени потому что основание в данном случае это X X Y про то как возводить в степень произведения мы поговорим позже теперь рассмотрим некоторые свойства степеней первое свойство звучит так при умножении двух степеней с одинаковыми основаниями основание остается неизменным а показатели складываются это очень интуитивно понятное и легко доказываем свойства Давайте его докажем смотреть Что такое абстинент А в степени N это произведение ashiqin раз что такое степени М это произведение множителя А тем раз а давайте это запишет что получится когда мы вот эти две штуки перемножить получится произведения А где количество множителей А равняется N + M а это как раз 17 записано в правой части поэтому вот так вот просто доказывается это свойство следующие свойства при делении двух степеней с одинаковыми показателями у нас основание остается неизменным а показатели вычитаются при этом здесь у нас условия что M больше N да И при этом напомню что мы пока рассматриваем только натуральной степени то есть m&n во всех этих свойствах которые мы здесь напишем будут натуральными для того чтобы доказать это свойство проделаем следующие для начала мы левую и правую часть умножим на некоторое число и там и делать правление умножим левую правую часть на А в степени N слева а в степени N нас просто сократится дату и сетевым представили это в виде дроби А в степени N деленное на А в степени N тут мы умножаем на А в степени n a в степени N просто сокращается потому что А в степени N это просто какое-то число Да и неважно какой главное что она там не является нулем поэтому это всё законные действия поэтому слева у нас остаётся А в степени N отправлю у нас остаётся произведение А в степени M минус n степени N Давайте упростим правую часть для этого воспользуемся свойством Доказано на предыдущем шаге при произведение двух степеней с одинаковыми основаниями их показатели складываются тем - N + N получается просто М И того у нас получается слева а ^ и справа а в стекле то есть таким образом Вот это свойство Доказано Ну и раз это свойство доказали давайте рассмотрим теперь такой случай опускаю нас M и N равны да то есть мы просто А в степени N поделим на А в степени N что же у нас получится у нас получится с вами С одной стороны а в степени 0 да если мы воспользуемся этим свойством потому что у нас а показатели просто вычитается А вот а с другой стороны а в степени N это просто число то есть мы какое-то число поделили сама на себя что в этом случае получается нас получается единица новый тут может сказать что так делать нельзя потому что у нас Здесь строго больше чем в самом деле тут не принципиально можно сделать и равенство да А вот это свойство действительно работает так оно есть Ну и Давайте ещё я вам расскажу один интересный случай Давайте вместо а возьмём Вот то есть вот у нас будет 0 в степени 0 чему же это равняется с одной стороны так как ноль в любой степени у нас будет 0 Это должно быть равно с другой стороны мы показали что А в степени 0 то есть любое число в степени 0 у нас будет единицей вот поэтому это может быть равно единице на самом деле А вот этот случай он вас не определён то есть вы не можете 0 возводить в нулевую степень это также Как поделить на 0 то есть результат этой операции в математике не определён кто вам не говорил что вот это равняется единице или равняется нулю и то и другое будет неправда то есть с точки зрения там мирового сообщества математике считает что вот это не определена Да гораздо удобнее вот эту штуку по некоторым там причинам сказать что она равна единице Но вообще вы не можете сказать что она равна единица её значение неопределено для закрепления двух этих пройденных свойств решим вот такой пример для начала посчитаем что у нас получится в знаменателе у нас здесь произведения двух степеней с одинаковыми основаниями показатели просто складывается поэтому получится просто переписываемся у нас здесь 0,6 ^ 12 остаётся здесь у нас получается 0,6 4 + 5 Даша а у нас делении двух степеней с одинаковыми основаниями поэтому показатели вычитаются не получается у нас 0,6 в степени три до того что 12 - 9 это получается 3 при решении данных примеров не стоит а выполнять Вот это возведение в степень потому что это вас будут только отвлекать вы будете терять время вместо того чтобы нарабатывать эти свойства А посчитать Скорее всего вы так это сможете следующие свойства при возведение произведения в степень у нас возводится в степень каждый множитель тоже доказательство очень простое Что такое А в степени N это просто инсту произведение об что мы можем с вами сделать У нас есть а переместительное свойство умножения Да поэтому просто сгруппируй множителей так что все мы перенесём вперёд а все перенесём назад так как об у нас N штук поэтому множители А в них тоже N штук Ложат ли в ней тоже N штук мы просто эти Может ли биопсия перенести назад таким образом справа у нас как расписать А в степени N ^ следующие свойства при возведении степени в степень основания у нас остаётся неизменным а показатели перемножать это свойство тоже достаточно просто доказывается Что у вас написано слева у нас здесь написано а в степени N в степени N Что такое а степени м а в степени N это произведение Ашик их всего там 7 штук Да и таких произведений ошибки из тем что мы должны взять один раз Ну давайте запишем другими словами вы берёте ящиков в каждый из которых содержит м груш всего вас получается mn2 Поэтому всего множители А у нас здесь получается мм это у нас и записано справа Ну и для закрепления свойств порешаем вот эти вот пример 1 пример он у нас на возведение произведения в степень А тогда у нас каждый множители подводится в эту степь для начала возводим в степень 2 - 10 у нас получается 100 а возводим и второй степени получается просто А в квадрате в возводим во вторую степень получается в квадрате всё больше тут ничего делать не надо в следующий пример их составом x x 3 x x 4 до этого я забыл сказать вторую степень часто называют квадратом а соответственно третью степень кубов здесь у нас произведение степеней с одинаковыми основаниями приеду значит показать у нас просто складывается поэтому получится x в степени 2 + 3 + 4 это у нас будет соответствовать девять то есть ответ и взятый следу у нас здесь возведение степени в степень Ну давайте по шагам пройдём сначала раскроем вот эту внутреннюю скобку то есть и в квадрате возвести в третью степень значит мы должны поэтому свойством X3 получается у нас 2 х 30 получается 6 да это 6 у нас остаётся в 4 степени А вот теперь у нас также идёт возведение степени в степень теперь Значит получается x в степени 6 x 46 x 24 но вообще могу сказать что вы могли сразу всё перемножить и ответ получился бы тоже следующий пример для начала в числителе 27 представим как 33 да в том что 2073 натри натри в знаменателе произведём возведение степени в степень получится здесь 312 A9 запишем как 3 в квадрате Ну и дальше здесь по свойству умножение степеней с одинаковыми основаниями сверху получится 3 в степени 11 плюс 3 То есть три в степени 14 А в знаменателе 3 в степени 12 плюс 2 То есть у нас получается тоже 3 степени 14 и получается что мы одно число делим сама на себя и в результате мы Разумеется получаем единицу Ну и решим ещё такое задание представить 2 20 иде степени с основанием два в четвёртой да то есть что мы с вами должны сделать мы должны С вами сделать а некоторые такую конструкцию то что он получилось два в четвёртой ещё в какой-то степи и вот это 24 ещё в какой-то степени было равно по своему значению 20 Что же это значит да мы сами знаем свойства что при возведении степени в степень у нас показать ты прям нажимается поэтому фактически нам здесь нужно решить такое уравнение да то есть два в четвёртой Мы возводим ещё в какой-то степени x и получаем 2В 20 нужно варить свойства Да что при возведении степени в степень показатели перемножать поэтому здесь у нас записаны ничто иное как уравнение 4 Икс равняется 20 Вот соответственно отсюда Понятное дело что их получается равен 5 Ну вот Ну и всё Значит мы это решили да то есть получается вместо вот это вот вопросительный знак Я здесь стираю пишу здесь 5 и пишу что это равно 20 вот Аналогично с со следующим заданием представить 20 виде степени с основанием 2 2 Ну понятное дело что здесь должен быть тоже какая-то степени чтобы в результате Она получилась равна 20 Ну соответственно на что нужно умножить 2 чтобы получилось 20 это нужно умножить 2 На 10 Да вот поэтому вот здесь вот мы приставили 2В 20 виде степени с основанием А 2 2 и соответственно степень тут получилось 10 вот так вот решаются эти задания Если вы досмотрели видео до этого момента это значит видео вам полезное нравится обязательно поставьте видео на паузу лайк комментарий и смотрите дальше простая штука поэтому перейдём сразу определение членом является некоторая произведение которое состоит из чисел переменах и Сабина степеней этих переменных то есть вот всё что здесь перед вами нарисовано это всё одночлена на одночлен 5 А квадрат Икс или игрек квадрат минус 7 также является одночленом просто А этот одночлен который не содержит периметр или переменной X тоже является одночленом Ну и число также является членом то что у нас написано здесь тоже является одночленом потому что это произведение чисел переменных и их степеней Но в отличие от тех что записано здесь этот член мы можем некоторым образом упростить Да мы видим что она примером - 3,2 можем перемножить у нас получится - 6 здесь у нас есть Быков есть б можно записать это как в четвёртой и соответственно квадрат просто переписываем вот то что мы сейчас делали во-первых попросили и привели его к стандартному виду стандартного вида многочлена называется такой вид при котором числовой множитель а потом идут у нас переменные и при этом каждая переменная она у нас присутствует только один раз То есть например слева нас тренер ноябре она в этом отношении присутствовал два раза в том числе поэтому это там член не взял сам член стандартного вида мы это исправили теперь у нас только один условия что вот эти переменные наши должны быть упорядочены в алфавитном порядке Но это скорее так принято они относятся к определению то есть в определении только два критерия числовой множитель стоит в самом начале Да и больше человек может или нет и каждая переменная она в единственном виде Куба одночлена можно привести к стандартному виду если у вас есть одночлен стандартного вида тогда числовой коэффициент который стоит в начале одночлены называют коэффициентом одночлена Давайте Пройдемся по всем напиши рядом с каждым Чему равны у них коэффициенты коэффициент данного одночленов коэффициент данного многочлена на множители нет но если мы здесь напишем числовой множитель 1 ничего не изменится часовой множитель этого многочлена минус 7 а также будет видеться и одночлена 0 числовой коэффициент тоже 0 кроме понятия коэффициент одночлена есть ещё понятие степени одночлена в степень одночлена называют сумму показателей всех переменных которые входят в одночлен например в данном примере минус 6 Б 4 4 степень этого одночлена будет 6 потому что в него входит всего две переменные это b&c степень B4 C2 H4 + 26 Давайте Пройдемся по всем этим парнем членам и почитаем их степень степень первого члена равняется трём там всего две переменные степени первой переменной H D равна степень их сам у нас единиц Да так мы её не пишем когда он степени нет у нас как бы по умолчанию написано единицы Да если переменная есть вот поэтому степень его три Даша Аналогично здесь степень 3 Степень одночлена минус 7 равно нулю Но почему Потому что в принципе если бы у нас были буквы есть хотя бы одна буква была бы тогда степени этого членов равна единице этих букв нет то тогда соответственно у нас степень степень их Разумеется единица А вот а степень многочлена 0 не определено Почему Потому что у нас есть как бы числовой коэффициент 0 который измеряет все остальные переменные и соответственно мы не можем сказать какая же степень у этого одночлена Ну и Давайте потренируемся почитаем А некоторые произведения одночленов Да в принципе может сказать что произведение одночленов она превращается по сути опять же в одночлен вот таким образом нам нужно просто взять и упростить соответственно Когда вы пытаетесь упростить одночлен у вас просто работают те свойства степеней которые мы проходили до этого Ну начнём для начала разберемся с числовым коэффициентом смотрим здесь - 14 -5 -1 -4 -5 получается 20 будет равен 20 дальше смотрим переменной X во второй степени в 3 1 при умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются поэтому получается 6 дальше Y 1 x 3 и 1 5 получается 131 и получается у нас Y 5 вот таким вот образом мы с вами Прости это так на член или взяли произведение нескольких одночленов и получили одночлена стандартного вида числовых коэффициентов начали все переменные только по одному разу И следующий пример здесь одночлен разбудите 3 степени пользуемся свойства степеней а получается у нас - 2 3 получается - 8 а в квадрате x 3 при возведении степени в степень показатели умножаются поэтому получается А в шестой А вот и соответственно bm30 получается 23 опять же получили одночлен стандартного вида перешли к многочлен тоже всё плохо но это просто сумма одночленов А вот например всё что написано здесь это у нас всё многочлены сначала разберёмся с понятия сумма Да это необязательно значит что между одночленами у нас стоит знак плюс только нет не обязательно потому что у нас одночлен может быть сам с отрицательным коэффициентом и поэтому между членами могут стоять и знаки - Поэтому в том что сумма это не значит что только плюс Да может могут быть и минусы следующее из определение многочлена следует Что означает также является многочленом Почему Потому что мы можем взять одночлен ихнему прибавить да Всё у нас получится Это тоже самое что вот но она подходит определение потому что это у нас является основной нет поэтому Всё что нас записано Здесь также является членами число 0 является членом потому что это может быть просто сумма одночленов определение подходит А вот а что называется у него что такое многочлен стандартного вида называется многочлен стандартного вида если он состоит из одночленов все которые являются одночленами стандартного вида и среди этих ответов нет подобных Ну просто на данный вид мы уже проходили это вам понятно что такое нет подобного смотрите два одночлена являются подобными если Они совпадают и если отличаются только числовыми коэффициентами как например здесь вот у нас одночлен A5 и одночлен они у нас отличаются но они отличаются только числовыми коэффициентами Да это 5551 если у нас есть такие подобные одночлены Мы можем взять и упростить выражение давай проверим является ли 3Б а-квадрат ea2 покупка Нет не являются Почему Потому что у них совпадают степени этих множителей отвечаю туда здесь здесь здесь просто а то есть В подобных одночленов должны совпадать полностью множители кроме числового коэффициента и их степени вот поэтому это подобно не является Ну давайте упрощать дальше тут у нас получится 3Б а-квадрат мы просто переписываем здесь A5 - А чтобы была в стандартном виде пишем 4a а вот И здесь тоже записывается в стандартном виде получается 2 а б Таким образом мы получили с вами многочлен стандартного вида Кроме того существует понятие степень многочлена называют максимальную степень одночлена который входит в этот в данном случае Ну давайте степени всех членов посчитаем Да здесь степени будет здесь один поэтому у нас 4 то есть мы посчитали говорят степени всех членов из которых состоит многочлен и взяли наибольшую наибольшую степень одночленов из которых состоит многочлен и будет степенью многочлена может показаться что я здесь говорю что сложно на самом деле всё крайне просто и примитивно но и отвечу на свой вопрос который Иногда у меня возникает когда я был школьником чему подобные одночлены складывается можем они подобное не может забыли Всё крайне просто всё следует из распределительного свойства которые у нас выглядит следующим образом он такой смысле Я думаю все знаете если не знаете про вроде про пятый класс я про него рассказывал ссылочку будет вот здесь вот с помощью этого свойства мы как бы не поможем раскрыть скобки Либо наоборот общий множитель вынести за скобки вот таким образом мы Давайте проделаем с вами то есть вот здесь вот здесь вот и Три плюс два три плюс два можете спокойно сложить Да потому что это два числа вот этим образом вас получается просто 5X Y Ну то есть сначала а потом Я пятёрку перевёл в вперед соответствие Когда у вас такая конструкция даже если вы их вынесете у вас останется здесь Два плюс три вот а 2y трём прибавить нельзя да потому что вы не знаете что такое Почему нравится Поэтому никак по-другому Вот эту запись вы не Запишите Вот соответственно почему это так работает да возможно вас такого вопроса никогда не было но кого-то было это полезно потому что я свои Школьные годы задавался этим вопросом и не особо приврал вообще что происходит вот всё просто из этого так ну и для тренировки приведем к стандартному виду ещё один уточнит для начала найдём в этом многочлени соответственно подобные одночлены 2 а квадрат Икс смотрим есть ещё такой же подобные одночлены Да есть вот он вот один вот второй складываем их коэффициенты 51 52 - 1 поэтому 2 - 12 соответственно будет просто один потом переписываем как а квадрат Икс коэффициент этого одночлена один можем это записать в стандартном виде записывать не надо единицу А вот дальше смотрим - а если ещё у нас такой да есть просто а xq1 чертой у нас здесь covid-19 один предложение они прут на нас Штольца И поэтому это одночлен записывать не будем Конечно вы могли записать вас копицентр а0 Но зачем нам этого делать нужно вот мы просто потратим как место и тебя зовут Даша одночлен минус А в 4 степени ещё у нас есть 2a 4 степени подчеркни двумя чертами -12 будет один поэтому здесь у нас получится ещё А 4 Таким образом мы упростили вот этот большой член и получили вот это всё дальше мы никак не можем конечно может принести Но нам нужно получить именно многочлен на многочлен это сумма одночленов Да они произведение одночленов вот и всё Поэтому больше упрощать не надо сотни разных ещё здесь очень просто мы сейчас рассмотрим на примере А вот вас есть замуж Лена 5 икс квадрат минус 9 минус 3 икс квадрат минус 6 плюс 8 например нам нужно взять сумму этих членов что нам нужно сделать вместо и поставить плюс а соответствует каждая многочлен взять в скупке у нас уже получился почти что многочлен Нам нужно только привести подобные одночлены и сделать его многочлена стандартного вида если у вас перед скобками стоит плюс как здесь просто сколько можно отпустить 5 икс квадрат минус 3 квадрат подобные получается 2 икс квадрат минус 7 Икс - 6 x получается просто - 9 + 8 получается news1 Таким образом мы с вами сделали сумму многочленов Аналогично разберёмся с разностью двух многочленов это какие-то многочлена нам нужно взять их правда что делаем вместо и стирает здесь пишет - и заберём наши с кофте вот тут ситуация чуть посложнее но не сильно первым скобочку так как перед ней как бы она стоит плюс здесь ничего не стоит по умолчанию перед скобкой это вот здесь на стоит - то есть это значит что теперь к первому члену Нам нужно будет прибавить а каждый одночлен из которого состоит 2 многочлен взяв его с противоположным знаком Ну то есть по сути вы берёте и у каждого отлично меняете знак Для начала я всё расскажу подробно а потом вы сможете Этот шаг пропускать когда его очень хорошо освоить Ну соответственно первым начинания просто переписываю x - 7 x - он становится с плюсом становится с плюсом всё всё что мы выполнили теперь нам нужно просто привести многочлен к стандартному виду ищем подобные слагаемые Икс куб минус 5 икс квадрат больше такого выражения нет поэтому его переписывать минус x + 7 x 2 6x плюс 8 плюс один раз будет 9 больше никаких слагаемых у нас не осталось Вот соответственно Так у нас берётся разность многочленов Так мы сами разобрали разность и сумму многочленов дальше нам нужно научиться причины перемножать но до этого научиться умножать одночлен на многочлен А вот теперь тоже всё просто Чтобы умножить одночлен на многочлен нужно этот одночлен X каждое слагаемое нашего многочлена то есть - 3 а квадрат Мы сначала умножаем на четыре а получается у нас - 12 а пятый потом - 3 а квадрат умножаем на минус а получается у нас плюс 3 А в кубе минус 3 а квадрат минус 3 а квадрат соответственно таким образом одночлен умножается на многочлен то есть мы умножаем на каждый член или на каждое слагаемое нашего многочлена на учимся умножать одночлен на многочлен это можно я покажу но потом выберите какой Вам удобней первый способ такой Посмотрите вы берёте любой из этих членов Выбирайте сами как хотите и заменяйте его на какую-то букву я выберу вот этот а потом поймете Почему не скажу пускай вот этот многочлен Я обозначу за букву из большое И тогда вот это наша произведение мы сможем записать как плюс б умноженное на икс большое Теперь я могу раскрыть скобки Да одночлен на многочлен умножать умеет и у нас получится А умноженное на Икс плюс б Икс Вот это большое Всё теперь вместо X А я тут пишу обратно нашего Привет что у меня получается у меня получается а x + y z да то есть вот это из Большого я и брата поставил наш этот многочлен плюс б умноженное на Икс плюс игрек Плюс То есть Теперь у нас есть произведение одночлена на многочлен произведение одночлена и соответственно всё это делать умею и поэтому осталось дальше дело техники соответственно получается здесь а X + A игрек плюс а плюс б Икс плюс б игрек плюс б соответственно таким вот образом мы сами перемножить два наших многочлена второй способ заключается в следующем для этого мы должны каждое слагаемое 1 многочлена и X каждое слагаемое другого члена то есть вот здесь вот должны X X X - X - это же самое должно x x x минус игрек должны X - если будут день вас ещё был Какое слагаемое мы его также должны были x x / - и так далее получится получится начиная с сада а Икс минус игрек минус закончили потом начинались бы да плюс б Икс минус игрек минус провод соответственно А можно было сделать так разложение многочленов на множители сразу скажу кто разложение многочлена на множители это очень важная тема это по сути вся основа седьмого класса и ваш большой фундамент каркас на будущее если бы хорошо остановиться нашли этого значит уметь решать уравнения умеете решать неравенства и много ещё чего понимаете поэтому настойчиво рекомендую очень хорошо разобраться с этой темой максимально всё понять и порешать как можно больше примеров Тогда возможно вы избежите некоторых проблем в будущем ну и соответственно переходим к конкретной Теме Тема У нас называется вынесение общего множителя за скобки Смотрите по сути вынесение общего множителя за скобки это процедура обратная того что многочлен умножение одночленов то есть среди слагаемых многочлена Вы должны выделить некоторые общие множители Да которые присутствуют в каждом отношении и вынести его за скобки с помощью распределительного свойства распределительное свойство Вот она она говорит Ну и давайте это делает среди числовых коэффициентов у шестёрки у 15 есть общий множитель 3 Да поэтому как минимум три Мы можем вместе Да ничего больше чем три мы не можем вместе потому что тут множитель только два ещё остается 15 на 210 записываем Три дальше смотрим первого слагаемого есть множители а во втором есть нету поэтому А мы вместе не можем ещё у первого слагаемого есть множитель б/у 2 есть слагаемое умножить б есть здесь даже б квадрат квадрат вместе не можем потому что здесь только Победа поэтому можем вместе только 3Б вот 3Б написали и теперь пишет что у нас осталось А здесь так как трубку оп-2 носили а квадрат остался б мы вынесли поэтому бы не пишем тут 15Б из 15 вытащить трубу остался поэтому мы разложили на множители а квадрат плюс 5 б сразу очень важно вот здесь вот почему Давайте предположим что вы не поставили чтобы у нас тогда сами было здесь вот как будто остался знак умножение что есть у вас нету caucedo тогда вот это выражение просто равняется 6 а Квадрат Б а вместо 15 буквы написали 5Б разумеется это неправильно если это выражение то же самое а если не совпадает Ну это Мы записали какую-то чушь Вот соответственно Если есть то Всё правильно да вы раскрываете это с помощью распределительного свойства умножайте одночлен на многочлен и всё у вас получается тоже самое ну и соответственно то что мы сейчас проделали называется вынесение общего множителя за скобки но и теперь давай ещё потренируемся выносить общий множитель за скобки смотрите вот вас есть такой многочлен минус 15 икс квадрат минус 30 икс квадрат плюс у нас есть числовой коэффициент 15 до 15:15 поэтому можем вынести число 15 при этом мы можем сами выбрать 12 15 минут 15 мне кажется можно здесь видеть - 15 того чтобы тренироваться А так принципиального различия выносить 15 минусом или без минусов нет А я просто вынесу с минусом того чтобы вы заодно потренировать знаю как это делается пройдёмся по периметру А в первом икс квадрат икс квадрат да и встретить уже не можем потому что только их квадрат То есть другими словами вам нужно вынести максимально возможную степень переменной которая присутствует во всех одночлен пишут Дашь или тут в последнем у нас Максимальная степень ya1 Да больше мы ничего не можем вместе поэтому пишем дальше открываем скобочки и смотрим Что у нас остался - 15 - 15 x 2 когда получите -3 Дальше смотри у нас был квадрат значит осталось тут или квадрат было мы вынесли игры значит остался Ну вот - значит у нас осталось - 3 + сначала написал напишу - A -3 если вот и всё вот это вот таким образом мы с вами этот многочлен разбили на два множителя минус 15 икс квадрат игрек квадрат Плюс Два икс минус 3 икс квадрат что есть у вас сейчас есть какое-то недопонимание как это всё получилось очень рекомендую взять а ты можешь сейчас этот одночлен на многочлен и убедиться что у вас получилось тоже самое Разбираем следующие примеры 3 а квадрат умножить на б минус + 7 х B -2 C P соответственно нужно разложить на множители что у нас Какой общий множитель общий множитель у нас здесь вот этот скобочка B -2 C которую мы Просто берем и выносим за скобки получается у нас B -2 C обязательно записывая в скобках Ну и дальше что у нас осталось у нас осталось 3 а квадрат + 7 таким вот образом мы разбили Вот это выражение на множители Вот теперь Если вы захотите вы можете Вот эту кнопку B -2 C X каждое слагаемое вот этого многочлена в скобках у вас получится то же самое да то есть нет абсолютно разницы что мы вносим Там просто 3 а или целую потому что целое скобка это такой же просто один множитель но и почти такое же задание Единственное что здесь у нас общие множители нет Да у нас Икс минус игрек игрек минус икс в таком случае вам нужно просто из какой-то скобки вместе минус единицу Ну давайте вынесем минус единицу из 2 скобки тут у нас так и остаётся А их - Даша сейчас мы будем выносить минус единицу Да поэтому я просто Записываю сразу - б тут у меня Y с минусом остался Да а соответственно их стало с плюсом Ну соответственно их - это тоже самое что - Эрик плюс икс поэтому Икс минус игрек минус Что за скобку у меня здесь остаётся А минус б таким образом и данное выражение Мы тоже разбили на множители Вот ещё раз хочу сказать вот здесь вот скобки очень важные не забывайте ставить Потому что если эти скобки не поставите у вас смысл и значение этого выражения сильно поменяют метод группировки группировки это тоже один из способов разложения на множители и он гораздо более сложный чем вынесение общего множителя за скобки смотрите посмотрим на этот свет здесь мы уже не можем воспользоваться методом вынесение общего множителя за скобки потому что например выражение одночлен X и B Y Они просто не содержат между собой поэтому выносит то в принципе Тут ничего мы можем сделать следующее мы сгруппируйте слагаемые таким образом что из каждой пары слагаемых мы сможем вынести общий множитель Давайте попробуем это сделать у нас получится Говорите А вот если мы сгруппируй таким образом Да ну то есть по сути скобки нас чему не обязывает нас плюс из первой группы мы можем вынести X Давайте вносим у нас получается Здесь X а + б остаётся в скобочках из второй пары слагаемых мы можем вынести или получается плюс игрек в скобочках остаётся А + Б а вот таким образом что мы теперь видим теперь мы видим что у нас в этом выражении есть общий множитель а плюс б его мы тоже можем вынести за скобки уже с помощью методов вынесения общего множителя за скобки получается Таким образом мы с вами разложили Вот это выражение на множители с помощью метода группировки то есть методы группировки предполагает собой следующие мы определённым образом первым наши слагаемые выносят из них общие множители получаем какую-то выражение и потом в этом выражении получаем тоже пару общих множителей который выносится за скобки и таким образом все наши выражение разбивается на множество рассмотрим следующий пример уже посложнее здесь у нас 2 икс квадрат игрек Z минус 15 игрек Z минус 3 икс квадрат плюс 10 икс игрек квадрат Посмотрите вот так вот уже вместе ничего не получится да нужно каким-то образом переставлять А например если смотреть на числовые множества Это мой взгляд Удобнее всего группировать 2 с десяткой A15 стройка Да тут нас двойка выяснится пятёрка останется тут настройку вместе И тут пятерка останется Давайте попробуем сначала запишу А так И как мы будем группировать сейчас я ничего такого не сделал просто переписал слагаемое в определённом порядке Теперь давайте будем смотреть что мы можем вывести из первых двух множителей во-первых можно вывести два потом x&y что у нас останется здесь останется xz1 достанется 5y теперь вторые два слагаемых что мы можем вместе как минимум числовой можем вынести - тройку что внутри скобка остались плюсы их вместе не можем можем вывести Зато Z Ну соответственно тоже выносят трубку z&y вместе немножко пишем минус 3Z здесь у нас остаётся x z здесь создаётся 5y так смотрит равны получившиеся множители Да равные А значит всё хорошо теперь этот общий множитель x z + 5 y x за скобки и остаётся разность 2x y - 3 Z победно таким вот образом мы с вами разбили вот этот многочлен на множители Так ну и теперь самый сложный пример на метод группировки вот у нас здесь есть такой многочлен нужно разбить его на множители сразу скажу что это сделать сложно да до этого очень трудно догадаться самому чтобы видеть что такие многочлены можно разложить с помощью метода группировки нужно проделать определённую работу на решать определённый набор задач и после этого вы начнёте видеть что и даже что-то такое можно разложить на множители с помощью метода группировки Казалось бы да на первых чём тут сложность в том что обычно в методе группировки у нас как минимум 4 слагаемых чтобы мы смогли сгруппировать два слагаемых + 2 слагаемых что-то общее вынести и потом там что-то общее появится Вот здесь этого не появляется поэтому мы сами должны организовать как минимум 4 слагаемых как это можно сделать Ну самый направляющийся здесь позор вот разделить как N + 2 N и тогда у нас вот с этим квадрат появится слагаемое н из которого мы будем выносить n-as этой двойки появится 2n из которой мы будем выносить двойку давайте это и запишем так-то есть сейчас с точки зрения математики я вообще ничего не сделал Я просто записал 3М как сумму n2n это абсолютно законно операция ничего нет а теперь я уже буду группировать из этой пары слагаемых я вытащу н из этой пары слагаемых я вытащу двойку вот тогда у меня получится и посмотрите какие чудеса здесь у нас появилась н плюс один тут появилась н плюс один аес соответственно н плюс один общий множитель за скобки получается н плюс один умноженное на N + 2 таким вот образом с помощью метода группировки мы Казалось бы такой многочлен которые в принципе даже не раскладывается окончание тренировки разложили на множители вот запомните Этот способ не очень-то трудоёмкий тут главное догадаться всего мы тут обошлись можно сказать за три строки Если вы досмотрели видео до этого момента это значит видеовам полезное нравится обязательно поставьте видео на паузу лайк комментарий и смотрите дальше формулы сокращённого умножения по сути формул сокращённого умножения ничего сложного нет Эти формулы нам просто показывает Он преданный форму нам показывает как перемножить а плюс б на а плюс б просто такие случаи умножения возникают настолько часто Что гораздо выгоднее один раз запомнить формулы Используйте о чем каждый раз перемножать два многочлена но на всякий случай сейчас перемножить главного члена и увидимся что эти формулы работают и ничего сложного нет смотрите что здесь написано здесь написано а плюс б в квадрате определению Том и а + б умножаем на а плюс б давайте это запишем и переможем Ну и смотрите по правилам умножение многочленов мы с вами должны каждое слагаемое 1 многочленов X каждое слагаемое 2 многочлена сделать вот так Ну соответственно Давайте запишем это произведение то есть нас получилось а квадрат + а + а + б квадрат Ну понятное дело что А это тоже самое чтобы а потому что умножение у нас работает переместительное свойства и поэтому всё это получается а квадрат + 2 а б плюс б квадрат ну и соответственно тоже самое У нас написано здесь а вторую формулу я перемножать не буду потому что у нас здесь всё будет тоже самое Единственное что вот эти два слагаемых получится с минусом поэтому здесь получится - 2 AB 1 Формула у нас называется квадрат суммы автора и квадрат разности Почему квадрат суммы потому что По правилу порядка операции Мы сначала должны выполнить то что в скобках да Сначала взять сумму а потом от этой суммы взять квадрата А это соответственно является квадрат разности Ну и для того чтобы это лучше закрепить с помощью данных формул решил пару заданий смотреть у нас 3 x + 2 всё возводится в квадрат А в данном случае у меня 3X а играет роль а соответственно двойка играет роль в смотрим формулу у нас идёт а квадрат в нашем случае а это 3X поэтому всё 3X мы должны возвести в квадрат дальше у нас идёт 2оп двойку вместо А мы пишем 3X а вместо б мы пишем нашу двойку вот ну идёт б квадрат вместо был настройка поэтому пишем два в квадрате Ну и теперь просто считай 3 x всё в квадрате это у нас будет 9 x квадрат здесь переночуем числа 2 на 3 на 2 получается у нас 12 и ещё X и здесь 2 в квадрате это просто четыре аналогичного действия с квадратом разности здесь у нас 5 А квадрат в роли А Ответы -4 б куб в роли в переписываем сначала у нас должно быть а квадрат Поэтому пишет 5 А квадрат и всё в квадрате минус 2 здесь у нас а да поэтому пишем 5 А квадрат и здесь у нас б умножаем на соответствие 4bq ну и плюс ВК то есть в нашем случае 4Б куб и всё это в квадрате Ну и теперь нам осталось только всё это посчитать и упростить 5 А в квадрате возводим в квадрат получается 25 а в четвёртой - 2 на 5 на 4 получается у нас 20 а Квадрат Б куб e4b куб в квадрате 4 в квадрате это 16 Б 3 А в квадрате это у нас в шестой Да потому что при возведении степени в степень показатели перемножать он соответственно таким образом с помощью этих двух форму Мы возвели в квадрат эти два выражения Ну и рассмотрим еще один такой случай у нас здесь а квадрат а внутри скобки 2 - а что же здесь делать ну во-первых попробуйте решить сами Если получится очень хорошо Если не получится то посмотрите разбор смотрите мы уже сейчас умеем выносить общий множитель за скобки поэтому выносим за скобки общий множитель Минус один что у нас получится у нас получится следующее - один я его вот так вот вынесу и остаётся у нас 5 А + 4 и соответственно всё это у нас идёт в квадрате да - 1 я пока за квадрат не вынес я как бы внутри нашей скобки под квадратом разложил Вот это выражение на множители теперь пользуюсь свойством возведение произведения в степень что у нас получается у нас получается минус 1 в квадрате умноженное на 5 А + 4 в квадрате вот Ну понятное дело что -1 в квадрате это просто один я остался у нас просто 5 плюс 4 в квадрате Каким образом у нас сами получается что вот это - единица вообще на результат никак не повлияет и остаётся у нас 5 А в квадрате возводим по формуле квадрата суммы + 2 умноженное на 5 А умноженное на 4 и соответственно плюс 4 в квадрате Ну и осталась это всё простить получается у нас 25 а квадрат + 20 а и плюс 16 Вот соответственно таким образом работать от этой формулой если у вас а внутри все минусы да То есть фактически вы все минусы просто выкидывайте вместо них пишем плюсы но это только в случае если у вас вот скобочках в квадрате да если квадратный нет то так сделать нельзя только если квадрат в минусах единица превращу единицу следующая форма у нас называется разность квадратов это вот это её часть А вот и соответственно я вам рекомендую её саму проверить то есть перемножить вот эти два множителя и получить вот эту раз на самом деле тут счёт Ачит надо а она отдаст а квадрат Вот это б на а ABS плюсом А вот это соответственно А на минус б даст нам об с минусом Вот они Взаимно уничтожаются И ещё б квадрат нас останется Ну и Давайте с помощью этой формы потренируемся выполнять задание 1 нам нужно вычислить вот такое произведение ну смотрите У нас здесь левая часть этой формулой Единственное что можете для местами поменяны вот а с другой стороны всё тоже самое в роли А у нас здесь играет 3X в роли б у нас здесь 2y Ну вот ну и соответственно смотрим Что у нас получается у нас получается а квадрат то есть должно получиться 3X всё в квадрате минус 2 игрек всё в квадрате Ну и считаем получается у нас 9 икс квадрат минус 4 игрек квадрат вот и всё теперь этот формула мы будем использовать в другую сторону а то есть вот здесь вас есть некоторые многочлен нам нужно разложить его на множители Давайте сформируем здесь полный квадрат и соответственно здесь Здесь совсем Всё просто до 36 м в квадрате это просто у нас 6 м и всё в квадрате пишут 6 м и всё в квадрате это у нас как раз 36 м квадрат здесь вот уже по сложнее потому что у нас здесь идёт дробь с целой частью А вот Давайте представим её в виде неправильной как это сделал это у нас будет А2 на 9 + 7 до 2 на 9 это у нас 18 18 плюс 725 то есть Таким образом у нас здесь записано 25 девятых ан-8 что мы можем вместо него написать Мы можем написать вместо него как пять третьих N соответственно 4 всё в квадрате при возведении вот этого произведения квадрат 53 возведён в квадрат получим 29 и 4 показатели перемножить что получится как раз N8 Да поэтому пишем здесь 5 Tracker НВ 4 и совместно всё в квадрате и теперь применяем вот эту нашу формулу но уже не слева направо а справа налево Ну и здесь всё просто получится 6 м плюс 5 3 4 x 6 м 5 - 5 третьих от М4 Вот соответственно таким вот образом работает формула разность квадратов ещё тут стоит сказать что вот этими формами Вы можете пользоваться как слева направо чтобы получить произведение так и соответственно справа налево чтобы из вашего многочлена получить произведение следующие две Формулы 1 называется разность кубов 2 называется сумма кубов А вот ну то есть здесь у нас разность кубов представляется в виде двух таких произведений суммы кубов представляется в виде двух таких произведений тоже вам рекомендую взять вот эти две скобки перемножить и посмотреть что действительно получается вот такое в первом и во втором случае вот ну а мы сейчас это делать не будем мы с вами только воспользуемся этим и формулами для того чтобы вот такое выражение представить в виде множителей ну для начала покажем что каждое слагаемое является полным кубом 27 это 33 поэтому мы записать это как 3 а квадрат и всё в 3 степени если мы захотим третью степень возвести как раз получится 27 тутов 6 здесь у нас получается 2 Б И всё это в кубе А вот и теперь это у нас формула суммы кубов и теперь получается что роль А у нас здесь играет 3 а квадрат роль играет 2Б записываем сначала у нас идёт скобка из двух слагаемых Там просто а + бета и записываем 3 а квадрат + 2 B и здесь у нас смотрите вот эта формула она очень похожа на вот этот формула она ещё называется неполный квадрат разности А вот это соответственно неполный квадрат суммы да то есть вот эта часть у нас а квадрат минус А Б плюс б квадрат А это часть нас а квадрат минус 2 Б плюс б квадрат да то есть единственное Чем отличается тут коэффициент есть два а вот коэффициент нету 2 дадут Как там только Минус один вот поэтому ещё раз называется Nippon от разности неполный квадрат суммы Ну и записывай тут у нас должно быть квадрат то есть 3 а квадрат всё в квадрате получается у нас 9 А в четвёртой Но я сразу звезду - А 3 А квадрат умноженное на 2 Б То есть получается 6 а Квадрат Б Ну и здесь у нас был квадрат то есть 2Б мы должны возвести всё получится 4 Б квадрат вот таким вот образом мы с вами Вот это выражение разбили на множители с помощью формулы суммы кубов выполним Ещё одно задание на формулу разности кубов досмотрите вот в этом произведении мы должны сами увидеть эту формулу что у нас получается у нас здесь 2 x -1 чтобы это выполнял если вот эту нас А минус б то тогда у нас должно быть здесь 2x в квадрате даёт 4 икс квадрат дальше 2 x умноженное на единицу на двоих на единицу есть двоих из ответ единица в квадрате Ну она же просто единица да то есть Таким образом мы вот это можем свернуть как 2x всё в кубе минус единица и она вся тоже в Кубе Но это получается у нас 8 Икс куб минус единица то есть вот если вы в каком-то произведение увидели эту формулу вместо того чтобы перемножать и соответственно у вас тут будет потом 6 членов возникнет Вы можете сразу записать в виде формулы и написать ответ Итак мы с вами узнали формулы сокращённого умножения Теперь мы продолжим учиться раскладывать многочлен на множители уже используя эти самые формулы сокращённого умножения Ну начнём с первого примера 4 x 4 - 12 икс квадрат игрек плюс 9 игрек квадрат сразу смотрим Что напоминает эта формула это формула по своей структуре напоминает квадрат разности Давайте попробуем этот самый квадрат сразу сформировать 4x 4PDA на самом деле Давайте начнём Вот лучше 9 игрек квадрат сразу очевидно что это 3y и всё в квадрате Так ну плюс плюс 3 игрек всё в квадрате А вот теперь Смотрим Да вот здесь у нас есть удвоенное произведение есть 3y И что здесь ещё осталось и остаётся здесь ещё двоих квадрата значит чтобы это было полным квадратом вот эта штука должна быть 2x квадрат в квадрате действительно оно и есть напишем тут 2x квадрат всё в квадрате Ну и теперь это очень просто закрывается по вот этой вот формуле Да таким образом это у нас с вами получается 2 икс квадрат минус Я вот здесь вот ошибся знакомлюсь написал тут конечно же - - 3y вот и всё это в квадрате Посмотрите ещё раз как я рассуждал я увидел сначала похожую структуру потом я в этой структуре увидел 9 или квадрат так как он самый простой Да потому что 9 это 3 в квадрате игрек в квадрате это Y соответственно в квадрате поэтому я сказал что это у меня будет 3 игрек всё в квадрате потом я посмотрел на нашу удвоенное произведение двойка она у нас есть по формуле 3y я её как бы выделил вот и что у нас тут остался и посмотрел что осталось у меня осталось 2 икс в квадрате вот чтобы здесь получилось 12 икс квадрат игрек Ну вот я увидел это двоих в квадрате Значит у меня первое слагаемое в качестве А должно быть 2 икс квадрате 4 x 4 есть Два икс квадрате да есть значит это у нас полная формула снимут образом и разложил вот это многочлен на множители дальше следующий пример 2 x -1 в квадрате -25 возможным покупательница желание возвести Вот это выражение в квадрат Нет не надо здесь легко увидеть разность квадрата потому что 25 это у нас есть нечто иное как 5 в квадрате Давай сначала перепишем на всякий случай я переписал для того чтобы вот эта формула стало совсем очевидно да то есть одно выражение в квадрате - другое выражение в квадрате А теперь раскладываем по форме получается у нас 2 x -1 + 5 и соответственно Два икс минус 1 минус 5 равняется Ну и каждый уступку можно простить нас остаётся 2 x А + 4 здесь у нас остаётся 2 x -6 Мы ещё здесь можем упростить А из каждой скобочки мы можем вывести по двойки То есть всего у нас вынесет в четыре получится у нас 4 здесь останется X + 2 Здесь тоже останется X -3 таким вот образом с помощью формулы разности квадратов мы разложили Вот это выражение Посмотри на это выражение она уже совсем напоминает вот эту формулу разности квадратов тоже ей воспользуемся да Опять же квадрат ничего спать не надо сразу Пользуясь этой формулой получается у нас 1 скобочка A + 3 + B -2 а соответственно 2 скобочка A + 3 - безответственно пишу B -2 чтобы не ошибиться при раскрытии скобок с минусом Да здесь у нас Что получится если получится А + B 3 -2 1 поэтому получается А + B + 1 А вот а здесь у нас получается А + 3 - в соответствии + 2 то есть получится а + в 3 + 2 получается 5 вот таким вот образом мы с вами это выражение разложили на множители разложено следующее выражение на множители с помощью формулы суммы кубов да Опять же здесь ничего не нужно вот этот возводить Мы у нас очень просто похожа на формула 216 это у нас есть не что иное как 6 в кубе поэтому Хорошо бы если у вас вы в седьмом классе у вас где-то есть таблица квадратов таблица кубов потому что она очень выручает а потому что не каждый куб он ответит вот ну и Давайте запишем Сначала это как разложим это по формуле суммы кубов роль А у нас здесь играет м -4 б у нас играет 6 что у нас получится получится следующее - 4 + 6 и здесь у нас тема минус 4 в квадрате минус А минус 4 х 6 и + 6 в квадрате Ну и дальше просто упрощаем здесь насколько получится М -4 + 6 м + 2 здесь м -4 придётся возводить в квадрат получит у нас по формуле до квадрата м квадрат минус 2 м на 4 и соответственно + 16 здесь у нас на 6 умножается - 6 м - 6 - 4 получается + 24 6 в квадрате это будет 36 не просто переписываемся всем квадратов больше нет поэтому м-квадрат Пишем с буквой М У нас есть два М4 То есть это - 8 м - 6 м Итого получается у нас - 14 м провод 16 + 24 + 36 это 4076 до + 76 Ну вот таким вот образом мы с вами разбили Вот это выражение на множители дали возложен вот такое выражение на множители с помощью формул сокращённого умножения смотрите мы это выражение можем начать рассказывать двумя способами можем это сначала представить как разность квадратов до представить как икс в кубе в квадрате минус А в кубе в квадрате А вот либо можем начать его рассказывать как разность двух кубов Давайте попробуем таким и другим способом и посмотрим что у нас получится первое способом изначально применим формулу разности кубов совместно разность кубов сформировано применяем эту форму получаем теперь на вот эту формулу переписываем в виде разности квадратов а вот эту часть просто упрощает а ну то есть тут ничего такого не сделал всё просто сделал По формулам А вот такой ответ нас получился Давайте теперь сначала примерим разность квадратов а потом разность кубов если это ещё получится представляем наше выражение как их в кубе в квадрате минус А в кубе Всё в квадрате разность квадратов есть применяем эту формулу получаем Ну и теперь у нас получился и разность кубов и сумма кубов каждому из этих множителей применяются ответ разность кубов и сумма кубов получаем Да но сначала применяем разность кубов сюда Да разность кубов применение Теперь сюда применяем сумму кубов всё получилось теперь заметил интересную вещь если мы сравним наши два ответа В первом случае у нас получился Вот это во втором случае получилось вот это и Что удивительно ответы отличается то ли мы что-то сделали неправильно дали разные решения дают нам разные ответы по математике такого быть не может А если вы всё делали правильно а мы вроде всё сделали правильно то и ответ у нас должны быть одинаковый Давайте посмотрим есть у нас вообще общие множители на общие множители есть например у нас здесь есть x-minus а и вот он их - а есть nextplus а вот она их плюс а соответственно вот эта штука И вот это у нас различаются Если мы с вами всё сделали правильно А мы всё сделали правильно то единственный вариант который остается это значит что произведение вот этих двух множителей получится вот этот мощный Ну как из вот этого многочлена получить вот два таких Можно ли совсем непонятно об этом мы поговорим чуть позже сейчас того чтобы сам успокоится что мы всё правильно сделали Вы можете взять а произведение двух вот этих множителей и убедиться что мы получим А вот такой многочлен Ну и последний пример из тема разложение на множители с помощью формул сокращённого умножения это мы разложим вот такой вот трёхчлен на соответственно множители да И для этого мы будем использовать формулу квадрата суммы на вот причём мы это недавно делали с помощью метода группировки сейчас будем делать с помощью формул сокращённого умножения будет чуть сложнее но интереснее это может сказать такое задание со звёздочкой Если вы прямо математика не очень интересуюсь можете это разбор этого задания пропустить А вот посмотрите что мы будем делать мы с вами будем выделить полный квадрат квадрат у нас уже есть дальше у нас есть три это до 3М тоже должны обязательно входить в наш полный квадрат потому что куда мы иначе это денег да Что это значит Как мы можем это 3n расписать мы можем его расписать следующим образом как 2 x полтора Если мы с вами посмотрим на нашу форму то получится что вот это Двойка это у нас двойка из формулы n это нам дал в качестве множества n квадрат а полтора Значит нам в да то есть B равняется полтора Давайте теперь это запишет получается у нас один квадрат Плюс Два икс на полтора умноженное на N + 1,5 в квадрате вот Ну разумеется мы не можем просто так прибавить полтора в квадрате Мы ещё должны вычесть полтора в квадрате вот ну и сама двое Тут есть всё замечательно Теперь что делаем вот это вот выражение сворачиваем по формуле квадрата сумма получится у нас плюс полтора в квадрате всё замечательно смотрим Что осталось осталось у нас - полтора в квадрате плюс 2 минус полтора в квадрате это будет 2,25 Вот поэтому -2,25 + 2 получается у нас 2,25 + 2 останется - 0,25 получаем а что такое 0,25 это есть не что иное как 0,5 в квадрате вот такой примерно сами уже решали это можно разложить с помощью разности квадрата так и сделаем ну здесь у нас получится N + 2 а здесь N + 1 Таким образом мы с вами Вот это выражение с помощью а представление в виде полного квадрата представили в виде двух множителей N + 2 N + 1 Понятное дело что мы до этого это уже сделали Ну просто вот есть ещё такой способ Разумеется Они каждый квадратный трёхчлен можно разложить А с помощью такого метода здесь Нам очень повезло что вот этот вот остатки который остался у нас был полным квадратом Елизавета Нет не с каждого числа потом мы сможем взять Вот этот квадратный корень Ну и самая сложная тема про разложение на множители разложение на множители применяя различные методы То есть у нас сейчас есть метод вынесение общего множителя метод группировки и использование формулы сокращённого умножения то есть применяя комбинацию этих методов мы можем разложить на множители почти любое выражение последнем случае почти любое выражение из учебника с этим заданием Ну и смотрим на наш первый пример 36 оф 6 Б 3 от 4 до 4 64 а-квадрат B5 смотреть Что можно сделать Да непохоже что формула какая подходит но зато видно что как минимум а можно вынести А в какой-то степени да в какой-то степени и так далее и число наверное тоже какое-то можно вывести 36.464914 попробуем вывезти как минимум четвёрку числовой множитель Смотрим А можем вместе в квадрате B можем вывести bq смотрим Что осталось здесь у нас остаётся 9 А в четвёртой бы не осталось - 9684 24А осталось в квадрате соответственно в осталась просто bwv 4 b 3 -2 64 64 / 4 получается у нас 16 а квадрат полностью ушёл из B5 2003 получился во второй Ну вот теперь уже почти Ну то есть на множители мы рассмотрели смотрим Можем ли мы ещё разложить вот эту структуру то что нам напоминает это напоминает нам квадрат разности вот что здесь будет да в качестве а у нас будет 3 а квадрат в качестве б/у нас тут будет 4Б проверяем Да если тут 4 на 3 это как раз 12 дадут 24 Как раз удвоенное произведение в результате мы получим а Квадрат Б куб здесь у нас будет 3 а квадрат минус 4 Б вот ну на всякий случай можете проверить А всё в квадрате Вот это у нас а уже конечно разложение на множители досмотрите есть у нас здесь стоит Квадрат это абсолютно неважно то есть мы на множители разложили потому что Квадрат это тоже самое что вот эта скобка сама на себя а то есть у вас есть квадрата или куба это значит Вы нам можете разложили так следующие примеры ну здесь сразу можно попытаться попробовать А квадрат минус б квадрат разложить по формуле разности квадратов А вот тут у нас был квадрат а б а можно вынести общий множитель наблюдается нам ничего не надо потому что как минимум тут останется множители B а здесь на множители B нет и дальше вообще ничего не понятно дело Но зато что здесь этот На что нужно обратить внимание чтобы понять что делать Да вот здесь у нас есть два а B2B очень знакомая конструкция нет ли у нас тут а квадрат плюс б квадрат есть я квадрат-б квадрат значит давайте Вот это тем более что она не в таком очевидном виде написано Давайте попробуем это разложить да то есть это раскладывается совсем просто это у нас а плюс б в квадрате что осталось нас - квадрат вот мы теперь уже Я думаю стало всем очевидно это есть у нас разность квадратов до роль у нас играет с роль А нас играет а плюс б то есть Итого получается А + в минус C и соответственно a + b + c вот такой вот выражение разложили на множители так Ну давайте вернемся к нашему старому знакомому это там примере когда Где мои x 6 - 6 делали и получили два разных ответа посмотрим как вот такое выражение всё-таки можно разложить на множители для этого нужно сделать некоторые хитрый приём Да смотрите у нас здесь написано X 4 x квадрат а квадрат плюс 4 это очень похожа на квадрат суммы Вот соответственно чтобы это стало полным квадратом суммы нам здесь не хватает только двойки Как нам эту двойку получить Давайте прибавим икс квадрат а квадрат и вычесть его выражение ничего не изменится но мы может сможем разложить на множители получится у нас да икс в четвертой Плюс Два икс квадрат а квадрат + A 4 - x квадрат а-квадрат да ещё Рассмотрите если сейчас из 2x квадрат квадрат я Вы что икс квадрат квадрат я получу то же самое то есть я ничего не изменил всё тоже самое но теперь вот эта штука у меня свернётся с помощью квадрата суммы то есть в качестве а у меня будет икс квадрат в качестве б будет а квадрат да тогда что получится тогда получится вот икс квадрат плюс а квадрат и всё это в квадрате и соответственно минус икс квадрат а квадрат а соответственно Вот это я могу написать как X всё в квадрате и тогда у меня вылезает формула разности квадратов и теперь разности квадратов у меня получается два множителя Да соответственно икс квадрат плюс а квадрат минус X A и X квадрат плюс а квадрат плюс икс А вот таким вот образом мы с вами поняли да что тогда мы с вами посчитали Всё верно Известно из вот такого многочлена можно было получить А вот такой произведение Да Единственное что нас там порядок слагаемых отличался но в этом нет никакой Большой принципиальной разницы так ну последнем примеры из темы разложения на множители Посмотрите Вы наверное уже если посмотрели решение предыдущему примеру уже догадались что сделал да у нас здесь их 44 Y 4 похожа на формула квадрата суммы или квадрата разности вот Ну давайте сюда что-нибудь добавим чтобы у нас получился до полного квадрата Да тут у нас пускай будет X в четвёртой Да соответствие нам нужно добавить Два икс квадрат умноженное на 2 игрек квадрат плюс 4 игрек 4 и соответственно чтобы ничего не изменилось также надо вот это выражение вычесть 5 минус 4 икс квадрат игрек квадрат получаем Вот это всё сворачивает у нас по формуле квадрата суммы то здесь получается икс квадрат плюс 2 игрек квадрат всё в квадрате А здесь у нас опять же можно представить Это как полный квадрат то есть минус 2 икс игрек всё в квадрате и опять применяем формулу разности квадратов Да что у нас получается у нас получается икс квадрат плюс 2 игрек квадрат минус 2 икс игрек и соответственно тоже самое но Плюс Два икс игрек Ответ на то же самое применили и получили разложение на множители так ещё раз Напоминаю что Тема разложение на множители одна из самых важных тем в седьмом классе Поэтому если вы здесь всё поняли отлично затем приезжайте примеры и задания из учебника или я не знаю задачника И что там у вас ещё есть так и еще для того чтобы видео за восьмой класс вышла по актуальным для вас книжкам Напишите в комментариях авторов учебников по которым вы занимаетесь функции что же такое функция Если очень кратко просто и не строго то функция это просто зависимости одной величины от другой более строгое определение мы рассмотрим чуть попозже пока рассмотрим пример осмотрите вы пошли в магазин и хотите купить шоколадку одна шоколадка стоит 50руб Поэтому если Вы заходите купить одну шоколадку вам придется заплатить 50 руб. Если вы захотите купить две шоколадки вам заплатить 100 руб. Если Вы заходите купить три шоколадки вам придется заплатить 150 руб. в данном примере у нас появилась некоторая зависимость то есть то сколько рублей Вы Заплатите на кассе в магазине зависит от того сколько шоколадок вы хотите приобрести Давайте эту зависимость запишут в виде формулы соответственно в данном случае тем это-то сколько шоколадок вы хотите купить AC Это стоимость которую вы Заплатите в магазине иногда ещё Чтобы показать что цель это функция которая зависит от N пишут так и читается это соответственно театр данном случае переменную N называют независимой переменной или аргументом функции а соответственно переменную C зависимой переменной или значением функции почему она независимая оценка зависимой потому что в магазине вы выбираете нет А сколько вы денег будете платить а от суммы которую вы готовы заплатить Вам раскидывают товар Нет так не происходит выбираете Что покупать а магазин вам на считывает стоимость и соответственно стоимость зависит от того что вы купите а то что вы купите вы выбираете сами когда мы сами разговаривала функции ещё стоит сказать множество всех значений которые может принимать независимая переменная или аргумент функции называется областью определения функции А все возможные значения которые может принимать функции называется областью значений функций Давайте подумаем что в данном случае является областью определения наши функции областью определения наши функции являются все натуральные числа A завеса отрицательные числа и дробные числа не входит в область определения функции Почему Потому что вы не можете магазину прийти и продать шоколадку вы не можете прийти и купить в магазине например половину шоколадки или одну только можете купить окно 2004 или там 100 шоколадок зависимости от того ещё сколько у нас в магазине есть и Давайте ещё подумаем что у нас является областью значений данной функции областью значений данной функции у нас являются все числа кратные 50 да то есть если вы в магазине решите купить 0 шоколадок тогда цена будет 0 если вы хотите купить одну шоколадку будет 50 100 150 200 и так далее То есть все числа которые у Вас могут получиться все будут кратное 50 поэтому областью значений данной функции будут все неотрицательные числа кратные 5 ну и давайте уже сформулируем определение функции функции в математике называется такое правило по которому каждому значению независимой переменной можно найти единственное значение зависимой переменной вот тут а единственное важное слово то что значение зависимой переменной у нас может быть только единственный почему только единственное значение Ну потому что вот так Ну и ещё потому что в этом есть какой-то смысл да например если нас могло быть они единственное значение тогда с вами по вот этому примеру вы приходите в магазин берёте три шоколадки один раз вам сказали что это стоит 5 руб. в другой раз вам сказать что это стоит 600 руб. Да вроде как-то странно и смысл это немного вот поэтому функция это именно такая зависимость когда каждый независимой переменной можно найти единственное значение зависимой переменной в математике в качестве зависимой переменной обычно используют Y в качестве аргумента или независимые переменные используют X А чтобы записать функцию пишут следующее игрек равняется f от x То есть это нам говорит что значение зависимой переменной является какой-то функции от независимой переменной X конечно не обязательно здесь бывает всегда ф иногда пишут и же и какие-то другие буквы Но в основном принято писать и да то есть Это не какое-то правило Это скорее так принято давайте рассмотрим вот нас есть таблица где по стоимости мы можем узнать сколько Коли Какое количество остановок мы можем проехать вот Давайте подумаем является функциональной зависимостью или нет Я вот специально здесь пометил X игры то есть стоимость здесь у нас будет играть роль независимой переменной А количество остановок будет играть роль зависимой переменной например мы заплатили 25 руб Можем ли мы заплатили 25 руб точно сказать сколько остановок можем проехать Нет не можем на 25 руб. мы можем проехать две остановки можем проверить три остановки 45 то есть от того что у нас была в определение каждому значению независимой переменной соответствует единственное значение зависимой переменной Это здесь не выполняет Поэтому если мы считаем что стоимость это независимая переменная то вот такая зависимость функциональной не будет Давайте теперь рассмотрим случай когда количество остановок независимая переменная а стоимость зависимой переменной будь лето функциональной зависимостью или функцией Да будет Мы выбираем количество атомов например четыре Значит надо платить 25 руб выбираем опять остановок тоже платим 25 руб Да у нас значение функции совпадает В некоторых точках но для каждого значения независимой переменной да то есть в зависимости от того сколько на количество Какое количество остановок один проедет у нас всегда только одно значение Да нет такого что мы возьмём момент за пять остановок платим 25 руб в другой момент платим 40 руб. да Такое бывает с повышением цены то есть мы рассмотрим грубо говоря в один и тот же момент времени в один и тот же момент времени такого быть не может Вот поэтому это зависимость уже когда количество остановок независимая переменная или аргумент функции в таком случае это зависимость уже является функциональной Ну и Давайте скажем ещё какие способы задания функции бывают 2 способы задания Мы уже с вами посмотрели первый способ Это был с помощью формулы Да когда мы с вами писали это 50 М это мы задали функции с помощью формулы поэтому один из типов задания функции этот помощью формы второй подвиг Мы тоже смотрели когда мы здесь рассматривали остановки и стоимость проезда мы с вами записали такую табличку и соответственно в зависимости от того сколько мы хотим проехать остановок мы могли видеть сколько рублей мы заплатим поэтому второй способ это таблица третий способ у нас называется описательным что это такое Это когда просто функцию объясняет на слова Например вы вы решили летом поработать чтобы заработать на гаджеты и родители согласились вам помочь и они говорят вот давай ты работаешь Сколько рублей бы не заработал а я твою сумму у двор вот таким образом Если вы например в зале то заработаете 1000руб А у вас будет 2.000 потому что родители вам вводят вот если вы работаете там полторы 1000руб родители убивают вывоз будет 3.000 руб то есть такая зависимость является функциональной таблицы нет формулы Нет просто на словах поэтому третий способ описательный 4 способ называется графический графический способ заключается в том что у нас должна быть система координат и в этой системе координат мы рисуем график функции и поэтому графику Соответственно по каждому значению независимой переменной мы можем видеть значение зависимой переменной Но об этом графическом способе мы с вами поговорим чуть дальше Ну и Давайте решим парочку заданий на функции задание следующие функции f задана следующим образом ф от Икс равняется Икс плюс 7 если X меньше или равно минус единице и f от x равняется двум если их строго больше равен минус 1 Найдите значение функции f соответствующие аргументом -2 -1 и 3 ну давайте я запишу Это задание на математическом языке Так ну смотрите то что у вас было в словесном везде я записалась вот так вот чисто в математическом виде Да это значит что у нас сейчас задано некоторой кусочная функция почему она кусочная Ну потому что зависимости от аргументов нас Функция задана по-разному да то есть кусками поэтому и называют такую вот задание кусочная функция А вот соответственно если из нас меньше или равен минус 1 у нас функция будет Икс плюс 7 если X больше 1 то тогда значение функции всегда будет равно 2 и вот здесь это получается нам нужно найти значение функции от - двойки от минус единицы и от единицы до это вот так вот математически записывается Ну вот - Давайте посмотрим куда подходит - двойка она подходит в это случае при тогда мы считаем значение функции по формуле x + 7 соответственно не стоит подставлять - Давай я прям запишу - 2 + 7 да то есть вместо их Саня просто поставил -2 и получается у нас - 2 + 7 получается 5 Аналогично этот он попадает в 1 случае потому что минус единица меньше и давно - единицы Да случай всё равно здесь мы рассматриваем вот поэтому представляем - вместо x-minus синицу минус единица + 7 получается у нас 6 Ну и последний случай если их нас строго больше минус единицы А вот тут - имеется Да я прочитал наверное правильно А ты писал тут неправильно вот мы соответственно единица больше не восхититься и поэтому значение У нас тут будет равно 2 Да если бы нас попросили бы найти f от 100 тоже было бы два соответственно вот такой простенькой задание просто для того чтобы вам пощупать понять что такое функция следующее задание У нас заданы две функции и Спрашивается при каком значении аргумента значение наших функций будут равны то есть что у нас должно быть равной равной должны быть игреки да в хорошем Тут даже нельзя так писать надо написать в этой y1 это y2 ну и чтобы это найти мы должны просто y13 там есть V2 Ну а так как найти при каком значении аргумента то вместо или 2 мы соответственно пишем двоих - 7 места y1 пишем 4 x + 1 и решаем эту уравнение Ну понятно все их и влево все числа справа двоих идёт туда с минусом в больницу уйдёт к достоинствам 4x - двоих двоих - 7 - 1 - 8 Ну и отсюда легко понять что и будет равен -4 вот таким вот образом решается это задание для того чтобы перейти к графикам функций сначала поговорим про координаты координатную плоскость или про прямоугольную систему координат как её ещё называют вообще зачем она нужна и как она появилась до этого в шестом классе и кстати ролик про шестой класс У меня есть вот здесь вот подсказках наверное будет числовая прямая было нужно нам для того чтобы мы могли нам сравнивать числа и соответственно каждому числу на числовой прямой мы могли найти точку Ну давайте за рисуем её например вот здесь была точка ноль здесь точка один здесь точка полтора Если же мы возьмём точку какой-нибудь вот тут мы с вами с помощью одной только прямой не можем сказать где же находится эта точка находится на точке полтора Но таких точек мы можем ещё поставить бесконечное количество Поэтому одной прямой на мне достаточно чтобы сказать где находится точка Если мы находимся не на прямой а на плоскости поэтому для того чтобы мы могли говорить с вами про плоскость и про то что где там находится придумали систем координат для этого просто К1 числовой прямой приделали ещё одну числовую прямую и получилось что-то такое и тогда уже если вы хотите сказать Где у вас находится точка У каждой точки появилась уже как бы два числа которые задают где она находится например для вот этих точек у нас по второй оси будут разные значения адреса А вот Ну кроме того понятие вообще координатной плоскости А для вас не является совсем новым например многие из вас играли в морской бой и когда вы стреляете в Морском море или расставлять корабли вы говорите G5 или там A3 соответственно с помощью этой комбинации букв и цифр A3 вы задаете точку соответственно в системе координат на вашем поле Ну и в зависимости от того попал ли кто-то на корабль ронял ли или пополнением А вы говорите него попал вид и так далее А вот также координатная система есть в шахматах например когда пешка ходит Е2 Е4 а.е. с помощью букв латинского алфавита УАЗ создаются горизонтальные координаты с помощью цифр вертикальной координаты то есть Е2 Е4 это вот показывает куда где пешком было и где настало то есть положение каждой фигурой можно установить по тем двум координатам где она стоит единственное в шахматах и в Морском бое в качестве 1 координаты используются цифры а в качестве другой буквы в и тут по координатной оси тут по координатной оси и там и тут используются числа Ну и Давайте подробнее рассмотрим систему координат и как её сдавать чтобы задать прямоугольную систему координат или координатную плоскость нужно сделать следующие нарисовать две взаимно перпендикулярные прямые То есть у вас вот здесь вот будет прямой угол это в конце каждой линии нарисовать стрелки чтобы показать Да вот направлена у вас каждая Вот это числовая ось это два дальше Вы должны показать Где у вас находится точка ноль и соответственно начало каждой оси да то есть вот здесь вот на пересечении у вас должна быть Точку о с координатами 0 0 То есть у вас И по вертикальной оси и по горизонтальной оси Здесь должна быть точка ноль Ну потому что начала координатных осей должно совпадать просто так удобней и соответственно вот так вот сказали так будет И всё да то есть вот здесь вот и по вертикальной и горизонтальной оси находится точка ноль это три дальше Вы задаёте единичный отрезок а вам Разумеется вот эти все чёртики ставить не надо у вас есть там клеточки вам фактически нужно сказать сколько клеточек у вас будет единица датой Создайте единичный отрезок вот у меня вот тут вот будет единица по горизонтали тут будет единица вертикали следующим шагом Нужно подписать оси вот это вот Подписывайтесь Какой стих это подписывается какой считай это ещё называется осью абсцисс это называется осью ординат вот всё после того как вы сделали вот эти все шаги системы координат задано Давайте ещё раз взаимно перпендикулярные две прямые стрелки направления подписываем yxno1 издаём единичный отрезок всё больше ничего не надо Ну я ещё подписал вам для понятности да вам в тетрадке подписывать не надо только X и Y всё больше ничего делать не надо Ну и Давайте поставим какую-нибудь точку на нашу координатную плоскость Ну давайте я поставлю где-нибудь вот здесь точку и назову её точку M Как мне теперь координаты этой точки чтобы найти координаты этой точки я делаю следующую беру из этой точки и провожу перпендикуляр а каждый оси здесь у меня будет перпендикуляр и здесь у меня будет перпендикуляр и смотрю Соответственно по иксу у меня будет значение два по физике у меня будет значение раз-два три-четыре примера вот ответом будет координаты точки N 24 при этом всегда когда вы записываете координаты точки у вас сначала идёт координаты по иксу а потом координатор по Эрику не путайте это важно ещё вот эту первую координату называют абсциссы точки А вторую координату называют координатной точки А вот давайте а для того чтобы вы понимали возьмём точку ещё N с координатами 42 где будет эта точка она будет четыре по иксу то есть раз-два-три-четыре вот здесь Да и соответственно с координатой 2 i.yu поставить точку вот я пойду от считал четыре здесь ставлю перпендикуляр Вот и здесь появится отчитал два иду сюда Вот соответственно ещё на пересечении вот этих двух прямых и будет у меня точка соответственно N вот здесь я её поставлю с координатами 42 то есть видеть да зависимости от порядка цифр которые координаты точки у нас значение точек отличаются вот как фоточки находить координаты мы поняли как по координатам поставить точку Мы тоже с вами поняли ну и соответственно Понятное дело что уточки о всегда будут Координаты 00 и ещё Давайте посмотрим да Если мы с вами возьмём а какую-то точку Ну например точку K на оси абсцисс Какие координаты У этой точке пояса у неё будет раз-два-три а соответственно по Эрику её координата будет мой То есть если вы берёте какую-то точку на оси абсцисс и оси X вас всегда игривая координаты этой точки или ординату этой точки всегда будет равна нулю Ну и Аналогично Если вы берёте какую-то точку например точку е на оси ординат paix у вас всегда будет 0 а соответственно появились здесь будет -1 -2 -3 -3 Вот ответ координаты точки E 0 -3 так Ну ещё Я вот забыл сказать что вот когда вы построили в вашей тетрадки или где-то координатную плоскость то получается что вот этими двумя прямыми вся наша плоскость делится на четыре таких кусочков или их Что называют четверти до трети четверти имеют нумерацию Вот это первая четверть 2 четверть 3 четверть 4 четверть то есть вот это первая четверть А дальше они как бы идут по часовой стрелке это в принципе не очень важно знать правду терминологии встречается что точка m там находится в первой четверти и соответственно из этого он уже можем понять что обе координаты точки м у нас положительные Вот соответственно вроде всё что нужно было знать про координаты мы сказали и теперь уже можем переходить к графикам функций для этого я уже построил координатную плоскость взял единичный отрезок поставил точку 0 Обозначил нашу ось абсцисс и ось ординат и выбрал некоторую функцию игрек равняется икс квадрат минус 4 Икс сейчас дальше я возьму несколько точек до несколько точек нашего аргумента или независимой переменной по этим точкам я получу с помощью нашей функции значение нашей функции или значение зависимой переменной и эти точки я буду ставить на нашу координатную плоскость вот я составил некоторую табличку И сейчас я выберу в некоторые точки в качестве значения аргумента или независимые переменные мы возьмём значение - 10123 сейчас по этим значением нам нужно получить значение функции как это сделать Мы просто берем каждую точку и представляем наших разряд подставляя -1 -1 в квадрате будет 1 - 4 умножаем на минус один нас получится - 4 0 -1 получится просто 41 + 4 получится 5 подставляем 0 получаем ноль подставляем единицу их в квадрате а получается 1 - 4 х 14 получается -3 подставляем два здесь получается 4 - 8 получается - Четыре оставляем 33 в квадрате 9 - 4 х 312 получается нас - 3 вот такие вот точки мы поставили и теперь эти точки мы будем отмечать на координатной плоскости начало отмечает точку - 15 то есть по оси это точка Должна быть На позиции - 1 по оси Y или по оси ординат она должна быть на позиции 5 раз-два-три-четыре-пять это точка соответственно где-то здесь дальше точку 0 отметить легко она у нас находится здесь точка А 1 -3 то есть по оси X она в единицы по оси Y она в точке B -3 -1 -2 -3 то есть эта точка будет где-то Вот здесь дальше Точка 2 - 4 по оси X здесь поселились здесь дальше Точка 2 -3 дальше точка 3 - 3 то есть по оси X она здесь по оси Y где-то вот здесь вот на данный момент мы взяли какую-то функцию а взяли произвольной точке значение аргумента они посчитали значение нашей функции и эти точки отметили на координатной плоскости Теперь давайте эти точки соединим и получим что-то приближённое похожие на график функции Почему приближённая Потому что на самом деле мы могли брать и не целые точки да И тогда бы у нас вот эти точки располагались бы гораздо чаще и график функции у нас был бы а сейчас у нас будет только приблизительно января эскиз Вот такая фигура у нас получилось а на самом деле у нас не совсем полная фигура да это фигуру там продолжается дальше и влево и вправо просто мы не знаем как Точно она выглядит поэтому я дальше не рисую для того чтобы это понять нам нужно взять ещё какие-то значения их сайте значение аргумента понимает значение функции и значение y и поставить Так что эти точки И продолжите фразу То есть это примерный набросок этой функции эскиз вот для того чтобы понять что такое график функций теперь посмотри это на примере Мы можем с вами сформулировать определение что же такое график функции графиком функции у нас является фигура которая у нас находится на координатной плоскости и состоящие из следующих точек да А их свои координаты этих точек или абсцесса у нас соответствует значению независимой переменной или значение аргумента функции То есть их со а соответственно и Горького координаты или ордината этих точек у нас соответствует значению этой функции или значение перемены а то есть мы так и делают например вот здесь у нас с вами точка 2 -4 то есть мы взяли точку два которое соответствует И всу по ней мы нашли значение функции -4 и эту точку поставили на Наш график Вот соответственно Вот это у нас и называется графиком функции при этом важно сказать что А это фигура состоит только из тех таких а которые у нас будут повторять вот этому уравнению году если мы возьмем в и поставим в наш график какую-то точку которая вот этому уравнению творить не будет это уже не будет графиком потому что мы туда добавили какую-то левую не нужную точку Кроме того необязательно графиком функции является именно какая-то непрерывная линия линия может быть прерывная а во-вторых графиком функции может быть вообще просто несколько точек или от надо например мы же с вами уже умеем табличным способом задавать функцию задачи с помощью таблицы функцию которая состоит из одной точки по иксу оно равняется единице по y равняется 7 на Давайте эту точку С вами Нарисуем вот всё я эту точку нарисовал то есть графиком вот этой функцией будет у нас одна точка с координатами один семь или мы можем с вами например задать вот такую функцию Функция задана следующим образом до игрек равняется единице если X больше 0 y равняется нулю если x равен нулю и соответственно минус единице если у нас X меньше нуля как будет это выглядит функция она будет выглядеть следующим образом вот у нас будет точка ноль Потом вот здесь вот не включительно точку единицу нас будет Вот такая линия не включая минус единица у нас будет Вот такая или нет то есть Это пример графика функции когда у нас линия разрыва также у нас есть пример графика когда это график является просто точкой А вот есть пример непрерывной линии кроме того они обязательно что любая фигура которую мы возьмём А на координатной плоскости будет графиком функции Почему Потому что мы с вами знаем определение наши функции и по определению у нас для каждого значения независимой переменной и существует только одно единственное значение зависимой переменной То есть если мы Нарисуем какую-то фигуру которая по одному значению или аргумента можно будет найти два значения игрека то есть 202 значение функции это фигура не будет графиком функции Да потому что такая зависимость принципе не будет функциональный Ну давайте пример такой график очень простое Например Она рисуем кружок Ну и Давайте возьмём вот здесь вот раз-два-три-четыре координату пыльцу с точкой 4 и смотрите Смотрим Да А если мы Проведём перпендикуляр из этой точки вверх мы получим что наш этот перпендикуляр пересекается с этим графиком два раза то есть точки X соответствует у нас wi-fi точке Y Вот это какая-то точка Да И вот здесь какая-то точка При этом значит такая зависимость не будет являться функциональные то есть вот кружок графиком функции у нас являться не будет как нам А если мы знаем значение одной из переменных Как нам найти значение другой переменной да например по иксу Да вот у нас Пускай Мы вернулись графику игрек равняется икс квадрат минус 4 Икс и мы хотим по значению X равно 3 найти значение функции Да что мы до этого делаем мы берём из точки А с координатой X равной 3 а проводим через неё перпендикуляр и смотрим где этот перпендикуляр пересекается с нашим графиком функции он пересекается вот здесь теперь из этой точки уже проводим перпендикуляр к оси ординат Соответственно что у нас будет перпендикуляр я проведу и вот здесь Ну понятное дело у меня чуть-чуть косо получилось Ну соответственно вот этот перпендикуляр по оси ординат у нас соответствует точке - 3 то есть таким образом По точке X с помощью графика только Да с помощью графика мы нашли значение Y A и соответственно Также можно наоборот да Если у вас есть график функции вы хотите значение функции найти чему соответствует аргументы этой функции проводите Из точки Y перпендикуляр ищите пересечения этого перпендикуляра с графиком функции а потом из этой точки у нас проводите перпендикулярно к оси weeks Да и соответственно ищите пересечения с осью Ox при этом смотрите вас могут возникнуть вопрос да то что у нас соответственно точки игрек равное - 3 соответствует две точки A X выхода toyota.ua единица ик-3 вот в этом никакой проблемы нету потому что в определении самое функции нам сказано что каждому значению независимой переменной или каждому значению сауна соответствует единственное значение y А ничего не сказано что для каждого значения игрека должно быть только одно значение их такого правила нет поэтому тут всё нормально Ну ещё стоит добавить в прошлом Это когда у нас график был нарисован Если у вас есть координатная плоскость с нарисованным графиком функции то тоже один из способов задания нашей функции да Если у вас есть координатная плоскость и на ней изображён график функции Да это есть один из способов задания функции которая называется графическим вот а теперь мы порешаем некоторые задание задание заключается в следующем вот у нас есть такая функция игрек равняется Икс - 6 и есть две точки точка А с координатами 8 и 2 B с координатами 24 и Спрашивается принадлежат ли эти точки графику этой функции соответственно Что можно сделать а взять координатную плоскость начертить график этой функции и потом посмотреть находится ли эти точки на графике или нет но можно сделать проще а взять подставить значении независимой переменной в нашем принцу и посмотреть совпадает ли полученное значение нашей функции значения зависимой переменной C координаты этой точкой если она будет совпадать значит да точка принадлежит нашему графику если совпадать не будет то значит это нашему график функции не принадлежит Ну и Давайте начнём с точки А подставляем чается у нас игрек равен 8 минус 6 игрек равен 2 значит точка два Да здесь она мы получили и здесь нас точку два Да эти точки совпадают два равно значит точка А у нас график функции принадлежит смотрим точку B опять места их сопоставляем абсциссу точки и смотрим Что получится Y получается у нас равен А 2 - 6 получается игрек равен минус 4 здесь нас -4 10.4 значит ординату нас не совпадают И значит это точка графику функции не принадлежит следующее задание она у нас заключается в следующем У нас есть некоторая функция игрек равняется икс в четвертой минус 4 и нас а просит найти координаты пересечения графика этой функции с осями координат когда мы с вами говорили про координатную плоскость мы с вами говорили что для того чтобы точка М лежала на одной из осей у неё соответствующие координаты должна быть равна нулю То есть если например точка будет лежать на оси weeks тогда её y y координата будет равна нулю соответственно если эта точка будет лежать на оси ординат на оси oy Y тогда её X Y координата будет равна нулю ну и соответственно Давайте найдём что для этого нужно сделать просто поставить в нашу функцию значение 0 сначала поем а потом соответственно 0 поединку Ну давайте сначала ищем пересечения с осью oy Y Да если мы ещё пересечения с осью Y тогда у нас как раз их своей карты надо должна быть равна нулю соответственно x равен нулю получаем игрек равняется 0 минус 4 получается что Игорь равен -4 то есть координаты точки пересечения с осью oy Y это у нас 0 и - 4 Теперь будем искать пересечение с уже осью их для этого у нас уже и Горького координата должна быть равна 0 берём игрек равное нулю подставляем в нашу функцию задано формулой получается у нас 0 равняется икс квадрат минус 4 вообще в общем случае квадратное уравнение вырезать не умеете но здесь можно воспользоваться формулой разности квадратов поэтому получаем 0 равняется X - 2 x x + 2 вот получаем отсюда нас либо 1 скобочка равна нулю или нас 2 скобочка равна нулю получается у нас здесь либо x равен двойки или x равен -2,5 поэтому пересечения с осью Ox у нас уже будет на это будет точка 20 и соответственно точка -20 Таким вот образом мы с вами нашли координаты точек пересечения графика функции игрек равняется икс квадрат минус 4 с осями координат Линейная функция что такое Линейная функция Линейная функция Это любая Функция которую вы можете представить вот так y равняется KX + B вот при этом смотрите вас возможно пугают тут буквы к и Б Или специально отметил зелёным на эти буквы к и б вы должны смотреть как на числа здесь я вам примеры приём это всё будет Линейная функция Давайте вот примером этой линейной функции скажем Почему у нас в каждом примере равняется к чему равняется B в первом случае да Вот в этой здесь у нас к равняется минус двум AB соответственно равно единице дальше Вот в этом случае Каунас Это что такое какое-то коэффициент 3X Седа смотрим Что у нас у нас минус единица поэтому здесь у нас к равен минус единице а соответственно B = просто единицы вот следующий пример 5 x Да здесь у нас б вообще нету да а коэффициент при x равен 5 поэтому K равно 5 Б равно нулю и последний пример игрек равняется двум здесь у нас к их нету почему он исчез Да потому что коява обнулился начитка равен нулю Можно у вас у кого-то возникнет вопрос почему я сказал здесь что у нас равен нулю Да почему не икс равен нулю потому что это независимая переменная и как бы мы её берём какую хотим то есть мы можем взять в качестве их соедини цу минус единицу тройку четвёрку и так далее То есть всё то что нам как бы позволено с точки зрения области определения функций и значит их можно взять любым числом А раз их съесть не присутствует она может не присутствует только в одном случае если к его за нурил то есть к равен нулю в последнем случае AB равен двойки Ну ещё для того чтобы понять я записал мне эту функцию и хочу вас спросить является ли эта функция линейный Вам наверное покажется что нет да потому что она вот так вот не выглядит во-первых Это ничего не значит да потому что сначала нам нужно вот эту штуку упростить даже если у неё какой-то страшный вид многое котов Это значит что вы должны сначала упростить и попытаться привести к такому виду вот если такому виду её привезти никак не получится значит функция и линейной не будет являться А если получится возможно будет линейный Ну давайте переписываться следующую строчку 18 квадрат оставляем минус 9 Икс на единицу будет просто минус 9 икс минус 9 икс два икс минус 18 икс квадрат плюс три икс минус 5 получается Y нас равен 18 икс квадрат минус 18 икс квадрат сокращается - 9 x плюс 3X у нас соответственно будет - 6 x и останется Просто -5 теперь смотрим на это является это линейной функции Да является потому что у нас в данном случае равен минус 6 а х B равен -5 Так теперь давайте разберёмся с графиком линейной функцией Я уже задавала координатную плоскость Да нарисовал графики поставил точку 0 за единичный отрезок подписал Осень А вот и Давайте возьмём несколько точек в произвольном Дадли икса по ним получено значение Y A и поставим эти точки и Нарисуем график функции Ну давайте возьмём стандартно точки Удобнее всего брать что-нибудь поближе к мужу чтобы большие числа не получались да давайте возьмём - 2 - 101 два подставляй -2 в нашу станцию - 2 - 2 + 1 получится 4 + 1 это будет 5 дальше подставляй - 1 - 2 x -1 получается 22 + 130 получаем единицу поставляем единицу получаем - 2 на 1 - 2 + 1 получаем -1 подставляем 2 - 2 на 2 получаем - 4 - 4 + 1 - 3 Вот соответственно теперь отмечаем эти точки на нашей координатной плоскости и так точка -25 она у нас будет где-то Вот здесь точка -13 она у нас будет вот здесь вот - один здесь 3 где-то здесь точка 01 это будет Вот здесь дальше Точка А1 - 1 это будет здесь и точка - 3 это будет где-то Вот здесь Да ну и соответственно теперь Соединяем эти точки эдак то что у меня получилось Очень напоминает прямой единственное что я не очень ровно правила ну и плюс у нас как бы есть некоторые погрешность в рисунке Вот Но вообще графиком линейной функции является Прямая это по-моему доказывается строгой так и чётко в курсе геометрии чуть постарше вот а пока К сожалению придётся принимать это за факт вот но вы можете для того чтобы самим убедиться взять несколько случайных линейных функций и их построить хотя бы чтобы вас был какой-то такое интуитивное понимание почему же графиком линейной функции является прямая Вот какие выводы из этого можем сделать а выводы следующие опять же из курса геометрии вы знаете чтобы провести прямую вам нужно только две точки и значит Чтобы построить график линейной функции нужно брать тоже только две точки потому что остальные точки у нас будет просто избыточной информации вот таким вот образом мы построили график этой функции Кроме того А ещё я забыл Вам напомнить что если вы строите график какой-то фу координатной плоскости обычно этот график принято подписывать То есть вы Вот график подписываете игрек равняется минус два Икс плюс один Давайте с вами ещё посмотрим что будет если например или б или даже они оба сразу будут равны нулю Что тогда у нас будет происходить с нашей Линейная функция и её график Пускай у нас к равен нулю Что тогда у нас будет тогда у нас будет задано видом игрек равняется B Что это значит Это значит что Y будет равен какому-то числу пусть наберёт B равняется трём Да что это значит мы берём их с равной нулю игрек равняется 3 икс равно единице игрек равняется трём трём X равны 10 и игрек равняется 3 Что это значит что графиком функции будет прямая y равняется трём Давайте его её Нарисуем она соответственно будет параллельна оси weeks и вот будет идти Вот так вот это у нас y равняется трём Вот соответственно уже на один вопрос ответь или если у нас к будет а б не будет равен нулю то тогда у нас будет Прямая параллельная оси Ox Что будет если у нас и B будет равна нулю а то тогда у нас будет Солнце которое будет задано видом игрек равняется нулю Что это значит Это значит что мы берём X равное нулю игрек равен нулю икс равно единице игрек равен нулю икс равно Минус 100 игрек равен нулю то есть тогда график нашей функции y равняется 0 будет полностью совпадать с осью Ox То есть это будет прямая полностью совпадающей с осью Ox Да Можем даже вот здесь писать что это у нас игрек равное нулю То есть фактически Мы тоже график нарисовали Ну и последний случай когда у нас соответственно равен нулю не равен нулю тогда наша функция будет иметь вид какой-то типа y равняется KX Ну например Может взять Y ровняется X или Y равняется там 10x всё тоже самое вот что это значит Это значит что если мы берём X равное нулю то и y будет равен нулю до того чтобы нету поэтому в таком случае у нас будет обязательно точка ноль которая будет принадлежать графику нашей линейной функции если соответственно б равно нулю но вторую точку берём просто любую графика игрек равняется Икс единицу точка будет Вот здесь и соответственно график Пойдёт у нас как-то вот так но я специально просто это игрек равняется Икс да если мы возьмём Y равная 10 x да тогда у нас 1.000 сохранится возьмём икс равно единице Y будет 10 Да но это где-то у меня вот здесь получается и соответственно значит прямая будет где-то такая да то есть ну наклон поменялся график будет такой вот таким вот образом мы сами разобрали некоторые общие случаи линейной функции некоторые задания простейшие задания на построение графика линейной функции я сам разбирать не буду потому что мы уже строили различные графики вот там вам просто нужно взять какие-то две точки и постройте точки на координатной плоскости и провести линейкой прямой очень просто единственное что я вам рекомендую в таких заданиях брать какие-то простые точки например самые очевидные точка Это X равное нулю потому что считать просто меньше надо и ошибиться вероятность меньше Ну или Попробуй там взять y равен нулю то есть не брать какие-то большие точки Там ведь 1 -1 зависимость чтобы вас Ну все точки были близко и вам не приходилось где-то там настраивать вашу координатную плоскость чтобы было большое вот а сейчас мы сами разберёмся другое задание более сложное смотрите у нас есть координатная плоскость и есть прямая и по этой заданной прямой у нас тут отмечены две точки Да вот по этой заданной прямой нам нужно построить самому формулу этой функции да то есть написать там игрек равняется там 5X Plus или что-то такое вот что для этого нужно сделать там во-первых нужно вспомнить общий вид линейной функции это у нас y равняется KX + B Вот и теперь поставить какие-то точки Да вот это точка Какие координаты точки оси точки координатами 0 2 а у этой точки координаты 1 соответственно -1 Ну давайте в наш общий вид нашей линейной функции подставляем сначала точку 0 2 до получаем что а вместо yk2 место xa0 получаем 2 равняется k x 0 + B Ну соответственно это забавляется получается таким образом 2 равняется B То есть вы уже нашли замечательно теперь получив это знание подставляем следующую нашу точку теперь у нас получается - один мы подставили - 1 место y равняется K вместо их подставляем Один плюс два Да так бы мы уже узнали поэтому здесь я пишу + 2 ну и соответственно решаем наш уравнение до 2 у нас уходят на лево с минусом случается - 3 равняется K ну и соответственно получается K равняется минус три Ну и таким образом мы уже можно записать для ответ для нашей задачи у нас функция будет вида игрек равняется минус 3 Икс плюс 2 вот таким вот образом мы сами построили нашу функцию А так соответственно алгоритм решения такого задания просто взять две точки поставить их в общем функции и соответственно получить саму нашу в линейную функцию То есть в принципе достаточно просто линейное уравнение с двумя переменными и так мы уже знаем что такое просто линейное уравнение Да это уравнение вида а Икс плюс б где А и Б являются числами A и H соответственно переменная Вот мы пришли к линейному уравнению с двумя переменными она у нас является видом Икс плюс б игрек равняется C соответственно на ABC вы смотрите как на обычные числа What A X Y соответственно это некоторые переменные примеры линейных уравнений с двумя переменными у вас написано здесь Да соответственно Икс плюс игрек равняется 3 в данном случае да у нас А равняется единице То есть это коэффициент при X E в равняется единице то есть коэффициенты игреки AC равняется 3 минус 3 Икс равняется 5 мы тоже можем рассмотреть как линейные уравнения с двумя переменными в данном случае а у нас будет равняться - 3,25 ответственно B равняется нулю вот что такое решение линейного уравнения с двумя переменными это такая пара чисел X и Y которые если мы поставим в наше уравнение она обратиться в верное равенство Ну соответственно для линейного уравнения с двумя переменными Икс плюс игрек равняется 3 решение является пара чисел 21 или 12 Давайте запишем Понятное дело что в данном случае для данного уравнения мы сможем придумать бесконечное множество таких решений Да причём необязательно целых можно ещё и дробных и каких угодно но даже целых тут будет бесконечное количество Да потому что мы можем брать например x 3 Y 0 X 4 Y - 1 x 5 y - 2 и так далее А их у нас растёт Y убывает А вот а если будем брать ещё и дробной то множество будет ещё и больше ну и решить уравнение с двумя переменными это значит найти все такие пары которые обращают наше уравнение в верное равенство или показать что таких пар нет графиком функции линейного уравнения с двумя переменными является некоторая фигура на координатной плоскости точками которые являются решением данного уравнения Ну вот все стандартные определения мы проговорили так если вам так показалось что Мы вроде говорим об одном и том же на самом деле нет да до этого мы проходили линейную функцию сейчас на проходе уравнение это две разные вещи Да потому что помните её что функция это зависимость особого вида а уравнение это необязательно функции да то есть случаи когда не пересекаются но необязательно Ну и теперь давайте посмотрим чем у нас будет являться график линейного уравнения самый первый случай который мы разберём это когда б не равен нулю если вас не равен нулю то тогда мы что можем сделать тогда мы можем АиФ перенести налево и соответственно всё уравнение наших / B давайте это сделаем у нас получится то есть первым делом я перенёс Аист права а соответственно вторым действием Я поделил на б вот если мы теперь скажем что вот этот Пускай у нас равняется K А вот это равняется п тогда мы получим уравнение вида y равняется KX + P А это у нас есть не что иное как Линейная функция мы знаем что графиком линейной функции у нас является прямая То есть если бы у нас они равен нулю то тогда графиком функции линейного уравнения у нас будет прямая рассмотрим второй случай когда б у нас равен нулю а соответственно не равен заметил что когда у нас бы не равен нулю на она абсолютно всё равно Всё равно здесь будет соответственно вот здесь что у нас копают равняться нулю это всё равно будет прямая да то есть тут во всех случаях прямая теперь второй случай б не равно нулю а не равно нулю тогда что у нас будет тогда у нас вот линейные уравнения превратиться в такой вид X = C что тогда у нас будет Когда у нас будет просто X = C деленное на а то есть Икс равняется какому-то числу Ну и что это будет с точки зрения графика да то есть мы берём любое X A Y нас всё равно является Ион роли вообще никакой не играет Ну и давайте я здесь прямо маленькие координаты нарисую Итак предположим на станции равняется двум А равняется единице значит если у нас будет ravenwood Да вот здесь точка два их выбирать принципе не можем У нас их всегда равен 2a y нас может быть любым потому что б равняется нулю и в данном уравнении Вот это значение будет являться Да поэтому Y нас может быть и2 и3 и4 и5 то есть игры как меняются и так догадается кому нас получится понимает параллельной оси oy Y Вот то есть у нас 3 Б равняется нулю они равняется уже графиком всё равно будет прямая но только уже вертикальное в этом в первом случае она вертикальная быть не может может быть горизонтальной может быть какой-то под углом но они вертикальной и остался посмотреть там третий случай когда у нас B равен нулю и А равен нулю Во что тогда превратится нашу уравнение А тогда наш уравнение превратиться a0 b0 у нас получится 0 равно C Вот и теперь очень сильно зависит от того что ж у нас такой C вот если C нас в этом случае будет также нулём то тогда у нас получается 0 равняется нулю то есть в этом случае Какие Вам и x&y не взяли они в любом случае будут подходить Да потому что AB и C будут всё за Ну вот например мы возьмём их 100Y что всё на 0 умножается слева 0 справа 0 Вот и в таком случае если б равно 0 А равно 0 C равно 0 то графиком функции у нас будет вся координатная плоскость да то есть любая точка на координатной плоскости будет принадлежать этому графику Ну и второй случай если у нас соответственно с не будет равен нулю то тогда у нас то есть в этом случае у нас будет уравнение 0 равняется C и при этом это C мы знаем точно не 0 То есть это значит что какие Y Мы не взяли так как их А и Б заглубляют который у нас равны нулю оценку нас нулём не является поэтому верное равенство у нас никогда не получится и поэтому решение у нас не будет да то есть в данном случае вот это будет вся плоскость А вот это будет ничего таким образом можно сказать что мы четыре случая уже рассмотрели в большинстве случаев вас будет получаться прямая в одном случае если все коэффициенты равны нулю у вас будет а вся плоскость А если два коэффициента A и B равны нулю Оцени равен нулю тогда у вас будет ничего То есть решение не будет Ну и Давайте порешаем какие-нибудь задание Вот первое задание у нас такое есть уравнение линейной с двумя переменными 3x - 2 игрек равняется 6 и нам нужно выразить переменную X через переменную Y и найти два любых решения этого уравнения Ну давайте для начала выразим что нам нужно сделать 2y переносим права и делим всё на три а то есть получается у нас Можем немножко упростить Икс равняется то есть мы 6 поделим отдельно на 3 получится 2 + 2/3 Y теперь нам нужно найти два любых решений и нам удобнее подставлять первым потому что ну тут сокращается Да вот Давайте первое берём в качестве игрека тройку вот тройку сокращается остаётся 22 + 24 Давайте возьмём в качестве Y вообще ноль Да в качестве Юрика делаем 0 получаем что у нас получаем что x равен двойки Несмотря на то что вроде как нас в функции независимая переменная у нас обычная X здесь вообще речь идёт о линейном уравнении про пункцию забыли Да поэтому мы можем легко Y выбирать или их выбирать В зависимости что от чего выражено следующая Разбираем задание нам нужно составить линейное уравнение графиком которого является Прямая это прямая проходит через начало координат и точку Ну во-первых а это у нас нам сказано что линейное уравнение графиком которого является прямая Значит у нас в этом случае не может быть того случая что соответственно A и B равны нулю Ну вот Кроме того сказано да Что проходит через точку 312 и через точку начала координат то есть точку 0 у нас XX в обоих случаях неравные друг другу Да поэтому это значит что это не является вертикальной прямой то есть а в данном случае мы можем это наши уравнение пока записать как вида y равняется KX + ещё раз так мы можем записать потому что графиком является прямая и мы поняли что это прямая не является вертикальной параллельной оси oy Y это записали А теперь мы уже почти такой же задание выполнение с линейной функции запросу подставляем наши точки в носу уравнения и соответственно найдём в этих 500.000 подставляем получается ну кого-то обновляется поэтому P равняется ну-ну точку 312 то есть место игрека подставляем 12 вместо xa подставляем 3data есть K умноженное на 3 полную знаем что равно нулю отсюда Каунас равен четырём да сразу легко понять ну и теперь Составляем наши линейные уравнения Да вот теперь Мы записали нелинейную функцию линейное уравнение с двумя переменными системы линейных уравнений и так например у нас есть два линейных уравнений с двумя переменными и мы хотим найти Общее решение этих уравнений то есть такое решение которое бы удовлетворяла и первому уравнению и второму уравнению в таком случае говорят что нужно решить систему уравнений и оформляют это с помощью фигурной скобки то есть а в общем случае фигурная скобка в математике а это означает что нужно найти А такие решения которые одновременно удовлетворяют все уравнения которые записаны под самой этой фигурной скобкой соответственно решением системы линейных уравнений а называют А такие пары чисел X и Y которые обращают в верное равенство каждое из уравнений этой системы а соответственно Решите систему линейных уравнений это значит найти все её решения или показать что таких решений нет А есть три способа решение системы линейных уравнений 1 способ фотографические второй метод подстановки и метод сложения вот самый удобный метод сложения но мы сейчас рассмотрим все три так как все три есть в школьном курсе А вообще В чём заключается графический метод то что мы берём одно уравнение рисуем Илона нашей координатной плоскости на этой же координатной плоскости рисуем а другое нашу уравнение находим точку пересечения двух этих данном случае прямых А вот и находим координаты этой точки и это точка и будет решением она систему уравнения Ну давайте построим графики для этих двух уравнений Давайте вот я записываю там в личку для первого Epson отпускай равен 0 тогда чтобы уравнение обратился верное равенство у нас Y должен быть равен 9 пятых сейчас возьмём игрек равняется 0 Ну и тогда их у нас ему нужно будет равняться минус полтора Да тогда опять же будет 9 раз - полтора Аналогично со вторым уровнем берём X равное нулю получается что Y нас равен 13 3 игрек равное нулю получается X нас равен 13 четвёртых отмечаем точки 1 уравнения Икс равен 0 y95 095 это почти 20 Поэтому точка будет где-то вот здесь вот доча точка X равняется минус 0,5 игрек 0 это точка где-то вот здесь ну рисуем наш прямой Встань точки второго уравнения x 0 Y 13.30 13 третьих это у нас чуть больше 4 вторая точка игрек равен 0 Икс равен А 13 четвертых это у нас чуть больше тройки да Поэтому точка будет где-то вот здесь вот ну и проводим нашу прямую и соответственно вот у нас есть наша точка пересечения до точки пересечения что-то вот такое вот такой да это похоже на точку 13 да Давайте посмотрим Подходит ли точка 13 а первое и второе уравнение да на самом деле Ну типа Если вы всё аккуратно нарисовали то у вас эта точка будет в явном виде я на всякий случай Сейчас проверю так - 6 + 5 на 3:15 до 15 - 6 у нас получается как раз-таки идей всё нормально в первое уравнение подошло 1 умножаем на четыре четыре 3 умножаем на 399 + 4 получается 13 до его вторую уравнение подошла вот таким вот образом мы с вами а графически решили систему вот этих уравнений но в целом физический метод не очень хороший точки зрения того что он видите всё неточно получается даже если вы очень аккуратно части не всегда будут целые числа получается и так далее Зачем нам нужен нет Это для того чтобы вообще понять сколько решений у нас может быть при решении системы линейных уравнений Да смотрите если у нас две прямые пересекаются Понятное дело что решение может быть только одно дальше прямые у нас могут быть параллельны то есть не пересекаться совсем И решение тогда не будет и что ещё может быть и ещё может быть случай когда у нас две прямые например оказались одинаковые они накладываются и тогда у нас соответственно решение будет бесконечным ноготь метод подстановки и так нет подстановки уже гораздо более реальный чем графический метод но всё равно он не такой удобный но его нужно Изучить и хорошо понимать А смотрите в чём заключается он заключается в том что вы выбираете на свой вкус на то чтобы как бы было попроще любое уравнение из этого любого уравнения выражаете любую переменную То есть вы сами выбираете X выражается через и или через зависимости от того что вам Кажется легче дальше йога разив подставляйте значение этой переменной в другой уравнение у вас там получается уравнение с одной переменной вы решаете получаете подставляйте в другой уравнение в предыдущем который Вас на предыдущем шаге было Вот и таким образом решаете получаете решение возможно было не очень понятно сейчас всё рассмотрен на практике смотрите гораздо выгоднее здесь выражать Y из первого уравнения Почему Потому что Y выражается проще всего давайте я сейчас выхожу и y и их просто для того чтобы показать что Y выражает гораздо выгоднее Да ну я Перенесу справа а соответственно восьмёрку были вода тогда у меня будет 2 x - 8 равняется Y то есть вот у меня Я за одно действие за один просто перенос туда-сюда вырезал еврик вот у меня есть или в чистом виде мне Теперь гораздо удобнее его подставить Если бы я бы нажал чтобы у меня была у меня было тогда сначала мне бы надо было сделать 2 икс равняется - Y и здесь был меня получилось что x равен 8 - кидай всё деленное на 2 так плохо да Почему так плохо Нет это нормально Вы можете так сделать Ну просто видите тут образуется дробь потом бы вместо чего вместо икса этого сюда подставить и да у вас будет тройка умножаться возникнет дробь дроби считать неудобно гораздо удобнее считать целые числа Да поэтому грубо говоря так не делайте Да вот это так можно так плохо неудобно а заняться когда у вас перед ним перед тем как официанты нет так сделать гораздо удобнее вот всё выразили теперь вот это вот выражения Да который у нас означает Y Мы подставим в наше второе уравнение Да таким образом что у нас с вами будет у нас с вами возникнет уравнение 3 Икс плюс 2 умножается на скобочку да то есть мы знает как бы умножаем а Y это всё Два икс минус 8 Икс -8 равно 5 закрываем скобочку тут 3X плюс соответственно 4 x 2 - 16 = 5 Да тут получается у нас 7 x 16 переносим вправо она уходит с плюсом 16 +5 включается 21 и отсюда X у нас равняется трём всё их получили Теперь чтобы получить Y мы просто их доставили сюда получается у нас 2 умноженное на 3 минус 8 равняется Y вот два на три 66 - 8 - 2 отсюда получается что y равен нас - 2 и поэтому решение данной системы это будет точка 3 -2 любом Да что из записываем сначала Вот соответственно Таким образом у нас и выполняется метод подстановки Единственное что тут стоит сказать Да что тут есть как бы определённые заморочки с оформлением вы либо всё время видеосистему для Вот например первого шага должен был бы записать не Вот это просто а всю систему Да что у меня тут игрек равняется 2 икс -8 вот а вот эту уравнение сюда переписать потом на следующем я опять переписал игрек равняется 2 икс -8 а вместо второго записал уже вот это или если вы не хотите постоянно вести вот эту систему Да потому что ну зачем просто так переписываться Выпишите свои действия из первого уравнения системы выразим через Y пишите Вот это выразили дальше пишите подставим во второе уравнение системы вместо переменной y 2X - 8 потом это посчитали пишем подставим найденное значение X в первое уравнение подставили решили вот а таким образом с оформлением тут не всё в порядке я вам рекомендую Прежде чем идти писать контрольную по математике ещё посмотреть как в учебнике оформляется на всякий случай Да потому что иначе могут быть проблемы процесс оформления метод сложения метод сложения это вот реально нет утка пользоваться почти всегда метод сложения основан на следующем на том что если вы возьмете одно из уравнений вашей системы давно жить Ивана что-то кроме нуля и сложите с другим уравнением системой то вот это вот уравнение которое получено из суммы исходного уравнения это всё равно такая система будет иметь те же решения как и ваши исходная система этот факт седьмом классе вам предоставляется без доказательств но пользоваться им очень удобно давайте что сделаем Просто возьмём сложим А первое второе уравнение что у нас с вами получится у нас получится следующее Да у нас здесь как раз есть минус песни а тут плюс 5 игрек давайте я сначала запишу В общем виде всё 2x - 5y до плюс 4 Икс плюс 5 игрек равняется 7 плюс 5 то есть мы с вами левую часть уравнения сложили с левой части уравнения в правую часть 1 уравнения с вложили с правой частью второго уравнения Ну и что у нас тут получается что и 5y взаимно уничтожаются 2x + 4 x получается 6 x 7 + 5 равняется 12 Ну и Понятное дело что их тут равен у нас двойки двойки получили Теперь этот X Вы можете опять же поставить в любой уравнение системы в какую хотите Ну мне кажется здесь удобнее поставить в первое уравнение 2 на 2 получается 44 - соответственно 5 игрек равняется 7 и до Семёрку Я ношу налево получается 4 - 7 получается - 3 а соответственно здесь у меня остаётся 5 или вот ну и соответственно Y давайте я и левую правую часть дануна 2 имею право здесь у меня получается - 6 здесь 10y Да и отсюда у меня получается что игрек равен 6 минус 60 60 их можно видеть дроби написать можно в виде десятичной дроби написать вот таким образом решение нашей системы у нас будет число 2 минус 0,6 дозвониться из методом сложения не всё бывает так гладко как в прошлый раз да то есть просто раз была идеальная такая система для методом сложения Вот например в данной системе уже так не прокатит да то есть тут придётся скажем так подготавливать наши уравнения для того чтобы их удобно было сложить той что там например надо сделать Например если мы давно жим верхнего уравнение на минус 3 а нижнее уравнения на 7 то у нас коэффициент при X E получится тут - 21 А тут 21 и тогда складывать будет хорошо то есть а иногда методе сложения нужно выполнять вот такую подготовку не обязательно именно через X и можно да множить на -5 верхние и на 8 соответственно ниже уравнение и тогда у вас уйдут но мне хочется почему-то это да множить на - 3 а соответственно это я дам нужен что мне тогда получится у меня получится в следующие два уравнения тут получается - 21 x 8 - 3 у меня получится -24 игрек и соответственно 9 на - 3 у меня получится - 27 вот здесь 21 Икс плюс 5 на 7 35y и семь на семь получается 49 теперь я беру и два этих уравнения складываю левую часть складываю с левой частью правую часть в ходу с правой частью 21 X - 21 X Я даже писать не буду до 35 y - 24 Y у меня останется a11y в левой части А тут меня останется 49 - 27 это получится 22 да и получается соответственно и у нас равен просто вот так вот оказалось бы сейчас всё будет сложно а тоже нет все чисто хороший игрек равен Ну и теперь соответственно чтобы найти их мы можем это Y поставить в любое уравнение постоянно примерах во второе получается у нас 3 x + 5 умноженное на 2 равняется синий чай у нас 3 Икс равняется здесь у нас получается 7 - 10 получается -3 и отсюда их у нас равен минус одному решением этой системы будет пара точек -12 в методе сложения тоже есть определенные правила оформления То есть если вы не знаете как точно в школе вам нужно оформлять вы на всякий случай перед тем как идти на контрольную Элина советова обязательно посмотрите в учебнике Как там нужно оформлять что под конец сформулируем весь алгоритм методом сложения первым делом вам нужно подготовить одно Или об уравнении чтобы коэффициенты при какой-то переменный стали противоположными числами да то есть у нас здесь коэффициенты перестали 21 и - 21 стали противоположными числами потом соответственно вы берёте и складывайте эти два уравнения получаете значения этой переменной и значение этой переменной в любое из ваших начальных уровней получается значение другой переменной и в целом записывайте ответ вот в принципе и всё что такое метод сложения Ну и Давайте порешаем теперь какие-то А текстовые задачи с помощью систем линейных уравнений задачи следующие Надеюсь я её на экран тоже выведу Из города А в город Б расстояние между которыми 264 км выехал мотоциклист через 2 часа после этого навстречу ему из города Б выехал велосипедист который встретился с мотоциклистом через 1 час после своего выезда Найдите скорость каждого из них если за 2 часа мотоциклист проезжает на 40 км больше чем велосипедист За 5 часов Ну соответственно если нам нужно решать задачу с помощью системы линейных уравнений это значит нам нужно взять две переменные так как тут Спрашивается скорость самым логичным способом будет а за их взять скорость например велосипедиста А за Y скорость мотоциклиста Давайте составим первое уравнение так как мы знаем что у нас велосипедист Выехал через 2 часа после того как уже выехал мотоциклист А через час они встретились значит за это время они проехали весь путь от одного города до другого Да ехать на встречу то есть до встречи наш мотоциклист он проехал 3 часа потому что он 2:00 ехал заранее а потом один час месяц со свистом поэтому у нас будет а 3 игрек плюс икс равняется 264 а Мотоциклист проехал 2 часа заранее и один час после того как велосипедист выехал велосипедист до встречи ехал Только один час То есть суммарно получается они проехали 264 км первое уравнение есть второе уравнение Найдите скорость каждого из них если за 2 часа мотоциклист проезжает на 40 км больше чем велосипедист За 5 часов то есть если мы скорость мотоциклиста умножим она два то есть за 2 часа он проезжает на километров больше чем велосипедист За 5 часов то есть к тому сколько проехал велосипедист то есть 5X Да это за 5 часов он проехал можно прибавить ещё 40 потому что мотоциклист проезжает больше вот в принципе и всё да Теперь у нас есть система линейных уравнений решим полученную систему линейных уравнений с помощью методом сложения для этого первое уравнение давно уже на 2 а второе давно жена - 3 получится у нас 3 игрек умножаем на 2 получается 6 игрек плюс 2 икс - 64 у нас получится 528 А вот - 3 умножаем на шее на 2y получая минус 6 игрек равняется минус 15 икс минус 120 Вот теперь пишем в стенку левую часть складываем с левой части правую часть с правой части да то есть левая часть нас определяется знаком равно Поэтому слева у нас останется 6 игрек и минус 6 игрек сократится туда останется просто 2x А тут нас останется 528 Да - 15 x - 120 получается 15 сосуда получается 17 Икс равняется 528 минус 120 получается 408 и отсюда и всю нас получается 408 / 17 получается 20 Так значит 24 км ч это скорость велосипедиста чтобы получить скорость мотоциклиста мы 24 поставила второе уравнение получается 2 игрек равняется 5 x 24 + 40 я сразу определил левую правую часть na2o меня получится игрек равняется 5 на 12 + 20 Вот получается игрек равняется 5 на 12 в 60 + 20 в 80 Вот то есть 80 км это скорость мотоциклиста 24 км это скорость велосипедиста вот так вот а с помощью систем линейных уравнений можно решать задачи да то есть у нас здесь была цель Научиться решать задачи а именно показать что Вы просто берете две переменные до 2 с помощью не записывайте два уравнения и потом решая эту систему линейных уравнений не решаете свою задачу на этом всё я благодарю Вас за просмотр если вам видео действительно понравилась и вы считаете его полезным пожалуйста Поставьте лайк Напишите что-нибудь комментариях чтоб видео продвигалась А вот и если вам очень понравилась Пожалуйста отправьте там своим друзьям Одноклассникам Тем людям которым Действительно это видео может оказаться полезным и они его посмотрят Напоминаю что условия выхода следующего ролика это набрать 100000 просмотров и 5000 лайков под этим видео И после этого я начну работать над всей алгебре 8 класса так и еще для того чтобы видео за восьмой класс вышла по актуальным для вас книжкам Напишите в комментариях авторов учебников по которым вы занимаетесь на этом я с вами прощаюсь с вами был ахмадуллин Искандер Всем большое спасибо за просмотр пока пока