Überblick über Komplexe Zahlen

Wichtige Punkte

• Komplexe Zahlen sind essentiell in der digitalen Signalverarbeitung.
• Erweiterung der Zahlenwelt:
  • Natürliche Zahlen: 0, 1, 2, 3, ...
  • Ganze Zahlen: ... -2, -1, 0, 1, 2, ...
  • Bruchzahlen (Rationale Zahlen): z.B. 1/2, -5/3
  • Irrationale Zahlen: z.B. √2, π
• Wichtigkeit der nicht periodischen Zahlen.

Einführung der Imaginären Einheit

• Problem der Gleichung x² = -1
• Imaginäre Einheit: i mit der Eigenschaft i² = -1
• Beispiel: x² = -9 -> x = ±3i

Komplexe Zahlen

• Formen: z = a + bi, wobei:
  • a ist der Realteil (Re(z))
  • b mal i ist der Imaginärteil (Im(z))
• Komplexe Zahlen bestehen aus Realteil und Imaginärteil.
  • Realteil und Imaginärteil sind beide reelle Zahlen.
  • i ist die imaginäre Einheit (i = √-1).
• Beispiel einer komplexen Zahl: 2 + 3i

Komplexe Zahlen in der Ebene

• Zahlenstrahl vs. Ebene:
  • Reelle Zahlen auf horizontaler Achse (Rez).
  • Imaginäre Zahlen auf vertikaler Achse (Imz).
• Darstellung komplexer Zahlen in der Ebene.
  • Beispiel: Zahl 4i + 3 -> liegt bei (3, 4i) in der Ebene.
  • Veranschaulichung durch Vektorgeometrie.

Bedeutung von Komplexen Zahlen

• Komplexe Zahlen sind nicht auf eine Achse beschränkt, sondern in der komplexen Zahlenebene darstellbar.
• Zusammenhang mit Sinus und Cosinus im Einheitskreis.
  • Bedeutung für trigonometrische Funktionen.
  • Euler'sche Identität und Darstellung.

Fazit

• Überblick und Verständnis der Übergänge zwischen verschiedenen Zahlenarten notwendig.
• Komplexe Zahlen erleichtern viele Berechnungen und sind in vielen Bereichen, besonders in der digitalen Signalverarbeitung, sehr wichtig.