ja ich find es ganz wichtig eine Gesamtübersicht noch mal zu haben um in die Welt der komplexen Zahlen eigentlich einzutauchen viele verpöen ja die komplexen Zahlen als nicht sinnvolles ausgedachtes ich kann euch schon mal sagen für die digitale Signalverarbeitung wenn ihr also mit dem Kompi irgendwas woanders hinschickt irgendwelche Informationen das ist nur möglich aufgrund der Rechnung mit komplexen Zahlen als Fundament vielleicht wenn ihr dann eben Schritt für Schritt so ein Einblick habt kommt man ein bisschen bisschen besser damit zurecht ich versuche mich auch kurz zu halten weil ihr das wahrscheinlich schon durchgegangen seid nur dass man mal so eine Übersicht hat was für die komplexen Zahlen dann wichtig ist also die natürlichen Zahlen mit der 0 0 1 2 und so weiter da war die Zahlenwelt ja noch in Ordnung man hat bei 0 angefangen 1 2 3 4 und so weiter und so fort damit war man in der Lage 2 x x = 4 diese Gleichung zu lösen geteilt durch 2 ist x = 2 ganzzahlich und positiv problematischer wä es dann wenn wir haben -2 x x = 4 das können wir hier in der Welt der natürlichen Zahlen nicht lösen aber mit der Einführung dann entsprechend 1 Z Pünktchen ist klar und dann -1 -2 und so weiter und so fort was weiß ich Einführung der Banken Kontostand kann man auf den Minus rutschen ich hier jetzt Teile x -2 lösbar das heißt die Zahlenwelt ist erweitert worden immer noch ganzzahlich aber negativ dann natürlich die Frage was passiert hier x = 3 ge 2 wieder was neues Einführung der Bruchzahlen ich kann aus dieser Bruchzahl das ganze als Dezimalzahl schreiben 1,5 wir sind dann in der Welt der rationalen Zahlen also manche sagen immer ganz plump irg irwas immer noch dazwischen also 0 1 3/be und so weiter und hier hinten dann auch irgendwo -5 dr oder sowas dann nächste Erweiterung nächstes Paket was ist mit x² = 2 ich suche eine Zahl die mit sich selber quadriert 2 ergibt da stieß man ja dann auf Wurzel 2 ist 1,41 Pünktchen Pünktchen Pünktchen Schreibweise natürlich auch Plus und Minus wenn ich die wur ziehe denn wenn ich die positive Zahl mit sich selber multipliziere oder die negative das ist vollkommen egal es käme dann zwei raus aber diese Pünktchen Pünktchen Schreibweise es findet offensichtlich dort kein Ende ist aber auch nicht periodisch also da fehl dann nach den rationalen Zahlen als Zahlenwelt das Wort irrationale Zahl und wenn ich die noch in die Zahlenwelt reinpacke die ja wieder irgendwo dazwischen sind dann bin ich in der Welt der der reellen Zahlen wo also eben dann nicht nur 0 1- 5 dr sondern auch PI z.B kennt man ja auch noch 3,14 Pünktchen Pünktchen Pünktchen das ganze zusammengefasst ist ich bin aber die ganze Zeit auf einem Zahlenstrahl und jetzt wird's ein bisschen heikel denn dann kam die nächste Geschichte was ist denn wenn wir x² =-1 haben wir suchen also eine die mit sich selber multipliziert -1 ergibt Moment minus mal Minus ist plus plus mal Plus ist plus geht also nicht also hat man an der Stelle jetzt hier eingeführt na ja dann nehmen wir dann denken wir uns eine Zahl deshalb könnte man ja die Brücke schlagen zu imaginär meine imaginäre Freundin oder mein imaginärer Freund den ich mE oder die ich mir vorstelle i hoch 2 ergibt -1 vielleicht taucht dann auch auf i= wurel-1 und das wäre die imaginäre Einheit das ist aber noch nicht die Welt der komplexen Zahlen denn viele denken jetzt okay ich habe jetzt dieses i eingeführt wenn ich z.B jetzt habe x² = -9 daraus könnte könntet ihr jetzt machen x² = was weiß ich ich schreib mal -1* 9 daraus dann die Wurzel gezogen wurzelgesetze x= w√el-1 mal √ 9 ist 3 und wurzel-1 ist ja die imaginäre Einheit also kann ich schreiben 3i das reicht noch nicht aus denn das solltet ihr ja bei der Mengenlehre durchgenommen haben über die Abgeschlossenheit wenn ich jetzt hier reinpacken würde die ganzen reellen Zahlen ich ma das mal so plump alle reellen Zahlen und jeweils i 3i 20i was auch immer wenn ihr jetzt wieder zwei Elemente nehmt z.B was weiß ich eine reelle Zahl 2 + 3i dann habt ihr hier ein neues Konstrukt und dieses Konstrukt muss auch mit da rein 2 + 3i um in die Welt der komplexen Zahlen zu kommen und dieses Paket würdet ihr oft wieder finden da werdet ihr wahrscheinlich dann z = A + b* i das eigentlich eine gängige Schreibweise wiederfinden mit und das ist jetzt wo ich dann sagen kann da ist der Mathematiker dann glücklich denn dann ist er auch abgeschlossen in diesem System ich habe dann hier entsprechend den sogenannten Realteil Rez wird da wahrscheinlich bei euch stehen und den Achtung Imaginärteil im Z wobei das ganze die imaginäre Zahl wäre imaginäre Zahl und die Welt der komplexen Zahlen eben besteht aus wir haben den Realteil das ist eine reelle Zahl wir haben den Imaginärteil B diese Zahl ist der Imaginärteil ist auch eine reelle Zahl die imaginär Einheit ist festgelegt als i qu= -1 oder i ist Wurzel aus -1 B mal i ergibt eine imaginäre Zahl und das Paket zusammen addiert Z um die Welt der komplexen Zahlen wirklich abzuschließen und damit kann man dann wirklich alles berechnen und wichtig ist jetzt noch dass man aus diesem einen zahlenstrahlt jetzt rausbricht um diese Zahl jetzt deutlich zu machen brauche ich nebendem ich schreibe immer reelle Zahlen rezet also hier sind alle reellen Zahlen brauche ich eine weitere Achse imz sie immer toll und faszinierend an wenn ich es so schreibe dann da müsst ihr aufpassen dass ihr da nicht durcheinander kommt dann schreibe ich ja 1 2 3 dahin es gibt auch andere Versionen wo ihr nicht inetter stehen habt sondern imaginäre AK Achse im Sinne von i 2i 3i lasst euch davon nicht verwirren wenn ich z.B jetzt die imaginäre Zahl nehme was weiß ich imaginäre Zahl 4i diese müsste ich deutlich machen in der vertikalen Achse + 3 ergibt eine komplexe Zahl wie komme ich zu dieser komplexen zahl ich gehe 1 2 3 + 3 auf der Achse Rez und 4i 1 2 3 4i entsprechend hierhin und liege dann entsprechend genau da wo die komplexe Zahl sein soll schinlich findet ihr dann auch einen Pfeil und sagt euch das hat doch ein bisschen was mit der vektorgeometrie zu tun kann man sich eine kleine Eselsbrücke bauen wichtig jetzt die Welt der komplexen Zahlen ist nicht mehr in einer Achse zu finden sondern in einer Ebene das heißt ihr kommt ja jetzt überall zu dieser Ebene wenn man Test machen würde 1 2 3 4 1 ich gehe hierhin wie würde diese komplexe Zahl lauten ihr seid vom Ursprung aus 1 2 3- 4 auf rezet gegangen ich nenn immer rezet - 4 und einmal auf im Z also + 1 i und dann entsprechend bei eurer komplexen Zahl und so kommt ihr überall in dieser Ebene und das wäre die gausche Gaus wie Euler immer wieder anzutreffen oder komplexe Zahlenebene das schon mal als Einstieg ganz wichtig damit ihr einen Überblick habt was war bisher was passiert hier eigentlich in der Welt der komplexen Zahlen woraus bestehen diese Pakete und dann kann man bisschen entspannter zu den rechn rein gehen und gerade hinterher auf Sinus und Cosinus auf den Zusammenhang im Einheitskreis kommen und dann noch mal zu sehen wie wichtig eben diese Darstellung ist um Sinus und Cosinus auch anders auszudrücken und dann kommt auch wieder Euler dazu