Доброго дня, шановні старшокласники! Сьогодні на уроці ми ознайомимося з вами з формулами зведення. Формулами зведення називають формули, за допомогою яких тригонометричні функції від аргументів типу kπ плюс-мінус α і в дужках 2k плюс 1 помножене на π на 2 плюс-мінус α зводять до тригонометричних функцій від аргументу α. Який же алгоритм форму зведення?
Перше, якщо до числа α додається число kπ, то яка належить z, тобто число, яке зображується на горизонтальному діаметрі одиничного кола, то назва заданої функції не змінюється. А якщо додається число в дужках 2k плюс 1 помножене на π на 2, тобто число, яке зображується на вертикальному діаметрі одиничного кола, то назва заданої функції змінюється на відповідну. Синус на косинус, косинус на синус, тангенс н а котангенс і котангенс на тангенс.
І друге. Знак одержаного виразу визначається знаком початкового виразу, який умовно можна вважати ут-а-гострим. Отже, побудуємо довільний гострий кут повороту α.
Тепер зобразимо кут 90 градусів плюс α, 180 градусів плюс α, 270 градусів плюс α і 360 градусів плюс α. З рівності прямокутних трикутників можна зробити висновок, що косинус альфа дорівнює синус 90 градусів плюс альфа дорівнює мінус косинус 180 градусів плюс альфа дорівнює мінус синус 270 градусів плюс альфа дорівнює косинус 360 градусів плюс альфа, а також синус альфа дорівнює мінус косинус 90 градусів плюс альфа дорівнює мінус синус 180 градусів плюс альфа дорівнює... косинус 270 градусів плюс альфа дорівнює синус 360 градусів плюс альфа. Розглянемо приклади.
Як можна виражати в градусній мірі? градусів дорівнює 90 градусів помножити на 11 плюс 30 градусів дорівнює 90 градусів помножити на 12 мінус 60 градусів. І як ми записуємо, тобто виражаємо в радіанах? 28π на 3 дорівнює π на 2 помножити на 18 плюс π на 3 дорівнює π на 2 помножити на 19 мінус π на 6. 28π на 3 поділити на π на 2 дорівнює Чисельнику дробу 28π помножити на 2 в знаменнику 3π дорівнює 56 третіх, дорівнює 18,2 третіх, дорівнює 18 плюс 2 третіх, дорівнює 19 мінус 1 третя. Отже, помножте отримані суму чи різницю на π на 2 і отримайте шукані вирази.
В обох випадках ми... Досягли наступного. Аргумент тригонометричної функції подано у вигляді цілого числа прямих кутів плюс чи мінус якийсь гострий кут. Правило 1. Якщо кут α відкладають від осі ОХ, то найменування функції не змінюється.
А якщо кут альфа відкладають від осі у, то найменування функції змінюється. Правило 2. Знак в правій частині формули визначається за знаком функції в лівій частині. Розглянемо приклад. Необхідно знайти синус 1020 градусів. Спочатку подано даний кут в потрібному нам вигляді.
1020 градусів дорівнює 90 градусів помножити на 11 плюс 30 градусів дорівнює 90 градусів помножити на 12 мінус 60 градусів. У першому випадку нам... доведеться змінювати дану функцію синус на кофункцію – косинус, і кількість прямих кутів непарне У другому функція синус збережеться. Залишається нез'ясованим питання про знак перед отриманим результатом. Для його вирішення нам необхідно вміти працювати з одиничним тригоном.
Тому уваж но слідкуємо за обертанням точки. В будь-якому випадку виходить четверта чверть, у якій синус набуває від'ємних значень. Отже, синус 1020 градусів дорівнює синус 11 помножити на 90 градусів плюс 30 градусів дорівнює мінус косинус 30 градусів.
Відповідно, це мінус корінь квадратний з 3 на 2. Синус 1020 градусів дорівнює синус 12 помножити на 90 градусів мінус 60 градусів дорівнює мінус синус 60 градусів, дорівнює, відповідно, мінус корінь квадратний з 3 на 2. Отже, у випадках, коли аргумент тригонометричної функції є від'ємним, використовують властивість парності і непарності тригонометричних функцій. Розглянемо перше завдання. Необхідно виразити тригонометричні функції через кут менше 45 градусів. Отже, синус 168 градусів можна представити як різницю кутів синуса 180 градусів і 12. Відповідно, синус 12 градусів. Аналогічно розв'язуємо і знаходимо.
косинус 123 градусів, тангенс 174 градусів, Тангенса 263 градусів, катангенса градусів. Косинусе мінус 969 градусів. Другому завданні необхідно спростити вираз.
3 косинус альфа мінус 3 косинус 360 градусів мінус альфа плюс косинус 90 градусів мінус альфа плюс синус. Альфа плюс 90 градусів. Перевіряємо.
Якщо останні формули записати справа наліво, то одержимо корисні співвідношення, які часто називають формулами доповняльних аргументів. Аргументи α і π на 2 мінус α доповнюють один одного до π на 2. Продовжуємо розв'язувати вправи. Перше завдання. Необхідно обчислити за допомогою формул зведення наступні вирази. Перше.
Косинус 210 градусів. Косинус 210 градусів можна представити як суму кутів 180 та 30 градусів. Наступно необхідно знайти тангенс 3π на 4. Я гадаю, що ви впорались. У другому завданні необхідно довести тотожність.
В чисельнику дробу записуємо косинус 3π-альфа. В знаменнику тангенс π на 2 плюс альфа помножити в чисельнику. синус π на 2 плюс α в знаменнику тангенс π плюс α мінус косинус квадратів в дужках 3π на 2 мінус α дорівнює косинус 2α.
І доводимо. В чисельнику косинус 3π мінус альфа в знаменнику тангенс π на 2 плюс альфа помножити в чисельнику синус π на 2 плюс альфа в знаменнику тангенс π плюс альфа мінус косинус квадратів в дужках 3π на 2 мінус альфа дорівнюю в чисельнику мінус косинус альфа помножити на косинус альфа в знаменнику. Мінус катангенс альфа п омножити на тангенс альфа, мінус синус альфа в квадраті, дорівнює в чисельнику мінус косинус квадрат альфа, в знаменнику мінус один, мінус синус квадрат альфа, дорівнює косинус квадрат альфа, мінус синус квадрат альфа, дорівнює косинус два альфа.
І, як підсумок, самостійна робота, за допомогою якої ви зможете виявити рівень оволодіння знаннями. Отже, робота виконується за варіантами, ви можете обрати будь-який. Перше завдання необхідно обчислити за допомогою форму зведення.
І в другому завданні необхідно обчислити. Перевіряємо. Отже, я сподіваюся, що ви боролись і наші відповіді збіглися.
Дякую за увагу. Щасти!