السلام عليكم ورحمة الله وبركاته أحمد الفديد يرحب بكم في شرح دروس الرياضيات للصف الثالثة المتوسط درسنا اليوم بعنوان حل نظام من معادلتين خطيتين بالتعويض نبدأ الدرس على بركة الله مع هذا التمرين يقول التمرين استعمل التعويض لحل النظام الآتي معطينا معادلتين نذكر في الدرس الماضي الدرس الماضي أخذنا كيفية حل النظام المكون من معادلتين بالتمثيل بيانيا قلنا إذا كان عندنا معادلتين نمثلهما بيانيا فإذا تقاطع التمثيلان بيانيا في نقطة واحدة فهذه النقطة هي حل هذا النظام وإذا انطبق المستقمان على بعض فإنه يوجد عدد لا نهائي من الحلول وإذا كان المستقيمان متوازيان في التمثيل البياني فإنه لا يوجد حل للنظام هذا طريقة حل الدرس الماضي التمثيل البياني الحل بالتمثيل البياني الآن سنتعرف على كيفية حل النظام المكون من معادلتين بالتعويض فنبدأ بحل هذا النظام لاحظ أن إحدى المعادلتين هنا اللي هي المعادلة الأولى مكتوبة أساسا بالنسبة إلى الصاد يعني الصاد يساوي لاحظ هذه المعلومة مهمة جدا طريقة الحل سهلة ناخذ المعادلة الثانية 50 زائد 3 الصاد يساوي سالب 1 ونكتبها بهذا الشكل الآن لاحظ أنا كتبت الصاد بلون أحمر نعوض عن قيمة الصاد بقيمتها بالمعادلة الأولى لاحظوا المعادلة الأولى تقول صاد يساوي يعني قيمة الصاد 4 سين ناقص 6 إذن نعوض عن قيمة الصاد باللون الأحمر ب4 سين ناقص 6 فنكتب المعادلة الثانية 5 سين زائد 3 صاد نحذف الصاد ونفتح قوس ونضع قيمة صاد الموجودة أخذناها من المعادلة الأولى ثم نقفل القوس يساوي سالب 1 حل هذه المعادلة نضرب الثلاثة على ما بداخل القوس يضرب بالحد الأول ثم الحد الثاني فثلاثة ضرب أربع سين فيها 12 سين وثلاثة في سالب ستة فيها سالب 18 فتكون المعادلة خمسة سين ينزل كما هو زائد 12 سين ناقص 18 يساوي سالب 1 حل هذه المعادلة معادلة تحتوي عدة متغيرات نجمع المتغيرات المتشابهة خمسة سين زائد 12 سين فيها 17 سين ونكمل كتابة المعادلة ناقص 18 يساوي سالب 1 الآن معادلة متعددة خطوات نتخلص من السالب 18 وذلك بنقلها للطرف الأيمن مع تغيير الإشارة تصبح موجب 18 يصبح الطرف الأيسر سالب 1 وموجب 18 فيها موجب 17 فتكون المعادلة 17 سين يساوي 17 معادلة ضرب نقسم الطرفين على 17 فالطرف الأيمن 17 تقسيم 17 1 يتبقى سين يساوي والطرف الأيسر 17 تقسيم 17 فيها واحد إذن قيمة السين تساوي واحد هل انتهى حل هذا السؤال لا أوجدت قيمة السين الآن نريد أن نوجد قيمة الصاد فنعوض بالمعادلة الأولى عن قيمة سين وش تقول معادلة الأولى تقول صايد يساوي أربع ضرب سين ناقص ستة عوضها الآن بقيمة السين بالواحد فنكتب المعادلة الأولى ونعوضها عن قيمة السين بالواحد أربع ضرب واحد ناقص ستة الناتج كم أربع ضرب واحد أربعة ناقص ستة بعد الطلب يقول اثنين لا سالب اثنين لو كانت 6 ناقص 4 يعطينا 2 لكن هنا 4 ناقص 6 إذا انحل المعادلة هنا سيكون قيمة السين الحل هو 1.2 تضع قيمة السين ثم قيمة الصاد كيف تتأكد انحلك صح ولا خطأ عوض عن قيمة السين والصاد بالمعادلتين بالمعادلة الأولى وبالمعادلة الثانية ستجد أن النواتج في الطرفين يكون متساوية ناخذ تمرين آخر أيضا استعمل التعويض لحل النظام المعادلة الأولى تقول 2 سين زائد 5 صاد يساوي سالب 1 والمعادلة الثانية صاد يساوي 3 سين زائد 10 نحل هذه المعادلة لاحظنا المعادلة الثانية مكتوبة أساسا بالنسبة إلى الصاد فنكتب المعادلة الأولى 2 سين زائد 5 صاد يساوي سالب 1 ونتعمد تكتب الصاد باللون الأحمر نعوض عن قيمة الصاد بالمعادلة الثانية فتكون قيمة الصاد ثلاثة سين زائد عشرة بهذا الشكل نفتح قوس ونضع قيمة الصاد الآن نضرب الخمسة على ما بداخل القوس خمسة في ثلاثة سين خمسة عشر سين وخمسة في عشرة فيها خمسين فتكون المعادلة تنزل اثنين سين زائد خمسة عشر سين زائد خمسين يساوي سالب واحد حل المعادلة مثل التمرين السابق بالضبط اثنين سين زائد خمسة عشر سين 17 سنة زائد 50 يساوي سالب 1 معادلة متعددة خطوات نتخلص من الموجة بخمسين وذلك بنقله للطرف الآخر مع تغيير الإشارة يصبح سالب خمسين فيكون الطرف الأيسر سالب واحد مع سالب خمسين فيها سالب واحد وخمسين فتكون معادلة سبعطاعش سين يساوي سالب واحد وخمسين الآن نقسم الطرفين على كم على السبعطاعش لأنه هو اللي مع المتغير فنقسم الطرف الأيسر سالب واحد وخمسين على السبعطاعش فيها سالب ثلاثة بعض الطلاب يقول شو أنا عارف 51 تقسيم 17 حادي جدول 17 17 ضرب 1 17 ضرب 2 17 ضرب 3 ستصل لل51 ولو جربت بالآلة الحاسبة 51 تقسيم 17 يساوي 3 وإشارتين مختلفتين الناتج سالب أوجدنا قيمة السين نريد أن نوجد قيمة الصاد نعوض بالمعادلة الثانية ترى إذا عوضت بالمعادلة الأولى صحيح لكن يكون أطول المعادلة الثانية جاهزة الصاد يساوي 3 نقول نعوض المعادلة الثانية عن قيمة سين فالمعادلة الثانية تقول ثلاثة سين زائد عشرة قيمة السين سالب ثلاثة فنقول ثلاثة ضرب سالب ثلاثة زائد عشرة ثلاثة في سالب ثلاثة سالب تسعة زائد عشرة فيها موجب واحد إذن الصاد يساوي موجب واحد جدا سهل الآن نكتب الحل هو نضع قيمة السين سالب ثلاثة فاصلة واحد ناخذ تمرين آخر فيه اختلاف بسيط جدا لاحظ يقول استعمل التعويض لحل النظام المعادلة الأولى 4 سين زائد 5 صاد يساوي 11 المعادلة الثانية الصاد ناقص 3 سين يساوي سالب 13 وش فرق هذا التمرين عن التمرينين السابقين هنا لو تلاحظ أن المتغيرات لا يوجد أي من المتغيرات مكتوبا لوحده هنا يعني ما فيه قيمة صريحة للسين أو للصاد أو لم تكتب إحدى المعادلات بدلالة السين او الصاد. شنسوي بهذه الحالة? نكتب المعادلة بدلالة اما السين او الصاد. المعادلة الثانية لاحظ. تقول الصاد ناقص ثلاثة سين.
قم بنقل السالب ثلاثة سين للطرف الاخر. تصبح موجب ثلاثة سين. فتكون المعادلة الثانية هنا نبدأ بالحل. تكون المعادلة الثانية. الصاد يساوي ثلاثة سين ناقص ثلاثطعش.
هذه المعادلة الثانية. والمعادلة الاولى كما هي. الان نبدأ الحل. فنكتب المعادلة الأولى 4 سين زائد 5 صاد يساوي 11 قيمة الصاد هذه بالمعادلة الثانية التي كتبناها اللي هي 3 سين ناقص 13 فنعوض عن قيمة الصاد بهذه القيمة تكون المعادلة 4 سين زائد 5 ونفتح قوس نضع قيمة الصاد نقفل القوس يساوي 11 يساوي 11 الان نحل مثل ما حلينا التمرينين السابقين نضرب الخمسة على ما بداخل القوس خمسة في ثلاثة سين خمسة عشر سين وخمسة في سالب ثلاثة عشر فيها سالب خمسة وستين وينزل باقي الحدود كما هي حل هذه المعادلة نجمع المتغيرات المتشابهة اربع سين زائد خمسة عشر سين فيها تسعة عشر سين ناقص خمسة وستين يساوي 11 الآن نحل هذه المعادلة نتخلص من السالب 65 وذلك بنقلها للطرف الآخر مع تغيير الإشارة تصبح موجب 65 مع موجب 11 يكون الناتج موجب 76 والطرف الأيمن 19 سين الآن نقسم الطرفين على 19 استخدم الآلة الحاسبة 76 تقسيم 19 فيها 4 أوجدنا قيمة السين نوجد قيمة الصاد نعوض بالمعادلة الثانية عن قيمة السين هنا المعادلة الثانية التي كتبناها تقدر تعوض بأي معادلات بالسؤال العادي فنكتب المعادلة الثانية صاد يساوي 3 في قيمة السين ناقص 13 قيمة السين 4 فيكون 3 ضرب 4 ناقص 13 3 ب 4 12 ناقص 13 فيها سالب 1 إذن الحل هو 4 فاصلة سالب 1 قيمة السين 4 وقيمة الصاد سالب 1 يعني هذا التمرين مثل التمرين السابق بس زودنا خطوة وهي أننا كتبنا إحدى المعادلتين بدلالة الصاد طيب هل لازم نكتب بدلالة الصاد؟ ما ينفع نكتب بدلالة السين؟ لا ينفع على حسب المعادلتين ناخذ هذا التمرين يقول التمرين استعمل أيضا التعويض لحل النظام المعادلة الأولى لاحظ سين ناقص ثلاثة صاد يساوي سالب تسعة والمعادلة الثانية خمسة سين ناقص اثنين صاد يساوي احدعش نبدأ بحل هذا النظام لكن يجب أن تكتب إحدى المعادلتين بدلالة إما السين سين أو الصاد لاحظ المعادلة الأولى سين ناقص ثلاثة صاد لو قمت بنقل السالب ثلاثة صاد للطرف الآخر تصبح المعادلة الأولى طبعا نكتب هنا المعادلة الأولى سين يساوي ثلاثة صاد ناقص تسعة الآن نبدأ بحل هذه المعادلة يعني بس غيرنا بكتابة المعادلة الأولى شوي نكتب المعادلة الثانية خمسة سين ناقص اثنين صاد يساوي سبعة الآن نعوض عن السين لماذا؟ لأن المعادلة الأولى مكتوبة بدلالة السين فنقول خمسة ضرب قيمة السين كم بالمعادلة الأولى؟ ثلاثة صاد ناقص تسعة بهذا الشكل نضعها داخل قوس ناقص اثنين صاد يساوي سبعة نفك هذا القوس نضرب الخمسة بثلاثة صاد و5 في سالب 9 فيكون 15 صاد ناقص 45 ناقص 2 صاد يساوي 7 نجمع المتغيرات المتشابهة 15 صاد مع سالب 2 صاد فيها 13 صاد ناقص 45 ما ننسى نكتب باقي الحدود يساوي 7 نتخلص من السالب 45 وذلك بنقله للطرف الآخر مع تغيير الإشارة يصبح موجب 45 وموجب 7 فيها 52 والطرف الأيمن 13 ساعة الآن نقسم الطرفين على 13 52 تقسيم 13 فيها 4 إذن قيمة الصاد تساوي 4 نريد أن نوجد قيمة السين نقول نعوض بالمعادلة الأولى عن قيمة الصاد المعادلة الأولى التي كتبناها حنا فنكتب المعادلة الأولى السين يساوي 3 صاد ناقص 9 كم قيمة الصاد؟ 4 فنقول 3 ضرب 4 ناقص 9 3 ضرب 4 12 ناقص 9 فيها 3 إذن حل النظام الحل نقول 3.4 نضع قيمة السين ثم قيمة الصاد إذا بدلنا خطأ طيب السؤال هل دائما يوجد حل للنظام؟ طبعا ما هو دائما مثل ما تعرفنا الدرس الماضي إذا كان المستقيمان متوازيان معناه لا يوجد حل للنظام طيب كيف نعرف من خلال حل بالتعويض أن هذا النظام ليس له حل؟ سنتعرف على ذلك ذلك من خلال التمرين التالي أيضا يقول التمرين استعمل التعويض لحل النظام المعادلة الأولى 2 سين ناقص 8 المعادلة الثانية 2 سين ناقص 3 نحل بالطريقة السابقة نكتب المعادلة الأولى 2 سين ناقص ساد يساوي 8 نعوض عن قيمة الساد بالمعادلة الثانية قيمة الساد 2 سين ناقص 3 لاحظ أمامها إشارة سالب فتتغير الإشارات ينزل 2 سين ناقص 2 سين زائد 3 لماذا أصبح موجب لأنك ضربت السالب بسالب 3 أصبح موجب 3 نكمل يساوي 8 حل هذه المعادلة موجب 2 سين وسالب 2 سين بها صفر ماذا يتبقى الطرف الأيمن ثلاثة والطرف الأيسر ثمانية تصبح المعادلة بهذا الشكل ثلاثة يساوي ثمانية هل هذه الجملة صحيحة خطأ ثلاثة لا يساوي ثمانية بما أنه ظهر لديك هذا الناتج نقول لا يوجد حل للنظام لماذا لأن الجملة الناتجة خاطئة أما إذا كانت الجملة الناتجة صحيحة يعني مثلا 8 يساوي 8 أو سالب 4 يساوي سالب 4 هنا في هذه الحالة نقول يوجد عدد لا نهائي من الحلول نأخذ التمرين التالي للتأكد أيضا استعمل التعويض لحل النظام معطينا معادلتين 4 سين ناقص 3 صاد يساوي 1 و 6 صاد ناقص 8 سين يساوي سالب 2 طبعا هذه المعادلة حلها شوي طويل لكن أنا مجبور أحل نزولا عند رقبة كثيرا من المتابعين هو ما هو طويل يعني بالفكرة اللي انت متوقع لكن فيه فكرة جديدة هنا طيب نكتب المعادلة الاولى بدلالة اما السين او الصاد نكتب بدلالة مثلا السين فنقوم بنقل السالب ثلاثة صاد للطرف الاخر يصبح الطرف الايسر ركز الطرف الايسر يصبح ثلاثة صاد زاد واحد صح والطرف الايمن اربع سين ان تخلص من الاربع نقسم جميع الاطراف على اربع فتصبح المعادلة الأولى بهذا الشكل لاحظ ثلاثة صاد قسمنا على أربعة زاد الواحد قسمنا على أربعة فأصبحت المعادلة الأولى بهذا الشكل والمعادلة الثانية تكتب كما هي الآن أصبح لدينا معادلتين نبدأ بالحل نكتب المعادلة الثانية ونعوض عن قيمة السين هنا لاحظ المعادلة الثانية ست صاد ناقص ثمانية سين حذفنا السين ووضعنا قيمة السين بالمعادلة الأولى الآن نحل هذه المعادلة نضرب السالب ثمانية بثلاثة على أربعة سالب ثمانية أو شيء ثمانية على أربعة فيها ثنين فيصبح سالب ثنين ضرب ثلاثة فيها سالب 6 صدر والسالب 8 في 1 على 4 يعني 8 على 4 فيها 2 فنضرب سالب 2 ضرب 1 فيها سالب 2 أصبحت المعادلة 6 صاد ناقص 6 صاد ناقص 2 يساوي سالب 2 عندنا موجب 6 صاد وسالب 6 صاد فيها صفر فيتبقى الطرف الأيمن سالب 2 والطرف الأيسر سالب 2 الجملة صحيحة الآن هذه تسمى متطابقة فنقول هنا بما أن الجملة الناتجة متطابقة فإنه يوجد عدد لا نهائي من الحلول التمرين الأخير في هذا الدرس يقول التمرين من واقع الحياة يقول مجموعة النقاط التي سجلها فريقان في إحدى مباريات كرة اليد 31 نقطة فإذا كان عدد نقاط الفريق الأول يساوي 5.2 مرة عدد نقاط الفريق الثاني فما عدد نقاط كل فريق نكتب معادلتين خلنا نفرض أولا أن نقاط الفريق الأول سين ونقاط الفريق الثاني صاد نعود للسؤال يقول مجموع نقاط الفريقان 31 نقطة يعني نكتب المعادلة الأولى سين زائد صاد يساوي 31 نقطة طيب المعادلة الثانية يقول فإذا كان عدد نقاط الفريق الأول اللي هو سين يقول يساوي 5.2 نقاط الفريق الثاني فتكون المعادلة الثانية سين يساوي 5.2 صاد نحل هذا النظام بالتعويض نعوض المعادلة الثانية بالمعادلة الأولى المعادلة الأولى تقول سين زائد صاد يساوي 31 عوض عن قيمة سين بالمعادلة الثانية اللي هي 5.2 صاد فتصبح المعادلة سين زائد صاد قيمة السين 5.2 صاد زائد صاد يساوي 31 حل هذه المعادلة 5.2 زائد 1 المعاملة الصاد 1 تصبح 6.2 ونكتب المتغير صاد يساوي 31 الآن أصبح لدينا معادلة ضرب 6.2 صاد يساوي 31 نتخلص من 6.2 نقسم الطرفين على هذا العدد فنقول 31 تقسيم 6.2 فيها 5 إذن قيمة الصاد تساوي 5 وهذه الألاء الحاسبة للتأكد نقول 31 تقسيم لاحظ معي الستة بعض الطلاب يضع الصفر بدل الفاصلة هذا الصفر وهذه الفاصلة فاصلة اثنين يساوي خمسة اذا قيمة الصفر تساوي 5 الآن نريد أن نوجد قيمة السين يعني الفريق الثاني سجل 5 أهداف كم سجل الفريق الأول إذا كان المجموع 31 واضح أنه 26 سجل لكن نعوض بالمعادلة الأولى السين زائد صاد يساوي 31 قيمة الصاد 5 فنقول سين زائد 5 يساوي 31 حل هذه المعادلة نطرح من الطرفين سالب 5 يعني 31 ناقص 5 فيها 26 إذن الفريق الأول سجل 26 نقطة والفريق الثاني ستساوي نسجل خمس نقاط فنكتب هنا نقاط الفريق الأول 26 ونقاط الفريق الثاني خمس نقاط إلى هنا نصل لنهاية هذا الدرس لا تنسى تدعمنا باللايك والاشتراك ونشر القناة هذا والله أعلم وصلى الله وسلم على نبينا محمد وعلى آله وصحبه أجمعين