असलाम उलेकुम डियर स्टुडेंट्स, जी स्टुडेंट्स हमारा जो चेप्टर नमबर तू की एक्सरसाइज नमबर 2.1 जा रही है और लास्ट लेक्शर के अंदर ये सारे लेक्शर कनेक्टेड हैं इनको मिस ना कीजेगा कनेक्टेड सुने इनको इंस्टूडर डॉट कॉम पे जाके सुने ताके पहले लेक्शर नमबर 1 आये, 2 आये, 3 आये सो कनेक्शन मत तोड़ियेगा बगएर ब्रेक लिए इकेट के मैं इसी लिए स्टार्ट कर रहा हूँ कि बहुत से स्टूडेंट्स ने मुझे चेप्टर नमबर टू का फोर्स किया है कि आप चेप्टर नमबर टू पे आएं तो मैं बगएर ब्रेक लिए ये इसलिए कर रहा हूँ अदरवाइज मेरा मूट था कि मैं कोई एक दो वीक जो है अब रुक जाओं थोड़ा रेस्ट करूँ लेकिन मैंने बगएर ब्रेक लिए आपके ल अब बातें हैं binomial series के उपर, लेकिन binomial series के उपर मैं आऊंगा क्यूं? इसकी वज़ा देखें, अगर मेरे पास अब जो powers हैं, जैसे मैंने last question में किया x raised to power 100 की बात कर ली, 40 की बात कर ली, m की बात कर ली, m को natural numbers रखते हुए, तो अब अगर वो जो power है वो या तो negative हो जाए या फिर वो power non-integral numbers बने negative बने या non-integral numbers बने तो जब negative होगी या non-integer होगी तो अब हम कौन सा scenario किस situation में follow करेंगे ये चीज सीखनी है सो पहले सीखें के काम करना कैसे है questions का कोई problem नहीं है सिरफ power change होगी वो हम उस जगा पे change करना मैं आपको सिखा दूँगा सो पहले सीखें के काम कैसे करना है मिसाल के तौर पे मैं आपकी exercise में से अगर कुछ लेके चलता हूँ तो उसको follow कर लेते हैं हमारे पास जो आपका second part है वो है y is equal to 2 minus square root root x, यह सवाल है, so बहुत तवज्जो के साथ, जितनी भी अब इसके उपर powers आएंगी न, x के उपर, वो x की powers negative हो, non integer, non integer, positive, non integer, negative हो, कोई issue नहीं है, pattern जो मैं आपको सिखाने जा रहा हूँ, यही रहेगा, तरीका गार तो वैसे ही पहले वो 4 steps, derivatives तो हम वैसे ही find करेंगे, लेक दूसरे step में students हमने y में delta y और x में delta x add करना है ठीक हो गया power 1 over 2 square root है ना तो इसको मैं 1 over 2 लिख रहा हूँ ठीक हो गया अब delta y is equal to 2 minus x plus delta x 1 over 2 minus y, फिर delta y is equals to, ये बच्चो आ जाएगा, 2 minus x plus delta x raised to power 1 over 2 minus, y की जब पर ये लिखे, minus 2, और minus square root x, ये नहीं कि x raised to power 1 over 2, और delta y is equals to 2 minus x plus delta x raised to power 1 over 2, और बच्चों यह आजाएगा minus 2 plus x raised to power 1 over 2, यह minus 2 is plus 2 से cancel हो जाएगा, यह मैं cancellation तक इसका wait कर रहा था कि इसको लेके चलो, अब हम आते हैं, delta y is equals to, मैं यह plus वाला factor पहले लिख रहा हूँ, x raised to power 1 by 2, x plus delta x raised to power 1, x raised to power 1 by 2, अब आप सोचते होंगे, मैंने कहा था कि वो जो actual question है, वो cancel हो जाता है, 2 तो cancel हो गया, अभी यह x raised to power 1 by 2 था, वो जो अभी cancel होना है, लेकिन students जरा घौर करें, कि जब तक power जो पिछले मेरे lectures थे, 2 आई, 3 आई, 4 आई, 100 आई, 1000 आई, कुछ भी आ गई, binomial expression से हमने इसको solve कर लिया, लेकिन अब क्या scene बन गया है, इसकी जो power है, वो एक non-integral number है, अब मैंने जब मेरे पास आया x plus delta x raise to power 2, तो square का formula लगा दिया, मेरे पास आ जाता है x plus delta x raise to power 3, तो मैं cube का formula लगा देता हूँ, मेरे पास x plus delta x raise to power 100 आ गया, तो मैंने binomial expression, binomial theory, स्क्यूरम का यूज किया लेकिन बच्चों अब मैं क्या करूंगा जब इसकी पावर एक जो है वो स्क्यूरम है थ्री बाइट टू है फाइव बाइट टू है कुछ भी ऐसा आ सकता है आपकी बुक में यह सारे सवाल है तो स्टूडेंट्स आपने सीखना ही है कि ऐसी पावर आगे question different हो जाता है फिर वहाँ पे आपको different rule सिखाया जाता है मैं ऐसे नहीं करूँगा हम क्या करेंगे एक ही pattern को follow करेंगे और उसी pattern पे सारे सवाल कर देंगे वो negative powers वाले हो या non integral powers वाले हो अब इस power को कैसे solve करना है ऐसी तमाम powers को solve करने के लिए binomial series का सहारा लिया जाता है और binomial series कब use होती है जब power negative हो जाये या non-integral numbers हो, तो बच्चो binomial series होती है, पहली term हमेशा one होनी चाहिए, नहीं है तो बनानी है, अभी मैं यहाँ पर बना के दिखाऊंगा आपको, दूसरी term कुछ भी है, power आपकी जो n है, यह n यहाँ पर, यहाँ पर या तो आपका z negatives को belong करे, negative integers को, या n is non-integer, या फिर n जो है वो integer ही न हो, तो ये दो cases के अंदर आप ये binomial series लिखी हुई है, 1 plus nx, बहुत आसान काम है, सिर्फ तीन terms लिखनी है, आपने ज्यादा की तरफ नहीं जाना, 1 plus nx, ये वो ही binomial expression है, लेकिन उसमें a को 1 किया हुआ है, plus n into n minus 1 over 2 factorial x square, ये आपने तीन terms याद रखनी है, अब वो इस पे apply करनी है, लेकिन बच्चों इस पे apply करने से पहले, यहां मुझे 1 चाहिए, तो यहां 1 बनाने के लिए मैं क्या करूँगा? इस पे आते हैं, यहाँ 1 बनाने के लिए मैं x को common ले लूँगा, delta y x raised to power 1 by 2 minus x common लिया, so जब मैं x common लूँगा, तो जाहिरा जो उसकी power है, वो भी मुझे common वो उसके साथ आजेगी, 1 by 2, तो इधर क्या बज़ेगा जब x common ले रहा हूँ तो इधर आ गया 1 plus इधर से x common नहीं आ रहा हूँ तो common लेने से मतलब है आप उस चीज़ से divide कर रहे हैं so यह आ जाएगा delta x over x raised to power 1 by 2 so students यहाँ तक यह काम हो गया गया अब समझ लें हमारा जो main task पूरा हो गया अब यह न कर दीजिए कहीं इसको इससे cancel कर दें क्योंकि यह इसके साथ पहले multiply हो रहा है अब यह multiplication के process हो लें complete जी students उसके बाद थोड़ा आगे move करते हैं और binomial series लगा सकते हैं x raised to power 1 by 2 minus x raised to power 1 by 2 अब binomial series पे आते हैं जी बच्चो binomial series की जब मैं बात करता हूँ तो binomial series में क्या करना है 1 plus nx अब जरा n की जगा पे देखना है क्या है मेरे पास, यह मेरे पास n है, 1 plus nx है न, तो n की जगह पर 1 by 2 है, so हर सवाल में यही change आया करेगा, n की value बदल जाया करेगी, यहां हलका पूलका change होगा, बागी आपका question same रहेगा, so यहां जगह 1 plus nx, n क्या है, 1 by 2, और x की जगह पर है delta x over x, यह देखे न, जहां x है, इधर, वहां अब यह क्या है, delta x by x, so वह value, लिए आ गई उसके बाद स्टूडेंट्स प्लस n इंटू n माइनस वन यह निके वन बाइट टू इंटू वन बाइट टू माइनस वन और साथ आ जाएगा डेल्टा एक्स ओवर एक्स का स्क्वेयर प्लस और यह एक्सप्रेशन बन गया हमारे पास ठीक हो गया उसके बाद अब हम क्या करते हैं कि अब हमने कैंसलेशन का प्रोसेस करना है इन दोनों में से चले अगर मैं आपको कहते डेल्ट एक्स भी कर दें ताकि स्टेप्स खतम हो डिवाइड बाई डेल्ट एक्स तो ये बच्चो आ जाएगा डेल्टा वाई बाई डेल्ट एक्स इस इक्वल्स टू एक एक्स रेस्ट वाई वन बाई टू कॉमन ले ले और दूसरा डेल्ट एक्स से डिवाइड कर लें इ 1 minus 1 और ये minus अब अंदर multiply होता जाएगा सब terms के साथ minus 1 by 2 delta x over x plus 1 sorry minus 1 by 2 1 by 2 minus 1 और sorry इसके नीचे 2 factorial भी आएगा delta x over x का square plus so on minus so on यह आ गया, अब students यह one इस one से cancel हो गया, चीख हो गया, और अब आपके पास जितनी भी terms बच रही हैं, उसमें delta x as a common नजर आ रहा है, so आप वहाँ से delta x common लेंगे बलके मैं तो आपको इसमें यह कहूँगा कि आप पहली पूरी term को अगर गौर करें तो यह हर एक में मौजूद होगी minus 1 by 2 delta x over x, minus 1 by 2 delta x over x, otherwise delta x common लेते हुए शायद आप थोड़ा गलती करने वो गलती क्या कर देंगे delta x common लेंगे आप शायद इसे delta x over x और power 2 खतम कर देंगे जबकि नीचे तो x square बजेगा लेकिन उसका फरक तो question पे नहीं पढ़ रहा होगा बट automatically गलती तो है लिहादा आप यहाँ पे आके पूरी पहली term common ले लिया करें delta x और term common आ रही है minus 1 by 2 delta x over x common लिया है तो ये minus plus हो गया और ये बच्चो आ जाएगा 1 by 2 और ये तो common आ गया 1 by 2 minus 1 delta x over x एक common और एक इदर रह गया, plus so on, यह आ गया, और इसी step में आगे आप limit का भी concept introduce करवा दें, limit delta x approaches to 0, और इदर भी limit delta x approaches to 0, यह delta x is delta x से cancel, और यह आजेगा minus 1 by 2, x raised to power 1 by 2, dot x raised to power minus 1 इस x को उपर लेके गए तो minus 1 और बाकी हर एक जगा पर delta x की value put कर दें तो इसके बाद सारे zero हो गए यह बच्चो बच्चेगा 1 over 2 x raised to power 1 by 2 minus 1 तो कितना हो गया minus 1 by 2 2 या minus 1 over 2 times square root x यह जवाब आ गया so that is dy by dx अब मैं एक दफ़ा आपको यह सारा concept revise करता हूँ क्योंकि इसी को follow करते हुए हमने बाकी questions को करना है so keep watching carefully दुबारा से देखें यह आपका question आया सबसे पहले आपने क्या किया x में delta x का change y में delta y का change फिर दिया y की value put कर दी ठीक हो गया minus को अंदर apply कर दिया minus plus यह हो गया minus का 2 plus का 2 से cancel हो गया उसके बाद यह plus का इस side पर लिख दिया और यह इसको इस side पर लिख दिया अब इसके बाद यह common क्यों लिया उसकी क्या reason है power बन गई थी non integer तो non integral numbers को solve करने के लिए बच्चो binomial series होती है औ हो रही है तो वन बनाने के लिए मैंने एक्स कॉमन लिया एक्स कॉमन लिया तो उसकी पावर भी इसके साथ ही आएगी सो एक्स रेस्ट पावर वन बाइट हुआ गया इधर आगे वन प्लस डेल्ट एक्स ओवर एक्स अब बायनोमिल सीरीज अप्लाई करूंगा बायनोमिल सीरीज क्या है वन प्लस एन एक्स प्लस एन इंटो एन माइनस वन ओवर टू फिक्टोरियल एक्स रेस्ट स्क्वेयर अप इस वान सो बच्चों उसको अप्लाई किया यह जिस आ गया यह वन एन की जगह पर वन बाइट यह डेल्ट एक्स बाय एक्स प्लस 1 by 2 into 1 by 2 minus 1, यहने कि n into n minus 1, over 2 factorial, और next उसका square, उसके बाद इन दोनों में से यह common आ गया, x raised to power 1 by 2, इदर से बच गया 1, और इदर से बच गया minus 1, ठीक हो गया, यहने कि यह खतम हो गया न, और यह minus अब हर एक से अंदर multiply करके यह लिख दिया, ठीक हो गया, minus 1 plus 1 से cancel, और तरम मैंने common ले ली और limit apply कर दी उसके बाद बच्चों ये common लेने के बाद cancellation किया और ये result आ गया ये तो मेरे पास आया ये एक type का question मैंने solve किया अब मैं थोड़ा इसी को थोड़ा change करता हूँ और आगे थोड़े move करते हैं हम इस बात को ये power आपकी Questions थोड़ा vary करते हैं, same इसी type के सवाल हैं आपकी book में सारे, इसलिए मैंने आपको patterns को follow करने का का, आप उसमें confused नहीं हो किसी बात में, जी, मिसाल के तोर पे, 1 over square root x पे आते हैं, y is equals to part 2 3 पे आते हैं y is equals to 1 over square root x same वो ही सवाल है जो पहले आप कर रहे हैं वलकि उससे भी easy है आप सबसे पहला का हम क्या करेंगे y is equals to x raised to power minus वाइ में डेल्टा वाइ का चेंज और एक्स में डेल्टा एक्स का चेंज रेज टू पावर माइनस वन बाइ टू वाइ को उदर ले जाए डेल्टा वाइ इस एक्वल्स टू एक्स प्लस डेल्टा एक्स रेज टू पावर माइनस वन बाइ टू माइनस वाइ फिर स्टूडे और x plus delta x raise to power minus 1 by 2 और minus y की जगा पे x raise to power minus 1 by 2 तो आप देखें उसके बाद same वैसा ही pattern बन गया यहाँ पे x raise to power 1 by 2 और यहाँ पे x plus delta x raise to power minus 1 by 2 वो minus भी आ गया उस पे plus था यह minus भी आ गया अब यहाँ पे 1 होना चाहिए binomial series लगाने के लिए तो x raise to power minus 1 by 2 जब आप common लेंगे त जो है minus 1 over 2, अब अक्सर student शायद सोच रहे हो मैंने x raised to power minus 1 by 2 common लिया है, नहीं, मैंने x common लिया है और वो minus 1 by 2 तो उसकी power का आया है जो भी उसके साथ आ रहा है, और minus x raised to power minus 1 by 2, अब इन दोनों में से मैं common ले लेता हूँ minus 1 by 2 और ये बच्चों आ जाएगा 1 plus delta x raised to power x, x raise to the power minus 1 by 2 minus 1 अब हम binomial series लगाएंगे जैसे पहले मैंने किया था तो binomial series लगाएं तो यह आजाएगा x raise to the power minus 1 over 2 binomial series है 1 plus nx plus n अब देखे n change हो रहा है बागी तो वो ही है सब कुछ तो 1 plus n की जगा पर अब क्या आएगा n की जगा पर इदर से minus 1 by 2 फिर साथ nx यह नहीं के delta x over x raised to power 1, plus n into n minus 1, यह नीके n have minus 1 by 2, or minus 1 by 2 minus 1, over 2 factorial, or delta x over x का square, plus so on, or at the end बच्चो, इस bracket को close करके minus 1 यह देखें ना minus 1 उसके end पे मौजूद है अगर यह bracket close नहीं करते तो इसका मतलब है वो इसकी last term है जबकि ऐसा नहीं है series की last term नहीं होती सो अब हम delta x से divide भी करेंगे डेल्टा वाइ है डेल्टा वाइ बाइ डेल्टा एक्स और साथ बल्कि इधर ही डिवाइड कर देते हैं और इस स्टेप में लिमिट पूट कर देते हैं डेल्ट एक्स अपरोचेस्ट जीरो यह आगे एक्स टेस्ट वार माइनस वन ऑवर टू ऑवर डेल्ट एक्स यह प्लस का वन इस माइनस के वन से कैंसल बागी हर टर्म में से पहली कंप्लीट टर्म कॉमन आ रही है जैसे मैंने प्रीवियस बताया सुआफ माइनस वन बाइटू डेल्ट एक्स ऑवर एक्स कॉमन ले लेंगे और बाकी बच जाएगा इधर से वन प्लस यह तो ये बच गया minus 1 over 2 minus 1 over 2 factorial और एक delta x over x common तो ये बच गया plus so on ये delta x delta x से cancel limits put करें और जवाब लिख दें so answer बच गया minus 1 by 2 और dot x raised to power minus 1 1 plus ये सारे zeros बन गए तो minus 1 over 2 x raised to power minus 3 by 2 ये इसका result बन गया so इस तरह से आपने derivatives को find कर सकते हैं अब थोड़ा आगे move करते हैं और मैं अब चलो चलता हूँ इसके next part पे, अब अगर हम कुछ plus minus भी कर दे उसके अंदर, तो क्या होगा, ठीक है अगर मैं first करें, इसी का let's मैं आपके पास, next question आप कर सकते हैं, 1 over x cube है same ऐसे ही है, 1 over x minus a 1 over x minus a, अगर ऐसा सवाल बन जाता है second तो 1 over x minus a, ये इसका fourth part I think so, जी fourth, ये fifth part है, जी question number 1 का fifth part, 1 over x minus a, student same pattern, y is equal to x minus a raised to power minus 1, फिर बच्चो y is equal to y plus delta y, और x plus delta x minus a raised to power minus 1 delta y is equals to x minus a को इकठा कर लें और delta x को अलगा करने ठीक हो गया उसके बाद अब delta y is equal to binomial series लगाने के लिए x minus 1 common लेना पड़ गया अब देखें सिर्फ ये फरक आया है के जो common आपने लिया है वो आपका x minus a हो गया है ठीक है और कोई इसमें change नहीं आया अब students इसके बाद जहां जहां x आ रहा था वहां वहां इसको आप change करते जाएं x minus a की जब है previous question में तो same वैसे ही सवाल है तो अब इन दोनों में से अगर आप घुआर करें तो x minus a raise to power minus 1 common तो यह आजेगा 1 plus delta x over x minus a raise to power minus 1 और minus 1 अब binomial series का इस्तमाल करें तो बच्चों ये आ जाएगा हमारे पास delta x over x से divide भी कर दें delta y over x और x minus a over delta x raised to power minus 1 और binomial series कह रही है कि ये आ जाएगा यह देखिए पहले 1 फिर n x तो n क्या आएगा n आ गया minus 1 और delta x over x minus a फिर n into n minus 1 over 2 factorial और delta x over x minus a का स्थिति square plus 1 और end पर जाके minus 1 यह minus 1 plus 1 से cancel हो जाएगा बाकि वही process हर term में से वो delta x over x common आ रहा है limit apply कर दे delta x approaches to 0 delta y by delta x is equal to limit delta x approaches to 0 x minus a raised to power minus 1 over delta x और बच्चो common ले गया आपने minus 1 delta x over x minus a और हर term में 1 plus minus 2 over 2 factorial delta x over x minus a plus so on so यह आजेगा delta x delta x एक cancel x minus a raised to power minus 1 x minus a raised to power minus 1 यह वाला और बाकी सारे 0 हो गए delta x put करने पर तो यह x minus a raised to power minus 2 यह नहीं कि 1 over x minus a का square लो बच्चो ये इसका derivative आ गया इस तरह से आप इन derivatives को find कर सकते हैं अब यही देखें अगर मैं इसकी जगह पर कुछ square root लगा दूँ तो बात वही है power बदली है न तो power के change होने से कोई effect नहीं पड़ पढ़ रहा है उसके ऊपर, तो आप उनको just change करके negative positive powers को, इन questions को solve कर सकते हैं, so next question, जो question number 2 है, let's x plus 2 square root है, तो उसको भी आप इसी तरह solve कर सकते हैं, इसी pattern को follow करते जाएंगे, अब इंशाला next lecture के अंदर, जो मैं आप से discussion करूँगा, वो इस के साथ कोई constant multiply भी करके, और plus minus भी करके, वो आपकी second exercise से related बात होगी, तो इंशाला तबार तबार keep watching my videos, my lectures, जिन्दगी रही तो इंचारे, तो इंशाला तो आप फिर इसी प्रोग्राम थी जैनल दोबार मुलाकातों की तब पि