Eksponentielle funktioner og fordobling

Overview

Forelæsningen handler om, hvordan man beregner fordoblingskonstanten for en eksponentiel funktion samt beviset for den tilhørende formel.

Fordobling i Eksponentielle Funktioner

• En eksponentiel funktion har forskriften f(x) = b·a^x.
• Fordoblingskonstanten t₂ angiver, hvor meget x skal øges for at y-værdien fordobles.
• Kun voksende eksponentielle funktioner har en fordoblingskonstant.

Beregning af Fordoblingskonstanten

• Fordoblingskonstanten t₂ findes med formlen: t₂ = log(2) / log(a).
• Formlen gælder både for titalslogaritmen (log) og naturlig logaritme (ln).
• Hvis f(x₀) er en vilkårlig værdi, så er f(x₀ + t₂) = 2·f(x₀).

Bevis for Formlen

• Udgangspunkt: f(x₂) = 2·f(x₁), hvor x₂ = x₁ + t₂.
• Skriv f(x₂) og f(x₁) ud: b·a^x₂ = 2·b·a^x₁.
• Divider med b: a^x₂ = 2·a^x₁.
• Divider med a^x₁: a^(x₂-x₁) = 2.
• Da x₂ - x₁ = t₂, omskrives til a^t₂ = 2.
• Tag logaritmen på begge sider: log(a^t₂) = log(2).
• Logaritmeregel: t₂·log(a) = log(2).
• Isolér t₂: t₂ = log(2) / log(a).

Nøglebegreber & Definitioner

• Eksponentiel funktion — Funktion på formen f(x) = b·a^x.
• Fordoblingskonstant (t₂) — Det x-interval, hvor funktionsværdien fordobles.
• Logaritme (log/ln) — Den inverse funktion til en eksponentialfunktion.

Action Items / Next Steps

• Øv beviset for formlen for fordoblingskonstanten.
• Prøv at beregne t₂ for forskellige værdier af a.
• Læs om logaritmeregler, hvis du er usikker på dem.