Hej, jeg vil lige præsentere og bevise den formel, som man kan bruge til at beregne fordoblingskonstanten med i en eksponentiel funktion. Ja, og lige først for at være helt klar på, hvad der menes med fordobling. Så gælder det jo, at hvis man har en eksponentiel funktion, så går den her.
Den har selvfølgelig forskriften f lige med b gange a i ægste. Ja, og vi så har et eller andet punkt på den. Det kan være x0.
Så har vi f her. Så er fordoblingskonstanten jo den værdi, man skal lægge til x for at få funktionsværdien fordoblet, det vil sige y-værdien fordoblet. Så det vil sige, at hvis vi nu går herop og siger, at det er 2 gange f af x0, så må den her afstand her være fordoblingskonstanten, som vi kalder for t2.
Og det her hedder selvfølgelig x0 plus t, t2. Så det er det, der menes med en fordoblingskonstant. Og sådan en har jo eksponentielle funktioner og kun eksponentielle funktioner. Nå, formulen den siger, at fordoblingskonstanten...
T2 kan beregnes ved tal logaritmen til 2 og divideret med logaritmen til a. Nu har jeg brugt log, som jo oftest betegner titalslogaritmen, men jeg kunne lige så godt have brugt den naturlige logaritmefunktion ln til samme formel. Vi skal bevise for det der.
Og det kommer her. Vi ser på en vilkårligt voksende eksponentiel funktion. Og det er selvfølgelig afgørende, at den er voksende, for ellers har den ikke nogen dobbeltindskonstant.
Den ser sådan ud. Så vælger vi et eller andet vilkårligt x i denne her funktionsdefinitionsmængde. Det kan være x1. Sådan der. Denne her tegning kommer til at ligne den der over lidt meget, det beklager jeg.
Så har vi fx1 her. Og så har vi jo et x2 et eller andet sted. Således at...
FAx2 her, det er lige med 2 gange FAx1. Undskyld mit skrift, jeg skal nok koncentrere mig resten af beviset. Det er lidt sygt det der.
Godt. Så der gælder altså, at FAx2 er lige med 2 gange FAx1. Så lad os lige prøve at regne lidt videre på den. f lige med 2 gange f . Sådan der.
I stedet for x2, vi har med det eksponentielt funktion. Så kan vi skrive b gange a'x2' for 1. Det er jo en eksponentiel funktion. Sådan der. Og herovre, i stedet for f'x1, så skriver vi b gange a'x1.
Sådan. Så har vi den ligning der. Vi prøver lige at skrive lidt om på den. Det vi kan starte med er at dividere med B på begge sider af lighedstegnet.
Så står der a'x2, lige med 2 gange a'x1. Sådan der. Og så skriver vi lidt mere om, og det vi gør, det er, at vi dividerer med a'x1, på begge sider af lighedstegnet.
Så står der, a opløftet x2 divideret med a opløftet x1, så forsvinder det jo derovre, så det vil sige, at det bare bliver totalt tilbage. Ja, så... Kan vi bruge en potentregneregel? Her har vi en bryg, og både i tælleren og evneren står der en potens, og i begge tilfælde er grundtallet a, men eksponenten er forskellig. Så siger potentregnereglen, at vi må skrive det om, så fjerne brygstregen, sætte grundtallet og så trække eksponenten fra evneren fra eksponenten fra tælleren.
Det vil sige, at vi kan skrive det om til a'x2-x1. Sådan der. Så nu har vi altså den her ligning her.
x2 minus x1, den størrelse der, hvad er det nu, den er? Jo, men det er jo selvfølgelig den afstand, der gør, at vi får fordoblet vores y-værdi. Så den afstand her, det er fordoblingskonstanten. Så det vil sige, at vi kan altså lige skrive det lidt om her.
Så der står a opløftet i t2. Alignet med 2. Godt. Så skal vi prøve at se, om vi kan få isoleret T2 og fordokningskondanten. Og så kan det være fedt, hvis det giver det her, for så har vi jo bevist det. Og det at gøre, det er, at jeg tager logaritmen på begge sider af ligestegnet. Og...
Fordi nu formelen er skrevet op med titelslogaritmen, så er det den logaritme, jeg bruger i beviset. Men som sagt, vi kunne lige så godt have gjort det med den naturlige logaritmefunktion. Okay, så tager vi...
Sådan der. Logaritmen til A-oplyftet T2. Og lige med logaritmen til 2. Sådan der.
Og så kan vi bruge en... en logaritmeregneregel på det her, fordi vi har jo en regel, som siger, at hvis vi tager logaritmen til et tal, som opløfter et andet tal, så må vi tage eksponenten og putte ned foran, helt ud foran logaritmen. Så det vil sige, at det her, det kan vi altså skrive om til t2 gange logaritmen til a, ifølge logaritmeregneregnen. Ja, så vi har log 2 lige med t2 gange log a.
Så for at få isoleret fordømmelseskonstanten t2, så skal vi jo bare dividere med log a på begge sider af ligestegnet. Og så får vi, at fordømmelseskonstanten er lige med log 2. De er jo lige redde med. Der er nok æh.
Super. Tak.