Einsetzungsverfahren zur Lösung von Gleichungssystemen

Einleitung

• Ziel: Gleichungssystem mit 3 Gleichungen und 3 Unbekannten lösen.
• Vorgehensweise in 3 Schritten.

Schritt 1: Eine Gleichung nach einer Unbekannten auflösen

• Wähle eine der drei Gleichungen, z.B. die erste.
• Bevorzugte Variablen: x oder y (keine Zahlen vorne dran).

Beispiel (erste Gleichung)

• Gleichung: x + y + 2z = 4
• Nach y umstellen:
  • y = 4 - 2z - x

Schritt 2: In andere Gleichungen einsetzen

• y in die anderen beiden Gleichungen einsetzen.

Zweite Gleichung

• Ursprünglich: 3x - y + 2z = -2
• Nach Einsetzen von y (3x - (4 - 2z - x) + 2z = -2)
• Klammer auflösen:
  • 3x - 4 + 2z + x + 2z = -2
  • 4x + 4z - 4 = -2
• Vereinfachen:
  • 4x + 4z = 2
  • x + z = 0.5 (nach Umstellen)

Dritte Gleichung

• Ursprünglich: 2x - 4y + 4z = -4
• Nach Einsetzen von y (2x - 4(4 - 2z - x) + 4z = -4)
• Klammer auflösen:
  • 2x - 16 + 8z + 4x = -4
  • 6x + 12z - 16 = -4
• Vereinfachen:
  • 6x + 12z = 12
  • x + 2z = 2

Schritt 3: Gleichungssystem verkleinern

• Neues System: x + z = 0.5 und x + 2z = 2
• Eine Gleichung nach x umstellen:
  • Nach x umstellen der ersten Gleichung:
    • x = 0.5 - z

Einsetzen

• In die andere Gleichung einsetzen:
  • 6(0.5 - z) + 12z = 12
  • Lösen ergibt:
    • z = 1.5

Ergebnisse ermitteln

1. z = 1.5
2. x = 0.5 - 1.5 = -1
3. y mit erster Gleichung berechnen:
   • y = 4 - 2z - x = 4 - 3 + 1 = 2

Überprüfung der Ergebnisse

• In jede Gleichung einsetzen:
  • Erste Gleichung: 4 = 4 (stimmt)
  • Zweite und dritte Gleichung ebenfalls überprüfen.

Fazit

• Einsetzungsverfahren erfolgreich angewendet.
• Erlernte Schritte zur Lösung von Gleichungssystemen festhalten.