Hallo ihr Lieben! In diesem Video möchte ich euch zeigen, wie man das Einsetzungsverfahren dazu nutzen kann, um so ein Gleichungssystem lösen zu können. Mit drei Gleichungen und drei Unbekannten. Wir gehen das Ganze in diesen drei Schritten hier durch.
Als allererstes sollen wir eine Gleichung nach einer Unbekannten auflösen. Also wir wählen uns von unseren drei Gleichungen einfach eine aus, die uns besonders gut gefällt. Zum Beispiel...
Die erste Gleichung. Und die lösen wir jetzt entweder nach x auf oder nach y oder nach z. Je nachdem, was uns am besten gefällt. Ich würde euch vorschlagen, wählt nicht die Variablen, bei denen noch Zahlen vorne dran stehen. Sonst muss man durch die gleich teilen.
Also x oder y sind hier um einiges besser. Wir wählen jetzt einfach mal y. Einfach so.
Wir könnten genauso gut x wählen. Also wir wollen diese Gleichung, diese erste Gleichung, die wir ausgewählt haben, jetzt nach y. y auflösen und dazu würden wir mal minus die 2z auf jeden fall rechnen das notieren wir mal hier und unsere erste gleichung sieht dann ein bisschen anders aus x plus y steht dann noch aber die 2z bringen wir wie gesagt auf die andere seite dann steht auf der anderen seite die 4 minus die 2z wir wollen die gleichung immer noch nach y umstellen das heißt wir müssen hier noch minus x rechnen damit es auch auf die andere seite kommt Dann steht das y tatsächlich alleine und rechts hätten wir 4 minus 2z und minus das x. Das wäre der erste Schritt gewesen, dass wir es geschafft haben, eine der Gleichungen nach einer der Unbekannten aufzulösen.
Unser y haben wir jetzt hier in dieser Darstellung. Das war also der erste Schritt. Dann sagt der zweite Schritt, das soll man jetzt in andere Gleichungen einsetzen.
Also, das war unsere erste Gleichung. Anders aus, haben wir hier nach y umgestellt eben. Und die ersetzen wir jetzt für das y in den anderen beiden Gleichungen, die noch da sind.
Also diesen Teil hier packen wir für das y hier rein und dann nachher auch noch hier unten rein. Erstmal die zweite Gleichung. Wie sieht die dann aus?
3x, da ändert sich gar nichts. Minus. Und jetzt statt diesem y schreiben wir eben das hier. Und packt das schön. Eine Klammer drumherum, wegen dem Minus hier.
Da muss man dann aufpassen, dass Minus all das, was jetzt kommt, gerechnet wird. Deswegen machen wir eine Klammer drumherum, damit wir das in einem zweiten Schritt dann abarbeiten können. Hinten dran, wenn wir das y eingesetzt haben, kommt dann eben die plus 2z. Und rechts auf der Seite steht immer noch die minus 2. Das ist jetzt unsere zweite Gleichung.
Und die sieht jetzt noch nicht so schön aus, deswegen lasst die uns noch ein bisschen vereinfachen, dass wir auf jeden Fall mal die Klammer auflösen und so ein bisschen sortieren. 3x hätten wir da. Wenn wir die Klammer auflösen, bedeutet das, dass jedes Vorzeichen in der Klammer geändert werden muss.
Aus der 4 wird eine minus 4, aus der minus 2z wird wegen dem Minus hier ein plus 2z und aus dem minus x wird ein plus x. Hinten dran. Wenn die Klammer dann fertig ist, schreiben wir den Rest erstmal einfach nur so ab.
Jetzt fassen wir mal alle x und alle z zusammen. x hätten wir hier 3x und 1x, das wären also 4x. z hätten wir 2z und 2z, das sind dann 4z. Und die minus 4, die Zahl, die steht da noch, die müssen wir hinschreiben. Rechts steht minus 2. Dann kann man das so stehen lassen, wir können aber die Zahlen wenigstens noch auf die rechte Seite packen, dass wir hier x, z und die Zahlen auf der anderen Seite haben.
Also noch einmal plus 4 rechnen, dann sieht das ganz schön aus. 4x plus 4z und die minus 4 haben wir auf die andere Seite gebracht. Minus 2 plus 4 wären 2. Das hier wäre jetzt unsere zweite Gleichung, nachdem wir da das y eingesetzt haben.
Also die zweite Gleichung können wir ab sofort so schreiben. Das habe ich hier auch jetzt schon mal so notiert. Das y ist nicht mehr da in der zweiten Gleichung. Aber in der dritten ist es noch und auch da wollen wir es eben ersetzen.
Das war ja der zweite Schritt, der sagt, ersetze jetzt oder setze ein, so heißt ja das Verfahren, das Einsetzungsverfahren, setze jetzt das y in den anderen Gleichungen ein. Und das machen wir jetzt auch noch in der dritten. Was steht dann da? Die 2x bleibt stehen.
minus 4 mal, steht da ja dazwischen, und für das y packen wir jetzt wieder alles rein. Also 4 mal und schön in eine Klammer. Da kommt jetzt der Teil rein, der eben das y sein soll.
Das sieht so aus, das ist unser y. Und wenn wir fertig sind, dann schreiben wir den Rest von der Gleichung noch ab. Die plus 4z gleich minus 4. Und auch hier machen wir das jetzt noch ein bisschen schöner. Wir lösen die Klammer auf.
Diesmal steht minus 4 mal vorne dran. Also alles in der Klammer muss eben mit minus 4 multipliziert werden. Minus 4 mal 4 sind minus 16. Minus 4 mal minus 2z. Also minus 4 mal minus 2 sind schon mal plus 8 und das z noch hinten dran.
Dann minus 4 mal minus x. Also Minus und Minus wird zu Plus. 4x hätten wir dann da noch stehen.
Und hinten dran, nach der Klammer, den Teil schreiben wir einfach erstmal ab. Jetzt werden wieder alle x zusammengefasst. Hier hätten wir 2x und 4x.
Das wären also 6x. Alle zs. 8z und 4z wären 12z.
Und die Zahl, das ist die einzige, die da ist, die minus 16, schreiben wir so hin. Und würden auch jetzt nochmal die minus 16. auf die andere Seite bringen, indem wir eben plus 16 rechnen. Dann würde das 6x und die 12z hier alleine stehen und die 16 hüpft rüber auf die andere Seite. Minus 4 plus 16 wären 12. Und das wäre jetzt eine andere Darstellung für unsere dritte Gleichung.
Also das setzen wir so auch im Gleichungssystem ein und hätten dann ein neues Gleichungssystem gebastelt. Ist euch aufgefallen, dass in diesen... Gleichungen, kein y mehr drin ist, das y ist weg und das möchte man auch. Also wenn ihr das geschafft habt, ist das gut. Das war der zweite Schritt, dass wir das eben in die Gleichungen eingesetzt haben.
Jetzt kommt der dritte Schritt. Wir sollen unser Gleichungssystem verkleinern und dann nochmal den ersten und den zweiten Schritt wiederholen. Also schauen wir uns das mal an, was passiert ist.
Wir haben ja schon festgestellt, das y ist nicht mehr da. Das heißt, wenn wir die jetzt einfach ein bisschen aneinander schreiben, sehen wir, dass hier ein kleineres Gleichungssystem entstanden ist, in dem ja gar kein y mehr drin ist. Das y war ja nur in der ersten Gleichung drin. Und jetzt sollen wir mit diesem Gleichungssystem die Schritte wiederholen.
Naja, machen wir das doch mal. Was war nochmal der erste Schritt? Schau mal, eine der Gleichungen nach einer unbekannten auflösen. Okay, das sind unsere...
zwei kleineren Gleichungen, die wir jetzt nur noch haben, unser kleineres Gleichungssystem. Wir wählen eine Gleichung aus und stellen die nach einer Unbekannten um. Ja, hier stehen jetzt überall Zahlen vor unseren Variablen, deswegen sagen wir einfach, komm, wir nehmen einfach die erste Gleichung und stellen die einfach nach x um.
Also rechnen hier minus 4z, das heißt unsere zweite Gleichung sieht dann wie aus. Das 4x bleibt. bleibt da stehen und auf der anderen Seite hätten wir eben 2 minus die 4z, weil wir die 4z ja rübergebracht haben. Dann sollen wir das ja nach x auflösen, also müssten jetzt noch durch 4 teilen, damit die 4 hier wegkommt. Dann steht das x hier alleine, aber auch hier die Seite müssen wir durch 4 teilen, also 2 durch 4. Da könnten wir 2 Viertel hinschreiben oder eben den Bruch noch kürzen mit 2, das wäre also 1. Halb, wenn wir den durch 2 noch jeweils teilen.
Und auch hier die minus 4z müssen wir noch durch 4 teilen. Minus 4 durch 4 sind dann minus 1z, also minus z. Dann hätten wir es geschafft, dass wir diese eine Gleichung nach x aufgelöst haben.
Das war der erste Schritt. Dann sollen wir den zweiten Schritt machen. Das sollen wir jetzt in die anderen Gleichungen einsetzen. Wir haben nur noch eine andere Gleichung, die da ist.
Deswegen setzen wir eben das x hier ein. Also all das, was wir für das x hier haben, setzen wir in der anderen Gleichung ein. Wie sieht dann die dritte Gleichung aus?
6 mal und für das x packen wir jetzt, schön in der Klammer, dieses 1 halb minus z rein. Den Rest schreiben wir so ab. Wir sind jetzt übrigens beim ganz normalen Einsetzungsverfahren gelandet mit 2 Unbekannten und 2 Gleichungen.
Wir lösen auf. 6 mal 1 halb. wären 6 halbe oder 6 durch 2 sind eben 3, wenn wir das schon mal ausrechnen. Und 6 mal minus z sind eben minus 6z.
Damit hätten wir die Klammer aufgelöst und könnten jetzt alles zusammenfassen. Wir hätten hier minus 6z plus 12z, das wären 6z. Und die 3 hätten wir hier auch noch auf der Seite und rechts die 12. Wir nähern uns dem Ziel.
Wir rechnen noch minus 3. Dann steht das 6z alleine. 12 minus 3 wäre 9. Und teilen jetzt noch durch die 6, damit das z wirklich alleine da steht. Dann hätten wir hier 9 durch 6, also 9 Sechstel.
Das könnten wir aber noch kürzen mit 3. Also 9 durch 3 sind 3 und 6 durch 3 sind 3. 2 und wir hätten eine Lösung für unser Z gefunden. 3 halbe. Sehr gut, denn damit können wir jetzt so wie das Einsetzungsverfahren ja auch funktioniert, auch x und y noch ausrechnen, denn für das z können wir jetzt hier eben 3 halbe einsetzen und das x ausrechnen.
Dann steht da nämlich x gleich 1 halb minus, und für das z packen wir da eben die 3 halbe rein, die wir schon gefunden haben. Dann rechnen wir das aus. Wir haben schon denselben Nenner, das ist gut.
Also 1 minus 3 wären minus 2. Und der Nenner bleibt. 2 durch 2 sind ein Ganzes. Also hätten wir auch unser x gefunden.
Das wäre nämlich minus 1. x und z haben wir. Dann fehlt jetzt nur noch y. Und da müssen wir jetzt nochmal eine Gleichung suchen, in der y auch drin stand. Die erste können wir nämlich nehmen.
Da hatten wir ja nach y aufgelöst und das ist gut. Dann können wir da nämlich einfach für das z. 3 halbe einsetzen und für das x unsere minus 1, was wir schon gefunden haben und y ausrechnen. Also 4 minus 2 mal z sind eben 3 halbe und minus und unser x ist minus 1. Also schöne Klammer noch drumherum, weil wir hier minus minus 1 haben.
Das wird da ja nichts falsch machen. Wenn wir hier kürzen, die 2, dürfen wir mit der 2 kürzen, dann steht hier 4 minus 3. Ich schreibe es mal hin. Und hier hinten, minus minus 1 ist plus 1. Und wenn wir das jetzt ausrechnen, 4 minus 3 sind 1, plus 1 sind 2. Und auch unser y hätten wir gefunden.
Dann können wir das Ganze noch mit einer Probe testen, ob wir alles richtig gemacht haben. Also wenn ihr noch ein bisschen Zeit habt, dann setzt es ruhig in jede Gleichung nochmal ein. Also für das x hier minus 1, für das y eben 2 und für das z. 3 halbe und schaut, ob in der ersten Gleichung damit dann 4 rauskommt.
Wir testen es kurz, das kann man kürzen. 3 plus 2 sind 5, minus 1 sind 4. Also die erste Gleichung passt schon mal. Das heißt aber noch lang nicht, dass ihr es richtig gemacht habt.
Ihr müsst die anderen beiden Gleichungen auch noch überprüfen. Dann macht es gerne. Ich hoffe, es kommt das Richtige raus. Ich wünsche euch noch einen schönen Tag und wir sehen uns bei einem nächsten Video. Macht's gut!