Lösen von linearen Gleichungssystemen mit dem Gauss-Algorithmus

Einführung

• Ziel: Lösung von linearen Gleichungssystemen mit drei Gleichungen und drei Unbekannten.
• Drei Fallbeispiele: eine Lösung, keine Lösung, unendlich viele Lösungen.
• Vorgehensweise immer gleich, Ergebnis zeigt sich im Laufe der Umformung.

Schritte des Gauss-Algorithmus

Schritt 1: Sortieren

• Gleichungssystem sortieren, sodass die erste Variable an erster Stelle kommt.
• Reihenfolge: x, y, z auf der linken Seite; Zahlen auf der rechten Seite.

Schritt 2: Eliminierung der ersten Variablen in unteren Zeilen

• Ziel: Entfernen der ersten Variablen in der zweiten und dritten Zeile.
• Verwendung der ersten Zeile zur Verrechnung:
  • Multiplizieren der Gleichungen zur Vereinheitlichung der Koeffizienten.
  • Subtrahieren der Gleichungen zur Elimination der Variablen.
• Beispiel: 10x - 10x = 0, 15y, 21z, -9 (zweite Zeile nach Umformung).

Schritt 3: Eliminierung der ersten Variablen in der dritten Zeile

• Vorgehen ähnlich wie im zweiten Schritt.
• Ziel: Entfernen der ersten Variable in der dritten Zeile.
• Beispiel: 5y, 2z, -8 (dritte Zeile nach Umformung).

Schritt 4: Eliminierung der zweiten Variablen in der dritten Zeile

• Verwendung der zweiten Zeile zur Verrechnung.
• Ziel: Entfernen der zweiten Variable in der dritten Zeile.
• Beispiel: -15z, -15 (dritte Zeile nach Umformung).

Schritt 5: Rückwärts einsetzen und Lösungen finden

• Beginn mit der letzten Zeile und Auflösen nach z.
• Schrittweise Auflösen der Unbekannten von unten nach oben.
• Beispiel: z = 1, y = -2, x = -1.
• Darstellung in der Lösungsmenge: (x, y, z) = (-1, -2, 1).

Fallbeispiele

1. Genau eine Lösung

• Vorgehensweise wie beschrieben.

2. Keine Lösung

• Erkennbar an einer falschen Aussage (z.B. 0 = 2).
• Lösungsmenge ist die leere Menge.

3. Unendlich viele Lösungen

• Erkennbar an einer wahren, aber wertlosen Aussage (z.B. 0 = 0).
• Vorgehen:
  • Umstellen nach einer Variablen (z.B. y in Abhängigkeit von z).
  • Freie Variable z wählen (z.B. z = t mit t ∈ ℝ).
  • Lösungsmenge aufschreiben in Abhängigkeit von t.
  • Beispiel: (9/2, -3 + 2t, t) mit t ∈ ℝ.

Zusammenfassung

• Drei mögliche Ergebnisse für Gleichungssysteme: eine Lösung, keine Lösung, unendlich viele Lösungen.
• Wichtig, die Schritte des Gauss-Algorithmus korrekt auszuführen.
• Bei Fragen, Feedback oder weiteren Erklärungen: Kommentare willkommen.

Viel Erfolg beim Lösen eurer Gleichungssysteme! 😊