Hallo ihr Lieben, heute möchte ich euch Schritt für Schritt zeigen, wie man mithilfe des Gauss-Algorithmus solche linearen Gleichungssysteme mit drei Gleichungen und drei Unbekannten lösen kann. Falls euer Gleichungssystem größer sein sollte, könnt ihr das Prinzip trotzdem darauf anwenden, aber wir schauen es uns jetzt an drei verschiedenen Beispielen hier jetzt mal gemeinsam an, denn bei unserem ersten Beispiel wird es genau eine Lösung geben, im zweiten Beispiel wird dann keine Lösung rauskommen und im dritten... unendlich viele Lösungen. Aber lasst uns einfach mal mit dem ersten Beispiel starten.
Wir erwarten hier genau eine Lösung. Das weiß man aber am Anfang nicht, deswegen ihr macht immer dasselbe und dann erst im Laufe der Umformung sieht man dann, was da auf einen zukommt. Aber als allererstes von den Schritten, wie der Gauss-Algorithmus funktioniert, steht an erster Stelle das Sortieren. Falls euer Gleichungssystem noch nicht so schön sortiert sein sollte wie hier, müsst ihr die Gleichung noch umformen. Schön sortiert heißt, dass die erste Variable hier jeweils an erster Stelle steht.
Hier steht überall was mit x. An der zweiten Stelle steht immer was mit y. An der dritten, das ist dann mit z, mit eurer dritten Variablen.
Und auf den rechten Seiten stehen dann jeweils nur noch Zahlen. Falls das noch nicht so sein sollte, dann sortiert schön. Jede Gleichung könnt ihr ja einfach für sich umformen. Ansonsten, wenn das so aussieht wie hier, haben wir den ersten Schritt schon erledigt. Zweiter Schritt.
Jetzt... kümmern wir uns um diese beiden Einträge hier, die so grün markiert sind. Also der erste Eintrag in der zweiten Zeile und der erste Eintrag in der dritten Zeile. Markieren wir uns das mal ganz kurz an unserem Gleichungssystem.
Das wäre dieser Eintrag hier und der Eintrag unten drunter. Die beiden müssen jetzt verschwinden. Das ist das allererste, was wir machen. Falls euer Gleichungssystem so sein sollte, dass vielleicht der Eintrag schon gar nicht mehr drin steht, dann seid ihr schon einen Schritt weiter. Das ist...
Gut, also nicht wundern, falls das der Fall sein sollte. Falls die aber beide noch besetzt sind und da noch was steht, dann müssen wir uns darum kümmern. Wir kümmern uns aber erstmal um diesen grünen Eintrag.
Dann könnt ihr die dritte Zeile erstmal ignorieren. Wir verrechnen jetzt alles mit der ersten Zeile. Also die erste Zeile, die fasst ihr nicht an. Die schreibt ihr einfach genau so nochmal ab.
Dann habt ihr ja auch schon mal was da stehen, dann fühlt man sich ein bisschen besser. Also da wird nichts verändert. Aber wir nutzen die erste Zeile, um diese beiden Einträge hier miteinander zu verrechnen. Also dieser Eintrag soll verschwinden.
Das heißt, wir schauen uns die Zahlen hier an, die 5 und die 2, und suchen jetzt ein Vielfaches von der 5 und der 2. Zum Beispiel die 10. Die 10 ist durch 5 teilbar und auch durch 2 teilbar. Wenn die Zahlen so klein sind, könnt ihr die auch einfach miteinander multiplizieren. 2. mal 5 sind 10. Also um die 10 wird es jetzt gehen. Wir dürfen jetzt nämlich die einzelnen Gleichungen mit Zahlen multiplizieren. Ist ja erlaubt, so grundsätzlich.
Ich darf ja diese Gleichung zum Beispiel dann mit der Zahl hier multiplizieren, mit der 5, damit ich bei 5 mal 2 eben auf meine gewünschte 10 komme. Und ich darf natürlich auch die erste Gleichung multiplizieren. Diesmal haben wir gesagt, okay. Wir multiplizieren die dann mit der Zahl, also mit der 2, damit 2 mal 5, damit ich auch da auf die 10 komme.
Und dann, wie verschwindet denn dann so ein Eintrag, wenn ich dann da 10x habe und hier habe ich 10x? Na, dann kann ich die Gleichung einfach voneinander abziehen. 10x, wenn ich es berechnet habe, minus 10x wird verschwinden.
Und genau das ist es, was wir hier jetzt machen. Wir multiplizieren. die einzelnen Gleichungen mit Zahlen und verrechnen dann die einzelnen Gleichungen miteinander, so dass jeweils diese grün markierten Einträge verschwinden. Nur um die geht es. Die anderen Zahlen werden sich auch ändern, aber unser Fokus liegt nur auf dem ersten Element.
Diese Schreibweise ist nicht so beliebt. Eine beliebtere Variante ist, in der Zeile, in der ihr euch befindet, schreibt ihr hin, was ihr macht. Wir multiplizieren ja die zweite Zeile mit 5, also wir rechnen 5 mal die zweite Zeile und ziehen davon dann 2 mal die erste Zeile ab.
Also diese Schreibweise hier ist um einiges beliebter, die hier nicht so, deswegen mache ich die hier nochmal weg, aber die ist so zum Erklären ein bisschen besser. Wir bleiben jetzt dann ab sofort bei dieser Schreibweise hier. Also in der zweiten Zeile wird dann folgendes gerechnet.
5 mal Die zweite. Wir machen alles nur im Kopf. Ich schreibe ein bisschen was hin, aber wenn ihr trainiert seid, macht das alles im Kopf.
5 mal die zweite, also 5 mal 2x sind 10x minus 2 mal die erste, also 2 mal 5x sind auch 10x. Das Ergebnis ist 0. Das kommt dann hier unten an die erste Stelle. 0 müsst ihr auch nicht hinschreiben.
Könnt ihr auch einfach weglassen. Es soll ja verschwinden. Das war aber der erste Eintrag. Jetzt müssen wir das aber auch noch mit y, z und den Zahlen machen.
Vergisst man sehr gerne. 5 mal y sind 5y. Minus 2 mal, hier oben da ist also, 2 mal minus 5 sind minus 10y.
Haben wir hier dann. Super aufpassen mit. dem Minus von hier und dem negativen Ergebnis von hier. Minus und Minus gibt Plus, also 5y plus 10y sind 15y.
Das Ergebnis schreiben wir hier hin. Dann geht es weiter. Ihr merkt, es ist aufwendig und lästig, aber es führt zum Ziel. Fünfmal den z-Eintrag sind 15z minus zweimal den oberen Eintrag hier. Das sind minus 6 dann als Ergebnis.
Dann haben wir hier schon wieder... Minus und Minus wird zu Plus, also 15 plus 6 sind 21z. Und auf der rechten Seite, nicht vergessen, genau dasselbe. 5 mal minus 1 sind minus 5, minus 2 mal 2 sind 4, minus 5 minus 4 sind minus 9. Und damit haben wir die zweite Zeile so angepasst, dass dieser Eintrag hier vorne weggeflogen ist.
Genau das, was wir wollten, der sollte verschwinden, haben wir geschafft. Das Gleichungssystem sieht jetzt so aus, das ist unser Zwischenstand. Und jetzt kümmern wir uns eben um den ersten Eintrag in der dritten Zeile. Der soll ja auch noch verschwinden.
Und auch hier verrechnen wir das immer mit der ersten Zeile. Das würde ich mir einfach so angewöhnen, dass ihr immer gleich vorgeht. Ihr ignoriert jetzt die zweite Zeile, könnt ihr gedanklich einfach wegstreichen.
Wir machen uns nochmal Gedanken, mit welchen Zahlen müssen wir hier multiplizieren, damit sich das Ganze hier wegheben wird. Wir haben hier 5x und minus 1x. Minus 1x oder 1x, je nachdem was ihr da stehen habt, ist immer super lieb zu euch.
Denn dann müsst ihr diese Gleichung hier nur mit der Zahl von der anderen Gleichung multiplizieren. Also wir müssen diese Gleichung hier mit 5 multiplizieren, also die dritte. Zeile wird mit 5 multipliziert, dann landen wir ja bei minus 5x.
Und wenn wir das jetzt einfach zu der oberen dazurechnen, da sind ja 5x, wenn wir da jetzt plus die obere Zeile, ohne dass wir sie verändern, nur diese 5x mit einem Plus dazurechnen, dann passiert ja genau das, was wir wollen, dass sich das weghebt. Darauf legt ihr den Fokus. Das muss verschwinden.
Und mit dieser Anweisung tut es das auch. Also wenn wir die x miteinander verrechnen, verschwinden die. Kann man wieder 0 hinschreiben oder das einfach weglassen. Und dann muss man das Ganze wieder durchspielen mit allen anderen Variablen. 5 mal 2y sind 10y plus die erste Zeile, der y eintragt.
Das sind minus 5y, kommen hinten dran. Das heißt, wir haben hier plus und minus wird zu minus. 10y minus 5y sind insgesamt.
5y, dann dasselbe mit den z-Sachen. 5 mal z sind 5z plus, nur den z-Eintrag hier, minus 3z kommen da hinzu. 5z minus 3z sind 2z.
Das Ergebnis schreiben wir hier hin und auch auf der rechten Seite nicht vergessen. Die Zahlen 5 mal minus 2 sind minus 10. Plus die erste Zeile, da steht nur eine 2. Minus 10 plus 2 bis in den Kopfrechner landen wir bei minus 8. Und dann haben wir es auch hier geschafft, diesen Eintrag wegzubekommen und haben dann tatsächlich den zweiten Schritt erledigt. Dann kommen wir jetzt zum dritten Schritt. Hier müssen wir jetzt auch diesen grün markierten Eintrag wegbekommen. Unser Gleichungssystem ist ja jetzt so aufgebaut, dass hier vorne die beiden Einträge nicht mehr da sind.
Die haben wir im vorherigen Schritt weggemacht. Aber der hier stört uns jetzt noch. Der muss jetzt mit den gleichen Mitteln verschwinden. Das ist der, der jetzt noch hier unten steht. Wir verwenden jetzt aber nicht mehr die erste Zeile für unsere Verrechnung.
Die ist raus. Die könnt ihr einfach genauso abschreiben, so wie ihr sie ganz am Anfang abgeschrieben habt. Die erste Zeile, mit der wird ja nie was gemacht.
Die bleibt einfach. Aber auch die zweite Zeile sieht ja schon gut aus. Auch die könnt ihr einfach abschreiben. An der soll ja gar nichts mehr verändert werden.
Dann kommen wir auch nicht in Versuchung. Aber in der dritten Zeile, dieser Eintrag soll noch abgeändert werden. Und die Verrechnungen passieren jetzt mit der zweiten Zeile. Die hat ja genau dieselbe Struktur von den Einträgen. Deswegen hier werden die beiden jetzt miteinander verrechnet.
Wir machen uns also wieder Gedanken. Welche Zahlen müssen wir hier multiplizieren, damit die gleich werden? 15 y und 5 y. Die 15 ist ein Vielfaches, was wir verwenden können, weil die 15 eben durch 15 teilbar ist und auch durch 5 teilbar ist.
Womit müssen wir multiplizieren, damit wir hier auf 15 kommen? Mit 3. Also 3 mal die dritte Zeile rechnen, dann sind wir bei 3 mal 5 y sind 15 y. Und wie müssen wir hier dann verrechnen, dass das sich auflöst? Wir müssen es abziehen.
Also minus diesen Eintrag rechnen, minus die zweite Zeile. Müssen wir aber auch nicht verändern. Ist ja schon perfekt von den Zahlen. Wir müssen einfach nur minus 15y rechnen.
Dann hebt sich das weg. Das ist immer euer Fokus. Und wir könnten hier eine 0 hinschreiben. Müsst ihr aber auch nicht. Der y-Eintrag fliegt raus mit dieser Anweisung.
Wir müssen es aber auch jetzt noch durchziehen mit z. 3 mal 2z sind 6z minus Den zweiten Eintrag, also die 21z, da kommen wir auf minus 15z und mit den Zahlen genau dasselbe. 3 mal minus 8 sind minus 24, minus den zweiten Eintrag, das ist minus 9. Oh ja, okay, ordentlich Kopfrechnen. Das wird zu Plus.
Minus 24 plus 9, da landen wir bei minus 5. 10. Okay, damit haben wir unser Gleichungssystem perfekt vorbereitet in diese Zeilen-Stufen-Form. Und das war dann auch der dritte Schritt, den wir gerade erledigt haben. Und dann kommen wir zum letzten Schritt, bei dem wir die Lösungen jetzt rauslesen können. Denn in der dritten Zeile, da haben wir das Ganze jetzt so gut vorbereitet, dass das eine Gleichung ist, in der nur noch z vorkommt.
Die können wir einfach nach z umstellen, indem die minus 15 hier verschwinden muss. Das wäre also... durch minus 15 teilen. Dann steht das z auf der linken Seite alleine und rechts haben wir minus 15 geteilt durch minus 15 ist 1. Und wir haben unseren Wert für z jetzt schon mal direkt gefunden.
Dann gehen wir eine Zeile höher in die zweite Zeile rein. Dort ist jetzt nur noch das y unbekannt, denn das z haben wir gerade gefunden und das setzen wir da auch schön ein. 15 y bleiben also erstmal stehen. 21 mal z, also 21 mal 1 sind 21 und rechts steht die minus 9. Das ist eine Gleichung, in der nur noch y als Unbekannte vorkommt. Die lösen wir nach y auf.
Also minus 21 rechnen wir erstmal. Dann stehen die 15y alleine und rechts minus 9 minus 21 sind minus 30. Und einen letzten Schritt. Die 15 muss noch weg durch 15 teilen.
Dann steht das y alleine da. Minus 30 geteilt durch 15 sind minus 2. Und auch für y haben wir einen Wert gefunden. Die habe ich beide nochmal jetzt hier hingeschrieben. Denn jetzt, ihr könnt es euch vorstellen, gehen wir noch eine Zeile höher.
Alles in die erste Zeile rein. Dort ist jetzt nämlich nur noch das x unbekannt. 5x schreiben wir also auf.
Minus 5 mal unser y. Minus 5 mal minus 2 sind plus 10. Minus 3 mal das z, also minus 3 mal 1 sind minus 3. Einfach alles einsetzen und rechts steht die 2. Die beiden können wir zusammenrechnen. 10 minus 3 sind 7. Dann das x soll ja alleine stehen, also die 7 rüber mit minus 7. Dann haben wir die 5x alleine links.
2 minus 7 sind minus 5. Und damit das x alleine steht, teilen wir noch durch 5. Dann haben wir das x auch. Minus 5. durch 5 ist minus 1 und wir haben alle Werte gefunden, x, y und z. Und dann kann man das noch, also entweder das reicht so, das aufzuschreiben, oder man schreibt es dann noch in die Lösungsmenge rein, also die Menge mit dem Element, also Runde Klammer und jetzt in der richtigen Reihenfolge. Zuerst x, den Wert ist minus 1, dann y, der Wert ist minus 2 und dann noch den z-Wert, der ist 1, Runde Klammer zu, Mengen Klammer zu.
Und das ist eure Lösungsmenge, wenn ihr das so aufschreiben müsst. Wenn nicht, dann könnt ihr einfach die Sachen hier unterstreichen und dann habt ihr es auch. Das war also der Fall, dass man genau eine Lösung findet.
Wie sieht es jetzt aus? Woran erkenne ich, dass mein Gleichungssystem keine Lösung hat? Ihr macht die Umformung trotzdem genau so, wie ich das euch beschrieben habe.
Und im Laufe eurer Umformung, das ist jetzt ein anderes Gleichungssystem, kann es sein, dass es dann so aussieht. Und wenn ihr euch diese Zeile hier mal anschaut, da ist dann plötzlich keine Variable mehr drin. Eure Unbekannte ist weg. Und zusätzlich steht da auch noch was Falsches.
0 gleich 2. Das ist falsch. Das ist ein Widerspruch. Also sobald ihr auf eine falsche Aussage trefft und ihr euch nicht berechnet habt, das müsst ihr natürlich ausschließen, aber falls ihr euch sicher seid, dass ihr alles richtig gemacht habt und dann steht da plötzlich was Falsches, dann... hat euer Gleichungssystem einfach keine Lösung. Also dann könnt ihr als Lösungsmenge die leere Menge hinschreiben.
Das ist nichts Schlimmes, kann passieren. Und kriegt ihr trotzdem volle Punktzahl drauf, wenn ihr nichts falsch gemacht habt davor. Und unendlich viele Lösungen sieht ähnlich aus, aber das ist dann so, ihr macht eure Umformung und dann entsteht plötzlich eine Zeile, in der was Wahres steht. Null gleich Null, aber keine Variable mehr drin ist. Also einfach nur eine wahre Aussage, die euch gar nichts bringt.
Also 0 gleich 0 oder 5 gleich 5. Also einfach nur zwei Zahlen, die identisch sind. Und diese Zeile ist dann wertlos. Die bringt euch überhaupt keine Information. Und dadurch habt ihr nur noch zwei Gleichungen, aber drei unbekannte.
Und damit habt ihr dann unendlich viele Lösungen. Manchen reicht es, dass man dann an dieser Stelle hinschreibt, es gibt unendlich viele Lösungen. Andere wollen die Lösungsmenge sehen.
Die schauen wir uns jetzt auch noch an, wie man da angeht. Dazu schnappt man sich die zweite Gleichung und stellt die jetzt nach einer Variablen um. Entweder nach y oder nach z.
Könnt ihr entscheiden. Wir stellen jetzt mal nach y um. Dazu rechnen wir dann minus 6z. Dann haben wir den Teil mit y links alleine und rechts haben wir die 9 minus die 6z. Damit wir nach y umstellen können, muss die minus 3 noch weg.
Wir teilen also die 6z. durch minus 3, dann steht y alleine da, aber hier müssen wir noch berechnen. 9 geteilt durch minus 3 sind minus 3 und minus 6z geteilt durch minus 3 sind plus 2z. Dann haben wir es geschafft, nach y umgestellt zu haben, aber hier ist noch ein z mit drin und dieses z sorgt für die unendlich vielen Lösungen, denn für z werden wir keinen Wert finden, z ist frei.
Das könnt ihr dann auch einfach so hinschreiben, weil wir haben ja y nur in Abhängigkeit von z gefunden. Schreibt einfach hin, z-frei wählbar. Das sorgt für die unendlich vielen Lösungen. y hat dann diese Struktur. Das habe ich dann nochmal hier stehen.
Und wir finden jetzt noch unser x heraus. Also in der ersten Gleichung setzen wir jetzt alle Informationen ein. Es sind nicht viele, wir haben nur was für y gefunden. Z-frei wählbar. bleibt einfach so stehen als z.
2x, wir wollen x herausfinden, minus und für das y setzen wir jetzt hier diesen Teil ein. Deswegen minus, Klammer setzen und dann den Teil für das y rein in die Klammer. Hinten dran kommt dann plus 2z.
z können wir nicht ersetzen, muss so bleiben. Und rechts steht eine 12. Diese Gleichung stellen wir jetzt nach x um. Dazu lösen wir mal die Minusklammer auf. Minus und Minus wird zu Plus 3 und Minus und Plus wird zu Minus 2z.
Hinten dran kommen die 2z und die 12 rechts. Dann könnten wir die z-Teile mal zusammenrechnen. Minus 2z plus 2z, die heben sich hier jetzt raus. Das muss aber nicht passieren, also z dürfte hier durchaus drin bleiben. Wir wollen ja nur nach x umstellen.
Dann könnten wir mal die 3 auf die rechte Seite bringen mit minus 3, dann stehen die 2x links alleine und rechts haben wir 12, minus 3 sind 9. Und dann im letzten Schritt teilen wir noch durch 2, damit das x alleine steht. Dann haben wir einen Wert von 9 halbe für unser x gefunden. Hier hätte aber genauso gut noch was mit z drin sein können.
Also hier bei dem y war ja auch was mit z drin. z ist ja einfach nur frei wählbar für unsere unendlich vielen Lösungen. Aber das habe ich jetzt nochmal hier gesammelt, was wir gefunden haben, denn wir wollen ja die Lösungsmenge aufschreiben. Und in diesem letzten Schritt wählt man für das Z dann tatsächlich einen anderen Buchstaben. Also man will das Z nicht in die Lösungsmenge reinschreiben.
Deswegen sagt man einfach Sätze Z gleich. Und da könnt ihr jetzt irgendeinen Buchstaben nehmen. Man nimmt oft T.
Und T ist einfach eine reelle Zahl. Also mit T aus den Reellen. Zahlen und dann kann man die Lösungsmenge nämlich folgendermaßen aufschreiben.
Die Menge mit dem Element und jetzt schön die Reihenfolge beachten. Zuerst x, was haben wir für x gefunden? 9 halbe, dann y schreiben wir so rein, aber sobald wir auf z treffen, haben wir ja gesagt, wir haben z durch t ersetzt, also da ist ein z, da kommt aber dann ein t hin und unser z-Teil hier, der heißt ja dann t.
Und dann die runde Klammer zu und da kommt dann nochmal rein, dass euer t aus den reellen Zahlen sein soll und dann die Mengenklammer zu. Und dann ist das eine schöne Art, die Lösungsmenge aufzuschreiben. Aber wie gesagt, manche müssen das gar nicht machen, die müssen einfach nur hinschreiben, es gibt unendlich viele Lösungen. Die haben ein bisschen mehr Glück, als wenn man das ganze Zeug hier noch machen muss, aber das wäre der Weg.
Dann hoffe ich, dass einiges für euch dabei war. Falls ihr Fragen habt, schreibt sie gerne in die Kommentare. Ansonsten habt noch einen wunderschönen Tag und wir sehen uns beim nächsten Video.
Macht's gut!