Logika Matematika

Definisi Logika Matematika

• Cabang matematika yang mempelajari pola pikir logis dalam menarik kesimpulan.
• Membantu menyampaikan pemikiran menggunakan kalimat.

Jenis Kalimat dalam Logika Matematika

Pernyataan

• Kalimat dengan nilai kebenaran (benar atau salah).
• Contoh:
  • "Ibukota Jawa Timur adalah Surabaya" (Benar)
  • "Haming adalah hewan pemakan daging" (Salah)
• Tidak termasuk pernyataan:
  • "Ani adalah seorang gadis yang cantik" (Relatif).

Kalimat Terbuka

• Kalimat yang memuat variabel, nilai kebenarannya belum dapat ditentukan.
• Contoh:
  • "x - 2 = 9" (masih kalimat terbuka).
• Menjadi pernyataan jika variabel diganti dengan nilai tertentu.

Negatif Pernyataan

• Negatif adalah kebalikan dari pernyataan yang ada.
• Contoh:
  • "Pensil berwarna merah" negasinya "Pensil tidak berwarna merah".
  • "Semua siswa lulus SBMPTN" negasinya "Beberapa siswa tidak lulus SBMPTN".

Kalimat Majemuk

• Terdapat penghubung antara pernyataan.

Konjungsi (P dan Q)

• Ditulis P ∧ Q.
• Hasil benar hanya jika kedua pernyataan benar.
• Tabel kebenaran:
  • P: Benar, Q: Benar = Benar
  • P: Benar, Q: Salah = Salah
  • P: Salah, Q: Benar = Salah
  • P: Salah, Q: Salah = Salah
• Contoh: "9 habis dibagi 3 dan 9 adalah bilangan prima" (Salah).

Disjungsi (P atau Q)

• Ditulis P ∨ Q.
• Hasil benar jika salah satu atau kedua pernyataan benar.
• Tabel kebenaran:
  • P: Benar, Q: Benar = Benar
  • P: Benar, Q: Salah = Benar
  • P: Salah, Q: Benar = Benar
  • P: Salah, Q: Salah = Salah
• Contoh: "5 + 14 < 20 atau x^2 - 2x - 8 ≥ 0".

Implikasi (Jika P maka Q)

• Ditulis P → Q.
• Tabel kebenaran:
  • P: Benar, Q: Benar = Benar
  • P: Benar, Q: Salah = Salah
  • P: Salah, Q: Benar = Benar
  • P: Salah, Q: Salah = Benar
• Contoh: "Jika kuda hewan pemakan rumput, maka kuda berkaki empat" (Benar).

Biimplikasi (P jika dan hanya jika Q)

• Ditulis P ↔ Q.
• Bernilai benar jika kedua pernyataan sama.
• Tabel kebenaran:
  • P: Benar, Q: Benar = Benar
  • P: Salah, Q: Salah = Benar
  • P: Benar, Q: Salah = Salah
  • P: Salah, Q: Benar = Salah
• Contoh: 9 adalah bilangan prima jika dan hanya jika 9 habis dibagi 4 (Salah).

Negasi dalam Kalimat Majemuk

• Negasi konjungsi: ¬(P ∧ Q) = ¬P ∨ ¬Q.
• Negasi disjungsi: ¬(P ∨ Q) = ¬P ∧ ¬Q.
• Negasi implikasi: ¬(P → Q) = P ∧ ¬Q.

Contoh Latihan Negasi

1. "Semua orang berdiri ketika tamu agung memasuki ruangan" menjadi "Ada orang yang tidak berdiri ketika tamu agung memasuki ruangan".
2. "Beberapa peserta Ujian Nasional membawa kalkulator" menjadi "Semua peserta Ujian Nasional tidak membawa kalkulator".

Penutup

• Mempelajari logika matematika membantu dalam berpikir kritis.
• Pertemuan selanjutnya: Logika Matematika Part 2.