Hi und herzlich willkommen bei Lehrer Schmidt. Wir machen heute zusammen Mathematik. Wir sind bei den linearen Funktionen und heute geht es um die Steigung. Und wir fangen erstmal ganz grundsätzlich an und dann aber natürlich auch im Detail. So, was ist die Steigung?
Also, müssen wir erstmal machen. Wir sagen Steigung. Und die Steigung hat in der Mathematik eine Abkürzung und die Abkürzung ist das kleine m.
Okay. So, und was ist jetzt m? m kann man berechnen, indem man ganz einfach den Höhenunterschied oder eben die Höhendifferenz geteilt durch die Seitendifferenz rechnet.
Differenz. Also, die Steigung ist Höhendifferenz durch Seitendifferenz. Hört sich schwierig an, ist aber tatsächlich total einfach, weil wir es in der Regel einfach mit dem Steigungsdreieck...
bearbeiten, das Steigungsdreieck. Das schauen wir uns gleich auch an. Also merken wir uns erstmal, Steigung wird abgekürzt mit m, m wird berechnet mit Höhendifferenz geteilt durch Seitendifferenz und wir können das mit dem Steigungsdreieck machen.
Okay, jetzt wissen wir das schon mal. Dann müssen wir uns noch ein paar Kleinigkeiten merken. Erstens, bei einer linearen Funktion ist die Steigung immer... Denn sonst ist sie nicht linear.
Was kann man sich noch merken? Zweitens, wenn m positiv ist, also m gleich positiv, dann ist die Gerade. Dann ist die Gerade.
steigend dann geht sie hoch schauen wir uns gleich auch an steigend und dann gibt es natürlich noch das gegenteil wenn m negativ ist dann heißt es zwar immer noch steigung aber dann ist die gerade fallend okay gut haben wir geklärt jetzt geht's Los. Als erstes zeichne ich jetzt eine beliebige Gerade. Total egal. So. Und hier ist sie.
So, ihr seht jetzt, es ist eine Gerade. Ich kann nämlich ein Lineal dranlegen. Und egal, wo ich jetzt hier ein Steigungsdreieck einzeichnen würde, es ist immer gleich. Schauen wir uns das kurz an. Also, ich könnte hier...
zwei Kästchen nach rechts und ein nach oben gehen, aber das könnte ich hier auch und hier könnte ich das auch machen. Es ist total egal, wo ich es mache, es wären immer zwei Kästchen nach rechts und es wäre immer ein Kästchen nach oben. Und das bedeutet, bei einer linearen Funktion ist die Steigung immer gleich. Das ist ganz wichtig. Andersrum kann man sagen, wenn die Steigung nicht gleich ist, dann ist es keine lineare Funktion.
Okay, machen wir weiter. Ihr könnt mit einem einzigen Blick sehen, ob die Steigung positiv oder negativ ist. So, nehmen wir mal diese hier.
So, ihr macht das natürlich mit dem Bleistift, ich mache das nur, damit man das besser sieht. So, und ist die Steigung positiv? Ja, denn ihr seht, diese Gerade, die geht nach oben. Und wenn sie nach oben geht... dann ist sie positiv oder steigend.
Okay, und dann das Gegenteil, auch ganz einfach. Hier, das nennen wir fallend. Trotzdem sagen wir Steigung.
Auch wenn es runter geht, wir sagen dann nicht Gefälle, es bleibt eine Steigung. Hier ist die Steigung positiv, hier ist die Steigung negativ. Hier sagen wir steigend. Und hier sagen wir fallend. Aber beides ist eine Steigung.
Ganz wichtig. Weiter geht's. So, ich zeichne wieder eine ein. Was nehmen wir hier? Wir nehmen mal diese hier.
So machen wir das. So, und wenn wir so eine lineare Funktion haben, dann können wir die Steigung einfach bestimmen. Und zwar mit dem Steigungsdreieck.
Das heißt, wir suchen uns hier ein Dreieck, wo das mit den Kästchen möglichst gut passt. So, und hier kann ich drei Kästchen nach rechts und wir gehen... immer nach rechts und wenn ich nach oben gehe, dann habe ich eine Steigung. Haben wir ja gerade darüber gesprochen.
So, und jetzt kann ich mit dem Steigungsdreieck auch schon die Steigung bestimmen. Ich gehe nämlich 3 nach rechts und 2 nach oben. Und gerade eben hatten wir ja gesagt, m wird berechnet aus hier geteilt. Durch hier. Also ist m in diesem Fall nichts anderes.
m ist gleich 2 Drittel. So einfach ist das. Das machen wir mit dem Steigungsdreieck.
Und wie ist das, wenn es nicht steigend ist? Schauen wir uns das auch an. So, dieses Mal geht es bergab. Okay, wieder machen wir das mit dem Steigungsdreieck. Und wieder suchen wir uns jetzt erstmal die Kästchen, die passen.
Diesmal gehen wir 4 nach rechts, weil wir ja immer nach rechts gehen. Und dieses Mal geht es einen nach unten. Das heißt, hier ist die 4 und hier, weil es nach unten geht, ist minus 1. Und jetzt können wir wieder m berechnen.
m ist dann gleich und richtig minus 1 geteilt. durch 4, also minus 1 Viertel. Das machen wir immer mit dem Steigungsdreieck, wenn wir es ablesen. Und wenn wir nach oben gehen, dann ist das Ganze steigend, also positiv. Und wenn wir nach unten gehen, dann ist das negativ und dann muss das Minus davor.
Das heißt, wir können sofort sehen, ob etwas steigend oder fallend ist. Machen wir weiter. So, dieses Mal nehmen wir diese hier.
So, wenn wir jetzt eine Geradengleichung bestimmen wollen, dann wissen wir ja, das muss so aussehen. y gleich mx plus b. Und wir wissen, m ist die Steigung und b ist der Schnittpunkt auf der y-Achse. Wenn wir das jetzt hier machen, dann können wir schon mal sagen, aha, y ist gleich. Hinten steht die 2, das ist ganz klar.
x und plus können wir auch hinschreiben. Jetzt brauchen wir noch die Steigung und die holen wir uns hier. mit einem Steigungsdreieck.
Wir gehen 2 nach rechts und wir gehen 1 nach oben. Und dann ist das ja ganz einfach 1 halb. Und dann sind wir fertig und das wäre auch richtig.
Wir können jetzt sagen, y ist gleich 1 halb x plus 2. Jetzt haben wir aber zu Beginn gesagt, dass wir das Ganze ja berechnen, wenn wir Höhendifferenz geteilt durch Seitendifferenz machen. Wenn wir jetzt... Höhen durch Seitendifferenz machen, dann wäre das ja 1 geteilt durch 2, also sprich 0,5. Und deswegen ist es genauso richtig, wenn wir diese gerade benennen mit y gleich 0,5 x plus 2. Beides ist völlig in Ordnung.
Ihr könnt die Bruchschreibweise wählen oder die Dezimalschreibweise. Beides ist völlig in Ordnung, weil es ist ja die gleiche Aussage. Es ist immer Höhendifferenz geteilt durch Seitendifferenz.
Und es ist egal, ob als Bruch-oder als Kommazahl. So, jetzt habt ihr alles gesehen, was man dazu braucht. In der Playlist findet ihr jetzt alles Weitere. Und dann seid ihr in diesem Thema fit. Okay, das war's.