Chapitre sur les Coniques

Introduction

• Les coniques: Chapitre pas souvent utilisé dans la vie quotidienne.
• Basé sur des formules et deux cônes accolés.

Les formes de coniques

• Cercle: Coupé droit à 90° - forme circulaire.
• Ellipse: Coupé en diagonal - forme allongée.
• Hyperbole: Coupé à un angle incliné - deux courbes opposées.
• Parabole: Coupé parallèlement à l'axe du cône - courbe en U.
  • Peut être orientée différemment (droite, gauche, haut, bas).

Formules de base (Revue Sonate 4)

• Milieu de deux points
• Distance entre deux points
• Distance entre un point et une droite

Formule du Cercle

• Forme canonique:

  

  • Où:
    • (h): abscisse du centre
    • (k): ordonnée du centre
    • (r): rayon

• Forme générale:

  • Peut inclure coefficients pour (x^2) et (y^2).
  • Condition: (a^2 + b^2 > 4).

• Complétion carrée: Méthode pour transformer une forme générale en forme canonique.

Cercle Centré à l'Origine

• Forme simplifiée:

  

  • Où:
    • Centre = ((0, 0))
    • Rayon = (r)

Méthode de Transformations

Transformation en Forme Canonique

1. Facteur de mise en évidence: Assurez-vous que les coefficients de (x^2) et (y^2) sont 1.
2. Compléter le carré: Forme des carrés parfaits pour x et y.

Cas Différents pour Trouver l'Équation du Cercle

Centre et Rayon Donnés

• Exemple: Centre ( (-1, 3) ) et Rayon (2).

• Forme canonique:

  [ (x + 1)^2 + (y - 3)^2 = 4 ]

Centre et Point sur le Cercle

• Utiliser la distance pour trouver le rayon.
• Exemple: Centre ((2, -1)) et Point ((2, 3))

  • Calcul de la distance pour rayon.

  • Forme canonique:

    [ (x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 25 ]

Coordonnées des Extrémités d'un Diamètre

• Milieu de A et B pour trouver le centre.

• Distance entre le centre et l'un des points pour trouver le rayon.

• Exemple de Forme canonique:

  [ (x - 1)^2 + (y + 1)^2 = 13 ]

Centre et Droite Tangente

• Utiliser la distance entre le centre et la droite pour déterminer le rayon.

• Forme canonique:

  [ (x - 1)^2 + (y + 3)^2 = 5 ]

Trois Points sur le Cercle (Optionnel)

• Remplacer les points dans la forme générale et résoudre les systèmes d'équations pour trouver les variables.

• Exemple de Forme générale:

  [ x^2 + y^2 + 2x - 4y - 20 = 0 ]

• Transformer en forme canonique au besoin.

Inéquations et Cercles

Représenter l'inéquation

• Ligne pleine pour ( \leq ) ou ( \geq ).
• Ligne pointillée pour ( < ) ou ( > ).
• Plus petit : intérieur du cercle.
• Plus grand : extérieur du cercle.

Trouver l'inéquation à partir d'un graphique

• Identifier (h, k) et le rayon.

• Exemple de Forme inéquation:

  [ (x + 1)^2 + (y - 1)^2 < 4 ]

Formes à venir:

• Ellipse
• Hyperbole
• Parabole