बिस्मिल्ला रख्मान और राहीम, अस्लाम लेकुम आज की इस विडियो में हम exercise 3.4 complete solve करेंगे इसके सारे questions और एक दो चीज़े मैं आपको बता दूँ जी कि हर question का जो time code है वो आपको description से मिल जाएगा आप जिस पी questions को समझना चाते हैं आप उस time पे click करें पर लगाएंगे ताकि आपको concept clear हो जाए फिर हम exercise को start करेंगे लेकिन अगर किसी को concept clear है वो direct exercise को या किसी भी question को जो समझना चाते हैं आप उसको start कर सकते हैं लेकिन मैं आपको recommend यही करूँगा कि पहले अपना concept clear करें और फिर जो है आप exercise को start करें और जो पहला questions है इसको detail से समझना है बाकी questions को भी detail से समझे ताकि आपके concept clear हो जाएं तो अब हम इसका जो basic concept है जी उसकी तरफ जाते हैं तो basic concept कुछ यूँ है कि let's suppose एक set A है और एक set B है ठीक है जी दो set हमारे पास हैं हमने इनका Cartesian product ये जैसे हम A cross B लिखते हैं इसको हम कहते हैं Cartesian product इन दोनों का Cartesian product कैसे लिया जाता है आप यहां से वन का पेर बना लेंगे थ्री के साथ देखिए स्टार्ट कैसे करना है इस ब्रैकेट से करली ब्रैकेट से ठीक है और फिर छोटी ब्रैकेट के अंदर आपने वन का पेर बनाना है थ्री के साथ फिर वन का पेर बनाना है फोर के साथ ठीक है फिर मज़ीद कोई न आप तो तीन चीजें मैंने पॉइंट्स लिखे हैं फिर हम एक्सरसाइज पर आएंगे कि अब बायन रिलेशन इज आ सेट आफ ऑडर्ड पेर अब बायन रिलेशन होता क्या है एक सेट ही होता है किसी इसका ऑडर्ड पेर का जैसे यह आपको यह नजर आ रहा है यह एक ऑडर अब वो कैसे बनेंगे यहां पर यह भी लिखा है कि एनी सबसेट कोई भी सबसेट आफ दी कर्टीजियन प्रोडक्ट एक रॉस भी यह जो बनाया है इसका कोई भी सबसेट इज आब एंड रिलेशन वह क्या होगा बन रिलेशन होगा जैसे इसका सबसेट आप कैसे बनते हैं एक सबसेट तो यह बन जाएगा कि इसमें एमटी आ जाएगा कोई सेट नहीं है अगर अब इसके बाद अगर आप दूसरा रिलेशन बनाना चाहिए दूसरा सबसेट भी आप इसको कह सकते हैं तो वह क्या बनेगा आप जस्ट इसको मेंशन कर लें वन और थ्री को ठीक है जी अब बाकी में बना रही ना लेकिन बता देता हूं कि एक इसका बन जाएगा एक यह और ठीक है जी ये भी आपको clear हो गया अब हमें ये कैसे idea होगा कि अब इसके कितने subset बन सकते हैं या कितने binary relation बन सकते हैं इसलिए हम इसको बोलेंगे number of binary relation in A cross B यह नहीं कि A cross B में कितने binary relation बन सकते हैं बगएर हम बनाए हम direct बता दें कि कितने बन सकते हैं तो यह इसका एक फर्मूला है कि आप 2 लिखेंगे और इसकी पावर में आप लिख देंगे number of elements in A cross B यह नहीं कि A में कितने elements हैं आप जैसे यह एक set A है A में कितने elements हैं 1, 2 इदर आप लिख लेंगे 2 मैं जैसे roughly बता देता हूँ आपको कि 2 की पावर आप लिख लेंगे 2 फिर multiply अब B में number of elements in B, B में कितने हैं तो ये आप 2 की पावर, ये 2 की पावर multiply होके 4 आ जाएगा, और 2 की पावर 4 कितना होता है जी, 16, अब इसका मतलब ये हुआ, कि number of binary relation कितने बन सकते हैं, 16, इसके, जैसे ये एक मैंने ये empty set बना दिया, एक ये बना दिया, इस तरह एक इसका, एक इसका इसका, तो ये बहुत सारे बनते जाएंगे, ये 16 बन सकते हैं total. तो ये इसका basic concept है, अब ही हम exercise को start करते हैं, फिर आपको मजीद चीज़ें इंशाला clear हो जाएंगी. अब हमारे पास जो पहला question है, question number 1, find the number of binary relation, अब देखें वोई बात जो भी मैंने आपको concept में बताई है, कि number of binary relation.
अब binary relation इसके कितने बन सकते हैं in the following cases सबसे पहले दुबारा से देख ले कि अमने ये देखना होता है कि इस set A के अंदर कितने elements है ठीक है मैं आपको दुबारा से guide कर दूँगा हर चीज तो number of elements in A जो के मारे पास कितने 1 और 2 इसी तरह यहाँ पर हम लिख लेते हैं number of elements in B B में कितने 1, 2, 3 ठीक है जी अब number of binary relation यह नहीं कि हमने binary relation निकालने नहीं है, सिर्फ बताना है कि उसमें हैं कितने बन सकते हैं तो इसका हमारे पास एक formula है, जो कि क्या है number of binary relation in A cross B ठीक है जी, यह नहीं कि A cross B में binary relation कितने बन सकते हैं, जो कि हमारे पास क्या होगा, इसका हम A cross B कर लेंगे formula हमारे पास यह है कि 2 की power, number of elements in A cross B है ठीक है जी, तो अब हमारे पास 2, अब इसका मतलब क्या, इसका मतलब यह है कि number of elements in A, तो number of elements in A कितने है जी, हमारे पास 2, फिर number of elements in B, B में कितने 3, तो यह आप 2 को 3 से multiply कर दें, तो यह आपके पास आ जाएगा, 2, 3, 6 हार आपके पास, ठीक है जी, तो यह 2 की power 6 हमारे पास म� यह नहीं कि एक रॉस पी जब आप इसका कर्डीजियन प्रोडक्ट लेंगे तो उसके अंदर जो बैनरिलेशन अगर आप उसके बनाना चाहिए तो कितने बनेंगे 64 बन सकते हैं लेकिन इस प्रेसिडेंट में जस्ट आपने यह बताना था लेकिन क्वेश्चन देखें फाइंड नंबर आफ नंबर यह आपने डिजिट बताना है कि कितने बैनरिलेशन बन सकते हैं इसके बार एक रॉस भी के ठीक है तो यह बन सकते हैं जिस इस फोर तो यहां पर आपका जो पहला पार्ट आइए अ पर दूसरा पार्ट सॉल्व करते हैं तो दूसरा पार्ट यह है कि number of element in C is equal to 7 जैसे यह जो उपर सेट थी दिये थे न पहले पार्ट में इसमें A और B सेट दिया वा था यह नहीं कि इसके elements भी बताया वा थे कि कौन से थे लेकिन इसमें क्या है question जो पार्ट 2 है कि इसमें direct सिर्फ यह बता दिया गया है कि जो सेट C है उसके अंदर elements कितने है यह N से मराज number of elements वो 7 है तो हमने बताना है कि इसके binary relation कितने बन सकते हैं तो हमने क्या करना है जी number of इसका formula क्या लिखेंगे number of binary relation ठीक है जी ये binary relation sorry इ���को मैं दबारा से लिख लेता हूँ binary relation in अच्छे देखें जब एक ही set दिया हो like सिर्फ c है आप c cross c कर लेंगे ठीक है अब C क्रास C के अंदर कितने elements number of binary relation बनेगे तो इसका formula क्या होगा 2 की power अब power में आपने क्या लिखना होता है C यह नहीं कि C क्रास C लिख लेंगे जैसे यह उपर मैंने लिखा था N आप यह लिखने की तुरेत है नहीं हम direct यह लिख लेंगे यह नहीं कि इस C के अंदर कितने elements है 7 फिर multiply दूसरे के अंदर कितने यह भी C है तो यह भी 7 है तो यह आजाएगा 2 की power 7 को multiply कर दें तो 49 तो यह यहां तक भी ठीक है इसको अगर आप 2 की power 49 calculator से लेकर यहाँ पर एक वो digit लिख लेते हैं तो वो भी ठीक है otherwise यहाँ तक भी यह ठीक है अब हम इसका जो next तीसरा part है वो solve करते हैं अब next जी D इसमें हम देखेंगे एक number of binary relation in अच्छा मैंने आपको यह बताया है जब एक ही set हो तो फिर हम इस set को इसी से multiply कर लेते हैं मतलब यह होता है ना कि आप D का D के साथ ही Cartesian product ले लेंगे ठीक है तो यह फिर इसका फर्मूला कहे जी 2 की पावर अब पावर में क्या लिखते हैं number of elements in D D में कितने है जी 1, 2 और 3 यहाँ पर हम लिख लेते हैं number of elements in D is equal to 3 यहाँ पर आ जाएगा 3 फिर multiply दूसरा set जाएगा वो भी D है इसमें भी आ जाएगे आपके पास 3 तो यह बनते हैं जी 2 की पावर अब 3 को 3 से multiply कर दें 2 की पावर 9 तो यहां तक भी ठीक है 2 की पावर 9 अगर आप इसको 2 की पावर 9 ले लेते हैं और कोई फानर डिजिट लिख लेते हैं तब भी ठीक है तो यह देखें तीन पार्ट कमप्लीट हो गए हैं अब मैं इसको एक चीज आपको बता दूँ जब कोई बायन रिलेशन हमेशा 2 का कार्टीजियन प्रोड़क लेने से ही आते हैं जैसे यह देखें यहां पर तो 2 सेट थे A क्रास B हमने कर लिया जब कोई भी एक सेट दिया होगा तो फिर आपको C क्रास C कर लेंगे जैसे सिरफ D है तो हमने D क्रास D कर लिये तो यह चीज अब हम इसका जो क्वेस्ट्र नमर टू है वो सॉल्व करते हैं Find all possible binary relation in the following cases देखें यहाँ पर भी दो सेट दिये हुए और binary relation find करने है अब इसमें question number 1 और 2 में थोड़ा सा फर्क है question number 1 में सिर्फ यह आपसे एक number पूछा गया था कि binary relation इसके कितने बन सकते हैं लेकिन यहाँ पर आपने वो बनाने भी है find all possible binary relation ठीक है in the following cases मैंनेशनिंग दी नंबर आफ बैन रिलेशन जैसे इसमें दो काम भी करने आप नंबर भी बताना जैसे इधर बताया था यह नहीं के जैसे हमने अमने क्या किया जी कि हमने नंबर भी बताना है कि इसके बैन रिलेशन कितने बन सकते हैं और वो बनाने भी हैं यह दोनों पार्ट समझेंगे हमने इस क्वेश्चन नंबर टू में करने हैं अब हम क्वेश्चन नंबर टू का पार्ट वन अच्छा जी क्योंकि इस question में दोनों ची���़ें करनी हैं तो हम सबसे पहले इसके find कर लेते हैं number of binary relation बनते कितने हैं फिर उस असाब से हम बना भी लेंगे तो यहाँ पर हम सबसे पहले लिख लेते हैं जी कि number of binary relation in अब चुके हमारे पास दो set हैं a और b तो हम लिख लें� तो एक अंदर कितने elements हैं यहाँ पर कुछ भी हो आपने इससे परशान नहीं हो जाना आपने elements देख लेने हैं 1, 2, 3 तो यहाँ पर आ जाएगा 3 फिर multiply अब b के अंदर कितने number of elements हैं तो यह एक ही element है यह कमा होगा 20 में तो फिर यह एक अलग element है यह दूसरा है तो यहाँ पर एक ही element है तो 1 आ जाएगा अब 2, 3, 1 जाएगा और 2 की power 3 मारे पास आ जाता है 2 की power 3, 8 होता है यह आपको उमीद आता होगा इसको आप यूँ चेक कर सकते हैं 2 power 3 का मतलब यह है कि 2 को आप ऐसे 3 दवा multiply करेंगे 2 to the 4 और 4 to 8 हा जाता है ठीक है जी तो आब हमें यह एडी हो गया कि देखें क्वेस्टन में कहा गया था न कि number of band relation कि वो बताएं क्वेस्टन के जो last पे था तो वो आप इसके कितने बनते हैं 8 अब हमने 8 बनाने बी है इस क्वेस्टन में यह difference है कि फाइन ऑल पॉसिबल बन रिलेशन अब बनाने के लिए यह लाजमी है कि आप सबसे पहले एक रॉस भी यह नहीं कि एयर बी का कर्टीजियन प्रोडक्ट फाइन करें पहले ठीक है फिर आपके जो ना बन रिलेशन बनेंगे तो सबसे बहुत हम क्या करेंगे जी ए रॉस भी करेंगे तो सबसे पहले यहां पर आपने कौन से लिखना ए वाला ए मारे पास क्या जी अंडरूट टू फिर हमारे पास अंडरूट थ्री है और अंडरूट फाइफ है अ ठीक है जी और इसी तरह फिर आपने बी वाले लिख लेना है बी हमारे पास एंडरूट 5 और यहां पर 3 हार है ठीक है जी अब इनका कार्डेजियन प्रोड़क कैसे लिया जाता है यह आपने पिछली एक साइज में भी सीखा का अभी हम दबारा से देख लेते हैं जी आपने क्या करना है जी कि इसका पेर इसके साथ बनाना है यहीं कि टू का पेर बन जाएगा किसके साथ अंडरूट फाइफ यह नहीं कि इसके साथ यह पेर बन गया फिर आपने क्या करना है इसका पेर मजीद को� तो यह थ्री और इसके साथ यह आ जाएगा फाइफ ठीक है जी फिर अगेन अब इसका इसके साथ पेर बना लेना है तो यह फाइफ आ गया और यहां पर फाइफ और यह थ्री ठीक है जिसको आपने क्लोज कर दिया तो यह आपका कर्डीजियन प्रोडक्ट टाइम हो गए अब आपने इसके बेन रिलेशन बनाने ठीक है जी बेन रिलेशन कितने बन सकते हैं इसके एट अब वह इसके एट कौन-कौन से होंगे आप देखिए सबसे पहले जो मिलेट पहला बना लेते हैं इसको नाम देते आरवन का अ कि अगर आप आपने आप ने आर वान आर टू आर थ्री स्ट्रा कर लेंगे तो आर वान जो होता है वह एक एमटी सेट होता है ठीक है जी एक एमटी सेट जो होगा इसका वह पहला हो जाएगा अब इसके बाद दूसरा हम यहां पर आगे बना लेते हैं आर टू आपने कैसे बनाना है जी अब एक सिर्फ यह लिख लें ठीक है तो यह नरूट थू और यह फाइफ आ जाएगा ठीक है जी एक यह बन गया यह नह ठीक है अब हम इसका बना लेते हैं आर थ्री यह आ जाएगा जी थ्री और यह फाइफ ठीक है जी इसको ब्लैक स्माल ब्रैकेट के अंदर और फिर फैनल क्लोज कर दिया फिर आर फोर यह बना लेते हैं और फोर इसमें हमने बच्चा करना जी फाइफ और यह फाइफ करना ठीक है जी कितने बन गए 123 और यह चार ठीक है क्योंकि टोटल आठ हैं अब हम क्या करेंगे अकेला केला बन के आप दो का बना जाएंगे इसका इसके साथ बना लेंगे ये मारे पास R5 हो जाएगा जिसमें हमने ये काउंट करना है जी 2 और ये 5 आ जाएगा इसके साथ ये वला भी आ जाएगा ये 3 और ये 5 ठीक है जी अब हमने इसका इसके साथ बना लेंगे इसका और इसके साथ बना लेंगे कि ये R6 हो जाएगा है तो हमने इसमें क्या किया जी टू और फाइव कर लिया एक और इसके साथ अमें लास्ट वाला करना है यह फाइव और यह आजाय का फाइव ठीक है एक चीज का आपने ख्याल रखना है कि कोई सेम ना हो जाएगी ना होकर आपने आर फाइव है जैसे इसमें दो लिखें और सिक्स में भी वहीं दो लिखें हो बस डिफरेंस होना चाहिए दो लिख सकते हैं लेकिन तीसरा फिर आज है तो यह सेम ना हूं बस ठीक है यार सिक्स हो गया अब देखिए हमने इसका इसके साथ बनाया और फिर हमने पहले तो हमने यह बना लिया पिर हमने इसका इसके साथ बना लिया अब हम इन दोनों का बना लेते हैं ठीक है यह नहीं कि त्री और फाइव वाले का तो यह हमारे पास आ जाएगा जी आर सेमन जो कि आ जाएगा थ्री और यह फाइव वाला और इसके साथ यह दूसरा जाएगा फाइव और यह फाइव और ठीक है जी यह साथ होगे अब आठवां कौन सा होगा दो का भी टिमप्लीट होगे सारे और मजीद दो वाला नहीं बन सकता अब हम तीन पर आ जाएंगे अ जिसमें ये तीनु आ जाएंगे ठीक है तो अब ये तीनु हम लिख लेते हैं कि यहाँ पर हमारे पास 2 और ये 5 आ गया थी और इसके बाद फिर हमारे पास 3 और ये 5 आ जाएगा और 5 और ये 5 आ जाएगा ठीक है थी तो ये हमारे पास 8 बन गए अब मैं अगें रिपीट करू यह निकालते हैं नियुक्त फर्मुला यूज करके बता देते हैं कि आठ बनते हैं अब इसको यह भी कहा गया था कि फाइंड ऑल पॉसिबल बन रिलेशन फाइंड तो हमने फिर प्रापर फाइंड भी की फाइंड करने के लिए लाजमी है कि आप दो जो सेट आपको दिए ज हो जाएंगे अभी हम इसका part 2 जो है वो solve करते हैं अगर जी next part 2 है इसमें सिरफ C वाला दिया हुआ है अब इस C से आपने confused नहीं होना है कि यहाँ पर क्या दिया हुआ है कुछ भी दिया हो बस आपने methods को follow करना है question को solve कर लेना है ठीक है तो आपको यह मैंने चीज बताई थी हमने दो चीज़ें find करनी है एक तो number of binary relation मतलब कितने बन सकते हैं और फिर उतने बनाने भी है तो पहले हम क्या करते हैं जी कि number of binary relation ठीक है तो सबसे पहले number of binary relation in C अब देखें जब भी एक set होगा ना तो इसको आप क्या कर लेंगे आप उसको उसी अपने साथ ही multiply कर लेंगे itself C का C कर लेंगे ठीक है तो इसका अब हमारे पास formula यह है कि 2 लिखना है अब 2 की power में क्या लि� इस प्रश्न नंबर आफ एलिमेंट्स इन सी इकुल वन और टू यहां पर आ जाएगा टू फिर मल्टीप्लाय अब दूसरा फिर सी है इसके अंदर भी तो यह टू मल्टीप्लाय टू करेंगे तो टू फोर आ जाएगा और टू की पावर फोर कितना होता है जी टू की प अब वो 16 के 16 हमने बनाने भी हैं अब कैसे बनेंगे उसके लिए लाजमी है कि आप कर्टीजियन प्रोडक्ट पहले लेंगे ठीक है यह याद रख लेंगे तो हम क्या करेंगे क्योंकि हमारे पास सिर्फ C है तो इसके लिए C का C के साथ ही कर्टीजियन प्रोडक्ट आ जाए� अगर आप इसके साथ पेर और इसके साथ पेर बना लेते हैं, तो पहले पाई का बन जाएगा पाई के साथ, फिर पाई का ई के साथ आ जाएगा, ठीक है जी फिर पाई का अगर मजीद तीसरा एलिमेंट होता तो उसके साथ बन जाता है, लेकिन अभी नहीं है, तो खतम, अब अब आपने इससे binary relation बनाने हैं आगे ठीक है जी उमीद है कि आपको ये चीज़ें clear हो रही होंगी तो अब अमने binary relation बनाने हैं तो अम क्या करेंगे जी start करलेंगे R1 से ठीक है R1 जो होता है वो होता है पहले empty set एक सिर्फ इसका बन जाएगा एक ही हो गया एक, दो, तीन, चार और पांच फिर आपने दो के बनाने हैं इसका इसके साथ इसका इसके साथ फिर अगेन इस तरह ठीक है जी फिर तीन के बनाना है ये मैं आपको बना के अब सासत गाइड करतो हूँ ये आर� R2 में आपने सिरफ ये बना लेना है जिसमें आ जाएगा पाई और पाई ठीक है जी फिर R3 में ये वला आ जाएगा जिसमें पाई और ई आ जाएगा ठीक है जी R3 हो गया फिर R4 में आपने क्या करना है जिसमें ई और पाई आ जाएगा ठीक है और फिर R5 में आपने क्या करना अब R6 में आपने क्या करना है 6 में आपने दो बनाने है इसका इसके साथ पहले बनाए यह नहीं कि पाई और पाई आएगा एक और एक पाई और ई आजाएगा इसको close कर देना है फिर पाई का इसके साथ बना लेना है आपने यह R7 हो जाएगा यह नहीं कि पाई और पाई आगया और फिर ई और पाई आगया इसका इसके साथ भी हो गया इसके साथ आपने बना लेना है वो आपके पास आवज़ेगा R8 8 में क्या है जी पाई और पाई है एक और एक E और E है यह आपके पास जो है ना R8 बन गए अब आपने बनाना है जी R9 R9 अब 9 में देखें क्या होगा इसको हमने fix किया था अब हम इस पे आ जाएंगे इसको इसके साथ बना लेंगे ठीक है यह नहीं के पाए और ई को कंसिडर करेंगे ई और पाए के साथ ठीक है जी एक ये बन गया आर नाईं अब इसके बाद आ जाते हैं आर टेन पे अब हमने इसका इसके साथ बना लेना है आर टेन हमारे पास हो जाएगा पाए ई और ई आ जाएगा फिर आर इलेमन पर आ ज इसको छोड़कर आपने इसको fix करना है इसका इसके साथ बना लेना है तो यह आ जाएगा जी R11 E पाई और इसके साथ आपके E और E आ जाएगा यह R11 हो गया अब आपने आ जाना है जी R12 पे अब जरा आपने देखना है देखें हमने दो वाले सारे बना लिये पहले इसको यह तीनों बना लेंगे पहले जिसमें हमारे पास आ जाएगा जी पाए और पाए शायद आपको नजरा रहा होगा पाए और फिर पाए और ई और फिर ई और पाए आ जाएगा यह R12 हो गया अब हमने बनाना जी R13 में हमारे पास क्या होगा जी कि पाए और फिर हमारे पास पाए और ई पहले दो को हमने फिक्स किया है अब तीसरे को छोड़ की तीसरे को हमने बना लिया है अब इसके साथ चोथा आ जाएगा यानि के ई और ई आ जाएगा या 13 हो गया अब इदरी बना लेते हैं जी आर 14 में आप देखें कौन से आएगे 14 में जैसे ये पहल इसमें हमने कौन से consider किए अच्छा जी उसके बाद next r15 हमारे पास आ जाएगा अब 15 में देखें जी कौन से आएगे 15 में हमारे पास ये पाई और ई आ जाएगा एक और इसके बाद ई और पाई आ जाएगा ठीक है जी ये हमारे पास जाना r15 बन गए अब 15 के बाद last में 16 जो last वला होता है last वला जो होता है वो almost वो सारा खुद ही होता है जिसमें वो ही जो सेट है वो सारा आप लिख लेते हैं पाई ई आजाएगा और फिर ई और पाई आजाएगा और ई आजाएगा तो यहाँ पर यह आपके 16 के 16 कमप्लीट हो जाते हैं ठीक है जी अमीद है कि आपको यह चीज क्लियर होगी अब हम इसका जो next part है वो solve करते हैं तो जी सबसे पहले इसमें number of binary relation ठीक है तो number of binary relation इन आप चूंके दो सेट दिये हैं आप यहाँ पर क्या कर लेंगे D cross E कर लेंगे और फिर आप find करने का फर्मुला क्या है जी 2 आप 2 की पावर क्या लिखने है इसके elements D वाले के तो number of elements in D कितने जी वो एक ही है और number of elements in E मारे पास कितने है 1 और 2 तो D का 1 आजाएगा और E के मारे पास कितने है 2 हैं तो यह मारे पास टू की पावर टू और फिर यह मारे पास बन जाएगा टू की पावर टू फोर तो इसका मतलब यह होगा कि इसके बैन रिलेशन कितने बनेंगे जी फोर बनेंगे आप फोर बनाने भी है ठीक है यह फर्क है इसमें आप जो क्वेश्चन नंबर वांट ना उसमें जस्ट हम यहां तक वर्क करते थे इसमें अब हमने फाइड भी करने को क्योंकि असमी का गए फाइड ऑल बंद कर्टीजियन प्रोडक्ट लेते हैं E, जो क्योंकि हमारे पास एक से� तो पहले D का आ जाएगा, D के elements कौन से हैं, जी 5, फिर मारे पास आ जाएगा, जी E वाला, E के elements कौन से हैं, 1 और 10, इसका हमने Cartesian product find करना है, Cartesian product very easy है, 5 का pair बन जाएगा, 1 के साथ, फिर 5 का 10 के साथ, ठीक है जी, ये Cartesian product find हो गया, अब इसके band relation, जो कि total कितने बनेगे, 4, ह ठीक है जी और फिर आर टू बनाते हैं आर टू में हमारे पास सिर्फ यह एक ही आ जाएगा फाइव वन ठीक है एक कंसिडर कर लेते हैं फिर आर थी में जो नेक्स्ट है और यह आर थी है आर थी में यह वाला आ जाएगा फाइव फोर टेन ठीक है जी एमपिटी भी हो गय जिसमें 5 और 1 और 5 और n दोनों आजाएगे तो यहाँ पर यह आपका पार्ट कम्प्लीट हो जाता है अमीद है कि आपको यह जो question है जिसमें दो चीज़ें find करनी थी number of binary relation कि कितने बनते हैं या कितने बन सकते हैं और फिर वो बनाने भी हैं अब हम इसका question number 3 है वो solve करते हैं अगर जी next question number 3 है if p एक हमें सेट दिया गया पी जिसमें elements कौन-कौन से 7, 8, 9 then find two binary relations from P to P P to P का मतलब है आपने P, देखें एक ही सेट दिया है P तो आप इसका कर्टिजियम P का P के साथ ही लेंगे तो वो उन्होंने खुद बिदा दिया P to P अच्छा देखें पिछले questions में हम binary relations सारे find करते थे इसमें हमारे लिए आसान हो गया का हमने just दो binary relations find करने है and also find domain and range of each relation और जो दोनों find करेंगे उनकी domain भी और range भी find करेंगे तो यहाँ पर हम कुछ चीज़े मेंटिन कर लेते हैं question से जैसे यह p वाला set दिया है मैंने लिख लिया अब दो binary relation find करने है p to p अब p to p का मतलब क्या है जी p cross p हमने करना है फिर उनकी domain और range find करनी है तो हम देखते हैं जी लेकिन जी question में binary relation का कहा गया है तो लाजमी है कि हमने p और p का cartesian product find करना है ठीक है कुंकि है इपी है तो हम क्या कर लेंगे पहले पीवाला सेट लिख लेंगे 7 8 और 9 आ जाएगा फिर हमने इसका प्रडक्ट इसी के साथ ही लेना है तो 7 8 और 9 ही आ जाएगा अब हमने क्या करना जी का डिजिएंट प्रडक्ट कैसे लिया जाता है 7 पेर बना लेंगे 7 के साथ फिर 7 का 8 के साथ और फिर 7 का 9 के साथ ठीक है जी फिर हमने क्या किया जी अब हमने 8 पर आ जाने 8 का इन तीनों के साथ बनाना है तो 8 7 फिर 8 और 8 आ जाएगा और 8 और 9 आ जाएगा फिर हमने 9 का इन तीनों के साथ बनना है तो इधर मैं आप नीचे लिख लेता हूँ तो यह आ जाएगा 9 7 और 9 8 उसके बाद 9 और 9 यह कर्टीजियन प्रोडक्ट फाइंड हो गया अब हमने इस में से चुंके बाइनरिलेशन अमेशा इस में से बनते हैं सिर्फ दो तो एक हम R1 टू का नाम दे देंगे और वन अब देखिए एक चीज यहां पर नोट करने वाली है वेरी इंपार्टेंट पॉइंट है अजय जी इसमें जो पॉइंट नोट करने वाला वह यह है कि आपने पिछले क्वेश्चन में सीख लिया है कि इसके बायरलेशन यह खुद सारे बन सकते हैं जैसे मैं सिर्फ अकेला-केला लिखता जो पहले तो यह कुछ बन जाएंगे फिर 22 के बनाएं फिर 33 के बनाएं अब इस क्वेश्चन में सिर्फ दो कहे गए इसलिए आप हो सकता है कुछ ट्रेंस अ दो बना दें सिर्फ एक इसका और एक इसका कुछ चैनल के जिन्हें हम दो-दो का बना लेते हैं कोई तीन-तीन का बना लेंगे कोई चार-चार का भी यहां पर बन सकता है तो इसलिए हर स्टूडेंट का अपना-अपना आंसर हो सकता है ठीक है हो सकता है आप जो बना रहे हो इसलिए यहाँ पर आपने यह नहीं देखना कि फिलान स्टुरेंट्स ने यह आंसर निकाला या फिलान ने यह निकाला ठीक है यह एक कंफीन होती है इसलिए मैंने आपको पहले ही बता दिया है अब हम questions पर आते हैं Cartesian product find कर लिया आप इसके दो relation find करने R1 ठीक है जि हम यही दोनों लिख लेते हैं पहले वले 7 और 8 इसकी अब डुमेन और रेंज भी फाइन करनी है अब वह कैसे फाइन कर जाती है बहुत आसान है इसकी डुमेन और रेंज यहाँ पर मैं आगे ही फाइन कर लेता हूँ जी तो यहाँ पर आपने क्या लगाना है जी डुमेन किसकी है जी R1 की तो यहाँ पर आप लिख पूरा लव लिख दे ताब भी ठीक है domain और one अब domain क्या होती है domain को आपने इस curly bracket के इंदर वैसे में बहुत अच्छे से नहीं बना रहा है लेकिन आपने proper बना लेनी है जैसे book में है domain होगा जी जो पहले elements है ठीक है पहले elements जो domain करते हैं 7 है फिर इसमें अगर पहला देखें कोई element आपने repeat नहीं करना तो आपको यहां पर एक ट्रिक भी बता देता हूँ आपको याद रहेगा उससे रेंज क्या होती है जी रेंज R1 इसकी रेंज निकाल लिया है तो रेंज होती है यह जो दूसरा वाला होता है जैसे इसका दूसरा देखें 7 है और इसका दूसरा देखें 8 है तो यहाँ पर हमने 7 देखें यह domain रेंज है आप यह माइंड में रेक्ट लें domain देखें main चीज़ जैसे जब भी हम बात करते हैं ना कि main main से मिराद पहले वाला इसलिए आप माइंड में रखेंगे जो डूमेन से मिला पहले वाला फिर जो दूसरे वाला हो जाएगा ठीक है अब हम आर्टू फाइंड करते हैं क्योंकि दो रिलेशन का कहा गया था यार वन हो गया अब हम आर्टू फाइंड कर लेते हैं आर्टू में हम क्या करते हैं जी कि कोई से भी अब लिख सकते हैं या पर आपकी मरजी है अब हम तो अब हम दो लिख लिया कोई अब हम लिख लेते हैं जी सेमन और नाइन ठीक है और उसके बाद एक यह लिख लेते हैं जी एट और सेमन और एक लिख लेते हैं जी हम एट नाइन लिख लेते हैं चले हैं एट और नाइन ठीक है जी यह भी एट भी लिख सकते हैं मरजी कि यहाँ पर आपकी चायस है अ तो डमेन आप देखते हैं डमेन मैंने आपको बताया है जो पहले होता है जैसे सेवन है फिर उसके बाद एट है ठीक है जी उसके बाद फिर एट है एट हम लिख चुके हैं रिपीट नहीं करना ठीक है ये डमेन हो गई और रेंज इसकी क्या होगी जी रेंज आर टू तो यह इसकी डॉमेन होगी और यह इसकी रेंज होगी तो यहां पर आपका यह जो क्वेश्चन नंबर थी है यह कंप्लीट हो जाता है आप इसको देख सकते हैं पी दिया था पी टू पी हमने फाइंड किया पहले कर्टीजियन प्रोडक्ट इसके दो रिलेशन बनाने थे आ अगर जी नेक्स्ट क्वेस्टर नमर फॉर लेट एच एक सेट दिया है एच एंड जी ये एक जी दिया है राइट दी फॉल्विंग रिलेशन फ्रॉम एच टू जी यानि कि हमने कर्टीजियन प्रड़क लेना है एच और जी का अच्छा पिर उसमें से हमने जो लिखने आप रिलेशन कौन से बनना है इन के कार्डिंग है हमें कुछ स्टेट्समेंट दी हुई है पहले तो हम इन H और G का कर्टिजियन प्रोडक्ट ले लेते हैं फिर हम देखते हैं कि ये क्या चीज़ें फिर मैं आपको सासब गाइड करूँगा फिर हम देखते हैं तो यहाँ पर आप देखते हैं कि H to G हमने कैसे कर्टिजियन प्रोडक्ट फाइन करने है 5, 6, 7, 8 और 9 फिर हम लिख लेंगे G वाला 5, 7, 9 और 11 ठीक है अब इन दोनों का Cartesian product कैसे find करना है हम क्या करेंगे जी 5 को fix कर लेंगे इन सब के साथ तो 5 का pair बना लिया 5 के साथ फिर 5 का 7 के साथ फिर 5 9 और 5 11 ठीक है जी अब हम आ जाते हैं 6 पे 6 का इन सब के साथ अलग लग pair बनाना है तो यहाँ पर हम नीचे बना लेते हैं जी तो 6 5 फिर 6 7 फिर 6 9 और फिर 6 और 11 ठीक है जी फिर नेक्स्ट हमने यहां पर दिखा है वैसे आप आगे भी बना सकते हैं मैं यहां पर ही नीचे बनाता जा रहा हूं फिर आपने क्या करना है जी अब 7 का इन सब के साथ बना लेना है तो यहां पर आ जाएगा 7 और 5 फिर 7 और 7 और 9 तो यह 8 5 8 7 फिर 8 9 और 8 11 फिर 8 के बाद 9 आ जाता है जी 9 का सब के साथ बना लें तो यह 9 5 नाइन सेमन नाइन और उसके बाद नाइन और इलेवन इसको आपने फिर क्लोज भी कर देना ठीक है जी स्टार्टिंग और एंडिंग देख लें आप इसका क्लोजिंग भी हमने करनी है अब यह प्रोडक्ट फाइंड हो गया अब हमने तो कि पावर इसके लिए मैं इस मैटिप्लाइस के देख लें वह ज्यादा बनेगे लेकिन हमने कौन से बनाना है सिर्फ जैसे पार्ट वन में यह कहा गया है अच्छा जी पार्ट वन में हमें ये खा गया है कि is equal to अब is equal to का मतलब क्या है मतलब यह है कि इस में से इस सारे में से आपने वो वाला order पे लिखना है जिसमें x और y ज़रिखें अच्छा ये पहला element होता है ये x का होता है दूसरा y का होता है जिसमें दोनों equal हो is equal to का मतलब क्या हुआ ये जिसमें दोनों equal होंगे आपने क्या करना है ऐसे randomly नहीं देखना कि ये equal है आपने यहां से start लेना है तो यहां पर देखें ये भी 5 है तो यह इसमें शामिल होगा यह नहीं कि हमने क्या करना है लेट्स पर इसको कोई भी हम आर वन आर टू का नाम दे सकते हैं नहीं तो ऐसे रैनम लिख सकते हैं तो इसमें जो आएंगे इक्वल वाले सारे जैसे फाइफ और फाइफ हो गया बजीद देख लेते हैं जी अब आ� ठीक है जी यह एक वाला 9 और 9 इसको आप यहाँ पर mention करना है 9 और यह ठीक है जी इसको आपने close कर दिया उमीद है कि आपको यह समझ आ गया होगा कि is equal to यह नहीं कि जो दोनों जिसमें x भी और y दोनों equal हों वो आपने लिखना है ठीक है जी अब हम part 2 देख लेते हैं अ� तो यह जैसे यह य अच्छा अब मैं आपको सारे बता देता हूँ फिर हम लिख लेंगे ठीक है जिसमें less than होगा अब ये वला less है ठीक है इसको हमना एक टिक लगा लेते हैं कुट्टी कर लेते हैं इसे ये आ रहा है ये भी less में है देखें ये less है इससे ये भी less है अच्छा ये देखें ये greater है ये शामिल नहीं होगा अब ये बहुत बहु यह कम है ठीक है अपने जो सारे कम वाले हैं वह लिखने यह देखिए यह ज्यादा है यह भी ज्यादा है यह हमारे पास कम है यह भी कम है अच्छा जी यह ज्यादा हो गया है यह भी ज्यादा है इससे यह इक्वल है और यह कम है जिनको मैंने टिक किया है यह हम लिख लेंगे अब हमने कोई से लिखने इस greater than अब greater than का मतलब है यह है कि आपने पहले वाला देखने है जो greater हो ठीक है अब जैसे यह greater होना चाहिए इससे अब यह equal है और यहाँ पा जो tick वाले हैं वो सारे less हैं अब यह वाले आ जाते हैं अब यह number जो है यह greater है इसको हम कार लेते हैं जी black से तो कि में clear हो जाए यह मारा greater है इसके बाद हम देख लेते हैं जी यह सारे tick वाले दो less हैं यह greater है यह एक वाले है ठीक है अच्छा ये less वाले हैं ये greater है देखे 8 बड़ा है न 7 से ये less वाले हैं क्योंकि टिक हुए हैं ये greater है ये भी greater है 9 बड़ा है अब जिनको मैंने black ball point से टिक किया न अब ये सारे जा जाते हैं कि is greater than में इनको हम लिख लेते हैं लिख के फिर मैं आपको guide कर देता हूँ यानि के is one less than का मतलब क्या हुआ देखें is one less एक कम होना से यह ठीक है अब जरह देखें मतलब अब हमने वो लिखने जिसमें एक कम होगा one less आपको मैं यहां से बताता हूँ जी one less वाले कौन से अब यहां से start लाएं यह सारा यह तो different है यह देखें अब देखें यह equal है और यह less तो है लेकिन यह seven से two less है है अगर आप यह देखने के लिए दो कम है तो यह बहुत ज्यादा कम है अगर आप यह देखने के लिए देखने के जिसको मैं underline कर रहा हूँ अब देखें ये less भी है अब कितना less है 6 से एक number कम है इसको कहते है one less than ये शामिल होगा जिसको line लगा दिया है one less वाले हमने अब लिखने है ठीक है जी one less हो तो one less अब ये देख लें अब ये less भी है और one less है देखें 8 जो है वो कितना कम है 9 से एक digit one less ठीक है जी उमीद है कि अब आपको concept clear हो गया होगा तो यह टोटल दो ही बन रहे हैं, इनको हम लिख लेते हैं जी कौन से हैं, तो यह सिर्फ दो थे जी, 6, 7 और 8, 9, इसको मैं आप देख सकते हैं कि इसमें कहें कि 6, 1 less, यह 1 less है 7 से, एक नमबर कम है, यह भी एक नमबर कम है, ठीक है जी, अब next है जी, is 1 greater than, अब एक नमब अब जैसे यह डिजिट है अब इसमें कहेंगे यह बड़ा भी है और 5 से कितना बड़ा है वन ग्रेटर एक नंबर बड़ा है तो यह आ जाएगा 6 5 ठीक है जिस यहां पर हम लिख लेते हैं साथ अब तो हमारे पास एक आ रहा है 6 और 5 यह वन ग्रेटर है इसके बाद ने अब देखें 8 जो है ना 1 greater है 7 से तो यहाँ मेरे पास आ जाएगा 8 7 के बाद फिर हम देखते हैं जी 1 greater बस यह 2 ही मेरे पास आ रहे हैं ठीक है जी यह हमने mention कर दी इन दोनों को अब हम next देख लेते हैं अब हमने देखना है जी कि is 2 less than अब less होना चाहिए कम होना चाहिए ले अब जैसे यह है अब देखें 5 जो है ना 7 से कितना कम है 2, 2 digit, 5, 2 less तो इसको हम लिख सकते हैं यह 5, 7 यहाँ पर हम सासद मेंशन करते हैं जी यह मारे पास आ जाएगा 5 और 7 इसके बाद next देख लेते हैं 2 less में हमारे पास अब देख रहे हैं जी कि 2 less होना सही है अब यह number अब तो ये 7, 9 इसको भी हम लिख लेते हैं ये 7 और 9 आ जाएगा इसके बाद जी 7 और 9 ये है इसके बाद next जो 2 less होना चाहिए 2 less में आपने देखना है जी 2 less तो ये number भी 9 के अब कितना कम है 11 से 2 digit तो ये मारे पास 9, 11 भी आ जाएगा तो ये अब रहा हम लिख लेंगे 9 और 11 है तो यही तीन हुए जी इसको फिर हम यहां पर क्लोज कर लेते हैं अमीद है कि आप आपको यह कंसेप्ट क्लियर हो गया होगा कि इसमें हमने क्या किया है सबसे पहले एच और टू जी हमने कटीजियन प्रोडक्ट फाइन किया है अब इसमें जाएंगे सारे इस लेस्ट इन जिसमें पहला जो ना वह लेस्ट होगा सारे लिख लेने फिर इस ग्रेटर दें जिसमें यह ग्रेटर होना चाहिए ठीक है इसमें अ अब मजीद limit है less भी हो और one less हो एक कम होना चाहिए इसमें कहता one greater than एक digit जो है वो बड़ा होना चाहिए इसमें two less दो कम होना चाहिए तो यहाँ पर आपका यह जो question number four है यह complete हो जाता है अब next question number five let's see एक set में c दिया हुआ है और एक d दिया हुआ है ठीक है and r यह r के बारे में एक information है ठीक है और बेसिकली एक binary relation है जो जब हम C और D का crocatesian product लेंगे उसमें से बहुत सारे उसके बन सकते हैं binary relation लेकिन उन्हें एक ही बनाया है और लेकिन उसकी कुछ limits है अब limit के हैं कि XY आपने एक ऐसा pair लेना है लेकिन यहाँ पर उन्हें बता दिया कि X belong करें C से यह नहीं किज़रिसी बात है हम जो भी लिखते हैं पहला letter वो C से होता है और दूसरा जो है वो D से होता है यह एक important point है कि x is a factor of y अब यह information मैं आपको बसाइट बना के बताऊंगा फिर आगे इसके चार parts हैं जी पहला part है कि are in tabular form यह नहीं कि इसको आपने इन की तरह यह नहीं कि simple form है लिख देने टैबुलर form इसको कहते हैं फिर उसकी domain और range find करनी है यह चारू parts है तो हम question लिख लेते हैं C और D फिर हम इसकी Cartesian product find करते हैं पहले और स्टाब एस्टाइब मैं आपको गाइड करत कि पहला स्टेप क्या होगा जी कि आपने सी और डी का कर्टीजियन प्रोडक्ट फाइन करने बाकी सारी चीजें छोड़ दें ठीक है आपने सी और डी का यह नहीं किस प्रॉस डी आपने करना है ठीक है जी अब सी मेरे पास के टू और टू फोर फिक्स है फिर मेरे पास डी आ जाएगा डी के जी फोर सिक्स एट नाइन और ट्वेल अब कर्टीजियन प्रोडक्ट कैसे तो 2 का पेर बन जाएगा 4 के साथ, फिर अमारा 2 का 6 के साथ, फिर 2 8, फिर 2 9, और फिर 2 और 12, ठीक है जी, फिर आपने 4 का आप सब के साथ पेर बनाना है, तो यहाँ पर नीचे मैं लिख लेता हूँ, 4 का पेर बन जाएगा 4 के साथ, फिर 4 और 6, 4 8, 4 9, और 4 और 12, ठीक है जी तो यह आ जाएगा 6 4 यह 6 फिर 6 और 8 फिर 6 और 9 और यह 6 और 12 ठीक है जी इसको फिर आपने क्लोज कर लेना है यह आपका कर्डिजियन प्रोडक्ट फाइंड हो गया अब आपने दूसरे नंबर पर क्या करना है देखें इसके फिर हम रिलेशन बनाते हैं अब आपने जो रि लेकिन इसको आपने टैबुलर फॉर्म मतलब इस तरह सिंपल करके लिख देना है। अब देखें उन्हें यह गाइड किया है कि आप जो इसका टैबुलर है मतलब R में जो बनाएंगे। ठीक है। R में आपको पता है सारे हम इस तरह के पेर्स बन लिखेंगे। वो लिखना है असल यह इसकी इंफर्मेशन है। एक्स फैक्टर हवाई का अब इसकी मृत्या जैसे यह पहला एलिमेंट है कि हम देखें कि क्या यह एक्स है न यह वाय है यह इसका फैक्टर है कि नहीं अब फैक्टर के लिए यह देखना होता है कि क्या इसका टेबल इस पर जा रहा है कि नहीं एक बात तो यह होग तो अब हमारे पास यहाँ पर कौन-कौन से आ जाएंगे, एक आ जाएगा 2, 4, क्योंकि 2 factor है y, 4 का, क्योंकि ने बोले न, x is factor of y, यह x है और यह y है, यह factor होना चाहिए इसका, मतलब factor ने इसमें राध यह इसको complete divide कर दे, अब 2 जो है वो 4 को complete divide कर सकता है, ठीक है, यह आप य� मतलब पूरा डिवाइड हो जाता है यह आप यूँ कह सकते हैं कि 2 के टेबल में 6 भी शामिल है तो यह भी आ जाएगा 2 6 ठीक है ती उम्मीद है आप समझ आ रही होगी कि कैसे फैक्टर देख रहे हैं कि x is a factor of y अब next 2 8, 8 भी शामिल है 2 के टेबल में तो यह आ जाएगा 2 8 इसके बाद next 2 8 के बाद आप देखें अब मैं आपसे पूछता हूँ कि क्या 9 2 के टेबल में शामिल होता है आब उलेंगे दिनने और दूसरी बात देखें तू 9 को complete divide कर सकता है जैसे ये 2 8 को complete divide कर लेगा तू 4 8 अब ऐसा को digit है 2 को direct stand कर लें तो वो नहीं होगा इसलिए ये इसका factor 2 इसका factor नहीं है ये नहीं कि x factor नहीं है y का हमने लिखने के x factor होना चाहिए y का वो वाले ठीक है तो ये cross हो गए ये नहीं होगा ये अब ये factor है इसका तू देखें 6 12 या 2 की table में या 2 देखें 6 12 को complete divide कर लेता है तो यह आ जाएगा जी 2 और 12, अब हम आ जाते हैं यहाँ पर, अब 4 के टेबल में 4 भी शामिल है, जैरिक्सी बात है जी, तो यह 4, 4 भी आ जाएगा, उसके बाद अब 4 के टेबल में 6 आता है या नहीं आता, अब दूसरी तरह देखें, 4 का complete 6 को divide कर लेता है, नही एक तरीका ये, दूसरा आप यूँ भी देख सकते हैं कि क्या 6 4 के टेबल में आता है या नहीं आता 4 1 0 4 2 8 वो direct 8 पे चला जाता है, ये तो आता ही नहीं है, ये नहीं होगा अब ये हो सकता है क्योंकि 8 है जी, 4 8 आ जाएगा उमीद है कि ये factor वाली कहानी आपको समझ आ गई होगी कि कैसे देख रहे हैं factor इसके अब 4 9 नहीं हो सकते, 4 12 हो सकते, 4 1 4, 4 3 12 और 12 है भी 4 के टेबल में, तो ये जी 4 और 12 आ जाएगा अच्छा इसके बाद 6 4, 6 4 के टेबल यह नहीं है, 4 देखें, अब 6 4 को डिवाइड नहीं कर सकता है, यह तो पर छोटा हो गया है, और 4 6 के टेबल में है भी नहीं, 6 1s और 6 वो तो स्टार्ट ही 6 से होता है, पर 6 2 12 वो 12 पर जला जाता है, तो यह नहीं होगा, यह हो सकता है तो यह हमारे पास यहां पर 6 और 6 आ जाएगा फिर 8 नहीं है जी 6166212 यह होता ही नहीं है यह भी नहीं है यह आ जाएगा क्योंकि 6166212 6 और 12 तो यह इसकी Tabular Form यह Simple Form एक बन गई है ठीक है जी यह आपका Part 1 Clear हो गया अब Part 2 में क्या करना है Find Domain and Range of R यह जो आपने एक बनाया है Relation इसकी Domain और इसकी रेंज आपने फाइन करनी है इसकी आप देख लें जी आप कैसे फाइन करेंगे डोमेन और की डोमेन मैंने आपको बताया था जो पहला लेटर होता है यह पहला यहां जाएगा टू के बाद फिर टू लिख चुके हैं कोई एलिमेंट रिपीट नहीं करना है ट अब रेंज इसकी क्या होगी रेंज और रेंज कहते हैं दूसरे बला होता है जैसा कि 4 है 4 के बाद फिर 6 फिर 8 फिर 12 फिर 4 हम लिख चुके हैं जी 8 भी लिख चुके हैं फिर हमारे पास 12 है 12 भी लिख चुके हैं फिर 6 12 लिख चुके हैं यह इसकी डोमेनो रेंज होगी ठीक ह अब नेक्स्ट जी find और इसको कहते है inverse और inverse find करना है inverse का मतलब है जो r आपने find देखें इसका relation r के साथ है ये r का inverse है r ये उपर लिखा हुआ है अब r का inverse कैसे find करते हैं ये देखें जरा r inverse कैसे find होगा आपने क्या करना है ये जो है ना इसको ओलेट कर देना है inverse कर देना है inverse कैसे होगा 4 पहले आ जाएगा 2 बाद में सला जाएगा 6 पहले आ जाएगा, 2 बाद में चला जाएगा, ये दोनों अपनी जगा चेंस कर लेंगे, ये सारी इस तरह, जो इतने भी R में शामल है, ये आपका simply यह नहीं कि R inverse होगा, ठीक है जी, उम्मीद है कि आपको ये clear हो गया होगा, अब हम लिख लेते हैं, देखें, पहला जो है फिर 4 है ना इससे कोई फर्क नहीं पड़ेगा ये 4 ही रहेगा फिर 8 4 हो जाएगा फिर 12 4 हो जाएगा जी सारे हम लेट करें ठीक है फिर 6 ऐसे कोई फर्क नहीं महसूस होगा जी ठीक है ये 6 ही रहेगा और फिर last ला 6 12 है तो इसको हम 12 और 6 कर लेंगे फिर close कर लेंगे ये R inverse find हो गया जी अब next जी part 4 है represent R by arrow diagram हमने किस को represent करना है R को R हमारे पास क्या है जी ये हमारे पास ये R है इसको हमने arrow diagram की जरीए represent करना है लेकिन ये R जो एक relation है किसका C और D का इसलिए जो आप diagram बनाएंगे उसमें आप C बना लेंगे फिर D बना लेंगे जो आपने उनकी matching करनी है वो आपने R के carding करनी है ये इसका मतलब होता है तो हम पहले R जो एक relation है C और D का हम यहाँ पर बना लेंगे C के लिए यह सीएमने सी के लिए बना लिया रफ्ट बना रहा हूं ठीक है जी और यह हमारे लिए डी के लिए हो जाएगा यह सी है और यह डी है अब सी में कौन-कौन से एलिमेंट है यह आप देखें सी में जी 246 24 और यह सिक्स उसके बाद जी में कौन-कौन से फॉर सिक्स एट नाइन और ट्वेल तो यह आ जाएगा दी 4689 और यह ट्वेल अ अब आपने जो इसकी matching करनी है वो r की करनी है क्योंकि हम represent कर रहे हैं r को c और d का एक relation है जी r जो कि क्या बना है यहाँ पर हम लिख लेते हैं इसको साथ सामने करते हैं इसको आप साथ देखते जाएं यह मारे पास r मज़ूद है अब आपने क्या करना है सबसे पहला जो है 2 को किस से join करना है 4 से यह 2 है इसको हम कर लेते हैं जी चले हम black से कर लेते हैं blue से 2 को हमने 4 से join कर लेना है यह 2 4 से हो गया फिर नेक्स्ट 2 को 6 के साथ ये 2 जो है वो 6 के साथ आ गया फिर नेक्स्ट 2 8 ये मारे पास 2 8 है फिर 2 12 यही 2 जो है वो 12 के साथ है 9 के साथ नहीं है बीच में ठीक है जी 2 12 हो गया अब 4 पे नमबर आ गया है अब आप क्या कर लें थोड़ा सा कलर चेंज कर लें 4 को आपने 4 के स तो यह हमने क्या किया जी 4 को 4 के साथ कर लिया next 4 और 8 है 4 और 8 यह 4 है और यह हमारे पास 8 है ठीक है जी उसके बाद 4 और 12 तो यह फॉर और यह ट्वेल तो यह फॉर ट्वेल हो गया नेक्स्ट फिर कलर फिर डिफरेंट एलिमेंट आ गए सिक्स इसको चेंज कर लेते हैं अब सिक्स को सिक्स के साथ यह सिक्स है और यह सिक्स है तो यहां पर हमने सिक्स को यह सिक्स के साथ किया नेक्स्ट सिक्स ट्वेल्व के साथ यह सिक्स और यह ट्वेल्व ठीक है जी तो यहां पर आप देख सकते हैं कि नाइन यहां पर हमारा किसी का भी क्योंकि यहां पर जो नंबर थे तू फोर सिक्स और अ यह सारे इवन नंबर हैं तो आट उसका फैक्टर हो भी नहीं सकते तो यह डाइग्राम भी से भी हमें आईडिया हो सकता है कि यह देखिए कौन-कौन से एलिमेंट्स किसके फैक्टर हैं तो यह इसकी है जी फाइनल डाइग्राम आप देख सकते हैं इसको हमने रिप्रेजें लेट यह देखिए एक आर हमें एक रिलेशन बनाकर दे दिया गया है ठीक है इसको हमने क्या करना है इसका जो पार्ट वन है राइट और इन सेट बिल्डर फॉर इसको सेट बिल्डर फॉर में लिखना है फिर इसकी डमेन और एंच फाइंड करनी है और इसका इनवर्स फाइंड करना है वह टैबलर फॉर में भी और सेट बिल्डर फॉर में भी ठीक है फिर R का जो एक relation बनावा ये था इसको उन्होंने बोला है कि write R in set builder form इसको set builder form है अब set builder form है कैसे लिखते हैं देखें जी आपने क्या करना है ये जो R है इसको हम set builder form में लिखेंगे तो कैसे लिखना है पहली बात X भी है और Y भी है तो बहुत सा इस तरह X Y है तो एक इन journal हम लिख लेते हैं X और ये Y ठीक है जी फिर इसके बाद such that यह एक line आ जाती है फिर आपने क्या करना है आप इसको देखना है अब इसको अच्छूं कि आप यह कोई set नहीं दिये वे थे जिससे multiply हो कि यह relation बना हो तो इसलिए हम direct अब लिखने के आगे इसकी value कि यह कैसे बने है अब यह जो है यह देखें x-y अगर आप सब को देखें x-y यह नहीं कि 2-0 करें answer क्या आएगा 2 आएगा फिर 4-2 करें फिर भी 2 आ रहा है 6 minus 4 फिर भी 2 आ रहा है 8 minus 6 फिर भी 2 10 minus 8 फिर भी 2 यह नहीं कि आप यूं लिख सकते हैं कि x minus y से अगर करें तो answer क्या आ रहा है 2 तो यह इसको कहते है set builder form यो in journal होती है मतलब इसमें वो count है सारे अगर आप x में से y को minus करते है तो answer 2 आएगा तो यह वो सारे count हो जाते है ठीक है जी यह इसकी set builder form आ गिया है अब हमने इसकी domain और range लिखनी है, domain और range यहां से लिखेंगे, अब domain आपको पता है कि यह जो पहला होता है, x वाला, यह domain होती है, ठीक है जि यहां पर हम लिख लेते हैं इसकी, तो यहां पर हम लिखेंगे जि domain, ठीक है सिर्फ dom भी लिख सकते हैं, otherwise यूं भी लिखते हैं, domain are और 10 ठीक है जी यह आपकी domain आ गिया है इसके बाद इसकी range लिख लेते हैं range of r अब range कहते हैं जो दूसरे वाला है y वाला 0 2 4 6 और 8 ठीक है जी 0 जो इसके बाद 2 4 6 और 8 यह इसकी range हो गिया है अब हमने क्या करना है जी अब हमने right or inverse प्रेमार अब R inverse लिखना है, अब R तो हमारे पास मजूद है, यह उपर top है, देखें, इसका inverse कर देना है, अब inverse कैसे करते हैं, देखें, इसका 2 0 है न, इसको हम 0 पहले लिख लेंगे, 2 बाद में, 0, 2, इसी तरह इसको हम 2, 4 कर लेंगे, इसको 4, 6 कर लेंगे, मतलब change करते जाएंगे, तो सबसे पहले हम टैबुलर फार्म में लिखने लगे हैं तो टैबुलर फार्म में इनके सिंपल जो फार्म होती है R inverse कैसे है का जी जस्ट तो आपने उसको चेंज करते जाने जैसे ये 2 0 है टॉपे देखें तो इसको आप 0 2 कर देंगे ठीक है जी 0 और ये 2 हो जाएगा फिर इसी तरह आप next देखें तो 4 2 है इसको आप 2 4 कर देंगे 2 4 हो जाएगा इसके बाद next 6, 4 है और इसको आप 4, 6 कर देंगे, ठीक है जी बाकी भी लिख लेता हूँ, अब उमीद है आपको समझ आ गया होगा, 6, 8 हो जाएगा next वाला, और इससे next वाला जो है वो 8, 10 हो जाएगा, ठीक है फिर इसको आपने close कर देना है, ये यह आपका R inverse find हो गया लेकिन किस form में? टैबुलर form में अब आपने इसी R inverse को set builder form में लिखना है set builder form में कैसे लिखते हैं? यह नहीं कि जैसे मैंने आपको यह उपर बताया इस तरीके से set builder form होती है तो set builder form R inverse की होगी अब देखें पहले तो आ जाएगा इसमें जो मैं कहते हैं इसको उलट कर देना है XY था ना अब R inverse में आपको पता है Y पहले आ जाएगा, X बाद में आ जाएगा इसलिए यहाँ पर हम क्या करेंगे, Y पहले लिख लेंगे, फिर X लिख लेंगे फिर सच देट, आगे हमने क्या करना है जी अब हमने चूके X-Y किया था इसमें, R में तो R inverse में क्या हो जाएगा, Y-X हो जाएगा, ठीक है तो इसमें क्या हो जाएगा, Y-X, ठीक है यहाँ से भी देख सकते हैं, तो Y-X करें 2 minus 0 फिर भी 2 आएगा 4 minus 2 फिर भी 2 आएगा तो y minus x तो answer फिर भी इसके में 2 ही आएगा तो ये इसकी set builder form बन गी है अब हमने next जो इसका part है वो इसका draw करने है जी हमने इसकी arrow diagram ठीक है तो represent r and r inverse by arrow diagram इनके इसकी 2 diagram बनेगी r की अलग से और r inverse की अलग से ठीक है जी, अब हमारे पास चुके R हमें given है, यह आप देख सकते हैं, अच्छा इसमें एक point very important है जो के note करने वाला है, अब जब हम Venn diagram बनाते हैं, या sorry, इसकी Arrow diagram बनाएंगे, Arrow diagram के लिए आपको पता है, इसके लिए हम दो यूं circle से बना लेते हैं, ठीक है, अब चुके वो कोई से दो सेट मजूद नहीं हो, डिरेक्ट उनका ये relation दिया हो, फिर हम कैसे draw करेंगे, फिर आपने क्या करना है, फिर आपने उसकी domain और range को follow करना है, domain समझ लें, उसका एक सेट पहला है, और range उसका दूसरा सेट है, इन दोनों को follow करके, आपने आर को draw करना है, अब हमने जो diagram बनानी है, वो domain और range की base पर बनानी है, डोमेन इसकी हमारे पास है 2, 4, 6, 8 और 10 ठीक है जी और रेंस क्या है 0, 2, 4, 6 और 8 अब यहाँ पर जो हमने सरकल ड्राग करना है यूँ एक ही हो जाएगा ठीक है जी और एक यह हो जाएगा अब ये डिपेंड इसमें डोमेन लिख देंगे हम डोमेन हमारी पे क्या है जी 2, एक और यह अब रेंज इसमें कह जिमारे पास जी रो टू फॉर सिक्स और यह ड्रा हो गया इसके बाद अब आपने इसकी जो मैचिंग करनी है वह यहां पर आर के अकार्डिंग होगी अब आर हमारे पास क्या है अब यह चीज वेरी इंपोर्टेंट है अब आर आपके पास आप देखिए आपके ऊपर यह गिवन दिया हुआ है इसके according हम draw कर लेंगे तो R में अगर आप देखें तो 2 को हमने join करना है 0 से यह 2 है 2 जो है वो 0 से आ जाएगा फिर next 4 को 2 से यह 4 है और यह 4 को हमने 2 से join कर दिया फिर next 6 को 4 से तो यह 6 को 4 से join कर दिया फिर 8 को 6 से तो यह 8 है और यह 6 है फिर next 10 को 8 से यह आपने ज्वाइन कर दो तो यह जो आपने किया यह आपके आर के कार्डिंग हो गया मैं गेंड रिपीट कर रहा हूं यह जो आपने द्राव किए यह आपने इसी आर की डूमेन और रेंज देखकर करना है और फिर इसकी जो ज्वाइनिंग करनी है वह आपने इसके आर के अकाडिंग कर लेनी है ठीक है जी अब नेक्स्ट चो एरो डाग्राम ड्राउगी आर इनवर्स की आर इनवर्स के लिए अब डॉमेन आप R inverse की ही देखेंगे तो R inverse आपके वर यहाँ पर समझने मजूद है डॉमेन क्या होती है यह जो पहले वला होता है तो यहाँ पर हम note कर लेते हैं डॉमेन इसकी बन रही है 0, 2, 4, 6 और 8 और range इसकी क्या बन रही है जी range होता है जो y वाले अर्थें 2, 4, 6, 8 और 10 2, 4, 6, 8 और 10 ठीक है तो यह आपकी domain होगी और यह range होगी अब आपने क्या करना डुमेन यहां पर पहले नंबर पर आ जाएगी और फिर यहां पर क्या आ जा डोमेन हमारे पास क्या है डोमेन 0, 2, 4, 6 और 8 और रेंज हमारे पास क्या है जी 2, 4, 6, 8 और ये 10 अब हमने इसको जोएन करना है अब जो जोएन आपने करना है वो आपने इसी R inverse को देखकर जोएन करना है ठीक है जी आप अगर इसको देखें तो सबसे पहले 0 को किस से जोएन क फिर आपने क्या करना है 2 को 4 से ये 2 और ये 4 फिर next 4 को 6 से फिर 6 को 8 से और फिर 8 को 10 से तो ये आपकी जो अना वेन डिग्राम बन गी एरो डिग्राम R inverse की ठीक है तो ये आपने देखा अक्शिली ये R था और ये R inverse है यहाँ पर आपने mention कर देना है कि ये R inverse है इसी का ही U-LAT है अक्शिली क्योंकि जो demand range अगर आप देखें तो just चेंज हो जाती है बाकी डाइग्राम जैसे मैंने आपको तरीका बताया है कि आपने डोमेन और रेंज लिख लेनी है पहले और फिर आपने ये ड्राउ कर लेने इस तरह आपको क्वेश्चन बिलकुल भी मुश्कल नहीं लगेगा अब next question number 7 यहाँ पर एक set A दिया हुआ है और B दिया हुआ है ये एक relation है आपको बताए जब आप B के साथ Cartesian product लेंगे तो आपका एक सेट आ जाएगा उसमें से आप relation बनाते हैं इस दफ़ा उन्होंने एक in general relation बनाके दिया हुआ है ठीक है इसको आपने tabular form में लिखना है और R inverse फाइन करना है दो चीज़ें आपने फाइन करनी है ठीक है जी R ये एक relation है और R inverse हम A और B को लिख लेते हैं फिर आगे ये फाइन करते हैं देख लेते हैं अच्छा जी सबसे पहले आपने क्या करना है कि A और B का Cartesian product लेना है कर्टिजियन प्रोडक्ट फाइंड होगा तो फिर आप relation की तरफ जा सकते हैं binary relation तब find होते हैं जब कर्टिजियन प्रोडक्ट हो तो इसलिए हम यहाँ पर क्या करते हैं A cross B कर लेते हैं अब पहले A का आ जाएगा 0, 1 और 3 फिर आप B लिख लेंगे यहाँ पर 1, 2, 3, 5, 4, 7 0 का आपने 1, 2, 3, 5, 4, 7 के साथ pair कर लेना है 0 का 1 के साथ फिर 0 2 फिर इसी तरह 0 3 0 5 और फिर 0 और 7 ठीक है जी फिर आपने 1 का pairing करनी है यहाँ पर क्या होगा 1 का 1 के साथ फिर 1 2 फिर 1 3 फिर 1 5 और फिर 1 और 7 आ जाएगा फिर 3 का इन सब के साथ pair बनना है तो यहाँ पर 3 1 आ जाएगा फिर 3 2 3 3 5 और 3 7 फिर इसको आपने close कर देना है यह आपका Cartesian product find हो गया है तो इसके बाद अब आपने क्या करना है देखें Cartesian product जब find हो जाए तो इसके हम बनाते है relation अब उन्होंने क्या बोला है कि relation आपने ये वाला बनना है ये relation बनावा है इसको हमने simple tabular form में लिखना है अब इसमें से ही कोई pair select होंगे वो pair select कैसे होंगे यहां से देखें ये एक pair है ये एक in general है इसमें से जो एक्स वाला होता है जो पहला होता है वह पहले सेट का होता है फिर दूसरा दूसरे सेट का होता है एंड यह एक इंपोर्टेंट चीज है यह वाली इसके अकाउंटिंग सारे आपने पेर सेलेक्ट करने यहां से तो हम अमने क्या करना है जी कि ट्रिक लेखिए क्या है कि आपने एक्स को मल्टीप्लाई करने टू से ठीक है और फिर आपने उसमें वन एड करने अगर जो अंसर जैसे ये पहला है, हमने क्या करना है, ये x का होता है और ये y का होता है, x को हमने multiply करना है 2 से, ठीक है, let's suppose हम 0 को multiply करते हैं 2 से, तो answer क्या आएगा 0, फिर 0 में हमने क्या करना है, 1 add करना है, तो 0 में 1 add करेंगे, तो क्या आजाएगा, 0 plus 1, तो देखें y आ रहा है, अगर आप अगर आपको अगर आपको देखें तो हमने इसको क्या करना है जी इसको 2 से मल्टीप्लाई करना है इसको 2 से मल्टीप्लाई कर लेंगे तो 2 से मल्टीप्लाई करेंगे तो यह 0 ही रहेगा क्योंकि 0 मल्टीप्लाई 2 0 में फिर आप 1 एड करेंगे 0 प्लास 1 तो हमा अब इसी तरह अगर आप इसको 2 से multiply करें तो यह 0 ही रहेगा क्योंकि 0 2 से multiply होकर 0 ही रहेगा 0 plus 1, 1 आ रहा है जित 3 इदर तरह 3 है यह select नहीं होगा इसी तरह यहाँ पर भी जो यह अब अगर यह select नहीं होगा तो यह भी यहाँ पर भी जो है ना वो select नहीं हो सकते क्योंकि 2 multiply 0 तो 0 आएगा 0 plus 1, 1 आता है तो इन सब से 1 answer आएगा जब केदर 5 और 7 है यह select नहीं होगे अब इस पर आ जाते हैं इसको आप multiply करेंगे 2 से, 2 वन्स है 2, फिर उसमें 1 add कर लें, 3, जबकि इदर 1 है, यह select नहीं होगा, इसी तरह यहाँ पर देख लें, अब जो आप देखेंगे जो 1 वाले हैं, इदर भी 1 है, इन सब में 1, 1 है, तो इन सब में एक ही answer आएगा, इस 1 को आप multiply करेंगे 2 से, 2 आज इदर भी 3 आ रहा है यहाँ पर 3 आ रहा है और यह 3 है यह select होगा क्योंकि देखें 2 1s है 2 plus 1 3 इदर भी 3 है तो यह pair select हो जाएगा इसको आप लिख लेंगे 1 और 3 फिर इसी तरह यहाँ पर actually 3 आता है तो यह 5 है इसका 3 बनेगा यहाँ पर 7 है यह select नहीं होगे अब इस पर आ जाएं इसको जो कि यह सारे 3 वाले है इसका जो भी answer बनेगा वो सब में follow कर लें आप इसको multiply करें जी 2 से 3 2s are 6 और 6 plus 1 7 यहाँ पर तो वन है जिसमें 7 होगा वो आपका pair select हो जाएगा जबकि the 2 है 3 है 5 है और यह 7 है यह pair select होगा क्योंकि 3, 2, 6, 6 plus 1, 7 तो यह 7 select हो जाएगा तो यहाँ पर कौन से आगे जी 3 और 7 तो यह आपका जो ने आर दिया हुआ था इसको हमने यह tabular form में लिख लिया है अब ये 1, 3 है इसको आपने 3, 1 कर देना है ठीक है जी ये 3, 7 है इसको आपने 7 और 3 कर देना है तो ये आपका R inverse find हो गए ये बहुत ही आसान question है अब आगे जो next question है जी वो solve करते हैं अगे जी next question number 8 अच्छे यहाँ पर आपको एक चीज़ जरा समझनी पड़ेगी कि 8 और 9 समझने एक ही question है if S, S एक set दिया है और T set दिया है तो फिर तो यहां पर यहां जैसे यह आप R1 देखें तो यह आपको Set Builder Form नजरा आ रही है इसको हमने Tabular Form में Convert करना इन सब को अच्छा फिर हमने क्या करना है 9 में क्या करना है Find Domain and Range in each case हर Key Domain and Range Find करनी है अब देखें अगना दोनों को 8 और 9 को गठा सॉल करेंगे इसलिए यह है कि अगर हम Direct 9 भी करें Domain and Range की Find करें तो हमें सबसे पहले इसको Tabular Form में Convert करना पड़ेगा टैबुलर फार्म में कनवर्ट करने के बाद इसकी डुमेन और रेंज फाइन करेंगे इसलिए आप यूँ समझें कि 8 और 9 अगठे ही हैं हम इसकी यह नहीं के इसको टैबुलर फार्म में लिखेंगे और साथ ही हम इसकी डुमेन और रेंज भी लिख देंगे अब हम देखते हैं कि कैसे इसको सॉल्व करना है इसका 8 और 9 अगठे हैं यह S है और यह T है अच्छा relation की तरफ आने से पहले लाजमी है कि इनका Cartesian product आपने find किया हो उसमें से फिर आपने select करना है कि R1 में कौन से आएंगे इसी तरह जो बाकी हैं वो कौन से होगे इसलिए सबसे पहला जो work है वो आपने क्या करना है इसका S cross T Cartesian product ठीक है जी S में हमारे पास 1, 2, 4 और 8 हैं फिर इसमें T आजाएगा जबकि 3 power 0 है 3 की power 1 है और 3 की power 2 है जो भी है बस आपने लिख देने है अब आपने क्या करने है जी आपको idea है कि 1 का pair आपने इसके साथ 1 का 3 की power 0 फिर इसी तरह 1 का 3 की power 1 और फिर 1 का 3 की power 2 ठीक है जी फिर आपने 2 का इन तीनों के साथ अलग ला कर देने है 2 का pair बना देने है 3 की power 0 फिर 2 का 3 की power 1 और फिर 2 का 3 की power 2 ठीक है जी फिर हमने क्या करना है 4 का इन तीनों के साथ अलग-अलग बनाना है तो यह फोर कितना थी फिर इसी तरह फोर और 31 और इसी तरह यह फोर और थ्री पावर टू आ जाएगा नेक्स्ट फिर 8 का इन तीनों के साथ 83 पावर जीरो फिर 83 पावर वन और फिर 83 पावर टू फिर इसको आपने क्लोस कर देना ठीक है जी तो यहां पर आपका यह लेकिन आप खुद से भी बना सकते हैं लेकिन इन्हें यहाँ पर कुछ conditions दी हुए हैं R1 जो आपने बनाना है यह एक पेर है इन सब को represent करें कि यह पेर आप वो select करेंगे जो यह condition follow की जाती है X, Y यह पेर है in general such that X belong to X यह असल condition है आपने इन में से वो select करने हैं जिसमें X वाला equal होगा Y के यह नहीं कि x और y दोनों equal है अब आपने देखने इन सब में से equal कौन से है तो यहाँ पर हम इसको लिख लेते हैं जी तो यहाँ पर देखें यह x है और यह y है x वन है और 3 आप देख रहे हैं 3 की power 0 है अच्छा यह चीज आपने mind में रखनी है कि किसी भी number की पावर 0 है तो वो 1 के equal ही होगा इसलिए यह 3 की power 0 actually 1 ही है इदर भी 1 है और यह भी समझ लें 1 है इसलिए यह select हो जाएगा यहाँ पर ठीक है क्योंकि 3 की power 0 किसी भी number की power 0 वो actually 1 ही होता है अब मजीद देखने है कौन से equal है अच्छा ये क्या दोनों equal हैं जी नहीं क्योंकि ये 1 है और ये 3 की power 1 ये 3 ही होगा ये 1 3 है ये 1 है और ये 9 बन जाएगा क्योंकि 3 की power 2 3 जान ये 9 हो जाएगा ये equal नहीं है equal वाले लिखने है आपने ये 2 है और ये actually 1 है 3 की power 0 1 2 1 equal नहीं है ये 2 3 है ये 2 9 है ये यह फॉर और यह वन है फॉर वन यह फॉर थ्री है यह फॉर यह पावर टू नाइन ठीक है तरीक जाना यह फॉर नाइन है यह एट और थ्री की पावर टू नाइन एट देखा जाए तो यहां पर इसके अलावा और कोई भी ऐसा प यह सेट बिल्डर फॉर्म होती है और इसको टैबुलर फॉर्म में करणा था यह करणा था अब जो क्वेस्टन नाइन की रिक्वायरमेंट थी वो क्या थी कि आपने इसकी डोमेन और रेंज लिखनी है अब हम क्या करते हैं जी डोमेन लिख लेते हैं और वन की अब देखें यह 9 आता है, solution यही होगा दोनों के लिए तो domain इसकी क्या होगी, domain आपको पता है जो पहले वाला होता है जैसे कि यह सिर्फ 1 है, यह domain होगी domain और range को देख लें, हम दूसरी curly bracket में लिख रहे हैं range की इसकी है, जी R1 की, R1 इसका नाम है इसकी range क्या है, यह 3 की power 0, clear इसको आपने 1 नहीं लिखना क्योंकि यह 3 की पावर 0, 1 के एकवल ही है लेकिन जिस सेकल में, जिस फॉर्म में यह लिखा हुआ है आपने वैसे ही उसको लिखना है बाकि जो यहाँ पर स्लेक्ट करते हैं आप शक उसको समझना है कि यह 1 है पार्ट 2 में क्या करना है यह पेर्स है यह में कंडिशन है तो टेंडीशन के वाइज वह छोटा होना चाहिए एक्स असान एक ट्रिक बता देता हूं तो यह वाइज तरफ एक कर्नर है और एक्स की तरफ दो कर्नर है अब मुझे बताएं एक ज्यादा यह दो ज्यादा ठीक है ज्यादा दो होता है एक जो है वह कम है तो आपने वाइज वह कम मतलब आए छोटा है एक से आपने वह पेर देखने जिसमें वाइज छोटा हो एक्स है ठीक है जी वाइज छोटा यह 3 है यह बड़ा है यह 9 है इससे बड़ा है यह 3 की पावर 0 है यह 1 है वन देखें यह छोटा है इससे यह पेर सेलेक्ट हो जाएगा 2 और 3 की पावर 0 इसको यहाँ पर आप लिख लेंगे आटू में कौन से हैंगे जी 2 और 3 की पावर 0 तूंके यह 1 है और यह 2 है तो यह छो तो यहां तक हम point कहते हैं जी y छोटा होना चाहिए यह बड़ा है इससे यह भी बड़ा है 3 की power 0 1 यह 1 है और यह 4 है यह छोटा है इससे 4 और 3 की power 0 इसको भी हम लिख लेंगे 4 और 3 की power 0 इसके बाद जी next छोटा होना चाहिए यह 3 की power 1 यह 3 है यह 4 है यह छोटा है 4 और 3 की power 1 यह 3 की पावर 0 है, 0 मीन यह 1 है, यह छोटा है इससे, तो 8 और 3 की पावर 0 आ जाएगा, उसके बाद यह 3 की पावर 1, यह भी छोटा है, यह 3 बनेगा और 3 छोटा है इससे, तो y छोटा है यह नहीं कि x है, तो यह हमने लिख लेना है, यह हम 8 और 3 की पावर 1 लिख लेंगे, उ टेबलर फार्म में जो कि क्वेस्टन 8 की रिक्वायरमेंट थी अब 9 में क्या है किसकी डोमेन और रेंज लिखे हैं तो बेरीजी है जी डोमेन इसकी R2 की ठीक है डोमेन आपके इसकी लिखने लगे R2 की डोमेन आपको पता है जो पहले वला होता है जैसे 2 है फिर 4 है फिर अ� रेंज होती है जी दूसरे वाला जो है जैसे 3 की पावर 0 है फिर again 3 की पावर 0 आपने लिख लिए है फिर 3 की पावर यहाँ पर 1 आजेगी 3 की पावर 0 आपने लिख लिया हुआ है 3 की पावर 1 लिख लिया हुआ है तो ये इसकी रेंज होगी अब next जो part 3 है जी again मैं आपको बता रहूं आपने इस चीज को follow करना था actually अब हमने देखना है के x प्लस y यहनी के दोनों को add करें answer क्या ना चाहिए e for even number अब अब इवन नंबर कौन से होते हैं जी इवन नंबर होते हैं जी 0 2 4 6 8 ये नंबर होते हैं मैं नेगटिव भी हो सकते हैं ठीक है तो अब हमने एड करने और इवन नंबर आ जाए वो पेर हमने स्लेक्ट करना है तो जी हमने इसमें से अब स्लेक्ट करते जाना है कि दोनों को एड करने से इवन किस में आ रहा है आर 3 जो होगा वो हमारे पास क्या होगा जी अब देखें ये 1 है 3 की पावर 0 ये भी 1 है 1 और 1 2, अब 2 एक even number है, ठीक है, इसलिए आप इसको लिख लेंगे, क्योंकि ये pair ऐसा है जो even number दे रहे है, इसके बाद ये 1 और ये 3 की power 1, ये 3 ही है, 3 की power 1, 3 आता है, 3 और 1, 4, 4 भी even number है, इसलिए ये pair भी आ जाएगा, इसके बाद next, ये 1 है और ये 3 की power 2, 3 की power 2 का मतलब है, 3 को तो 10 भी एक even number है तो इसलिए ये भी लिखेंगे कुछ ये even number दे रहा है इसके बाद next ये 3 की power 1 ये 1 है और ये 2 है 2 plus 1 3 अब 3 even number नहीं है ये 3 है और ये 2 है 5 even number नहीं है 3 की power 2 9 और 2 11 भी even number नहीं है ये 4 और ये 1 4 और 1 5 even number नहीं है 4 और 3 7 7 even number नहीं है 4 और ये 9 है 9 और 4 13 13 even number नहीं है 8 और 3 तो ये 3 की power 0 वन है 8 और 1 9 9 even number नहीं है 8 और 3 11 even number नहीं है 9 और 8 3 की power 2 कहता है 9 9 और 8 ये almost बना 17 ये even number नहीं है तो इसमें सिरफ हमारे पास ये वाले pair ऐसे हैं जो के जिसमें x और y को add करें तो even number आजाता है इसकी अब आपने domain और range find कर लेनी है तो इसकी domain हमारे पास क्या होगी जी domain r3 domain होती है जी पहले वाला जीनिके 1 1 आपने लिख लिये फिर 1 बस सिर्फ 1 आएगा क्योंकि repeat नहीं करना आपने इसके बाद आपने range लिखनी है इसकी जी ठीक है range में हमारे पास क्या आता है 3 की power 0 फिर 3 की power 1 और फिर 3 की power 2 तो यह इसकी range आजाएगी ठीक है जी यहाँ पर आपको यह उमीद है कि समझ आ गया होगा अभी जो next इसका part है वो solve करते हैं अच्छे जी next part में क्या करना है कि x, y यह चीज़ important है ठीक है x को आपने multiply करना है y के साथ यह नहीं कि दोनों को multiply करें और answer जो हो वो odd number हो यहाँ पर o से मराद odd number है तो देख लगते हैं जी कौन से दो number को multiply करने से odd आ रहा है तो जैसा कि ये 1 है और ये 3 की पावर 0 ये भी 1 है 1 multiply 1, 1 ही आएगा तो 1 तो odd number है, odd number का आपको idea होगा जी odd number कौन से होते हैं 1, 3, 5, 7, 9, 11 अब दोस्तों ये चलते जा रहे हैं ठीक है जी, ये positive भी हो सकते हैं, negative भी हो सकते हैं so R4 में हमारे पास पहले वाला आ जाएगा क्योंकि वो multiply होके odd number दे रहे है अब नेक्स्ट ये वन है और ये थ्री की पावर वन ये थ्री है थ्री वान जाये थ्री एक आर्ड नमबर है तो ये भी आ जाएगा इसके बाद थ्री की 9, 9 वांजा, 9, 9 भी एक odd number है तो ये भी आ जाएगा, इसके बाद next, 2 और 3 की power 0, 1, तो देखें यहाँ पर 1 है, 2, 1, 2, जब 2 आ गया है तो आप समझेंगे यह अभी even number देगा, ठीक है, 2, 1, 2, 2 even number है, और हमें तो odd जी number वाला चाहिए, तो 3, 2, 6, odd number नहीं है, 9, 2, 0, 18, ये यह सारे नंबर आते जा रहे हैं यह नंबर आगे यह नंबर चाहिए यहां पर हमारे पास यह लोग हो जाते हैं अब इसकी डोमेन ओरेंज लिखनी है तो डोमेन हमारे पास आर फॉर की जो होगी वह गिवन यह गैन 11 इसलिए बस यह बना जाएगा इसके बाद अब हमने इसकी लिखनी है जी range R4 की तो range हमारे पास क्या होगी जी दूसरी वाला होता है 3 की power 0 फिर 3 की power 1 और 3 की power 2 ये इसकी domain ओ रेंज होगी इसके बाद next आगे जी last part है हमारे पास वो भी देख लेते हैं तो last part कहा जी के main जो focus करना है जिस सीज़ बे आपकी वो ये चीज़ है आपने जो पहले वाला है x या नहीं कि इसको 2 से multiply करना है, डबल कर देना है इस पेर ठीक है, डबल करने के बाद आपने देखना है कि फिर भी वो छोटा होगा, क्योंकि इसकी तरफ एक कार्नर है, वा एक तरफ, या नहीं कि आप उसको डबल करें फिर भी वो y से छोटा हो, तो यह दबल मीन यहां पर टू से मल्टीप्लाई आपने करने ठीक है टू एक्स तो वन को जब आप टू से मल्टीप्लाई करेंगे टू वन जर टू आ जाएगा तो अब देखें क्या यह जो नंबर आंसर है यह इससे छोटा है छोटा होना चाहिए तो यह त्री की पावर ज यह फिर भी 2 छोटा है इससे क्योंकि यह 3 है और यह 2 है 2 छोटा होना चाहिए इससे तो यह पेर सेलेक्ट हो जाएगा क्योंकि यही हमारी condition है मैं again repeat करूँ आपने उसको 2 से multiply करना है जो भी answer आता है वो छोटा होना चाहिए क्योंकि एक कारण है इसके दरब वाय फिर भी बढ़ा हो 2 multiply होने के बाद भी नंबर छोटा रहे दूसरे से वो पेर आपने select करना है जैसे इसको आप 2 से multiply करेंगे 2 ones are 2 यह तो 9 है फिर भी यह छोटा है इससे तो ये pair select हो जाएगा यहाँ पर 1 और 3 की power 2 इसके बाद next इसको आप 2 से multiply करें 2, 0, 4 और ये 1 है ये बड़ा हो गया ये select नहीं होगा 2, 0, 4 ये इससे बड़ा हो गया select नहीं छोटा होना जाएगा ये फिर भी छोटा 2 को 2 से multiply करेंगे 2, 0, 4 और ये 9 है ये multiply होने के बाद भी ये छोटा number रहा तो ये pair select होगा जी ठीक है 2 और 3 की power 2 next यह जाएगा जी टू फोर जाएट यह तो बड़ा हो गया इसे क्योंकि यह वन है फोर टू जाएट यह बड़ा हो गया फोर टू जाएट एट और यह नाइन यह फिर भी चोटा है इसलिए फोर और थ्री की पावर टू यह एट टू जाएट सिक्स्टीन यह तो बहुत बड� ठीक है जी, अब इसकी जो domain है, domain R5 की, domain आपको पता है पहला वाला number, x वाला यह नहीं कि, 1, 1 लिख चुके हैं, फिर आगे 2, फिर आगे 4, यह इसकी domain होगी, अब हमने इसकी range find करनी है, range R5 की, range होती है जी दूसरे वाला, 3 की power 1, फिर आगे 3 की power 2, 3 की power 2 लिख चुके हैं, 3 क रेंज आ जाएगी तो जी यहां पर आपकी एक्सरसाइज कंप्लीट हो जाती है और दो बातें जी एंड पर कि पढ़ाते वे कोई मिस्टेक हुई है तो मैं भागत चाहता हूं इसके लिए और दूसरा आप लोगों ने फजल एकैडमी यूट्यूब चैनल सब्सक्राइब करना है ठीक है जी इस एकैडमी का इसाफ ने बनना है और ताकि ज्यादा से ज्यादा इस पर चोड़ तो ये फिर इस पे जो है ना अमें भी काम करते वे मज़ा आता है कि या ठीक है हम जो काम कर रहे हैं उससे कोई फैदा हो रहा है तो जब ये लगेगा कि कोई फैदा नहीं हो रहा किसी को तो फिर उस काम पे जो है ना वो शायद मुश्किल हो जाता है करना तो इसलिए आप लोग जो है ना इसको शेयर करें इसलिए इसक