Ciao a tutti e benvenuti in questo nuovo video, sono Valentino. Oggi parliamo del modo armonico semplice. Mi raccomando, iscrivetevi al canale per non perdere altri video e trovate qui in alto la playlist del corso di fisica così da dare un senso logico a tutti questi video, ma soprattutto vi permette di recuperare magari degli argomenti che io cito magari in questo video, così da recuperarli e capire e seguire bene questo video. Detto ciò... Trovate come sempre in descrizione l'articolo riguardante l'argomento di questo video e quindi troverete l'articolo riguardante il moto armonico semplice.
Non mi voglio dilungare troppo, quindi subito dopo l'intro iniziamo a parlare del moto armonico semplice. Benvenuti in una nuova lezione del corso di fisica, oggi parliamo del moto armonico semplice. Il moto armonico semplice è un moto periodico.
Il moto è una proiezione di un punto che si muove di moto circolare uniforme lungo la circonferenza e la sua proiezione è sul diametro. Nella vita di tutti i giorni una molla oppure l'oscillazione di un pendolo vengono descritti con questo moto. Il punto A, questo qui, si muove lungo la circonferenza e la sua proiezione B oscilla sul diametro.
compreso tra i due estremi estremo 1 e estremo 2. Inizialmente il punto A parte dall'estremo 1 e gira in senso anti-orario. Il punto B, essendo la sua proiezione, partirà anche lui dall'estremo 1, quindi nella fase iniziale A coinciderà con B e la loro velocità è nulla. E in questa figura possiamo vedere bene che all'inizio, proprio questo è l'istante iniziale, in questo punto qui c'è sia A che B. e quindi coincidono.
Il punto A inizialmente parte da fermo ed aumenta la sua velocità nel tempo, quindi subisce un'accelerazione e nelle curve il vettore velocità, come potete vedere, è inclinato, mentre quando si trova nell'estremo 3 il vettore velocità è orizzontale, quindi la sua velocità in questo caso è massima. Nelle curve quindi la velocità che avrà sarà sicuramente sempre minore rispetto a quando si trova all'estremo 3 e poi vedremo quando si troverà all'estremo opposto che chiameremo estremo 4. Dall'estremo 3 poi scende fino ad arrivare all'estremo 2 e quindi ci troviamo in questa situazione. E ciò che accade dall'estremo 3 all'estremo 2 coincide con ciò che è accaduto dall'estremo 1 all'estremo 3. Solo che dall'estremo 1, ok, la proiezione che cosa fa?
Parte dall'estremo 1 e arriva... qui al centro, cioè all'origine. Partendo da fermo, pian piano accelera.
E sull'origine la sua velocità è massima. Ricordatevi che qui noi è come se avessimo B e allo stesso tempo abbiamo A qui sopra sulla circonferenza. Visto che ci troviamo adesso nell'origine e sappiamo che la velocità è massima e coincide con il punto A che si trova sull'estremo 3, poi dall'estremo 3 o dall'origine il punto inizia a decelerare. fino a fermarsi totalmente sull'estremo 2. Se torno indietro, il punto A andrà dall'estremo 2 all'estremo 4 percorrendo la circonferenza, mentre la proiezione dall'estremo 2 ritornerà verso l'origine e poi andrà verso l'estremo 1. E visto che l'estremo 2 si ferma, ciò che accade qui è la stessa cosa che abbiamo visto dall'estremo 1 all'estremo 3. Quindi parti da fermo, accelera Nell'estremo 4 avrà la velocità massima, poi inizia a decelerare e si fermerà all'estremo 1. La proiezione dall'estremo 2 va all'origine, partendo da fermo e pian piano accelera. Nell'origine ottiene la velocità massima, poi decelera fino all'estremo 1, fino a fermarsi.
Ora che abbiamo descritto il modo, vediamo qualche formula. Un punto materiale si muove nello spazio con la legge oraria. Nel caso del modo armonico semplice, x-t è pari ad A per il seno per omega per t.
A e omega sono grandezze costanti, A rappresenta l'ampiezza del modo e omega è la pulsazione. Il modo armonico semplice è un modo vario e tutte le grandezze cinematiche, come sappiamo, variano nel tempo. Infatti noi adesso vediamo X di t, V di t e A di t.
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Detto questo, torniamo a noi. x di t sappiamo che è la legge oraria e quindi la posizione in funzione del tempo, v di t invece è la velocità in funzione del tempo e a di t è l'accelerazione in funzione del tempo. Possiamo vedere questo grafico dove abbiamo descritto in nero il grafico della legge oraria, poi in rosso il grafico della velocità in funzione del tempo e in verde, anche se diciamo un pochino si confonde con nero ma questo è verde, ed è il grafico che descrive l'accelerazione in funzione del tempo. Descriviamo questi tre tipi di grandezze.
Essendo una funzione periodica rappresentiamo il grafico tra 0 e 2π. Poi essendo il grafico un moto circolare, 2π è 360° e quindi in questo caso è perfetto. Abbiamo messo vari intervalli, π mezzi, π e 3 mezzi π.
Ed essendo un seno, che l'abbiamo visto prima nella legge oraria, il grafico parte da 0 ed è compreso tra 1 e meno 1. Ora calcoliamoci la velocità in funzione del tempo. v di t è uguale a dx di t fratto di t, cioè la derivata della legge oraria fratto la derivata prima del tempo. Ed abbiamo che quindi v di t è pari ad a omega per il coseno di omega per t.
Se analizziamo il grafico della velocità, che questo è rosso, che cosa possiamo capire? Immaginiamo di avere vari punti, ok? Qui ne ho disegnati un po' per, diciamo, farvi capire e soprattutto farvi prendere anche esperienza nel visionare un grafico.
Il grafico della velocità, vedete, è, possiamo anche affermare tranquillamente, che è sfasata, cioè spostata o a destra o a sinistra. rispetto alla legge oraria. Analizziamo i punti del grafico studiando i punti notevoli, cioè i punti di massimo e di minimo.
Nel momento in cui prendiamo la legge oraria e seguite il cursore, in questo punto 1 la legge oraria è massima, ok? Perché immaginiamo che 1 sia il massimo e qui il minimo, ok? Quindi tutti i punti che sono qui sono di minimo. Nel momento in cui si trovano su 0 è nullo. Mentre quando si trovano i punti su 1 sono dei massimi, ok?
Quindi nel momento in cui ci troviamo in questo punto e ci troviamo sul grafico della legge oraria, la legge oraria è massima. E se mettiamo in confronto la legge oraria con il grafico della velocità, notiamo che nello stesso punto la velocità è nulla. Seguendo ancora il grafico della legge oraria, nel punto successivo...
Quando la legge oraria è 0, abbiamo invece che la velocità è minima. Continuiamo con il grafico. Quando la legge oraria è minima, la velocità è nulla.
Quando la legge oraria è nulla, la velocità è massima. Ora studiamo invece l'accelerazione nel tempo. E sappiamo che l'accelerazione... è o la derivata prima della velocità fratto la derivata del tempo, oppure la derivata seconda della posizione in funzione del tempo e quindi abbiamo che l'accelerazione, quindi a di t, l'accelerazione in funzione del tempo è pari a meno a ω quadro per il seno di ω per t.
Svolgiamo lo studio del grafico dell'accelerazione rispetto alla legge oraria. quando la legge oraria è massima, l'accelerazione è minima. Quando il grafico della legge oraria è nulla, l'accelerazione è nulla. Seguendo ancora il grafico della legge oraria, quando la legge oraria è minima, l'accelerazione è massima.
Quando la legge oraria è nulla, anche l'accelerazione è nulla. Spero che vedere graficamente e capire da questi grafici questi concetti vi posso aiutare a capire molto meglio i grafici. Ora, parliamo e analizziamo altre grandezze fondamentali di questo modo. Per esempio, prendiamo il periodo, cioè il tempo per compiere un'oscillazione completa. Mi sono dimenticato qua uno spazio, ma qualche svista ci può stare.
Comunque, t, cioè il periodo, è pari a 2π fratto ω. E la pulsazione ω è pari a 2π fratto t. Poi possiamo parlare di un'altra grandezza, cioè la frequenza, che è il numero di oscillazioni in un secondo.
e si indica con la lettera f minuscola ed è pari a 1 fratto t, cioè 1 fratto il periodo. Omega è la pulsazione e la possiamo anche scrivere come 2π per la frequenza. In questo caso facendo la formula inversa la frequenza, quindi la possiamo anche scrivere come omega fratto 2π. A proposito di formule inverse, iniziamo a calcolarci le formule inverse di questo modo.
Prima di iniziare a parlare delle formule inverse, però mi raccomando, iscrivetevi al canale, lasciate like e commentate facendomi sapere se avete dubbi, domande e vi risponderò il prima possibile. Detto questo, iniziamo a calcolarci le formule inverse della legge oraria. Calcoliamoci A e quindi che cosa bisogna fare? Prendo tutta questa quantità, cioè seno per omega per t, lo divido in entrambi i membri, si semplifica sotto al denominatore con A.
per seno di ω per t e quindi abbiamo che A è pari ad x di t fratto seno di ωt. Calcoliamoci adesso il seno di ωt. Che cosa dobbiamo fare?
Dividiamo entrambi i membri per A e quindi seno di ωt è uguale a x di t fratto A. Ormai questi tipi di formule inverse ce le mangiamo. Tranquillamente l'abbiamo vista 3.000 volte.
Poi, se nella forma della legge oraria è presente lo sfasamento, cioè una specie di angolo iniziale La legge oraria diventa pari ad x di t che è uguale ad a per il seno di ω per t più lo sfasamento. Per risolvere questa formula dobbiamo sfruttare la formula di addizione del seno. Se vi ricordate dall'analisi il seno di α più β è uguale ad seno di α per il coseno di β più il coseno di α per il seno di β.
Nel nostro caso che cosa abbiamo? Abbiamo seno di ω per t più... lo sfasamento φ, ok? Ora consideriamo ω per t, cioè questa quantità, pari ad α e lo sfasamento pari a β.
E quindi che cosa scriviamo? Che seno di ω per t per il coseno dello sfasamento più il coseno di ω per t più il seno dello sfasamento. E quindi possiamo riscrivere la formula della legge oraria.
come x di t è uguale ad a per il seno di omega per t per coseno di fi più il coseno di omega per t per il seno di fi. E ciò vale anche per altre grandezze del tipo v di t e a di t, cioè la velocità in funzione del tempo se c'è lo sfasamento, voi dovete sempre usare questa formula. E la stessa cosa vale per l'accelerazione in funzione del tempo.
Ora calcoliamoci la formula inversa della velocità nel tempo. Noi sappiamo che v di t t è pari ad a per ω per il coseno per ω per t. Calcoliamoci a. La prima cosa che dobbiamo fare è togliere il coseno di ωt.
Come abbiamo sempre visto dalle formule inverse, dobbiamo partire dalla componente più esterna. Quindi prendiamolo e togliamo il coseno di ωt dal secondo membro e lo mettiamo al primo membro, però al denominatore. Quindi si semplifica e rimane a ω che è pari a v di t fratto coseno di ωt.
per t. Noi ci dobbiamo però calcolare a e quindi che cosa possiamo fare? Dividiamo entrambi i membri per omega e quindi omega verrà messo sotto il coseno di omega per t.
E qui noi abbiamo due linee di divisione, la principale e la secondaria. Per togliere la linea di divisione principale, che cosa dobbiamo fare? Facciamo l'inverso, cioè omega lo riscriviamo come 1 fratto omega.
E quindi A... è pari a v fratto omega per il cos . Perché qui naturalmente si moltiplica. Mettiamo una parentesi, però non tonda, ma mettiamo una quadra per non creare confusione.
E quindi ecco calcolato a dalla velocità nel tempo. Ora ci calcoliamo la formula inversa per calcolarci il cos sempre dalla velocità nel tempo. Che cosa facciamo in questo caso? Prima Dividiamo per a, poi togliamo omega e facciamo lo stesso giochetto di prima con l'inverso e quindi v di t fratto a per 1 fratto omega è uguale a coseno di omega per t. E quindi poi si moltiplica e quindi coseno di omega per t è pari a v di t fratto a per omega.
Ora calcoliamoci omega e quindi che cosa dobbiamo fare? Invece che, vedete, in questo caso noi abbiamo diviso per omega, ma noi dobbiamo trovare omega, quindi prendo il coseno di omega per t Grazie. Lo divido in entrambi i membri, quindi ω è uguale a v di t fratto a per coseno di ω per t. Ora vediamo le formule inverse invece dell'accelerazione in funzione del tempo. E quindi abbiamo che a di t è pari a meno a omega quadro per il seno di omega per t.
Calcoliamoci a. Divido inizialmente per omega quadro per il seno di omega t. E quindi rimane meno a che è uguale ad a di t fratto omega quadro per il seno di omega per t. Moltiplico per entrambi i membri, sia a destra che a sinistra, per meno 1, perché noi dobbiamo calcolare a, e quindi a è uguale a meno a. dt fratto meno omega quadro per il seno di omega per t.
Ora da questa formula invece ci calcoliamo il seno di omega per t, che cosa facciamo? Banalmente prendiamo meno a omega quadro, lo dividiamo entrambi i membri, il seno di omega t è pari da dt fratto meno a omega quadro. Per calcolarci invece omega quadro, che cosa facciamo?
Dividiamo per meno a seno di omega per t e quindi omega quadro è uguale a dt fratto meno a seno di omega per t. Poi se vogliamo, quasi potrebbe fare un'ulteriore semplificazione, cioè mettiamo la radice sia a destra che a sinistra e quindi omega in caso è uguale a radice di a di t fratto meno a seno di omega per t. Poi il periodo abbiamo.
Il periodo abbiamo visto che è pari a 2π fratto omega. Per calcolarci omega moltiplichiamo per omega entrambi i membri, quindi dopo abbiamo omega per t che è uguale a 2π, poi divido. t per entrambi i membri, quindi ω è uguale a 2π fratto t.
Poi ci calcoliamo la frequenza. Per calcolare la frequenza abbiamo visto che era 1 fratto t, cioè 1 fratto il periodo, e se ci vogliamo calcolare il periodo dalla formula della frequenza, basta che moltiplichiamo sia a destra che a sinistra per t, quindi t per f è uguale a 1, divido per entrambi i membri per f, si semplifica e quindi t è uguale a 1 fratto f. Siamo arrivati alla fine di questa lezione, studieremo molto bene Grazie. il modo armonico soprattutto nel capitolo delle oscillazioni e lì lo andremo a approfondire veramente molto bene detto questo grazie di essere arrivati fino alla fine di questo video spero che vi possa essere utile trovate in descrizione il link dell'articolo riguardante il modo armonico semplice sul mio sito e faccio come sempre vi dico questo contenuto in più per chi preferisce leggere anziché vedere un video Detto questo, lasciate like, iscrivetevi al canale, commentate facendomi sapere se vi è stato utile questa lezione e se avete dei dubbi.
Buono studio, ci vediamo alla prossima!