Kvadratna funkcija i njena svojstva

Dobar dan, ja sam Josipa Pavlić, profesorica matematike. Dobrodošli u video lekciju u kojoj ponavljamo kvadratnu funkciju i njena svojstva. Nakon nje bi ste trebali moći nacrtati i analizirati graf kvadratne funkcije te ju primijeniti prije rješavanju različitih zadataka. Pripremite pribor za pisanje i bilježnice i vodite bilješke. Zaustavljajte projekciju, a zadatke rješite sami prije prikaza njihova rješenja. Zatim ponovo pokrenite projekciju i provjerite svoj rad. Ako ste nešto propustili, pogledajte ponovo. Kvadratna funkcija ili polinom drugog stupnja, realna je funkcija čije se pravilo pridruživanja može zapisati kao f od x je jednako ax na kvadrat plus bx plus c. Pri tome su a, b i c realni brojevi i a je različito od nula. Broj a je vodeći koeficijent. Broj B je koeficijent linarnog člana ili linarni koeficijent, a broj C je slobodni član ili koeficijent. Graf kvadratne funkcije izgleda ovako. Prikazanu krivulju nazivamo parabolom. Ona može biti s otvorom prema gore kao prikazana ili ovakva s otvorom prema dolje. O čemu ovisi hoće li parabola biti s otvorom prema gore ili prema dolje? Vjerujem da znate odmah. O vodećem koeficijentu. Ako je a pozitivan, veći od nule, parabola ima otvor prema gore. A ako je a manji od nule, to je negativan broj, parabola je s otvorom prema dolje. Ako je parabola s otvorom prema gore, funkcija postiže minimalnu vrijednost ili minimum. A ako je s otvorom prema dolje, funkcija poprima najveću vrijednost, maksimalnu vrijednost ili maksimum. Kraće govorimo o ekstremnim vrijednostima, a ta se ekstremna vrijednost označuje s y0. Točku u kojoj funkcija ima ekstremnu vrijednost nazivamo tjemenom parabole i njene koordinate označujemo sa x0, y0. Dakle, x0 realan je broj za koji funkcija postiže ekstremnu vrijednost y0. Parabola je kao što se može vidjeti simetrična krivulja, a os simetrije je pravac koji prolazi njenim tjemenom okomito na os x. Jednačba osi parabole je x jednako x0. U trećem ćete razredu proučavati i neke druge parabole u ravnini, ali one nisu grafovi funkcija. Parabole kojima je os simetrije okomita na osa psisa, grafovi su dakle kvadratnih funkcija. Jednačbu parabole tada zapisujemo y jednako ax na kvadrat plus bx plus c. Koordinatu tijemena x0 možemo računati na dva načina. Pomoću koeficijenata a i b u zapisu funkcije x0 je jednako minus b kroz 2a ili je x0 jednako x1 plus x2 kroz 2. U tom slučaju su x1 i x2 nultočke kvadratne funkcije, ali mogu biti i prve koordinate bilo kojih dviju simetričnih točaka parabole. Drugu koordinatu tjemena, y0, izračunaćemo uvrštavanjem koeficijenata a, b i c u formulu prema kojoj je y0 jednako. 4ac minus b na kvadrat kroz 4a. Tu drugu koordinatu možemo također izračunati i računanjem vrijednosti funkcije f u x0. Dobro je znati ove formule, one će vam trebati prije rješavanju različitih zadataka s kvadratnom funkcijom. I recimo još ukratko nešto o nul točkama kvadratne funkcije. Kao i kod neke druge funkcije. tako i kod kvadratne funkcije, nul točka je svaka ona vrijednost argumenta x za koju je vrijednost funkcije nula, a do nul točaka se dolazi rješavanjem jednadžbe f od x je jednako nula. Imali svaka kvadratna funkcija nul točke? Prije odgovora pogledajmo ovu sliku. Vidimo da postoje kvadratne funkcije koje imaju dvije nul točke, one koje imaju jednu i one koje nemaju nul točaka. Dakle, odgovor je ne. A o čemu ovisi hoće li neka kvadratna funkcija imati nul točke i koliko će ih imati? To ovisi o broju b na kvadrat minus 4ac koji nazivamo diskriminanta kvadratne funkcije. Pa kakva je diskriminantak funkcija prikazanih plavim grafom? d je veće od nule. Kod funkcija s jednom realnom nul točkom, d je jednako nula. A kod funkcija koje ne imaju realnih nul točaka, d je manje od nule. I na kraju ponovimo kako još možemo pravilo pridruživanja zapisati osim kao f od x je ax na kvadrat plus bx plus c. Ako su x0, y0 koordinate tjemena, f od x je a što množe x minus x0 na kvadrat plus y0. A treći način je zapis funkcije pomoću nul točaka prema kojemu je f od x jednako a što množe x minus x1 što množe x minus x2. U prvom zadatku koju ćemo riješiti funkcija će upravo biti zapisana na ovaj treći način. Pogledajte. U zadatku treba nacrtati graf funkcije f. U ovom zadatku, ali i u svakom sljedećem, slobodno zaustavite projekciju, zadatak riješite sami, ponovo pokrenite projeciranje i provjerite koliko ste bili uspišni u svom samostalnom radu. U zapisu ove funkcije odmah se uočavaju nul točke. To su 1 i minus 2. Time... Znamo dvije točke grafa zadane funkcije sjecišta grafa sosi x, kojima su nultočke prve koordinate. Pri crtanju grafa kvadratne funkcije nužno je odrediti tijeme. Kad su nam poznate nultočke, prirodno je prvu koordinatu tijemena odrediti kao aritmetičku sredinu nultočaka. I ako pažljivo uvrstimo x1 i x2, dobit ćemo da je prva koordinata tijemena x0 jednako minus jedna polovina. Drugu ćemo koordinatu y0 odrediti kao vrijednost funkcije f u x0, pa računamo f od minus jedne polovine. Umjesto x u funkciju uvrstimo minus jednu polovinu i dobiva se da je y0 jednako minus devet četvrtina, odnosno tijeme ima koordinate minus jedna polovina i minus devet četvrtina. Ove tri točke, nul točke i tijeme, bit će dovoljne za crtanje grafa, ali ako odredimo još neke točke grafa, on će biti preciznije skiciran. Uzmimo neke točke, neke dvije vrijednosti x-a, na primjer 0 i minus 1 koji su simetrični s obzirom na x0. Za te dvije vrijednosti x-a vrijednosti funkcije moraju biti jednake zbog simetrije parabole. Ovdje dobivamo minus 2. Provjerimo to uvrštavanjem u funkciju i računanjem vrijednosti funkcije. Znači, ako želimo izračunati vrijednost u nuli, umjesto x uvrstimo nula i dobit ćemo minus 2. U minus 1 također je, kada se uvrsti umjesto x minus 1, vrijednost funkcije jednaka minus 2. Slično je za x jednako 2 i x jednako minus 3. vrijednosti funkcije su jednake i iznose 4. Ucrtajmo još i ove točke u koordinatnu ravnini. Povežemo li sada ove točke glatkom krivuljom, dobit ćemo grafu ove funkcije, parabolu koja je skup svih točaka ravnini čije su druge koordinate vrijednosti zadane funkcije f. Rješimo sada još nekoliko zadataka s kvadratnom funkcijom. U drugom zadatku prikazana je parabola. Treba odrediti njenu jednadžbu. Uočimo prvo tijeme te parabole, točku s koordinatama 2, 3. Ako njene koordinate uvrstimo u tijemeni oblik jednadžbe parabole, dobiva se ova jednadžba. Umjesto x0 uvrstimo 2, umjesto y0 uvrstimo 3. I ostaje još odrediti vodeći koeficijent a. Sada je još potrebno na grafu naći još jednu točku. Naprimjer, uzmimo ovu točku s koordinatama 5, 0. Kad se koordinate te točke uvrste u dobivenu jednadžbu, dobiva se jedna linarna jednadžba s nepoznanicom a. Njenim rješavanjem dobiva se da je a minus jedna trećina. I sada još preostaje jedino uvrstiti a u jednadžbu parabole. Dobili smo jednadžbu parabole. Ako provedemo kvadriranje ovog binoma, u toj jednadžbi sredimo dobiveni izraz jednadžbu parabole. Možemo zapisati i ovako. Ovaj smo zadatak mogli rješiti i na ovaj način. Ako smo prvo uočili nul točke, možemo se poslužiti zapisom jednadžbe parabole pomoću nul točaka. Uvrstimo umjesto x1 broj minus 1, a umjesto x2 broj 5. Minus minus 1 je jednako plus 1, pa se dobije jednadžba parabole y jednako a što množe x plus 1 što množe x minus 5. I ovdje treba još samo odrediti broj a. Uzmimo još jednu točku grafa, uzmimo upravo tijeme, točku 2, 3. Pa uvrstimo koordinate tijemena u ovu jednadžbu. Umjesto y3, umjesto x uvrstimo 2. Kad se koordinate tijemena uvrste u jednadžbu, jednadžba se svodi na linearnu s nepoznanicom a. I njenim rješavanjem ponovo dobivamo da je a. minus jedna trećina. I jednadžba parabole izgleda ovako. Ako provedemo množenje ovih izraza, dobit ćemo jednadžbu parabole zapisanu u obliku y jednako ax na kvadrat plus bx plus c. Zadržat ćemo se još nakratko na ovoj paraboli i u sljedećem zadatku. U njemu ćemo ponoviti što nam sve... graf neke funkcije, u ovom slučaju parabola, može reći o samoj funkciji. Drugim riječima analizirat ćemo graf funkcije. U prethodnom smo zadatku uočili nultočke funkcije, zatim tijeme parabole, te smo odredili pravilo pridruživanja. Iz grafa možemo saznati još i sjecišta s koordinatnim osima, os simetrije, ekstremnu vrijednost, sliku funkcije, intervale monotonosti, te intervali na kojima funkcija prima pozitivne odnosno negativne vrijednosti. Krenimo redu. Stjecište ovog grafa s osi apscisa, osi x, točke su minus 1, 0 i 5, 0. Stjecište s osi y ne možemo sasvim precizno odrediti, samo se uočava da je druga koordinata y broj koji je veći od 1 i manji od 2. No, mi smo odredili pravilo pridruživanja ove kvadratne funkcije, odnosno jednačbu prikazane parabole. Ako se uvrsti da je x jednako 0 u tu jednačbu, dobiva se da je y jednak slobodnom koeficijentu c, odnosno 5 trećina. Pa sjecište s osi y ima koordinate 0, 5 trećina. To vrijedi i općenito, slobodni član C u jednačbi parabole druga je koordinata sjecišta parabole s osi y. Nadalje je os simetrije ove parabole, pravac x jednako 2. Kako je parabola s otvorom prema dolje, u tijemenu funkcija postiže najveću maksimalnu vrijednost ili maksimum koji iznosi 3. Još valja spomenuti. Spomenuti da je kvadratna funkcija ograničena od ozgo, a slikajo je interval zatvoren s desna od minus beskonačno do 3. Funkcija to raste i prijima najveću vrijednost 3 na intervalu od minus beskonačno do 2. Nakon što je funkcija dostigla maksimalnu vrijednost 3, vrijednosti funkcije se počnu smanjivati povećanjem broja x. S toga je interval na kojem funkcija pada otvoreni interval od 2 do plus beskonačno. Skup na kojem funkcija prima pozitivne vrijednosti, skup je svih onih realnih brojeva x koji odgovaraju točkama grafa čijesu, Druge koordinate, to jest vrijednosti funkcije, pozitivne. Dakle, na grafu treba uočiti točke s pozitivnim drugim koordinatama. One leže na grafu iznad osi x. Zbog toga je skup na kojem funkcija prima pozitivne vrijednosti otvoren interval od minus 1 do 5. Skup na kojem funkcija prima negativne vrijednosti je skup svih onih realnih brojeva x, čije pripadne točke grafa leže ispod osi x. To je za ovu funkciju unija intervala od minus beskonačno do minus 1 i 5 do plus beskonačno. Za vježbu sami zapišite neku kvadratnu funkciju, nacrtajte njen graf i provedite ovakvu analizu. U četvrtom zadatku funkcija f najmanju vrijednost ima za x jednako minus 5 četvrtina. Za koje su realne brojeve x vrijednostite funkcije veće od 8? Da bi smo mogli odrediti za koje su realne brojeve x vrijednosti funkcije f veće od 8, prvo trebamo odrediti zadanoj funkciji nepoznati linarni koeficijent b. Zadani x jednako minus 5 četvrtina zapravo je prva... koordinata x0 tjemena parabole koja je graf ove funkcije, jer za taj x funkcija prima najmanju vrijednost. Prva koordinata tjemena računa se prema formuli minus b kroz 2a, pa kad uvrstimo poznati koeficijent a, koji je ovdje 2a, dobiva se da je b jednako 5, a time je f od x jednako 2x na kvadrat plus 5x plus 10. Znači, za ovu funkciju treba odrediti sve one realne brojeve x za koje su vrijednosti funkcije f od x veće od 8. Kad uvrstimo f od x, dobivamo ovu kvadratnu nejednačbu. 8 se prebaci i trebamo riješiti kvadratnu nejednačbu 2x na kvadrat plus 5x plus 2 je veće od 0. Riješit ćemo je grubim skiciranjem parabole koja je graf ove kvadratne funkcije. Dakle, ove ovdje funkcije. Pri tome su nam važne nul točke jer u njima se mijenja predznak funkcije. Moramo riješiti ovu jednačbu sada. U formulu za rješavanje kvadratne jednačbe uvrstimo pažljivo koeficijente 2, 5 i 2 i dobivamo da su nul točke ove funkcije brojevi minus 2 i minus 1 polovina. Skiciramo nul točke na brojevnom pravcu, a kako je vodeći koeficijent 2, parabola je s otvorom prema gore. Nas zanimaju samo oni realni brojevi x za koje su vrijednosti funkcije pozitivne, pa treba uočiti točke grafa iznad osi abscisa. Njihove prve koordinate traženi su realni brojevi x. Dakle, x je element. Unije intervala od minus beskonačno do minus 2 i od minus jedna polovina do plus beskonačno. U petom ćemo zadatku rješiti jednu nejednačbu. U nejednačbi se uočava razlomak pa i prije njena rješavanja možemo zaključiti da x ne smije biti broj 5, jer je broj 5 ovdje nultočka nazivnika. Već ste ranije naučili da se nejednačbe ne smije umnožiti nepoznanicom, Jer kao što joj i sam naziv kaže, ona je nešto nepoznato pa joj ne znamo predznak. Dakle, ovu nejednačbu nećemo pomnožiti s x minus 5 ako je netko pomislio da bi to trebalo. Zašto je važan predznak? U slučaju da nejednačbu množimo negativnim brojem, znak nejednakosti se mijenja i zbog toga nejednačbe ne množimo nepoznanicom. Ova se nejednačba rješava tako da se oduzme 1 objema stranama nejednačbe i dobiva se ova nejednađba. Treba provesti oduzimanje na lijevoj strani. Reduciramo izraz u brojniku i dobivamo nejednađbu x plus 2 kroz x minus 5 je manje ili jednako od 0. Nejednađba koju smo dobili ne smije se baš kao niti počet namnožiti sa x minus 5, međutim, Smijemo ju pomnožiti sa x minus 5 na kvadrat, jer uz uvjet da je x različito od 5, taj je kvadrat pozitivan realan broj pa se znak nejednakosti ne mijenja. Time je uz navedeni uvjet da je x različito od 5 dobivena nejednačba ekvivalentna kvadratnoj nejednačbi x plus 2, što množe x minus 5 je manje ili jednako od nove. Nju ćemo riješiti ponovo pomoću grafa. Nultočke su sada minus 2. i 5. Nacrtamo parabolu koja prolazi prikazanim nul točkama, a ona je s otvorom prema gore jer je vodeći koeficijent pozitivan. Kada pomnožimo x puta x, dobit ćemo x na kvadrat. Vodeći koeficijent je 1, pozitivan je broj. Uočimo točke grafa na osi x i one koje su ispod osi x jer nam ovdje piše znak manje ili jednako. Brojevi x koji odgovaraju tim točkama su oni koji su veći ili jednaki minus 2 i manji od 5. Interval je zatvoren s lijeva zbog znaka manje ili jednako, a otvoren s desna jer x ne smije biti broj 5. I na kraju zaključimo, dakle, zadanu nejednačbu. Sveli smo na kvadratnu nejednačbu uz uvijek da je x različit od 5 i dobili da su rješenja x ove nejednačbe svi realni brojevi x iz intervala od minus 2 do 5 koji je zatvoren s lijeva. A sada jedan nogometni zadatak. Na nogometnoj utakmici vratar ispucava loptu. Putanja lopte opisana je funkcijom h, gdje je h od x visina lopte iznad zemlje, x horizontalna udaljenost od mjesta ispucavanja, a veličine h od x i x izražene su u metrima. U zadatku treba odrediti na kojoj će udaljenosti od mjesta ispucavanja lopta pasti na tlo i koju najveću visinu postiže lopta. Rješimo podzadatak A. Za početak je korisno bez pretjerane preciznosti skicirati grafove funkcije u koordinatnom sustavu. Radi se o kvadratnoj funkciji s negativnim vodećim koeficijentom, pa ćemo u koordinatnom sustavu skicirati parabolu s otvorom prema dolje. Pri tome na osi x prikazujemo horizontalnu udaljenost od mjesta ispucavanja, Ovdje bi bilo mjesto ispucavanja. A na osi y prikazujemo visinu koju ima lopta. Uočimo još i da je slobodni koeficijent u zapisu ove funkcije 1. To znači da je presjek grafa s osi y točka 0,1. To je ovdje točka vrlo blizu ishodištu koordinatnog sustava. Što to znači u konkretnoj situaciji? Golma. Može ispucati loptu spoda ili iz ruke. Ovdje se radi o klasičnom ispucavanju lopte iz ruke s visine od 1 metra. To je taj jedan slobodni koeficijent. Da bismo odredili na kojoj će udaljenosti od mjesta ispucavanja lopta pasti na tlo, treba odrediti ovu udaljenost. A ona odgovara pozitivnoj nultočki ove funkcije. Dakle, trebamo u zadatku odrediti nultočke zadane funkcije. Nultočke dobivamo rješavanjem jednačbe h od x je jednako 0. Primijenili se formula za rješavanje kvadratne jednačbe pažljivim uvrštavanjem koeficijenata a, b i c. a je sada minus 0,024, b je 1,54, a c je 1. Dobiva se da je jedna nultočka negativna i ona nam nije važna za rješavanje zadatka, a druga pozitivna nultočka iznosi 64,8. Tražena udaljenost iznosi 64,8 metara. U B zadatku treba odrediti koju najveću visinu postiže lopt. Ako pažljivo razmislimo, radi se o ovoj visini, a to je zadanoj funkciji maksimalna vrijednost. Nju možemo odrediti pomoću formule 4AC minus B na kvadrat kroz 4A gdje su AB i C. ponovo koeficijenti u zapisu funkcije h. Ako ih pažljivo uvrstimo i izračunamo, dobit ćemo najveću visinu koju dostiže lopta i koja u ovom slučaju iznosi 25,7 metara. A kad ćete sljedeći put gledati nogometnu utakmicu, pratite kako igrači ispucavaju loptu i uočite njihove putanje. U posljednjem zadatku... U ovoj video lekciji trebamo odrediti sve realne brojeve k za koje zadana funkcija prima pozitivne vrijednosti za svaki realan broj x. Kada će kvadratna funkcija primati pozitivne vrijednosti za svaki realan broj x? Može li nam u odgovoru na to pitanje pomoći graf ove funkcije? Možemo li ga nacrtati? Naravno da ne, jer ne znamo koliki je broj k. Ali i gruba skica grafa bit će dovoljna kako bismo otkrili koja svojstva mora imati zadana funkcija da bi joj sve vrijednosti bile pozitivne. Parabola koja je graf ove funkcije morala bi na ovaj način biti smještena u koordinatnom sustavu cijela iznad osi x i s otvorom prema gore. Zbog toga jer je s otvorom prema gore vodići koeficijent funkcije f pozitivan je broj odnosno broj veći od nula. Nadalje se vidi da funkcija f nema nultočaka, a nepostojanje nultočaka znači da je diskriminanta te funkcije negativan broj, broj manji od 0. Dakle, ova dva svojstva a je veća od 0 i d je manja od 0 ima funkcija f u zadatku. Kako je koeficijent a jednak k minus 3, dobiva se linearna nejednačba k minus 3 je veća od 0. Nadalje je diskriminanta broj b na kvadrat minus 4ac, pa kad se uvrste koeficijenti a, b i c, dobiva se ova kvadratna nejednačba. Rješenja sustava ovih dviju nejednačbi traženje su realni brojevi k. Rješimo sada dobiveni sustav linearne i kvadratne nejednađbe. Ako je k minus 3 veće od 0, to će značiti da k mora biti veće od 3. A kvadratnu nejednađbu rješit ćemo pomoću grafa kvadratne funkcije, ali uprvo treba zapisati u obliku ak na kvadrat plus bk plus c. Pa odredimo nul točke, koje su u ovom slučaju minus 6 i 10 trećina. I sada na brojevnom pravcu prikažimo rješenja linarne nejednačbe, k je veće od 3, a zatim ucrtamo dobivene nultočke kvadratne funkcije, minus 3k na kvadrat minus 8k plus 60. Skiciramo parabolu koja prolazi tim nultočkama, ona je s otvorom prema dolje jer je broj minus 3 sada vodeći koeficijent, a on je negativan broj. Rješenja ove kvadratne nejednačbe su svi oni realni brojevi x koji odgovaraju točkama grafa koje su ispod osi x. Pa je k manje od minus 6 ili veće od 10 trećina. Vjerujem da uočavate presjek ovih dvaju skupova. To je interval od 10 trećina do plus beskonačno. I ujedno je traženi interval iz kojeg nam dolazi k. Dakle, beskonačno je mnogo kvadratnih funkcija f koje primaju pozitivne vrijednosti za svaki realan broj x, a svakoj od njih odgovara neki realan broj k iz dobivenog intervala. A znate li riješiti ovaj zadatak? Pažljivo analizirajte podatke koje ste o funkciji f dobili u zadatku. Samo jedan odgovor točena svoj odgovor provjerite u vježbi koja možete pristupiti preko priloženih poveznica. U njoj je, osim prikazanog, još nekoliko zadataka za vaš samostalni rad. Stretno i doviđenja do neke druge video lekcije.

Zatim ponovo pokrenite projekciju i provjerite svoj rad. Ako ste nešto propustili, pogledajte ponovo. Kvadratna funkcija ili polinom drugog stupnja, realna je funkcija čije se pravilo pridruživanja može zapisati kao f od x je jednako ax na kvadrat plus bx plus c. Pri tome su a, b i c realni brojevi i a je različito od nula. Broj a je vodeći koeficijent.

Broj B je koeficijent linarnog člana ili linarni koeficijent, a broj C je slobodni član ili koeficijent. Graf kvadratne funkcije izgleda ovako. Prikazanu krivulju nazivamo parabolom.

Ona može biti s otvorom prema gore kao prikazana ili ovakva s otvorom prema dolje. O čemu ovisi hoće li parabola biti s otvorom prema gore ili prema dolje? Vjerujem da znate odmah.

O vodećem koeficijentu. Ako je a pozitivan, veći od nule, parabola ima otvor prema gore. A ako je a manji od nule, to je negativan broj, parabola je s otvorom prema dolje.

Ako je parabola s otvorom prema gore, funkcija postiže minimalnu vrijednost ili minimum. A ako je s otvorom prema dolje, funkcija poprima najveću vrijednost, maksimalnu vrijednost ili maksimum. Kraće govorimo o ekstremnim vrijednostima, a ta se ekstremna vrijednost označuje s y0.

Točku u kojoj funkcija ima ekstremnu vrijednost nazivamo tjemenom parabole i njene koordinate označujemo sa x0, y0. Dakle, x0 realan je broj za koji funkcija postiže ekstremnu vrijednost y0. Parabola je kao što se može vidjeti simetrična krivulja, a os simetrije je pravac koji prolazi njenim tjemenom okomito na os x.

Jednačba osi parabole je x jednako x0. U trećem ćete razredu proučavati i neke druge parabole u ravnini, ali one nisu grafovi funkcija. Parabole kojima je os simetrije okomita na osa psisa, grafovi su dakle kvadratnih funkcija.

Jednačbu parabole tada zapisujemo y jednako ax na kvadrat plus bx plus c. Koordinatu tijemena x0 možemo računati na dva načina. Pomoću koeficijenata a i b u zapisu funkcije x0 je jednako minus b kroz 2a ili je x0 jednako x1 plus x2 kroz 2. U tom slučaju su x1 i x2 nultočke kvadratne funkcije, ali mogu biti i prve koordinate bilo kojih dviju simetričnih točaka parabole.

Drugu koordinatu tjemena, y0, izračunaćemo uvrštavanjem koeficijenata a, b i c u formulu prema kojoj je y0 jednako. 4ac minus b na kvadrat kroz 4a. Tu drugu koordinatu možemo također izračunati i računanjem vrijednosti funkcije f u x0. Dobro je znati ove formule, one će vam trebati prije rješavanju različitih zadataka s kvadratnom funkcijom. I recimo još ukratko nešto o nul točkama kvadratne funkcije.

Kao i kod neke druge funkcije. tako i kod kvadratne funkcije, nul točka je svaka ona vrijednost argumenta x za koju je vrijednost funkcije nula, a do nul točaka se dolazi rješavanjem jednadžbe f od x je jednako nula. Imali svaka kvadratna funkcija nul točke?

Prije odgovora pogledajmo ovu sliku. Vidimo da postoje kvadratne funkcije koje imaju dvije nul točke, one koje imaju jednu i one koje nemaju nul točaka. Dakle, odgovor je ne.

A o čemu ovisi hoće li neka kvadratna funkcija imati nul točke i koliko će ih imati? To ovisi o broju b na kvadrat minus 4ac koji nazivamo diskriminanta kvadratne funkcije. Pa kakva je diskriminantak funkcija prikazanih plavim grafom?

d je veće od nule. Kod funkcija s jednom realnom nul točkom, d je jednako nula. A kod funkcija koje ne imaju realnih nul točaka, d je manje od nule. I na kraju ponovimo kako još možemo pravilo pridruživanja zapisati osim kao f od x je ax na kvadrat plus bx plus c. Ako su x0, y0 koordinate tjemena, f od x je a što množe x minus x0 na kvadrat plus y0.

A treći način je zapis funkcije pomoću nul točaka prema kojemu je f od x jednako a što množe x minus x1 što množe x minus x2. U prvom zadatku koju ćemo riješiti funkcija će upravo biti zapisana na ovaj treći način. Pogledajte. U zadatku treba nacrtati graf funkcije f.

U ovom zadatku, ali i u svakom sljedećem, slobodno zaustavite projekciju, zadatak riješite sami, ponovo pokrenite projeciranje i provjerite koliko ste bili uspišni u svom samostalnom radu. U zapisu ove funkcije odmah se uočavaju nul točke. To su 1 i minus 2. Time...

Znamo dvije točke grafa zadane funkcije sjecišta grafa sosi x, kojima su nultočke prve koordinate. Pri crtanju grafa kvadratne funkcije nužno je odrediti tijeme. Kad su nam poznate nultočke, prirodno je prvu koordinatu tijemena odrediti kao aritmetičku sredinu nultočaka.

I ako pažljivo uvrstimo x1 i x2, dobit ćemo da je prva koordinata tijemena x0 jednako minus jedna polovina. Drugu ćemo koordinatu y0 odrediti kao vrijednost funkcije f u x0, pa računamo f od minus jedne polovine. Umjesto x u funkciju uvrstimo minus jednu polovinu i dobiva se da je y0 jednako minus devet četvrtina, odnosno tijeme ima koordinate minus jedna polovina i minus devet četvrtina. Ove tri točke, nul točke i tijeme, bit će dovoljne za crtanje grafa, ali ako odredimo još neke točke grafa, on će biti preciznije skiciran.

Uzmimo neke točke, neke dvije vrijednosti x-a, na primjer 0 i minus 1 koji su simetrični s obzirom na x0. Za te dvije vrijednosti x-a vrijednosti funkcije moraju biti jednake zbog simetrije parabole. Ovdje dobivamo minus 2. Provjerimo to uvrštavanjem u funkciju i računanjem vrijednosti funkcije. Znači, ako želimo izračunati vrijednost u nuli, umjesto x uvrstimo nula i dobit ćemo minus 2. U minus 1 također je, kada se uvrsti umjesto x minus 1, vrijednost funkcije jednaka minus 2. Slično je za x jednako 2 i x jednako minus 3. vrijednosti funkcije su jednake i iznose 4. Ucrtajmo još i ove točke u koordinatnu ravnini.

Povežemo li sada ove točke glatkom krivuljom, dobit ćemo grafu ove funkcije, parabolu koja je skup svih točaka ravnini čije su druge koordinate vrijednosti zadane funkcije f. Rješimo sada još nekoliko zadataka s kvadratnom funkcijom. U drugom zadatku prikazana je parabola.

Treba odrediti njenu jednadžbu. Uočimo prvo tijeme te parabole, točku s koordinatama 2, 3. Ako njene koordinate uvrstimo u tijemeni oblik jednadžbe parabole, dobiva se ova jednadžba. Umjesto x0 uvrstimo 2, umjesto y0 uvrstimo 3. I ostaje još odrediti vodeći koeficijent a.

Sada je još potrebno na grafu naći još jednu točku. Naprimjer, uzmimo ovu točku s koordinatama 5, 0. Kad se koordinate te točke uvrste u dobivenu jednadžbu, dobiva se jedna linarna jednadžba s nepoznanicom a. Njenim rješavanjem dobiva se da je a minus jedna trećina.

I sada još preostaje jedino uvrstiti a u jednadžbu parabole. Dobili smo jednadžbu parabole. Ako provedemo kvadriranje ovog binoma, u toj jednadžbi sredimo dobiveni izraz jednadžbu parabole. Možemo zapisati i ovako.

Ovaj smo zadatak mogli rješiti i na ovaj način. Ako smo prvo uočili nul točke, možemo se poslužiti zapisom jednadžbe parabole pomoću nul točaka. Uvrstimo umjesto x1 broj minus 1, a umjesto x2 broj 5. Minus minus 1 je jednako plus 1, pa se dobije jednadžba parabole y jednako a što množe x plus 1 što množe x minus 5. I ovdje treba još samo odrediti broj a.

Uzmimo još jednu točku grafa, uzmimo upravo tijeme, točku 2, 3. Pa uvrstimo koordinate tijemena u ovu jednadžbu. Umjesto y3, umjesto x uvrstimo 2. Kad se koordinate tijemena uvrste u jednadžbu, jednadžba se svodi na linearnu s nepoznanicom a. I njenim rješavanjem ponovo dobivamo da je a. minus jedna trećina. I jednadžba parabole izgleda ovako.

Ako provedemo množenje ovih izraza, dobit ćemo jednadžbu parabole zapisanu u obliku y jednako ax na kvadrat plus bx plus c. Zadržat ćemo se još nakratko na ovoj paraboli i u sljedećem zadatku. U njemu ćemo ponoviti što nam sve...

graf neke funkcije, u ovom slučaju parabola, može reći o samoj funkciji. Drugim riječima analizirat ćemo graf funkcije. U prethodnom smo zadatku uočili nultočke funkcije, zatim tijeme parabole, te smo odredili pravilo pridruživanja.

Iz grafa možemo saznati još i sjecišta s koordinatnim osima, os simetrije, ekstremnu vrijednost, sliku funkcije, intervale monotonosti, te intervali na kojima funkcija prima pozitivne odnosno negativne vrijednosti. Krenimo redu. Stjecište ovog grafa s osi apscisa, osi x, točke su minus 1, 0 i 5, 0. Stjecište s osi y ne možemo sasvim precizno odrediti, samo se uočava da je druga koordinata y broj koji je veći od 1 i manji od 2. No, mi smo odredili pravilo pridruživanja ove kvadratne funkcije, odnosno jednačbu prikazane parabole.

Ako se uvrsti da je x jednako 0 u tu jednačbu, dobiva se da je y jednak slobodnom koeficijentu c, odnosno 5 trećina. Pa sjecište s osi y ima koordinate 0, 5 trećina. To vrijedi i općenito, slobodni član C u jednačbi parabole druga je koordinata sjecišta parabole s osi y.

Nadalje je os simetrije ove parabole, pravac x jednako 2. Kako je parabola s otvorom prema dolje, u tijemenu funkcija postiže najveću maksimalnu vrijednost ili maksimum koji iznosi 3. Još valja spomenuti. Spomenuti da je kvadratna funkcija ograničena od ozgo, a slikajo je interval zatvoren s desna od minus beskonačno do 3. Funkcija to raste i prijima najveću vrijednost 3 na intervalu od minus beskonačno do 2. Nakon što je funkcija dostigla maksimalnu vrijednost 3, vrijednosti funkcije se počnu smanjivati povećanjem broja x. S toga je interval na kojem funkcija pada otvoreni interval od 2 do plus beskonačno.

Skup na kojem funkcija prima pozitivne vrijednosti, skup je svih onih realnih brojeva x koji odgovaraju točkama grafa čijesu, Druge koordinate, to jest vrijednosti funkcije, pozitivne. Dakle, na grafu treba uočiti točke s pozitivnim drugim koordinatama. One leže na grafu iznad osi x.

Zbog toga je skup na kojem funkcija prima pozitivne vrijednosti otvoren interval od minus 1 do 5. Skup na kojem funkcija prima negativne vrijednosti je skup svih onih realnih brojeva x, čije pripadne točke grafa leže ispod osi x. To je za ovu funkciju unija intervala od minus beskonačno do minus 1 i 5 do plus beskonačno. Za vježbu sami zapišite neku kvadratnu funkciju, nacrtajte njen graf i provedite ovakvu analizu.

U četvrtom zadatku funkcija f najmanju vrijednost ima za x jednako minus 5 četvrtina. Za koje su realne brojeve x vrijednostite funkcije veće od 8? Da bi smo mogli odrediti za koje su realne brojeve x vrijednosti funkcije f veće od 8, prvo trebamo odrediti zadanoj funkciji nepoznati linarni koeficijent b.

Zadani x jednako minus 5 četvrtina zapravo je prva... koordinata x0 tjemena parabole koja je graf ove funkcije, jer za taj x funkcija prima najmanju vrijednost. Prva koordinata tjemena računa se prema formuli minus b kroz 2a, pa kad uvrstimo poznati koeficijent a, koji je ovdje 2a, dobiva se da je b jednako 5, a time je f od x jednako 2x na kvadrat plus 5x plus 10. Znači, za ovu funkciju treba odrediti sve one realne brojeve x za koje su vrijednosti funkcije f od x veće od 8. Kad uvrstimo f od x, dobivamo ovu kvadratnu nejednačbu. 8 se prebaci i trebamo riješiti kvadratnu nejednačbu 2x na kvadrat plus 5x plus 2 je veće od 0. Riješit ćemo je grubim skiciranjem parabole koja je graf ove kvadratne funkcije. Dakle, ove ovdje funkcije.

Pri tome su nam važne nul točke jer u njima se mijenja predznak funkcije. Moramo riješiti ovu jednačbu sada. U formulu za rješavanje kvadratne jednačbe uvrstimo pažljivo koeficijente 2, 5 i 2 i dobivamo da su nul točke ove funkcije brojevi minus 2 i minus 1 polovina. Skiciramo nul točke na brojevnom pravcu, a kako je vodeći koeficijent 2, parabola je s otvorom prema gore. Nas zanimaju samo oni realni brojevi x za koje su vrijednosti funkcije pozitivne, pa treba uočiti točke grafa iznad osi abscisa.

Njihove prve koordinate traženi su realni brojevi x. Dakle, x je element. Unije intervala od minus beskonačno do minus 2 i od minus jedna polovina do plus beskonačno. U petom ćemo zadatku rješiti jednu nejednačbu. U nejednačbi se uočava razlomak pa i prije njena rješavanja možemo zaključiti da x ne smije biti broj 5, jer je broj 5 ovdje nultočka nazivnika.

Već ste ranije naučili da se nejednačbe ne smije umnožiti nepoznanicom, Jer kao što joj i sam naziv kaže, ona je nešto nepoznato pa joj ne znamo predznak. Dakle, ovu nejednačbu nećemo pomnožiti s x minus 5 ako je netko pomislio da bi to trebalo. Zašto je važan predznak? U slučaju da nejednačbu množimo negativnim brojem, znak nejednakosti se mijenja i zbog toga nejednačbe ne množimo nepoznanicom.

Ova se nejednačba rješava tako da se oduzme 1 objema stranama nejednačbe i dobiva se ova nejednađba. Treba provesti oduzimanje na lijevoj strani. Reduciramo izraz u brojniku i dobivamo nejednađbu x plus 2 kroz x minus 5 je manje ili jednako od 0. Nejednađba koju smo dobili ne smije se baš kao niti počet namnožiti sa x minus 5, međutim, Smijemo ju pomnožiti sa x minus 5 na kvadrat, jer uz uvjet da je x različito od 5, taj je kvadrat pozitivan realan broj pa se znak nejednakosti ne mijenja.

Time je uz navedeni uvjet da je x različito od 5 dobivena nejednačba ekvivalentna kvadratnoj nejednačbi x plus 2, što množe x minus 5 je manje ili jednako od nove. Nju ćemo riješiti ponovo pomoću grafa. Nultočke su sada minus 2. i 5. Nacrtamo parabolu koja prolazi prikazanim nul točkama, a ona je s otvorom prema gore jer je vodeći koeficijent pozitivan.

Kada pomnožimo x puta x, dobit ćemo x na kvadrat. Vodeći koeficijent je 1, pozitivan je broj. Uočimo točke grafa na osi x i one koje su ispod osi x jer nam ovdje piše znak manje ili jednako. Brojevi x koji odgovaraju tim točkama su oni koji su veći ili jednaki minus 2 i manji od 5. Interval je zatvoren s lijeva zbog znaka manje ili jednako, a otvoren s desna jer x ne smije biti broj 5. I na kraju zaključimo, dakle, zadanu nejednačbu.

Sveli smo na kvadratnu nejednačbu uz uvijek da je x različit od 5 i dobili da su rješenja x ove nejednačbe svi realni brojevi x iz intervala od minus 2 do 5 koji je zatvoren s lijeva. A sada jedan nogometni zadatak. Na nogometnoj utakmici vratar ispucava loptu.

Putanja lopte opisana je funkcijom h, gdje je h od x visina lopte iznad zemlje, x horizontalna udaljenost od mjesta ispucavanja, a veličine h od x i x izražene su u metrima. U zadatku treba odrediti na kojoj će udaljenosti od mjesta ispucavanja lopta pasti na tlo i koju najveću visinu postiže lopta. Rješimo podzadatak A. Za početak je korisno bez pretjerane preciznosti skicirati grafove funkcije u koordinatnom sustavu.

Radi se o kvadratnoj funkciji s negativnim vodećim koeficijentom, pa ćemo u koordinatnom sustavu skicirati parabolu s otvorom prema dolje. Pri tome na osi x prikazujemo horizontalnu udaljenost od mjesta ispucavanja, Ovdje bi bilo mjesto ispucavanja. A na osi y prikazujemo visinu koju ima lopta. Uočimo još i da je slobodni koeficijent u zapisu ove funkcije 1. To znači da je presjek grafa s osi y točka 0,1. To je ovdje točka vrlo blizu ishodištu koordinatnog sustava.

Što to znači u konkretnoj situaciji? Golma. Može ispucati loptu spoda ili iz ruke. Ovdje se radi o klasičnom ispucavanju lopte iz ruke s visine od 1 metra. To je taj jedan slobodni koeficijent.

Da bismo odredili na kojoj će udaljenosti od mjesta ispucavanja lopta pasti na tlo, treba odrediti ovu udaljenost. A ona odgovara pozitivnoj nultočki ove funkcije. Dakle, trebamo u zadatku odrediti nultočke zadane funkcije. Nultočke dobivamo rješavanjem jednačbe h od x je jednako 0. Primijenili se formula za rješavanje kvadratne jednačbe pažljivim uvrštavanjem koeficijenata a, b i c.

a je sada minus 0,024, b je 1,54, a c je 1. Dobiva se da je jedna nultočka negativna i ona nam nije važna za rješavanje zadatka, a druga pozitivna nultočka iznosi 64,8. Tražena udaljenost iznosi 64,8 metara. U B zadatku treba odrediti koju najveću visinu postiže lopt. Ako pažljivo razmislimo, radi se o ovoj visini, a to je zadanoj funkciji maksimalna vrijednost. Nju možemo odrediti pomoću formule 4AC minus B na kvadrat kroz 4A gdje su AB i C.

ponovo koeficijenti u zapisu funkcije h. Ako ih pažljivo uvrstimo i izračunamo, dobit ćemo najveću visinu koju dostiže lopta i koja u ovom slučaju iznosi 25,7 metara. A kad ćete sljedeći put gledati nogometnu utakmicu, pratite kako igrači ispucavaju loptu i uočite njihove putanje.

U posljednjem zadatku... U ovoj video lekciji trebamo odrediti sve realne brojeve k za koje zadana funkcija prima pozitivne vrijednosti za svaki realan broj x. Kada će kvadratna funkcija primati pozitivne vrijednosti za svaki realan broj x? Može li nam u odgovoru na to pitanje pomoći graf ove funkcije?

Možemo li ga nacrtati? Naravno da ne, jer ne znamo koliki je broj k. Ali i gruba skica grafa bit će dovoljna kako bismo otkrili koja svojstva mora imati zadana funkcija da bi joj sve vrijednosti bile pozitivne. Parabola koja je graf ove funkcije morala bi na ovaj način biti smještena u koordinatnom sustavu cijela iznad osi x i s otvorom prema gore.

Zbog toga jer je s otvorom prema gore vodići koeficijent funkcije f pozitivan je broj odnosno broj veći od nula. Nadalje se vidi da funkcija f nema nultočaka, a nepostojanje nultočaka znači da je diskriminanta te funkcije negativan broj, broj manji od 0. Dakle, ova dva svojstva a je veća od 0 i d je manja od 0 ima funkcija f u zadatku. Kako je koeficijent a jednak k minus 3, dobiva se linearna nejednačba k minus 3 je veća od 0. Nadalje je diskriminanta broj b na kvadrat minus 4ac, pa kad se uvrste koeficijenti a, b i c, dobiva se ova kvadratna nejednačba.

Rješenja sustava ovih dviju nejednačbi traženje su realni brojevi k. Rješimo sada dobiveni sustav linearne i kvadratne nejednađbe. Ako je k minus 3 veće od 0, to će značiti da k mora biti veće od 3. A kvadratnu nejednađbu rješit ćemo pomoću grafa kvadratne funkcije, ali uprvo treba zapisati u obliku ak na kvadrat plus bk plus c. Pa odredimo nul točke, koje su u ovom slučaju minus 6 i 10 trećina.

I sada na brojevnom pravcu prikažimo rješenja linarne nejednačbe, k je veće od 3, a zatim ucrtamo dobivene nultočke kvadratne funkcije, minus 3k na kvadrat minus 8k plus 60. Skiciramo parabolu koja prolazi tim nultočkama, ona je s otvorom prema dolje jer je broj minus 3 sada vodeći koeficijent, a on je negativan broj. Rješenja ove kvadratne nejednačbe su svi oni realni brojevi x koji odgovaraju točkama grafa koje su ispod osi x. Pa je k manje od minus 6 ili veće od 10 trećina.

Vjerujem da uočavate presjek ovih dvaju skupova. To je interval od 10 trećina do plus beskonačno. I ujedno je traženi interval iz kojeg nam dolazi k. Dakle, beskonačno je mnogo kvadratnih funkcija f koje primaju pozitivne vrijednosti za svaki realan broj x, a svakoj od njih odgovara neki realan broj k iz dobivenog intervala. A znate li riješiti ovaj zadatak?

Pažljivo analizirajte podatke koje ste o funkciji f dobili u zadatku. Samo jedan odgovor točena svoj odgovor provjerite u vježbi koja možete pristupiti preko priloženih poveznica. U njoj je, osim prikazanog, još nekoliko zadataka za vaš samostalni rad. Stretno i doviđenja do neke druge video lekcije.

Transcript for:Kvadratna funkcija i njena svojstva

Transcript for:
Kvadratna funkcija i njena svojstva