विज्ञान और मज़ा: इंटीग्रेशन और डिफरेंशिएशन

विषय: डिफरेंशिएशन

• परिभाषा: डिफरेंशिएशन एक गणितीय उपकरण है जो एक मात्रात्मक परिवर्तन को दूसरे मात्रात्मक परिवर्तन के सापेक्ष गणना करने में मदद करता है।
• उदाहरण: गति में परिवर्तन (Acceleration) = परिवर्तन की वेग/समय।

डिफरेंशिएशन के नियम:

1. d(x^n)/dx:

   • यदि y = x^n, तो d(x^n)/dx = n*x^(n-1)

2. d(c)/(dx):

   • कोई भी अधिकतम (constant) का डिफरेंशिएशन 0 होता है।

3. d(kf(x))/dx:

   • यदि k कोई अधिकतम है, तो k को बाहर निकाल सकते हैं।

4. d(f(x) + g(x))/dx:

   • यदि f(x) और g(x) दो अलग-अलग कार्य हैं, तो d(f+g)/dx = d(f)/dx + d(g)/dx।

5. d(sin(x))/dx और d(cos(x))/dx:

   • sin(x) का डिफरेंशिएशन cos(x) होता है।
   • cos(x) का डिफरेंशिएशन -sin(x) होता है।

6. उत्पाद नियम (Product Rule):

   • यदि f और g दो कार्य हैं, तो d(fg)/dx = f(dg/dx) + g*(df/dx)।

7. भाग नियम (Quotient Rule):

   • यदि f और g दो कार्य हैं, तो d(f/g)/dx = (g*(df/dx) - f*(dg/dx))/g^2।

इंटीग्रेशन

• परिभाषा: इंटीग्रेशन एक गणितीय उपकरण है जो अनंत संख्याओं के योग को एकत्रित करने में मदद करता है।
• इंटीग्रेशन का उपयोग किसी कार्य के अंत में कुल जोड़ की गणना करने के लिए किया जाता है।
• उदाहरण:
  • यदि dx का इंटीग्रेशन किया जाए, तो x + C प्राप्त होगा।

इंटीग्रेशन के नियम:

1. Integration of x^n:

   • x^n का इंटीग्रेशन = (x^(n+1))/(n+1) + C

2. Integration of sin(x):

   • sin(x) का इंटीग्रेशन = -cos(x) + C

3. Integration of cos(x):

   • cos(x) का इंटीग्रेशन = sin(x) + C

4. Integration of (f + g):

   • (f + g) का इंटीग्रेशन = f का इंटीग्रेशन + g का इंटीग्रेशन।

5. फाइनाइट इंटीग्रल:

   • फाइनाइट इंटीग्रल में सीमाएँ होती हैं।
   • यदि सीमाएँ a से b हैं, तो इसे इस प्रकार लिखा जाता है:
     • ∫[a to b] f(x) dx = F(b) - F(a)

कार्यशाला

• प्रश्न हल करने का अभ्यास करने के लिए दिए गए हैं।

निष्कर्ष

• डिफरेंशिएशन और इंटीग्रेशन का ज्ञान 11वीं और 12वीं की भौतिकी का मूल है।
• समझने के बाद, आगे बढ़ते हैं।