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गणित में डिफरेंशिएशन और इंटीग्रेशन

स्वागत है आप सभी का Science and Fun पे जहां पे टीचर्स आपको दिल और दिमाग दोनों से पढ़ाते हैं आज हम शुरू कर रहे हैं Integration and Differentiation तो इस वीडियो के पहले हाफ में हम लोग Differentiation करेंगे और यकीन मानी है अगर ये वीडियो अगर ये One Shot को मैं 100% वाले पार्ट में डिवाइड करूँ तो 70% वीडियो की जो लंबाई है वो Differentiation होने वाली है और 30% Integration उसका रीजन है क्योंकि Differentiation में फॉर्मुले भी हैं Differentiation आ जाए तो integration को पढ़ना बहुत जादा easy हो जाता है तो सबसे पहले बात करते हैं हम लोग सबसे पहले बात करते हैं कि differentiation का मतलब क्या है या differentiation हम लोग, देखो, मैंने आपको बताया कि इसमें दो हिस्से हैं न जिसमें से पहला हिस्सा हमारा differentiation है अब differentiation में, जिसको हम derivative भी कहते हैं तो differentiation में, it is a mathematical tool it is a mathematical tool which helps us to calculate very small changes in a quantity with respect to another quantity यानि कि differentiation basically एक maths का ऐसा tool है जो आपकी help करता है changes को निकालने में जैसे कि I hope आपको पता हो कि जो acceleration होता है वो change in velocity upon time होता है नहीं तो हम motion line straight line के one shot में अगले अफते में सीख भी लेंगे अगर मैं ऐसे बोलूं कि acceleration होता है, change in velocity upon time, अगर velocity change हो रही है 30-40, तो वो तो हम normal तरीके से निकालते हैं, but अगर velocity में change infinitesimally small है, यानि कि बहुत चोटा है, इतना चोटा है कि हम उसे manually वैसे नहीं calculate कर सकते हैं, वहाँ पर हमारी differentiation जो है basically मदद करता है, अगर मैं आपको बोल रहा हूँ, आपको differentiation और integration पढ़ते वक्त ऐसा लगेगा कि आप maths पढ़ रहे हो, और बहुत सारे जगह पर आपको reason भी नहीं मिलेंगे, formula मिलेंगे, जिनको आपको याद करना, क्योंकि हम ये maths पढ़ रहे हैं actually में, लेकिन जब इसका हम physics में इस्तमाल करेंगे, तो आपको ये ज़्यादा भेथर समझ में आएगा, ठीक है, अब differentiation को समझने के लिए, पहली ब इसको कैसे पढ़ेंगे differentiation of x with respect to t कहीं पे लिखा हुआ है मालो d y by d x तो इसे कैसे पढ़ेंगे इसे पढ़ेंगे differentiation of y with respect to x यानि कि हम y का differentiation करेंगे x के respect में और ऐसे उपर लिखा हुआ है कि हम x का differentiation करेंगे t के यानि time के respect में ठीक है जी अब again यह आपको शायद समझ में ना आया हो, but इसका मतलब यह है, like जब physics में हम इसका इस्तमाल करेंगे, ध्यान सुनना, तो acceleration नाम की एक चीज़ आएगी, जो कि dv by dt होगी, physics में, जो कि dv by dt होगी, अब dv by dt basically कुछ नहीं है, अगर physics में बोलें, तो change in velocity upon time है, लेकिन अगर मैं इसको ऐसे बोलूं, तो यह है differentiation of velocity with respect to time, तो differentiation of velocity with respect to time है, जिसको हम acceleration कहेंगे, ठीक है, अब acceleration या कोई भी चीज तो बात की बात है, पहले हमें differentiation को करने के लिए कुछ formula करने होंगे, कुछ formula पढ़ने होंगे, और उसके बाद differentiation को हम हर एक formula से कुछ question करके हम समझेंगे, मैं ऐसे नहीं करूँगा कि मैं आपको सारे formula करव तो सबसे पहला formula आता है D X की power N by DX अच्छा एक बात ध्यान रखेगा differentiation के दो रूप होते हैं पहला जब हम किसी ऐसी चीज़ का differentiation करते हैं जो उपर और नीचे same हैं जैसे उपर भी DX है variable जो है वो X है और नीचे भी DX है यानि मैं X की power N का differentiation कर रहा हूँ with respect to X तो इसका differentiation कैसे होता है लेकिन इसका एक और phase भी होता है जहाँ पे उपर जो चीज होती है वो अलग होती है और नीचे जो चीज होती है वो अलग होती तो उसका differentiation कैसे करते हैं, वो second level है आप कह सकते हो, first level है कि उपर और नीचे का जो function होगा वो same होगा, उपर भी अगर x है तो नीचे भी x होगा, तो अगर x की power n का, actually हम यहाँ पर क्या करना है, differentiation of x की power n करना है with respect to x, तो इसका एक formula होता है, formula क्या होता है ध्यान सुनना, power जो है पावर जो है वो आगे आ जाती है और पावर में से एक माइनस हो जाता है ध्यान रखना अब आप कहोगे ये डी का चला गया चलो ठीक है एक्स की पावर एन का तो हो गया पावर आगे आगे पावर में से एक माइनस ये डी तो कह रहा था डिफरेंसेशन करो और ये कह रहा थ पावर आगे आ जाएगी और पावर में से एक माइनस हो जाएगा तो आंसर आ गया बच्चो 3x2 आंसर आ गया 3x2 कितना प्यारा है देखो जैसे कि d y की पावर मान लो आ गया 5 by dy उपर भी y तो नीचे भी y अब लेबल वन में यही चलेगा तो पावर आ जाएगी आगे और पावर में से एक हो जाएगा माइनस तो 5y की पावर क्या आ जाएगा बच्चो 4 आ जाएगा समझे अब ऐसे ही क्या power minus में भी हो सकती है, बिल्कुल हो सकती है, क्यों नहीं हो सकती है, dx की power minus 2 by मान लो dx है, फॉर्मुला सेमी रहेगा क्या, power आ जाएगी आगे, और power में से 1 minus, अभी तो मैं ऐसे दो-दो step लिख रहा हूँ, आप जब दिरे-दिरे सीख जाएगे, तो आप सीधा इसका differentiation लिख देंगे, तो अगर x की power n हो, तो फॉर्मुला क्या लगाना है, power आगे आ जाती है, और power में से 1 minus हो जाता है, तो सेकंड फॉर्मुला एक्टिव फॉर्मुला नहीं है अगर मान लो सिर्फ डी एक्स बाई डी एक्स ही हो मतलब पावर ना हुई तो इसका आंसर तो वन ही आ जाएगा आप इसे ऐसे समझ लो कि डी एक्स से डी एक्स कैंसिल हो जाएगा यह समझ लो एक्स की पावर क्या है D, माल लो आपके पास कोई भी एक constant है, कोई भी एक constant है, और उसका मैं differentiation कर रहा हूँ, again किसी के भी respect में, constant उपर, constant मतलब 1, 2, 3, 7 by 8, 3 by 2, 4, कोई ऐसा constant है, जिसकी value fixed है, अब क्योंकि आपने notice किया हो, तो differentiation में हम लोग निकालते हैं, change, ये एक ऐसी चीज़े तो क्या निकालती हम यहाँ पे निकालते हैं changes, but अगर कोई चीज ही constant है, तो उसमें तो कोई change नहीं हो रहा होगा, तो उसका जो differentiation है, वो 0 हो जाएगा, किसी भी constant का differentiation ध्यान रखियेगा, हमेशा 0 होता है, जैसे कि d3 by dx कर लो, तो 0, अब यह d3 by dy भी होता, तो 0, बिकाँच उपर तो कोई variable है न तो answer है 0 हो जाएगा, तो कोई भी constant का differentiation हमेशा 0 होता है, चीके जी, इसके बाद चौथा formula, again काफी important formula, चौथा formula है कि अगर कोई constant, ध्यान से सुनियेगा, अगर कोई constant किसी variable के साथ है, like यहाँ पे कोई constant multiply हो रहा है, x की power n के साथ, तो क्या करना होता है, कुछ नहीं करना होता ह जो constant होता है उसको हम differentiation के बाहर लेके आ सकते हैं और जो अंदर बचेगा उसका फिर normal तरीके से differentiation कर देंगे अगर अकेला constant हो तो answer 0 आता है बट अगर constant किसी के साथ variable के साथ multiply हो रहा हो तो constant को हम बाहर लेके आ सकते हैं अभी मैं example कराता हूँ जैसे d3 x square by dx इसमें 3 जो है वो बाहर आ जाएगा, तुकि 3 constant है, अंदर क्या बच जाएगा, dx square by dx, बात समझ रहो, ठीक है, अब यहाँ पे 2 जो है, अब यह देखो, यह हमने कुछ नहीं किया, constant को हम बाहर लिया है, अंदर क्या बच गया, dx square by dx, तो यह 2 जो है वो आगे आ जाएगा, वो पावर आगे आ जाएगी, पावर में से एक माइनस हो जाएगा, टू में से वन जाएगा, तो वन आ जाएगा, ना, थ्री इंटू टू, सिक्स हो जाएगा, तो यहाँ पे हमारे पास सिक्स एक्स आ जाए� कोई constant हो तो कुछ नहीं करना वो constant जो है वो बस भार आ जाता है और अंदर x की power कुछ भी हो जो है उसका normal तरीके से differentiation करते हैं और दो चार question करते हैं इसको समझने के लिए like d यह आया मालो d 1 by 3 x की power 3 अब इसमें क्या किया मैंने पहली बात तो 1 by 3 यह constant है तो dx की power 3 by dx हो गया ठीक है जी कैसे क्योंकि हमने क्या formula पढ़ा है कि constant को हम differentiation के बाहर लेके आ सकते हैं तो 1 by 3 को मैं बाहर ले आया अब अंदर dx की power 3 by d इसमें क्या करेंगे वो पावर आगे आ जाती है और पावर में से एक minus हो जाता है तो यहाँ 1 by 3 तो था ही अब 3 से 3 cancel हो जाएगा और यहाँ पे x की power 2 आ जाएगा तो यहाँ पे 3 से 3 cancel हो गया तो finally answer x की power 2 आ गया, तो मतलब कुछ भी नहीं है, अगर आपका कोई भी constant multiply हो रहा हो, तो आप उस constant को differentiation के बाहर लेके आ सकते हैं, मैं दुबारा से बोल दू, चौती बार बोल रहा हूँ, कि अभी आपको शायद इस समझ में नहीं आएगा, कि हम differentiation क्यूं कर रहे हैं, सर ये तो maths है, बट इस maths का इस्तमाल होगा physics में, one shots की series शुरू करने से पहले, integration और differentiation करा रहे हैं, तो यह हमारे पास कितने formula हो गए, भाई 4, इसके बाद हमारे पास 5 वा formula आता है, 5th formula आता है, बहुत ही simple, अगर 2 अलग अलग चीज़े हैं, और वो plus या minus हो रही हैं, तो आप उनको 2 अलग अलग term बना सकते हैं, यानि कि जैसे यहाँ पे m और n मान लो, दो ऐसी कोई चीज़े और बीच में plus या minus जो भी sign है वो लगाओगे, और n को अलग ले सकते हो, यानि अगर बीच में plus minus है, तो आप उनको differentiate करके दो अलग अलग term ले सकते हो, जैसे कि मालो, मुझे differentiation करना है x square plus 3 का, अब क्योंकि आप देख सकते हो ये दो अलग अलग terms हैं, तो मैं इनको अलग अल� अब इसमें तो क्या है, power आगे आ जाएगी, और power में से एक minus हो जाएगा, और 3 एक constant है, constant का differentiation 0 होता है, तो answer 2x आ गया, प्यारा सवाल है, आओ एक और सवाल देखते हैं, मालो D, for a change Y ले रहा हूँ, D Y square plus Y cube आ गया, by D Y, उपर Y तो नहीं चाहिए Y, तो D Y square by D Y, plus, दी वाइ क्यूब बाइ डी वाइ अब इसमें क्या होगा बोलो पावर आगे आ जाएगी पावर में से माइनस हो जाएगा इसमें क्या होगा पावर आगे आ जाएगी थ्री में से माइनस हो जाएगा तो टू आ जाएगा तो ये हमारे पास आंसर आ गया समझे ऐसी अगर बी� और सेवन्थ फॉर्मुला बहुत जादा easy, similar physics में थोड़ा कम इस्तमाल होते हैं मतलब ना के बराबर इस्तमाल होते हैं लेकिन होते हैं कहीं कहीं जगह पर ठीक है, जैसे की सिक्स फॉर्मुला है, अगर D साइन X या थीटा तो नीचे भी थीटा होगा, अभी फिलाल जैसे X है, तो यहाँ पर भी X होगा तो साइन X का जो differentiation होता है, ध्यान रखियेगा, वो cos X होता है साइन X का जो differentiation होता है वो cos x होता है, वहीं पे cos x का जो differentiation होता है, वो minus sin x होता है, ध्यान रखेगा, अगर यहाँ पे theta है, तो नीचे भी theta होगा, तो sin theta का cos theta हो जाएगा, और cos theta का minus sin theta हो जाएगा, ठीक है जी, तो sin theta का है, तो cos theta, और cos theta का differentiation minus sin theta हो जाता है, तो यह हमारे 6th और 7th formula है, इसके पर तो मैं मतलब क्या ही question करा हूँ, ठीक है जी, वो mix question है, या देखो चलो आओ, एक आद question इसके ऊपर ऐसे देख लेते हैं कि, मान लो D, X की power 5 plus cos X DX है, चलो, पिछले वाले formula उसको मिलाते हैं, पहले तो बीच में plus है तो अलग-अलग कर सकता हूँ, D, X की power 5 DX को मैं अलग कर सकता हूँ, और D, cos X by DX को मैं अलग कर सकता हूँ, सही कह रहा हूँ, अब, इसमें क्या होगा भाई, power आगे आ जाती है, 5 है, और power में इसे 1 minus हो जाता है, तो 4 हो गया, plus, अब cos x का जो होता है वो minus sin x होता है, minus sin x होता है, सही कह रहा हूँ, तो plus minus minus हो गया, तो 5x की power 4 minus sin x आ गया, तो यहाँ पे आप अगर देखें, तो हमारे पास differentiation के 7 फॉर्मुले हो जाते हैं, लेकिन अब 2 फॉर्मुले हमारे पास, और बचते हैं जो कि सबसे important formula है हमारे physics में बहुत जगा इस्तमाल होंगे और फिर हम इनके उपर mix questions करने वाले हैं देखो मैं differentiation को ही अपने आप में लगबग लगबग एक घंटा देने वाला हूँ क्योंकि मैं ये one shot ऐसा बनाना चाता हूँ कि आपके मन में इसको देखने के बाद integration और differentiation के लिए कोई doubt न रह जाए एक भी special case भी मैं आपको पहले बता दूँ, integration और differentiation बहुत vast topics हैं, और भी बहुत सारे formula हैं, लेकिन उनका हमारे 11th, 12th की पूरी physics में कहीं पे भी इस्तमाल नहीं होने वाला है, तो आप tension मत लीजेगा, जितने भी पूरी 11th, 12th की physics में इस्तमाल होने वाले हैं, वो सारे formula मैं आपको करा दू� अब product rule का मतलब क्या है कि अगर दो चीजें आपस में multiply हो रही हैं दो चीजें आपस में multiply हो रही हैं तो उस case में आप कैसे formula लगाएंगे जैसे कि माल लो दो चीजें हैं m है और n है और ये आपस मे�� multiply हो रही हैं तो formula ध्यान से सुनिएगा formula है दो terms हैं तो पहली वाली term का आपको differentiation कर देना है और दूसरी वाली term as it is multiply कर देनी है ठीक है फिर प्लस दूसरी वाली term का आपको differentiation कर देना है, और पहले वाली term जो है वो multiply कर देने, दुबारा से, अगर दो चीज़े आपस में multiply हो रही है, तो क्या format follow होगा, पहली वाली term का आप differentiation कर देंगे, और दूसरी वाली as it is से multiply हो जाएगी, प्लस दूसरी वाली का differentiation करेंगे, और पहली वाली as it is multiply हो जाएगी, इसके अपर कुछ question करते हैं, जैसे कि dx square into में sin x, अब यह तो obvious है कि दो अलग-अलग term होंगी, अब मालो यहाँ पे होता है dx square into में x, तो यहाँ मैं product rule थोड़ी नहीं लगाऊंगा, dx square by x को तो मैं सीधा लिख दूँगा, dx क्यों पहले तो, और फिर इसमें मैं वाला form लगा द यह वाला formula तब लगाऊंगा जब मेरी मजबूरी हो जाए कि भीया दो चीजे multiply हो रही है और उनको मैं आगे solve नहीं कर सकता जैसे x square into में sin x आगे solve नहीं होते है ना तो क्या formula है याद करेंगे पहले वाले का differentiation यानि कि x square का मैं करूँगा differentiation और दूसरे वाली जो term है यानि कि sin x वो same आजाएगी plus दूसरे वाले का यानि कि sin x का मैं क्या करूँगा differentiation और वहीं पे जो x square है वो हमारे पास as it is same हो जाएगा समझ गए अब इसको solve कर देंगे तो यहाँ पे 2 है power power आगे आ जाएगी और power में से 1 minus हो जाएगा into में चल रहा है sin x अब यहाँ पे sin x का क्या हो जाता है बई cos x और into में चल रहा है x square 2x sin x आगे तो solve होगा नहीं x square कॉस x x2 कॉस x2 हमारे पास को मिलाकर फॉर्मला आ जाएगा टू एक्स साइन एक्स प्लस एक्स स्क्वेयर कॉस एक्स अगेन यार देखो इसका में क्या करना मिल है हमें तो फॉर्मलों को समझना है मैं तो फॉर्मलों को स्टडी करना like आया d, प्रदे इंटरस्टिंग है ये, sin x, into में cos x, अब दो चीज़ें आपस में क्या हो रहे हैं भाई, multiply और ये ऐसा है, तो हमें आप पे, अब ये आगे solve भी नहीं होता है, तो मजबूरन मुझे अब कौन सा rule ही लगाना पड़ेगा, तो आसर है product rule ही लगाना पड़ेगा और पहले वाला सिम हो जाएगा, ठीक है, साइन x का होता है cos x, इंटू में हमारे पास cos x पहले से ही है और cos का होता है हमारे पास minus sin x और इंटू में हमारे पास sin x तो है तो यहाँ पे हमारे पास आ जाएगा cos square x minus sin square x अब मैं देखा जाए तो इसको आगे solve कर नहीं सकता हूँ कई बच्चे कहते हैं minus common ले लो तो 1 हो जाएगा ऐसा नहीं है minus है तो लेकिन साइन स्क्वेर एक्स प्लस कॉस्ट एक्स वन होता है तो ऐसा अभी हम इसमें कुछ और सॉल्व नहीं कर सकते हैं अब यार और कर भी रहे हैं मालों आप कहते हो कि मैं कॉस्ट क्वेर एक्स को वन माइनस साइन साइन एक्स डालूंगा पहले बात तो उससे कुछ हासिल नहीं होगा दूसरी बात अगेन अब वह फिर हम अलग गलत ट्राक तो यह हमारे पास कौन सा रूल होता है बच्चों प्रोडक्ट रूल अब आप सोच रहे होगे सब प्रोडक्ट रूल तो आगे आतो अब कौन सा रूल आएगा भाई डिविडेंट रूल अब डिविडेंट रूल क्या होता है जहां पर हम दो चीजों को आपस में डिवाइ� ठीक है, तो अब हम बात करते हैं product rule के बारे में, अब product rule के अगर बात करें, sorry dividend rule, dividend rule के अगर बात करें, तो हमारे पास rule number 9 आ रहा है basically है, और आप एक तरीके से कह भी सकते हैं कि ये आखरी formula भी है हमारे differentiation का, उसके बाद हम लोग पढ़ेंगे कि अभी जो differentiation हम लोग कर रहे हैं, फिर कभी कबार question में ऐसे भी बोल रखा होता है कि अगर हमारे पास जैसे कि इसी question में ले लेते हैं कि find differentiation of y square plus y cube for y is equal to 2 यानि y की value दे रखी होगी तो कुछ भी नहीं करना पहले जैसे differentiation करते हैं करना उसके बाद y की value को put कर देना है ठीक है जी चलो आओ differentiation को खतम करते हैं यह rule थोड़ा सा confusion वाला है, product rule में क्या था, पहले का differentiation दूसरे वाला same और दूसरे का differentiation पहले वाला same, लेकिन dividend rule में क्या है आओ तरह समझें, पहली बात तो दो चीज़े आपस में अगर divide हो रही होंगे, like m divided by n by dx, तो क्या करना होगा आपको, सबसे पहले तो formula में, आपको पहले वा क्योंकि यहाँ पे minus आने वाला है, इसमें क्या था, इस वाले root में plus था, तो हम पहले किसी को भी ले लें, उससे को फरक नहीं पड़ रहा था, लेकिन यहाँ पे numerator और denominator है, जिसको मैं उपर वाला और नीचे वाला बोलूंगा, तो उपर वाले का हमें करना है differentiation, और नीचे वा अब आप कहोगे सर formula तो बिल्कुल same है बस plus के बजा minus आ गया है तो नहीं क्योंकि इस पूरे के divide में नीचे यानि denominator का square भी आता है यानि पहले वाले का differentiation दूसरा वाला as it is same फिर उपर वाला नीचे वाला मतलब sorry उपर वाले का differentiation नीचे वाला exactly same minus नीचे वाले का differentiation उपर वाला exactly same and पूरे के divide में denominator नीचे वाले का square भी आएगा अब मैं इसके पर question कराता हूँ, हाँ आपको समझ में आ जाएगा, जैसे कि मान लो आता है, dx square by sin x का differentiation by dx, ठीक है जी, तो अब यहाँ पर पहले बात तो दो जीज़ा आपस में डिवाइड हो रही हैं, तो हमें लगाना होगा यहाँ पर dividend rule, कैसे लगेगा भाई, तो उपर वा minus नीचे वाले का differentiation और उपर वाला जो है वो same और divided by नीचे वाले का square आ जाएगा समझे आओ जी अब x का differentiation power आगे आ जाएगी power में से एक minus हो जाएगा और साथ में चलेगा हमारे पास sin x minus sin x का differentiation होता है cos x और साथ में चलेगा x square और divided by हमारे पास आ जाएगा sin2x, समझे? अब इस case में इसको थोड़ा बहुत जो हम solve कर सकते हैं वो है 2x sin x minus x square cos x divided by, नीचे आ जाएगा, sin square x, नीचे आ जाएगा, sin square x, तो ये हमारा dividend rule हो जाएगा, जिसमें हमें, उपर वाले का differentiation, नीचे वाला same multiply, minus नीचे वाले का differentiation, उपर वाला same multiply, divided by denominator का square करना, चीके, एक अगर सवाल और करें यहाँ पे, लाइक D मान लो आया 10X, अब आप सोच रहे होगे कि 10X को मैं कैसे सॉल्फ करूँगा, इसका तो के फॉर्मला नहीं दिया, तो क्या मैं 10X को sinX by cosX लिख सकता हूँ पहले तो मैस लगा के, और अब अगर मैं इसका differentiation करूँगा तो मुझे कौन सा rule लगाना पड़ेगा, तो answer है और denominator जो है वो as it is same, फिर minus denominator का, यानि नीचे वाले का differentiation करना है, और उपर वाला exactly same, और divided by cos, यानि denominator का square, अब अगर मैं इसको solve करता हूँ, तो यहाँ पे हमारे पा sign का आ जाएगा, cos x, into में cos का cos x, minus, cos का आ जाएगा minus sin x और into में आ जाएगा sin x और divided by हमारे पास आ जाएगा cos square x अब आप ये देखे रहे होंगे कि ये minus minus plus हो जाएगा और ये cos square x और sin square x हो जाएगा तो ये आ जाएगा cos square x plus sin square x जो कि 1 हो जाएगा और denominator में हमारे पास cos square x तो है अब क्योंकि ये 1 हो जाएगा उपर तो ये 1 upon cos square x हो जाएगा अब कॉस जो होता है आपको सबको पता है वो सेक का रेसिप्रोकल है तो यहाँ पे सेक स्क्वेर एक्स आ जाएगा तो कहने का मतलब सिरफ ये भी है कि 10x का डिफरेंसियेशन आप सीधा याद भी कर सकते हैं और मैफ्स में तो याद भी किया जाता है कि 10x का डिफरेंसियेशन चप्टर करा रहे होंगे तब ही कराऊंगा क्योंकि वो बहुत confused कर देगा आपको बिलकुल इससे अलग है तो अभी उसके पर नहीं बात कर रहे हैं और वो क्योंकि वो उसी formula में अपने आप ही समझ जाओगे जब हम work energy हैं पहुँचेंगे लेकिन ये हमारे पास 7-8 formula, 9 formula जितने भी हमने किये differentiation के formula हैं सारे formula को जल्दी से revise करो फिर मैं यहाँ पे कुछ mixed question दे रहा हूँ 5 से लेके 10 जितने भी बीच में और फिर उन सब को आपको वीडियो को pause करना है वीडियो को पॉज करके एक बार इक खुद से करना देखो, मैं चाहूँ तो यहाँ पे टाइमर लगा सकता हूँ, बड़ खामखा वीडियो बड़ी हो जाएगी, क्योंकि आपके पास पॉज, ये लाइफ सेशन तो है नहीं तो पॉज और प्ले का उप्षण है, तो मेरी हा� 3x square plus x plus 7 अच्छा जो हमने 2 के लिए किया था 3 के लिए भी वैसा ही होता है गबरामा जानना 3 terms अलग हो जाएंगे अब ठीक है न सेकिन्ट सवाल है dx square into cos x by dx थर्ड सवाल है D 3 by 2 x plus 4 x square by dx फोर्थ सवाल है, फोर्थ थोड़ा interesting है D under root x by dx पांचवा सवाल है D sin x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x कर दीजिए फिर इनके answer match करते हैं पहले दो सवाल है वीडियो को पॉस करक ओके, I hope आपने कर दिये हैं, दूसरा सवाल है, वीडियो को पॉस करके कर ये, ठीक है, I hope आपने कर दिये हैं, ये दो सवाल हैं, I hope ये भी पॉस करके आपने कर लिये हैं, फिर बोल रहा हूँ, अगर आप यहाँ पे जूड बोल रहे हैं, तो आप मेरे से नहीं बोल रहे हैं, या सिर्फ 12 में आएगा, अगर आपने साइंस ले लिये, तो अब तो ये आपके जीवन भर काम आने वाली चीज है, ऐसा तो है नहीं कि ये एक particular chapter है, जो अब काम आया, फिर आगे नहीं आया, ये तो ABCD जैसा है, जीवन भर काम आयागा, जब सीख लिया तो, हाना भाई, चलो तो यहाँ पे सबसे पहले इन सब को अलग-अलग करेंगे, तो D 3x2 by DX plus DX by DX plus D 7 by DX, अब इसमें क्या होगा, 3 बाहर आ जाएगा, और अंदर बच जाएगा x2, तो power आगे आ जाएगी, और power मेंसे एक minus हो जाएगा, फिर DX by DX 1 होता है, और constant का differentiation 0 होता है, तो answer आ गया 6x plus 1, चीके यहाँ पे लगाएंगे product rule, तो पहले वाले का differentiation आएगा, और दूसरे वाला same, फिर plus, दूसरे वाले का differentiation आएगा, और पहले वाला same हो जाएगा, अब x square का differentiation, power आगे आजाएगी, power में से 1 minus हो जाएगा, into में हमारे पास cos x तो है, अब cos का होता है minus sin x, तो sin x minus का हो गया, into में x square तो है, hardly आप इसको 2x, cos x, minus x square sin x लिख सकते हैं, चीके जी, तो यह हमारा answer हो गया बई, done है, तो आयोप अभी तो आपके दोनों सही हो, इसके बाद बहुत easy सवाल, again, दोनों को अलग-अलग कर देंगे, 3 by 2 x dx plus d 4 x square by dx, अब इसमें 3 by 2 जो है वो भारा जाएगा, और dx by dx जो अंदर बचेगा वो 1 हो जा अंदर x square बचेगा तो power आगे आ जाएगी, power में से एक minus, तो यहाँ जाएगा 3 by 2 plus में 8x, अब हमारी math कहती है कि variables को पहले लिखते हैं, order के respect से, power के respect से, तो 8x plus 3 by 2 लिखना थोड़ा तमीज वाली बात है, obvious ही बात है, इसकी भी पूरे marks हैं, पर ऐसे लिखना थोड़ा अच् तो पहले मैं इसको ऐसे लिख दूँगा कि बहुत या डी एक्स की पावर हाफ क्योंकि हमें तो पावर का फॉर्मुला आता है तो क्या है फॉर्मुला भाई पावर आ जाएगी आगे और पावर में से एक माइनस हो जाएगा तो हाफ पावर आ जाएगी आगे पावर में से half power का मतलब होता है divide में जाना, और half का मतलब under root भी होता है, तो कुल मिला के 1 upon 2, और नीचे हमारे पास 1 upon root x भी, ऐसे भी लिख सकते हैं, चाहो तो आप इसे यहीं पे भी छोड़ देते, बात कुल मिला के वही है, 1 upon 2 root x बात एक है, ऐसे ऐसे एक ही बात है, यह वाला जो सवाल है अगर आप differentiation वेगरा पहली बार कर रहे हैं तो यह वाला सवाल गलत हो सकता है और कोई बड़ी हैरान कर देने वाली बात नहीं है क्योंकि हमने under root वाला पहली बार किया बट अगर आपका अच्छी सही है तो बहुत खुशी की बात भी है यह ना ठीक है च फिर हमें 3x2 का differentiation करना होगा, और साथ में sinx same आजाएगा, अब यहाँ पे sinx का हो जाएगा cosx, और साथ में 3x2 तो चले गाए, और यहाँ पे 3 भार आ चुका है, और इसमें x की power 2 है, तो power आगे आ जाएगी, और power में से 1 minus, साथ में sinx तो चले रहा है, तो यह 3x2 cosx, और यह आ जाएगा 3 to 6x sinx, है तो यह हमारा आंसर हो गया भाई ठीक है जो कि आई होप सही हो एंड लास्ट बहुत ही सिंपल सब को अलग अलग कर देंगे चार टर्म्स हैं डी एक्स थ्री बाई टू की पावर डी एक्स अब ये तो अंडरूट एक्स वाला ही हो गया अब अगर ये अंडरूट एक्स वाला हो गया तो अब तो हम इसका फॉर्मुला याद भी हो गया तो हम सी� अब ये x की power half मत under root तो अब पीछे ही solve किया था, तो सीधा लिख रहा हूँ time बचाने के लिए कि 2 root x आ गया होगा, और यहाँ पे 1 आ गया होगा, अब यहाँ पे हमारे पास आ गया होगा 3 by 2, अब 3 by 2 में से 1 जाएगा, तो हमारे पास 1 by 2 बच जाएगा, यानि कि under root x बच जाएगा, और यहाँ पे 1 by 2 root x बच जाएगा, again वो maths है, तो यहाँ पे हमारा जो differentiation है basically वो समाप्त होता है, खतम होता है, अब इसका मतलब यह नहीं है कि differentiation सिर्फ यही आएगा, मैंने आपको पताया एक और होता है जिसमें कुछ भी नहीं है, मालो इनी questions में बोला हुआ है कि differentiation निकालो for x is equal to 2, तो जैसे आपने यहाँ पे इसको पहले find, d, find differentiation with respect to x for x is equal to, मान लो, 2, ठीक है, x is equal to 2 पे आपको इन सब को differentiate करना है, तो पहला सवाल है d, 4x की power 4 by dx, और दूसरा सवाल लेते हैं d, x square plus x by dx और तीसरा सवाल लेते हैं d under root x की power dx ठीक है जी इसमें से पहला वाला मैं अब देखो आपको कुछ भी नहीं करना जैसे अभी तक आप सवाल कर रहे थे वैसे ही करना है आपको इनका differentiation करना है differentiation करने के बाद जब differentiation हो जाएगा तो जहां पे आपके पास x बचेगा x की जगड़ उडाल देना तो पहली बात 4 तो बाहर आ गया और पावर x की 4 by dx हो जाती है अब यहाँ पे क्या होगा 4 बाहर आ गया अब dx की पावर 4 है तो क्या होगा बई पावर आगे आ जाएगी और पावर में से एक माइनस हो जाएगा तो 4 into 4 क्या हो जाएगा हमारे पास 16 x की पावर क्या जाएगा 3 अब यह हमारे पास आंसर आया है बट हमें तो x की जगा 2 भी डालना है तो अगर मैं x की जगा 2 डाल देता हूँ, तो 2 का हमारे पास क्या हो जाएगा, 2 to 4, 4 to 8, तो 16 into 8, जो भी अब आपका इतनी मैस मत कराओ, जो भी answer आएगा, वो यहाँ पर आजाएगा, कहने का मतलब यह है, कि अभी तक हमारे पास answer variable form में आ रहे थे, अब हमारे पास वो एक value के form में आएगे, because जहां जहां x बचेगा, जल्दी से यह दो सवाल करके answer जो है वो लिख दो, again वीडियो को pause कर लो, लेकिन यह answer करने है, ठीक है? ये x square है अगर ना दिख रहा हूँ in case तो, ये x square है भाई, चीके, तो I hope आपने वीडियो को pause करने के बाद ही इसे करना start किया है, चीके आओ, अब इसका अगर answer देखें यहाँ पे, तो पहले तो हमने dx square by dx plus में dx by dx किया होगा, अब dx by dx तो 1 हो गया, इसमें power आगे आगे होगी अब अगर मुझे x की जगा 2 बोला हुआ है, तो जहां जहां मेरे पास x है, वहां वहां मेरे डाल दूँगा, तो 2 x 2, 4 plus 1, 5 हो गया, ठीक है जी, पिछले वाले question का अगर score नहीं लिखा है, तो please लिख दो यार, मुझे idea होगा, क्या आपने 6 में से कितने से ही किये, और यहां आपसे कोई ये नहीं पूछ रहा है कि differentiation कैसे आया भाईया, हमें तो इस differentiation का physics में इस्तमाल करना है, बूलो मत, तो जहां जहां x है वहां वहां पे हमें क्या डाल देना है, 2, तो बस यहां पे answer 1 upon 2 root 2 आ जाएगा, चीक है ये, simple है, तो ये हमारे पास differentiation जो है वो खतम होता है, त हमें कितनी देर लगी है, मैं एक बार वीडियो की लंबाई अगर जाके देखूं, तो लगबग लगबग हमारे पास 40 मिनट के आसपास, 40 मिनट, लगबग 40 मानलो 45 मानलो मिनट के आसपास ये वीडियो ह इससे कम समय जाकर हमें लगेगा integration में और बस integration का मतलब समझने में मैं 10 मिनट लगेंगे तो क्योंकि वो physics में उसका मतलब है कुछ तो उसका मतलब समझने में 10 मिनट लगेंगे बट वैसे आदा घंटा में काम हो जाएगा टोटल को टोटल टोटल तो क्योंकि integration बहुत सिंपल है बड़ा को मैं फैक्स पता दूं 12 का जो integration है उसको रात को गंदा के अंदर सपने आते हैं वो इंटेग्रेशन के ही आते हैं वो जब अच्छा सोता नहीं है तो मां बोलती है बिटा सोजा वरना इंटेग्रेशन चेप्टर आ जाएगा बिटा मतलब बहुत ही ज्यादा मतलब एक और चेप्टर के तरह और मूवी के तरह इंटेग्रेशन बारा एक्साइज ट्विल्थ में हर एक्साइज में तीन से लेकर दस उससे भी जाबरा कहीं कहीं में फॉर्मले लग रहे हैं और बेंतिहाम मतलब कोशिशन है उसके अंदर मिस्ले पर हमें integration के सिरफ 5-6 formula पढ़ना है, यह जादा ही बोल रहा हूँ और उससे हमारी पूरी 11-12 की physics निपड़ जाएगी, लेकिन उससे पहले मेरी request है कि आप धंग से एक बार differentiation को पढ़ लिजे, फिर integration पर चलते हैं, चलिए ठीक है जी आगे बढ़ते हैं और बात करते हैं अब integration की अब integration जो है basically वो differentiation से आप एक तरीके से कह सकते हैं उल्टा ही है बिल्कुल कह सकते हैं कि integration differentiation से एक प्रकार से उल्टा है बट मैंने आपको इन पताया भी था कि हम integration को शुरू करने से पहले थोड़ा सा समझेंगे integration के बारे में हमने differentiation के बारे में जादा नहीं समझा बस ऐसे बोला कि ये एक ऐसा mathematical tool है, जो बहुत चोटे-चोटे changes को calculate करता है, but actually मैं integration, अच्छा differentiation और क्या-क्या करता है, ये तो आपको समझ में आया का जब हम physics में गुजेंगे, but integration अपने आप में एक बहुत interesting tool है, पहले मैं इसके definition लिखता हूँ, फिर मैं आपको बताता हूँ ये है क्या है, तो a mathematical tool, which helps us to add infinite number of terms या फिर आप कह सकते हो or helps us to add इनफानाइट पार्ट्स आफ आज जुनिट अब इसका क्या मतलब है पहली बात थोड़ा सा याद करेंगे बच्पन के दिन कि अगर हमारे पास मान लो मैं आपको ऐसे बोलूं कि फ्रॉम वन टू हंड्रेड सारे प्राइम नंबर्स को ऐड करो या लोगा तो वहाँ पे आप जो चीज इस्तमाल करते हो उसको हम लोग बोलते थे summation जहाँ पे हम कुछ finite चीजों को add करते हैं अगर मैं बोलूं आप अपने घर के अंदर जितने भी लोग हैं उनके वजन को add करो तो वो summation है because आप कुछ finite कुछ known चीजों को add कर रहे हो अगर मैं बोलूं infinite चीजों को add करो तो उसके लिए integration इस्तमाल में आता है अब आप सोच रहे होंगे कि infinite चीजों होती के हैं देखो जो हुशियार बच्चा है वो मेरे बात को ध्यान से सुनियेगा सभी ध्यान सुनियेगा इस बात थोड़ी घेरी है वो गहरी बात समझने के लिए सोच घेरी होनी चाहिए अलबर्ट आइंस्ट्रेन जी का कहना था कि दुनिया में कोई भी चीज इनफानाइट नहीं है सिवाई यूनिवर्स के और इनसान की स्टूपिडिटी के या इनसान की सोच के कहलो अब अगर मैं आपसे पूछू कि या दुनिया में एक समुदर में पानी की बूंदे कितनी है और अगर आप कह रहो कि वो इनफानाइट है तो देखा ज इनफानाइट नहीं होगी वो फाइनाइट होगी वो अलग बात है कि हम गिन नहीं पाएंगे अगर मैं आपको ऐसा बोलूं कि आप एक ड्रॉपर मैं बारिश को रोक दूँ मैं इवापरेशन को रोक दूँ और मैं बोलूं कि पानी की ड्रॉपर लो और समुदर से पानी की बूंदे कैलकॉलेट करना शुरू करो तो यह पॉसिबल है आप मेरे बात को समझना हम उन्हें गिन सकते हैं तो फिर इंफानाइट क्या है माल लेते हैं यहाँ पे A से लेके B तक की एक लंबाई है ठीक है ना बिटर यह जो मैं आपको समझा रहा हूँ ना यह आपको याद दिलाएगा जब हम integration कर रहे होंगे physics में कि हमें कहाँ पे integration करना है और कहाँ पे नहीं करना है ठीक है तो यह ना A से लेके B तक की एक लंबाई है और यह total लंबाई आपको X दे रखी है ठीक है यह total लंबाई आपको X दे रखी है अब इस total लंबाई के अंदर मैंने यहाँ पे एक छोटा सा तुकडा ले लिया है DX I hope आपको पता हो यह जो dx तोकड़ा मैंने लिया है, यह infinitesimally small है, यानि कि अगर आपको पता हो, यह जो dx है, वो tens to zero है, यानि कि अगर आपको पता हो, यह dx जो है, वो बहुत जादा चोटा है, कितना चोटा है, तो आज आपकी सोच से भी चोटा है, आप जितना भी सोचा, सोचा, आप जितना क्या 0.000000000000001 है तो answer रही है उससे भी छोटा है तो अगर आप 0.0 के बाद 0 बोलते रहो बोलते रहो और 1 साल, 2 साल, 5 साल, 20 साल, 50 साल तक बोलते रहो उसके बाद अगर आप 1 बोलोगे तो उससे भी छोटा है तो answer रही है infinite decimal small है यानि ये लगबग लगबग 0 है पर 0 भी नहीं है इनको हम बोलते हैं बहुत छोटे changes या बहुत छोटा element dx infinite decimal small ठीक है जो की small changes में पीछे बाद भी की थी अब आप मुझे बताओ अगर मैं इस A से लेके B तक की लंबाई के दो हिस्से करता चीके ना तो यहाँ पे X by 2 आता और यहाँ पे X by 2 आता दो हिस्से आते अगर मैं यहाँ पे X by 3 के हिस्से करता तो तीन हिस्से आते X by 4 के हिस्से करता तो चार हिस्से आते और ऐसी X by 5 के हिस्से करता तो पांच हिस्से आते लेकिन और उन सब को आड़ करता तो उसको मैं बोलता समेशन लेकिन यहाँ पे मैंने जो तुकड़ा किया है वो जो DX है वो इतना चोटा है अब आप मुझे comment section पर timestamp, timestamp के हिसाब से पताओ comment section में, ऐसे dx कितने होंगे, a से लेके b तक, a से लेके b तक ऐसे कितने dx जो हैं, वो आपको मिलने वाले हैं, तो answer है infinite dx मिलने वाले हैं, कि नहीं, I hope आपने comment section पर लिखा हो, infinite dx मिलने वाले हैं, a से लेके b तक, अब अगर a से लेके b तक infinite dx आपको मिलने वाले हैं, तो ये सारे के सारे, डी एक्स को एड करने अगर यहां पर चार पांच दिए एक्सी होते तो याद करो मैं यूज करता यह वाला सिंबल यानि कि समेशन बट क्योंकि यहां पर इनफानाइट नंबर आफ डी एक्स है इनको एड करने के लिए हम यूज करते हैं इंटीग्रेशन तो पहले तो समझो उनको add करने के लिए मैं एक नए mathematical tool का इस्तमाल करूँगा जिसका नाम है integration अब इसका मतलब यह कि अगर मैं dx का integration कर रहा हूँ मतलब a से लेके b तक जितने भी dx हैं उनको मैं सबको add कर दूँगा तो I hope आप इतना समझ रहे हों कि मुझे x मिल जाएगा dx, dx, dx, dx सारे add कर दूँगा तो मुझे x मिल जाएगा समझे ना तो यह देखा जाता है एक formula भी आ गया और हमने formula समझ भी लिया बिलकुल इसी प्रकार मान लो अगर यहाँ पे यह एक sheet है जिस पूरी sheet का जो area है वो a है अब मैंने यहाँ पर एक छोटा सा एक area element ले लिया da again ध्यान रखा है यह जो da है वो tends to 0 है मतलब again यह लगभग लगभग लगभग लगभग लगभग लगभग 0 है बट 0 है नहीं ठीक है न यह बात ध्यान रखने है अब अगर मैं यह सारे के सारे da जो है वो add करना चाहता हूँ तो मुझे integration इसे कैसे पढ़ेंगे integration of dx इसे कैसे पढ़ेंगे integration of da तो अगर मैं सारे चोटे-चोटे डीए डीए डीए एड कर दूंगा तो मुझे ए मिलेगा बास मुझे आई तो यहां पर हमने समझा कि इंटीग्रेशन का यूज क्या है इस्तेमाल क्या है तो इंटीग्रेशन का इस्तेमाल कर दिया जाता है टू एड इनफानाइट चीजें इनफानाइट टर्म्स इनफानाइट पार्ट्स ऑफ यूनिट इनको ऐड करने के लिए वह यूज इंटीग्रेशन चीजें अब जैसे कि मैच मैच ने हमें डिफरेंटिशन के फॉर्मले दिए ऐसी मैच ने हमें बहुत सारे इंटीग्रेशन के भी अ फॉर्मुले दिए जिनको आओ हम यहाँ पर देख लेते हैं और अगेन पिछली बार की तरह डिफरेंसेशन की तरह एक-एक फॉर्मुला पढ़ेंगे और एक-एक फॉर्मुले के कुछ-कुछ कोशिन्स करते चले जाएंगे ठीक है जी तो पहला फॉर्मुला हमारे पास आ तो वहाँ पे उपर क्या था, dx की power n upon में dx, तो नीचे वाला dx यह कह रहा था कि हमें x का differentiation करना है, यहाँ पे यह वाला dx कह रहा है कि हमें x का integration करना है, इसे कैसे पढ़ेंगे, integration of x की power n, for dx, इंटिग्रेशन of x की power n for dx, अब इसमें जो formula है, वहाँ पे formula क्या था, power आगे आ जाती थी, power में से एक minus होता था, यहाँ पे क्या है, power में एक add होगा, power में एक add होगा, और वही power जो है, वो divide में चली जाएगी, समझे क्या, पहली बात तो integration कर दिया, तो integration का sign भी अड़ ग तो x की power n का integration क्या होगा power में एक add हो जाएगा और वो ही power नीचा आ जाएगी differentiation में power आगे आ रही थी power में से एक minus हो रहा था अच्छा हो इसके उपर कुछ सवाल करते हैं इसको समझने के लिए जैसे की मान लो आया integration of x square dx तो कैसे करेंगे भाई again x है तो power में एक add कर देंगे और वो ही power नीचा आ जाएगी तो answer आ जाएगा x cube अपन 3, answer आ जाएगा x cube अपन 3, समझे न answer आ जाएगा x cube अपन 3, power में एक add कर देंगे और वो ही power जो है वो नीचे आ जाएगी, समझे न इसके बाद, अगर b part की बात करें भाई, तो एक और सवाल करतें like, आया मालो x की power minus 3 dx ठीक है जी, तो क्या करेंगे, again वो ही, power में एक add कर देंगे, और वो ही power जो है वो नीचे आ जाएगी तो x की power minus 2 upon में minus 2 अब इसके साथ खेलना है तो खेल लो like minus चला जाएगा उपर तो x आजाएगा नीचे तो minus 1 upon 2 x की power square मतलब वो तो फिर यार maths के साथ खेलना होगे ठीक है ऐसे ही अगर मैं बोलूं मान लो d m की power 3 by ओहो ये तो मैं differentiation की भावनाओं में चला गया sorry integration of m की power 3 by 2 d m समझे ना, अगर यहाँ पे M है तो वहाँ पे भी M हो का जैसे differentiation में था, ठीक है जी, तो यह आपको ध्यान में रखना होगा, ठीक है, अब इसका आंसर क्या होगा भाई, तो आंसर है, power में एक add कर देना है आपको, और वो ही power जो है, वो नीचे आ जाएगी, तो 3 by 2 में एक add करेंगे तो 5 by 2, तो M की power 5 by 2, और divide में भी क्या है, 5 by 2, 2 चला जाएगा उपर तो आ जाएगा 2m 5 by 2 upon में 5, अब वो तो फिर हम जितना मरजी खेलने इसके साथ यह answer है, ठीक है, तो वहाँ पर क्या formula था, power आगे आती थी, power में से 1 minus, यहाँ पर क्या है, power में एक add होगा और वो ही power divide में चली जाएगी, ठीक है, इसके बाद third formula पर चले और साथ में कुछ जिसका हमें इंटिग्रेशन करना है वो है तो constant जो है वो भार आ जाएगा बिलकुल सेम फॉर्मला जो constant है जो constant है वो भार आ जाएगा और अंदर x की पावर n dx बचेगा जो constant है वो भार आ जाएगा और अंदर x की पावर एहा अब इस खेल में क्या करेंगे constant जो था वो differentiation के बाहर आ गया था, constant जो था वो differentiation के बाहर आ गया था, अब अगर यहाँ पे बात करें तो मालो 3x square dx है मालो, ठीक है, तो सबसे पहले constant जो की 3 है हमारा उसको बाहर ले लेंगे, ठीक है न, 3 को हम बाहर लेंगे, और यहाँ पे बच जाएगा x square dx, ठीक है, अब इसके बाद यहा� और वो ही power नीचे आ जाएगी ठीक है ना power में एक add हो जाएगा और वो ही power जो है वो नीचे आ जाएगी तो कुल मिला के 3 x की power 3 upon 3 आ जाएगा क्या 3 से 3 cancel हो जाएगा yes तो answer x cube आ जाएगा समझ गए ठीक है हो सकता आपके मन में एक सवाल हो अभी कि सिरफ constant होगा तो क्या होगा ठीक है जैसे वहाँ पे constant का differentiation 0 था यहाँ पे constant का integration 0 नहीं होता, ठीक है, पताता हूँ कैसे, चलो, पर अभी के लिए मान लो आया, d 4 by 3 x की power मान लो आया, 7 dx, ठीक है जी, ऐसे मैं कुछ भी ले रहा हूँ, ठीक है, तो 4 by 3 integration के बाहर आ गया, अंदर बज गया, x की power 7 dx बज गया, ठीक है जी, अब formula लगा दिया, x और वो ही power नीचे आगे ठीक है ना अब इससे ये cancel होता है तो ये मेरे पास आ जाता है 1 by 2 तो 6 तो x8 x8 पावर 8 है और नीचे आगे हमारे पास 6 समझ गई न इसको इससे काटा 2 आगे 3,2,6 तो यह हमारे पास आंसर हो जाता है लेकिन अगर आपके मन में यह सवाल चल रहा है कि अगर अकेला कोई constant हुआ तो क्या होगा तो कुछ भी नहीं है 3 भार आ जाएगा अब अकेले dx के लिए formula हमारे पास 1 वाला आ जाएगा अकेले dx के लिए x हो जाएगा तो इसका मतलब है आंसर 3 अकेले dx के लिए x हो जाएगा तो 3x हो जाएगा हम अकेले constant का भी integration जो है वो कर सकते हैं, तो हमने यहाँ पर तीन formula पड़े, चोथा formula और पाँचवा formula आपको थोड़ा बहुत वो ही feel देगा, आओ देखो, जैसे कि fourth formula है, integration of sin x dx जो है, वो क्या होता है, वहाँ पर sin x का differentiation क्या था, याद करेंगे cos x, यहाँ पर sin x का integration है minus cos x, मत उल्टा हो गया, समझ गया, इसे ऐसे ही अगर मैं बोलूं, integration of cos x क्या हो जाएगा, तो वहाँ पे था minus sin x, लेकिन यहाँ पे है sin x, अब इतिहास गवा है कि बहुत सारे बच्चे exam में इसे उल्टा कराते हैं, यार देखो human nature भी, ऐसी बात नहीं है, बहुत सारे teacher से भी, मुझ कि प्लस माइनस का ही फर्क है बाकी मतलब उल्टा ही है तो इसलिए कहीं ना कहीं वह माइंड में डिफरेंसिएशन चल रहा होता है क्योंकि जूत नहीं बोलूंगा हमारे फिजिक्स में डिफरेंसिएशन का ज्यादा इस्तेमाल होता है थोड़ा वहाँ पर कॉस का माइनस साइन था यहाँ पर साइन हो जाएगा यह बात ध्यान रखेगा ठीक है जी अब यहाँ पर मैं सिक्स इसके ऊपर तो क्या है कोशिशन कराऊंगा सीधा ही है अब हम यहाँ पर सिक्स फॉर्मुला करते हैं और एक बार ही और सिक्स फॉर्मुला करते ह आपको product rule और dividend rule की कोई ज़िरूबत नहीं पड़ेगी, मैंने आपको पताया था कि मैं आपको वो वाले integration, differentiation सारे करवा दूँगा, जो आपको पूरी 11-12 में इस्तमाल होंगे, एक chain rule मैंने आपको पताया differentiation में, जो हम work energy में करेंगे, और एक integration है, जिसका मैं आपको formula पर लिख अब अभी मैंने कल एक वीडियो अपलोड की थी इंस्टाग्राम पर तो उसमें बच्चे ने मुझे डीएम भी किया था उस वीडियो से रिलेटेड कि सर एक बार लॉग एंटी लॉग की भी क्लास ले लीजियेगा तो मैंने उसको रिप्लाई भी किया कि यार देखो क्या है लॉग एंटी लॉग ना अब क्या है अब हमारे जो बोर्ड्स हैं उनमें लॉग एंटी लॉग की वेल्यू सीधा गिवन आती है तो अब लॉग एं लेकिन पहले हम chapters जो है वो शुरू करेंगे इस वीडियो के बाद ठीक है जी तो sixth formula हमारे पास again अगर हमारे पास m है और plus में n है या फिर उनके बीच में minus है तो हम उसे differentiation की तरह यहाँ पे भी अलग-अलग कर सकते हैं बिल्कुल यानि की m dx को मैं अलग कर सकता हूँ plus minus integration of n dx को मैं अलग कर सकता हूँ अगर हमारे पास plus minus है तो हम integration और differentiation को अलग-अलग कर सकते हैं, आओ इसके उपर कुछ सवाल कर लेते हैं, चीके जी, चले, तो इसके उपर कुछ सवाल कर लेते हैं, लाइक पहला आया हमारे पास x square और minus x cube और साथ में आया dx, तो x square dx अलग हो गया, minus x cube dx अलग हो गया, अब x square, तो x की power 2 है, तो पावर में एक एड होता है और वही पावर नीचे आती है, मैं स्टेप्स खा रहा हूँ भीरे भीरे, बिकॉज अब आपको प्रैक्टिस हो रही होगी, ऐसी x क्यूब है, तो पावर में एक एड हो जाता है, प्लस माइनस है, तो आप इन्हें अलग-अलग कर सकते हो, चीके, जैसे कि मानलो आया, integration of sin x plus cos x dx, ठीक है अब इस केस में क्या करेंगे तो आंसर पहली बात तो हम इसे अलग-अलग कर सकते हैं ठीक है पहली बात तो इसे हम अलग-अलग कर सकते हैं एक बार रुकना यार बच्चे थोड़ा सा श हाँ बठा घर में वीडियो रिकॉर्ड करने का ये एक चोटा सा नुकसान तो होता है बठ कोई बात नहीं बच्चे हैं चंचल हैं ठीक है अब हम यहाँ पर क्या कर सकते हैं बताओ भाई यहाँ पर हमारे पास पहले बात तो sin x plus cos x है तो यहाँ पर मैं sin x dx लूँगा और यहाँ पर plus है तो फिर इसको मैं अलग-अलग कर सकता हूँ cos x dx लूँगा अब sin x का जो integration होता है वो minus cos x होता है क्योंकि मैंने इतने confidence से बोला है कि बच्चे गलत करते हैं पर आणे बोला है teacher भी गलत करते हैं और cos x का integration हमारे पास sin x हो जाएगा तो इसको मैं क्या लिख सकता हूँ sin x minus cos x लिख सकता हूँ ठीक है जी तो यह हमारा integration हो जाएगा ठीक है तो ऐसे मतलब कोई भी plus minus हो तो हम उससे ऐसे करके solve कर सकते हैं अब देखा जाए तो हमारे पास यह formula है जिससे हमारा पूरा 11-12 निपट जाएगा बट एक formula और है एक formula और है जो कि थोड़ा अजीब sound करेगा क्योंकि उसमें log आता है बड़ उससे पहले मैं आपको ना एक task देता हूँ ऐसा करो अगर हमारे पास x की power minus 1 dx है पहली बात तो x की power minus 1 dx का मतलब होता है 1 upon x dx हाना बई x की power minus 1 dx का मतलब होता है 1 upon x dx कि अगर मैं आपको बोलू कि इसका integration करो तो कैसे करोगे आपके पास पहला वाला formula है पावर में एक एड करना है वही पावर नीचे आ जाएगी ठीक है तो जल्दी से ऐसा करो आप इसे एक बार अपने रेजिस्टर में जाओ रफ में जाओ जहां बर्दी जाओ जहां पे अभी आप हो उस पे काम करके और जल्दी से मुझे बताओ कि इसका आंसर क्या आएगा ज तो सॉल्व कर लो बड़ा राम से कोई जदवाजी नहीं ठीक है तो अगर आपने इसको सॉल्व किया होगा तो आपको एक प्रॉब्लम देखने को मिली होगी आपको और प्रॉब्लम यह देखने को मिली होगी कि जब मैं इसको सॉल्व कर रहा है तो फॉर्मला के पावर में एक add होता है और वो ही पावर निचा आ जाती है तो maths के हिसाब से जब निचे 0 आता है तो वो not defined होता है ना भाई maths के हिसाब से या किसी के भी हिसाब से जब निचे 0 आता है तो वो not defined होता है अब सवाल यह उठता है कि जब हमने actually में x की power minus देखो x की power minus 1 means 1 upon x ही ना अब ऐसा तो हो नहीं सकता कि 1 upon x को मैं add कर रहा हूँ और answer not defined आ जाएगा मतलब practically ठीक है, formula wise यह आ रहा है, इसका मतलब यह था, कि यह जो formula हमने पीछे use किया, कि भी आ power में एक add कर देता है, वो एक power नीचे आ जाती है, यह formula हर जगा valid था, लेकिन यह formula इस वाले case में valid नहीं था, यही कारण बना, कि हमने इसके लिए एक नया formula खोजा, नया formula महान लोगों ने कि x की power अगर सिरफ minus 1 में है dx या 1 upon x जो की बात एक ही है तो इसके लिए एक नया integration होता है एक नया function होता है और उसको बोलते है log base e x अब आप मुझसे अभी फिलाल ये नहीं पूछ रहे हैं ये अपने मन में ये सवाल भी लेके नहीं आ रहे है कि ये log base e क्या होता है क्योंकि again अभी मैं आपको log anti-log सिखाने के मकसद से इस वीडियो में नहीं आया हूँ जैसे maths में sin theta, cos theta कुछ trigonometric functions होते हैं ऐसी maths में logarithm functions होते हैं, log, base e, log, base 10, anti-log, ये सब कुछ log के functions होते हैं, तो उन मेंसे एक होता है log base e, तो यहाँ पे जो 1 upon x का, या x की पार minus 1 का जो integration होता है, वो log base ex होता है, अभी के लिए सिर्फ इतना, जब भी इसकी जुरूत पड़ेगी, पूरी 11th में इसकी n, c, e, r, t के हि इस साल शायद हो सकता है डिलीट भी हो गया क्योंकि बहुत सारे कोशिशन डिल तो कहने का point यह है कि जब हम log anti-log सीख रहे होंगे तब आपको शायद समझ में आ जाया कि log anti-log क्या होता है अब सोचो ना अगर आपने मानो trigonometry ना की होती तो sin x क्या होता है आपको पता ही ना होता और sin x का integration minus cos x आता है यह आपको समझ में ना आ रहा होता बिल्कुल ऐसा ही है लेकिन आज आ रहा है कि sin और cos आप जानते हो बिल्कुल ऐसे log एरिथम आप बाद में जान जाओगे ठीक है अब अगर आगे बात करें तो यह तो हुआ हमारे पास integration पहले बात तो integration खतम हो गया अगर मैं time stamp को minus करूँ, तो 20 से लेके 25 मिनट के अंदर हमने integration खतम किया, लेकिन integration अभी खतम वैसे नहीं हुआ, formula सारे हो गए हैं, लेकिन एक और integration होता है, जिसको हम finite integral भी बोलते हैं, finite integral बोले तो हमें integration में finally कोई value चाहिए होगी, तो यहाँ पर थोड़ा सा ध्यान देना है, क्योंकि यह finite integral differentiation से थोड़ा सा अलग है, finite integral, आप finite integral क्या चीज़ है आओ जड़ा समझते हैं अगर मैं आपको ऐसे बोलू कि कोई नया formula नहीं आएगा integration of x square dx करो तो आपको पता ये क्या करना है power में एक add करना है और वो ही power नीचे आएगी लेकिन integration में limit भी होती है कि मुझे कहां से कहां add करना है कि अगर मैं integration कर रहा हूँ तो integration की limit होते हैं, जैसे कि मैंने यहाँ पर dx add किया, लेकिन कहां से कहां तक मुझे a से लेके b तक सारे dx add करने है, तो इसको हम limit कहते हैं, क्योंकि बईया ऐसे तो मैं कहीं तक भी add करता जाओंगा, तो मुझे कहां तक add करना है, इसको हम limit कहते हैं तो x square dx को अगर मुझे माल लो add करना है, 0 से लेके 2 तक, तो इसका मतलब क्या है, कि मुझे 0 से लेके 2 तक इसका integration करना है, तो इससे कैसे answer बदलेगा तो पहली बात जो नीचे लिखा हुआ है उसको बोलते हैं lower limit और जो उपर लिखा हुआ है उसको बोलते हैं upper limit पहले तो यह ध्यान रखना ठीक है कुछ नहीं करना है normal जैसे आप integration करते हैं वैसे कर देना है x की power 2 है तो power में एक add हो जाएगा और वो ही power जो है वो नीचे आ जा तो आपको जहां जहां पे आपके variable यानि कि x आया है वहां वहां पे पहले आपको अपनी upper limit डालनी है फिर minus lower limit डालनी है मतलब जैसे ही x है तो x के जगा पहले मुझे अपनी upper limit यानि 2 की power cube by 3 पहले मुझे अपनी upper limit डालनी है minus फिर x के जगा मुझे 0 और फिर मुझे अपनी lower limit डालनी है पहले मुझे अपनी upper limit डालनी है और फिर मुझे अपनी lower limit को वहाँ पे डालना होगा, अब अगर मैं ऐसा करता हूँ upper limit minus lower limit करता हूँ तो इससे मुझे क्या मिलेगा आवज़रा समझे जैसे यहाँ पे 2 की power हमारे पास 3 है, तो 2 की power 3 में कितना आ गया 8 by 3 कितना आ गया 8 by 3 minus यहाँ पे हमारे पास कितना आ गया 0, दुबारा बोलता हूँ, यह समझ में आ गया x square है, तो power में एक add किया अब हमें क्या करना है, x की जगा upper limit, यानि कि 2 डाल दिया minus x के जगह lower limit यानि की 0 डाल दिया, तो इससे जो मुझे answer मिला, वो मिला मुझे 8 by 3, तो अब मुझे जो answer मिल रहा है, अभी अगर ये limit ना डाली होती, तो आप सबको पता है, कि जो answer मेरे पास आता, वो सिरफ आता क्या बच्चो, x cube by 3, मेरे पास 8 by 3, एक finite answer आ रहा है, अरे यार बड़ा simple है, 4 x cube dx, और आपको इसे integrate करना मान लो minus 1 से 1 ठीक है ना यानि minus 1 इसकी lower limit है और 1 इसकी upper limit है तो इसकी integration में पहली बात तो 4 जो है वो भार आ जाएगा अब 4 अगर भार आ गया तो x की power क्या है भाई 3 है तो power में एक add होगा और वो ही power नीचे आएगा और limit आएगी minus 1 से 1 ठीक है ना अब इसके बाद हमारे पास पहली बात तो 4 से 4 cancel हो जाएगा तो क्या बच जाएगा अंदर x की power 4 बच जाएगा और limit क्या आएगी है मैं आपा minus 1 से 1 अब जहां जहां पे x है पहले मुझे upper limit डालनी है यानि कि 1 की power 4 minus जहां जहां पे x है मुझे अपनी lower limit यानि कि minus 1 डालना है 4 अब आप मुझे पता हो यह आगे मेरे पास 1 और यह आगे मेरे पास 1 तो 1 minus 1 कर दिया तो answer मेरे पास 0 यानि कि 0 आगे तो कुछ भी नहीं करना बस अब आपको upper limit minus lower limit ऐसे खेलना है, upper limit minus lower limit, upper limit minus lower limit करना है, ठीक है, आओ एक trigonometric function का भी रिलेपे हैं, माल लो आया integration of cos x dx, अब क्योंकि यह cos theta है, तो अब वैसे बात है, यहाँ पर जो limit होगी, वो degree में होगी, यानि कि 0 degree से मान लवाया 30 degree, ठीके, तो क्या करेंगे, पहले cos x का integration क्या हो जाएगा, cos x का integration हो जाएगा, sin x, cos x का integration हो जाएगा, sin x, और limit आ जाएगी 0 degree से 30 degree, इसका मतलब, जहां जहा और जहां जहां पर x है वहाँ पर lower limit यानि कि 0 डिग्रेट लगेगा, अब sin 30 की जो value होती है, वो 1 upon 2 होती है, और sin 0 की value 0 होती है, तो answer 1 upon 2 आ जाएगा, तो समझ ना ऐसे, कुछ भी नहीं है, same integration पहले जैसा ही है, बस अब upper limit minus lower limit जैसे वो हो गई, ठीक है, तो 5 सवाल मैं आपको होंगे हमारे normal और कुछ finite integral, और फिर उनके answer match करते हैं, और finally session को यहाँ पे हम खतम करते हैं, ठीक है जी, तो 5 सवाल मैं आपको यहाँ पे solve करने के लिए दे रहा हूँ, तो सबसे पहला सवाल आया, integration of मालो आया 7x की power 6 dx, यह पहला है, दूसरा आया हमारे पास, x cube plus x square, प्लस x प्लस 7 dx ठीक है जी इसके बाद तीसरा आया integration of sin x प्लस cos x प्लस 3x dx और चौथा आया ये last भी है x की पार 6 dx माइनस वन से प्लस वन ठीक है जल्दी से ये चारो के चारो कर लो और वीडियो को पॉस्ट करके करना क्योंकि मैं तो यहाँ पे शुरू कर दूँगा तो वीडियो को पॉस्ट करो ये चारो सवाल करो पहले ये दो करो कर लिया है हो अब ये दो करो वीडियो को पॉस् तो आई होप ये चारो सवाल आपने करें उसी के बाद वीडियो प्ले की है भाई क्योंकि ये आखरी चार सवाल है तो आई होप ये मानदारी सा आपने पूरा काम किया होगा तो यहाँ पे पहली बाद तो 7 भार आ जाएगा फिर हमारे पास x की power 6 है तो power में एक add हो जाएगा plus integration of x square dx, plus integration of x dx, plus integration of 7 dx, अब यहाँ पे x cube में x की power 3 है, तो power में एक add होगा, वो ही power नीचा आएगी, plus x की power 2 है, power में एक add होगा, वो ही power नीचा आएगी, plus x की power 1 है, तो power में एक add होगा, वो ही power नीचा आएगी, क्योंकि x की power 1 है ना, और 7 है, तो 7 बाहर आएगा अंदर dx बच जाएगा तो 7x तो यह answer आजाएगा simple integration तो मुझे लगता है आपके यह सोच है comment section बताना integration differentiation से बहुत easy है मतलब जो हमें physics में पढ़ना है आगे जाके जो मज़ा आता है जीवन में वो अलग है ठीक है तो आप पूरा करना sin x का हो जाएगा minus cos x और cos x का हो जाएगा sin x 3 भार आएगा तो x का power में एक add हो जाएगा और वही power नीचा आएगी, यह answer आएगा, अब यहाँ पर अगर मैंने integration किया होगा, तो यहाँ पर power में एक add और वही power नीचा आग़े होगी, power में एक add वही power नीचा आग़े होगी, और limit आग़े होगी, minus 1 से 1, ठीक है, अब यहाँ अब x की जगा मुझे डालना है minus 1 इसकी power 7 by 7 ठीक है ना अब यहाँ पर अगर देखें तो यह में पास आ जाता है 1 by 7 अब क्योंकि 1 minus 1 की power odd है तो वो minus 1 ही रहेगा तो minus minus plus 1 by 7 तो which is 2 by 7 हमारे पास answer हो जाएगा तो point है इसकी integration जो है वो कहीं ना कहीं उल्टा है वो infinite चीज़ों को add करता है और differentiation ने आप छोटे छोटे तुकड़े करके उनको changes को calculate किये अब क्योंकि हमारा integration और differentiation मुझे लगता है पूरा हो गया I hope अब आपके कोई doubt नहीं होने चाहिए इन चार में से आपने कितने सही किये comment section में ज़रूर पताईएगा और अब हम wait कर रहे हैं motion in a straight line के one shot का units and measurement का जो पढ़ाई है मैंने यहाँ बहुत अच्छे से चार लेक्चर, पांच लेक्चर में कराई है, आप वो जाकर देख सकते हैं, motion in a straight line से हम लोग शुरू करेंगे, मैं आपको पहले बता दू, यह जो series होगी, वो experimental series होगी, लेकिन motion in a straight line और plane में जाधा कोई experiments है नहीं, क्योंकि वो बहुत basic पढ़ाई है, like speed, velocity इन सब के बारे में, लेकिन हाँ, laws of motion से काफी जाधा चीज़े मज़ेदार होना शुरू हो जाएंगे, ठीक है यह, शुक्रिया यह वन शॉट देखने के लिए आई होप आपके जो भी इंटेग्रेशन और डिफरेंसेशन के डाउट से वह क्लियर