Appunti sulla Teoria degli Insiemi

Definizione di Insieme

• Un insieme è un raggruppamento di oggetti.
• Deve esistere un criterio oggettivo per decidere se un oggetto fa parte dell'insieme o meno.
  • Esempi:
    • Insieme delle squadre di calcio di Serie A (Juve fa parte o no?)
    • Insieme dei numeri naturali (0 fa parte o no?)

Elementi di un Insieme

• Rappresentazione di un insieme: ad esempio, A = {1, 2, 3, 4}.
• Gli insiemi si dividono in due categorie:
  • Insiemi finiti: hanno un numero limitato di elementi.
  • Insiemi infiniti: hanno un numero illimitato di elementi.

Insieme Vuoto

• Un insieme vuoto non ha elementi.
• Rappresentazione:
  • Con simbolo: ∅
  • Oppure con parentesi graffe vuote: {}.

Simboli di Appartenenza

• Simbolo di appartenenza: ∈ (es. 4 ∈ A).
• Simbolo di non appartenenza: ∉ (es. 7 ∉ A).

Rappresentazione di Insiemi

• Grafica: diagrammi di Eulero-Venn.
• Elencazione: es. A = {x, y, z}.
• Proprietà caratteristica: es. B = {x ∈ N | 1 ≤ x ≤ 3}.

Sottogruppi

• Un insieme B è un sottoinsieme di A se tutti gli elementi di B appartengono ad A.
• Sottogruppi:
  • Sottogruppi propri: non includono tutti gli elementi di A.
  • Sottogruppi impropri: includono l’insieme stesso e l’insieme vuoto.

Operazioni con Insiemi

Intersezione

• A ∩ B = insieme degli elementi comuni a A e B.
• Se A e B non hanno elementi in comune, A ∩ B = ∅.

Unione

• A ∪ B = insieme degli elementi che appartengono a A o a B.
• Se A = B, allora A ∪ B = A.

Differenza

• A - B = insieme degli elementi di A che non appartengono a B.

Insieme Complementare

• Complemento di B rispetto ad A è A - B.

Prodotto Cartesiano

• Prodotto cartesiano di A e B (A × B) = insieme di tutte le coppie ordinate (a, b) con a ∈ A e b ∈ B.
• Non gode della proprietà commutativa: A × B ≠ B × A.

Insieme delle Parti

• Insieme delle parti di A (P(A)) = insieme di tutti i sottogruppi di A.
• Regola per il numero di elementi: |P(A)| = 2^|A|.

Riepilogo delle Proprietà

• Proprietà commutativa e associativa per intersezione e unione.
• Proprietà distributiva rispetto all'unione e intersezione.

Conclusione

• La teoria degli insiemi offre un’importante base per la matematica e la logica.