parliamo degli insiemi allora un raggruppamento di oggetti rappresenta un insieme in senso matematico se esiste un criterio oggettivo che permette di decidere in maniera univoca se qualunque oggetto fa parte o no del raggruppamento ad esempio io potrei prendere l'insieme delle squadre di calcio di Serie A e chiedermi se la Juve fa parte o non fa parte di questo insieme oppure prendere l'insieme dei numeri naturali e chiedermi se ad esempio zero fa parte dei numeri naturali o meno ora una proprietà importante è subito quella di andare a introdurre gli elementi di un insieme ora se io prendo un un insieme 1 2 3 4 ad esempio i numeri 1 2 3 4 e 1 2 3 4 in questo caso lo vado a scrivere proprio a = 1 2 3 e 4 Quindi questi sono gli elementi di questo insieme Ora gli insiemi li possiamo dividere in due grandi categorie insiemi finiti e insiemi infiniti Quand'è che un insieme si dice infinito Beh quando proprio tutti gli elementi di questo insieme sono infiniti un caso particolare degli insiemi sono proprio gli insiemi numerici quelli che sono gli insiemi dei numeri Eh naturali i numeri interi pari dispari razionali e reali tutti questi insiemi sono tutti insiemi infiniti da tenere subito sotto osservazione l'insieme vuoto quindi Che cos'è un insieme vuoto è un insieme che non ha elementi e vediamo subito come si rappresenta Quindi con una sorta di Zero Ed una sbarra Oppure può essere rappresentato attraverso due parentesi graffe e all'interno non c'è nulla questo vedremo più avanti che l'insieme vuoto è un insieme particolare perché diventerà un insieme improprio di qualunque altro sottini ora consideriamo ad esempio un insieme a quindi 1 2 3 e 4 come faccio a dire che 4 fa parte di questo insieme esistono due simboli il simbolo di appartenenza e il simbolo di non appartenenza che dobbiamo proprio analizzare in questa diapositiva per dire che 4 appartiene all'insieme scriverò 4 appartiene ad a per dire che 7 non appartiene all'insieme a scriverò 7 non appartiene ad A il simbolo di appartenenza non appartenenza viene utilizzato ogni volta che c'è una relazione elemento insieme quindi appartiene non appartiene lo utilizzo ogni volta che c'è una relazione elemento insieme ed è questa è una proprietà fondamentale vediamo come possiamo rappresentare un insieme Beh la rappresentazione di un insieme può avvenire sostanzialmente inre modi per via grafica per elencazione oppure attraverso la proprietà caratteristica la rappresentazione grafica avviene attraverso i diagrammi di Eulero Ven Quindi vado a rappresentare ad esempio l'insieme A attraverso un un cerchio un grafico e all'interno vado a mettere i suoi elementi x y z oppure B fatto in quest'altra maniera 1 2 3 quindi Questi sono gli elementi di a e tutto quanto rappresenta l'insieme a un'altra rappresentazione è una rappresentazione per elencazione cioè quella che avevamo visto già all'inizio Cioè vado ad elencare tutti gli elementi dell'insieme quindi a = parentesi Graf X Y Z oppure B = parentesi graffa 1 2 e 3 l'ultima Eh proprietà che viene utilizzata per rappresentare un insieme è proprio la proprietà caratteristica Cioè vado a dire quali Qual è la proprietà di questi eh insiemi prendiamo il caso ad esempio proprio B 1 2 e 3 Beh potrei dire che B è l'insieme dei numeri naturali che si che sono compresi tra 1 2 e 3 con estremi inclusi Allora se volessi utilizzare la proprietà caratteristica vediamo come potrei scrivere l'insieme B Allora dovrei dire che B è uguale parentesi graffa X appartiene ad n Quindi dico che B è l'insieme dei numeri naturali tale che x è compreso con i simboli uguali a sinistra e destra tra 1 e 3 Se infatti vado a vedere quali sono i numeri naturali che si trovano inclusi tra 1 e 3 sono proprio 1 2 e 3 vediamo cosa sono i sottini temi Allora si dice che l'insieme B è un sottini dell'insieme A se tutti gli elementi di B appartengono ad a quindi vuol dire che sostanzialmente B deve essere al chiuso all'interno della linea di a Quindi se io scrivo che a è ugale a 1 2 3 3 e 4 B per essere un sottoinsieme deve avere degli elementi di a quindi e solo quelli quindi B potrebbe essere 1 3 e 4 dal punto di vista del grafico di uroven scriverei a 1 2 3 e 4 e B che è composto da 1 3 e 4 sarà questo sottoinsieme B se avessi preso l'insieme C 1 2 7 mi accorgo subito che C non è un sottini di a in quanto 7 non fa parte del dell'insieme degli elementi di a allora nel primo caso vado a scrivere B è incluso in a quindi B contenuto in a uso una sorta di C stilizzata Nel secondo caso dove C non appartiene a a devo utilizzare una C con una sbarra sopra per dire che non appartiene ad a il simbolo di incluso e non incluso viene utilizzato ogni volta che c'è una relazione insieme insieme quindi insieme insieme quindi tanto per dire io non posso scrivere 2 è contenuto in a Questa è una scrittura sbagliata potrei invece scrivere che il sottoinsieme costituito dall'elemento 2 quindi con le parentesi graffe è contenuto in a Ora vediamo quali sono i sottini propri e impropri allora un sottini improprio è un caso particolare di in particolare gli insiemi impropri di ogni insieme sono sempre due che è l'insieme stesso e l'insieme vuoto quindi se io prendo a 1 2 3 4 gli insiemi impropri sono proprio l'insieme A cioè 1 2 3 4 e l'insieme vuoto mentre tutti gli altri insiemi che posso costruire A partire dagli elementi di a si chiamano sottini propri vediamo ora Quali sono le operazioni che posso eseguire all'interno degli insiemi quindi la prima operazione che posso fare è l'intersezione e si dice che l'intersezione di due insiemi A e B è l'insieme degli elementi che appartengono Sia ad a che a b Ad esempio in figura l'intersezione tra l'insieme A e l'insieme B è questa parte colorata in rosso cioè Questi elementi fanno parte sia di a che di B e il simbolo che viene utilizzato è E questa u al contrario quindi a intersezione B l'intersezione può essere anche vuota Quando ad esempio ho un insieme a fatto in questa maniera B fatta in questa maniera cioè dove si dice che gli insiemi sono disgiunti quindi possiamo dire che se due insiemi non hanno elementi in comune si dicono disgiunti e la loro intersezione è proprio uguale all'insieme vuoto quindi a intersezione B uguale insieme vuoto l'ultima curiosità sull'intersezione è questa se io prendo a e prendo B quindi dove B è un sottini di a Beh allora sono certo che a intersezione B è uguale a B quindi è uguale proprio al sottoinsieme di a l'altra operazione che posso fare all'interno degli invece si chiama Unione si dice Unione di due insiemi A e B l'insieme degli elementi che appartengono ad a oppure a quel che conta quindi che questi elementi facciano parte o dell'insieme A O dell'insieme B Quindi l'Unione viene utilizzata Questa scrittura con il simbolo u possiamo fare un esempio e dire che a è uguale a x y z b B è uguale a Y Z K W Allora l'unione a unito B devo prendere tutti gli elementi li devo scrivere solo una volta che fanno parte di a e di B Allora scriverò x y z e Questi elementi ho ricopiato semplicemente gli elementi di a poi guardo B Allora Y l'ho già scritto quindi non non c'è bisogno di riscriverlo Z l'ho già scritto quindi non devo riscrivere virgola K W quindi questa qui risulta l'unione Ovviamente se a è uguale a b l'unione è proprio uguale ad a o uguale a b Cioè se a è uguale a b Beh allora segue che a unito B è proprio uguale ad a come casi particolari potremmo dire che se unisco a con l'insieme vuoto quindi non sto unendo è proprio uguale ad a e se unisco a con se stesso quindi a unito a ottengo sempre a qui sono riepilogate Quali sono le proprietà dell'intersezione e dell'Unione quindi un po' come per i numeri anche gli insiemi godono di alcune o alcune proprietà rispetto all'Unione e all'intersezione quindi la proprietà commutativa cioè a intersecato b Beh è uguale a B intersecato da a oppure la proprietà associativa Cioè se faccio l' intersezione di a con b e poi interse con c è uguale a fare l'intersezione di a con l'intersezione di B e C stessa cosa vale per la proprietà distributiva rispetto all'Unione e poi abbiamo anche l'altra le altre tre proprietà commutativa associativa e distributiva riguardo l'unione stessa quindi Queste sarebbero tutte proprietà che possono essere facilmente verificabili attraverso dei diagrammi di eeren un'altra operazione che è possibile effettuare attraverso gli insiemi è l'operazione di differenza si dice differenza tra due insiemi A e B considerati in questo ordine perché l'ordine conta è l'insieme degli elementi di a che non appartengono a B in poche parole se ho a e questo è B vuol dire fare a - b vuol dire togliere all'insieme a la parte che ha in comune con b Cioè quindi devo cancellare questa parte e quindi in a questo è quello che mi rimane se A e B sono disgiunti quindi a intersezione B uguale insieme vuoto e quindi mi trovo in questo caso A e B quindi non hanno punti in comune se faccio a - b vuol dire che ad A devo togliere gli elementi in comune che a con b ma in questo caso non ci sono elementi in Comune Quindi a - b è proprio uguale ad a un altro caso è quando o A e B è un suo sottoinsieme proprio e quindi se ad a Io tolgo B ottengo questa Corona quindi a - b è quello che è rappresentato in figura parliamo ora di insieme complementare Allora se io ho un insieme a e prendo B che si trova all'interno di a quindi B è contenuto in a il complementare di B rispetto ad a è quello diciamo che si trova all'interno di a Ma che non è B quindi Sostanzialmente è la differenza tra gli insiemi cioè questi due potrei generalizzare il concetto di complementare ad esempio dicendo prendo l'insieme A prendo l'insieme B prendo l'insieme c e vorrei fare a intersezione B complementare Beh allora fare a intersezione B vuol dire colorare questa parte ma facendo il complementare vuol dire che devo colorare tutto tranne la parte che ho messo in evidenza e quindi otterrei questa parte e tutta quest'altra parte passiamo infine a parlare del prodotto cartesiano Allora si dice prodotto cartesiano di due insiemi A e B considerati nell'ordine l'insieme di tutte le coppie ordinate in cui il primo elemento appartiene ad a ed il secondo elemento appartiene a b facciamo un esempio io prendo a fatto in questa maniera A B e C prendo B 1 2 quindi fare a * b vuol dire scrivere A1 A2 B1 B2 C1 C2 e quindi vado a scrivermi tutti gli elementi di A * B quindi A1 punto e virgola A2 B1 B2 C 1 e C 2 ora osservo subito che se indico così il con Quindi con a con tra due stanghette verticali il numero degli elementi di a e quindi con a in questo caso ho tre elementi e B ha due elementi Allora il prodotto cartesiano A * B quindi sempre indicato tra stanghette perché mi indica il numero degli elementi è dato dal prodotto degli elementi di A * B quindi è 3 * 2 quindi avrà 6 elementi il prodotto cartesiano lo posso rappresentare proprio all'interno di un piano cartesiano quindi qui indico gli elementi di a qui gli elementi di B e vado a scrivere A B e C 1 e 2 Allora mi faccio delle puntini di riferimento e andiamo a vedere dove si trovano gli elementi del prodotto cartesiano Allora A1 è questo A2 è questo qui B1 è questo B2 è questo Ed infine ho C1 e C2 quindi questa qui non è nient'altro che una rappresentazione grafica del prodotto cartesiano attenzione che scrivere a * b è diverso dallo scrivere B * a cioè il prodotto cartesiano Non gode della proprietà commutativa parliamo alla fine dell'insieme delle parti che Cos'è l'insieme delle parti si chiama insieme delle parti di a l'insieme costituito da tutti i sottini di a e viene utilizzata la scrittura p di a per indicare l'insieme delle parti facciamo subito un esempio se a è composto dagli elementi X e Y l'insieme delle parti di a sarà costituito quindi dal sottoinsieme X Y Ma poi dall'insieme stesso quindi xy e poi l'insieme vuoto ricordiamo che questo e questo sono i due sottini temi impropri perché XY rappresenta proprio l'insieme A mentre questi sono i sottini propri potrei fare un altro esempio e dire che a è composto da 1 2 3 allora l'insieme delle parti di a sarà composto da 1 2 e e 3 Poi dal sottoinsieme 1 2 dal sottoinsieme 1 3 dal sottoinsieme 2 3 e poi mi mancano i due sottoinsiemi impropri Quindi 1 2 3 e l'insieme vuoto Quindi questi due sono sempre i sottini semi impropri mentre quest'altri sono i sottini propri Potrei chiedere ma esiste una regola per capire quanti sono gli elementi dell'insieme delle parti Sì esiste una regola p di a è uguale quindi in con le stanghette che mi indica il numero degli elementi dell'insieme delle parti è uguale a 2 alla a dove con a sono con TR stanghette sono il numero degli elementi di a Quindi Nel nostro caso a era composto da 1 2 e 3 quindi a tre elementi Allora PDA avrà 2 All terza elementi cioè 8 verifichiamo se è vero 1 2 3 4 5 6 7 e 8 con questo abbiamo riassunto in sintesi la teoria sugli insiemi