Lezione sul Prodotto tra Matrici

Salve a tutti, ben ritrovati nel mio canale. In questa lezione parleremo di prodotto tra matrici. Prima di farvi vedere come determinare la matrice prodotto, dobbiamo verificare una cosa molto più importante, ovvero sotto quali condizioni è possibile eseguire il prodotto tra due matrici, perché non è detto che il prodotto si possa fare. Ad esempio, considerate le quattro matrici che ho scritto, A grande, B grande, C grande e D grande. Qui ho indicato alcuni prodotti, ho fatto alcuni accoppiamenti, ovvero A per B, A per C, A per D, B per C, B per D, B per A, C per A, D per A, C B e D B. Potrei anche continuare. Ci chiediamo, ma è vero che il prodotto A per B si può fare? Come vedremo tra poco, il prodotto A per B è possibile eseguirlo, ma il prodotto B per A non è possibile eseguirlo. La stessa cosa per quanto riguarda AC. È possibile determinare AC. È anche possibile determinare C per A. Ma attenzione, la domanda è, le due matrici saranno uguali? Questo lo scopriremo nella presente lezione. Poi, per quanto riguarda A per D, non si può fare, mentre D per A, come vedremo, è possibile farlo. Mentre B per C non è possibile eseguirlo, mentre il prodotto C per B è possibile eseguirlo. B per D. e d per b sono moltiplicazioni consentite. Tutto questo lo vedremo nella presente lezione. Buona visione! Consideriamo di avere due matrici. Una la sto chiamando A grande, A 20, n righe e p colonne. Non per forza n deve essere uguale a p, cioè in altre parole la matrice non per forza deve essere quadrata. E consideriamo una matrice che sto chiamando B grande. Attenzione! Questa matrice ha p righe, ovvero... lo stesso P che rappresenta il numero di colonne dA della prima matrice e in generale m colonne. Ci chiediamo è possibile eseguire il prodotto nell'ordine, sottolineo nell'ordine A grande per B grande? La risposta è affermativa solo nel caso in cui il numero di colonne della prima matrice, quella blu, è uguale al numero di righe. della seconda matrice, quella che sta a destra. Quindi, se il numero di colonne della prima è uguale al numero di righe della seconda matrice, allora è possibile eseguire il prodotto delle due matrici, A grande e B grande. Cosa nascerà? Nascerà una matrice che sto chiamando C grande. Ci chiediamo, C grande quante righe avrà e quante colonne avrà? È molto intuitivo. C grande, ovvero la matrice prodotto, erediterà n righe della matrice A ed m colonne della matrice B. Quindi sarà una n per m. Molto semplice. Ora faremo anche un esempio. Ma ci chiediamo, d'accordo che si può fare sotto queste condizioni il prodotto A per B, ma come ricavare praticamente tutto? gli elementi della matrice C. Per rispondere a questa domanda dobbiamo considerare il cosiddetto prodotto righe per colonne. Mi spiego meglio. Costruiamo in maniera generica le due matrici A grande e B grande. Quindi qui abbiamo la matrice A grande. Come è fatta questa matrice grande? N righe e P colonne. Allora qui abbiamo l'elemento A11, qui abbiamo l'elemento A12, qui abbiamo l'ultimo. l'ultimo, l'elemento A1P. Qui abbiamo A21, qui abbiamo A22, puntini, puntini, l'ultima colonna è A2P. Poi questa matrice ha n righe, quindi chi è l'ennesima riga? AN1, AN2 e poi l'ultimo elemento dell'ultima riga chi sarà? ANP. E quindi ho costruito questa matrice generica. Alla stessa maniera costruiamo la matrice B grande avente P righe ed M colonne, ovvero questa la chiamo appunto B grande. Allora, come è fatta la matrice P grande? A solito abbiamo P righe ed M colonne. Allora, qui abbiamo B11, B12, puntini, puntini, abbiamo esattamente M colonne, qui abbiamo B1M. Qui abbiamo B2,1, B2,2, puntini, puntini, B2, M. Chi è l'ultima riga? Ovviamente le righe sono P. Quindi abbiamo B, P. 1, b, p, 2, l'ultimo elemento è b, p, m e questa è la matrice B grande. Poiché il numero di colonne della prima uguale il numero di righe della seconda non mi sta in... mai di dirlo, allora in questo caso è possibile seguire il prodotto nell'ordine A per B. Chi è la matrice prodotto? Che sto per chiamare C. C non è altro che una matrice avente N righe ed M colonne. In generale la sto costruendo così. C1 1, C1 2, C1 M. Poi c'è la seconda riga, la terza riga e abbiamo anche l'ennesima riga. Quindi abbiamo Cn 1, Cn 2, puntini puntini, Cn ed M, N righe ed M colonne. Ma come ricavare tutti questi elementi? Ad esempio, voglio ricavare C11, ovvero l'elemento che sta nella prima riga e nella prima colonna. Come fare? Voglio ricavare C12, l'elemento che sta nella prima riga e nella seconda colonna. Come fare? Lo scopriremo tra poco. Ovvero, considero il generico elemento appartenente alla iesima riga della matrice C e alla geiesima colonna. Questo lo chiamo appunto C20. L'indice I per quanto riguarda... riga e j per quanto riguarda le colonne. Attenzione, i è compresso tra 1 ed n, j è compresso tra 1 ed m. Allora, cosa bisogna fare? È una cosa davvero semplice. Per quanto riguarda l'elemento cij, dovete selezionare la iesima riga per quanto riguarda la matrice A e la geiesima colonna per quanto riguarda la matrice B. matrice B. Quindi utilizzo i colori per rendere tutto più istintivo. Nella matrice A identifico la iesima riga, ad esempio la terza, la quarta, la prima, quello che sia. Questa la sto chiamando appunto AI1, poi AI2, puntini puntini, AIP. Allora, questa è la iesima riga di A. Analogamente, per quanto riguarda la matrice B, seleziono la G esima colonna. Potrebbe essere la prima, la seconda potrebbe essere l'emmesima colonna. Quindi come la scrivo questa? B1J, B2J e poi BPJ. Allora cosa bisogna fare? Osservate, una somma di prodotti. Allora intanto in questa somma algebrica quanti addenti ci sono? Molto semplice, contate gli elementi che stanno o... nella iesima riga di A, ovvero P elementi, o se preferite, ma è la stessa cosa ovviamente, il numero di elementi che stanno in questa colonna, nella colonna Giesima di B, ovvero P elementi, non può essere altrimenti. Quindi per quanto riguarda l'elemento Cij, utilizzo i colori, così rendo tutto più istintivo. Quindi l'elemento Cij contiene un certo numero di addenti, ovvero P addenti. E comincio a scrivere quindi il primo addento, poi metto più il secondo addento, più puntini, puntini, puntini, più l'ultimo addento. L'ultimo addento ovviamente in totale questi addenti devono essere P. Dovete fare molta attenzione. Allora, chi è il primo addento? Ricordatevi che ciascun addento è un prodotto tra due elementi, ovvero un elemento della matrice. A ed un elemento della matrice B. Quindi cosa fate? Concentratevi sulla riga iesima di A e sulla colonna giesima di B, quella indicata in blu e in rosso rispettivamente. Allora, cosa dovete fare? Selezionate il primo elemento della riga iesima di A e lo scrivete qui, A I 1, per il primo elemento della colonna giesima della matrice. matrice B. Quindi chi sarebbe in questo caso B1J. Quindi B1J, ovvero primo elemento di questa riga per il primo elemento di questa colonna. A seguire cosa dovete fare? Un salto sincronizzato. Quindi chi sarà il secondo addento? Dovete scrivere AI2, quindi il secondo elemento della riga iesima, A, I2, per il secondo elemento della colonna J. della matrice dice B e quindi a solito scrivo B2J, quindi B2J e così via. Si arriverà alla fine chi è l'ultimo addento e va bene. Dovete considerare l'ultimo elemento... della riga iesima della matrice A che ho chiamato AIP, quindi scrivo AIP, per l'ultimo elemento della colonna Giesima della matrice B, ovvero BPJ. Quindi B, P, J. Questo ovviamente lo dovete fare elemento per elemento. Sembra una cosa molto difficile, ma ora con gli esempi vi farò vedere come eseguirlo praticamente. Non ci resta che fare alcuni esempi. Attenzione, gli esempi non saranno ripetitivi. Ogni esercizio ha delle caratteristiche diverse rispetto agli altri, quindi vi invito a visionarli tutti e tre. Iniziamo dal primo esempio. Consideriamo due matrici. grande e B grande. La prima matrice A, quella scritta in blu, è la seguente. 2, 1, 0. Poi meno 1, 1 e 3. Mentre la matrice B è la seguente. Sto facendo ovviamente degli esempi che sto inventando al momento. I numeri possono benissimo cambiare. Allora, qui mettiamo 1, 2, meno 1, 0, meno 1, 0, 3, 1 e meno 5. Allora, ci chiediamo, è possibile essere eseguire il prodotto nell'ordine A per B, la cosa importante è che il numero di colonne della matrice A, ovvero 1, 2, 3 colonne, deve essere uguale al numero di righe della seconda matrice, quella B, quella scritta in rosso, ovvero 1, 2, 3. Benissimo, è compatibile il prodotto. A questo punto la matrice prodotto, che al solito chiamerò C grande, quante righe avrà e quante colonne avrà, in base a quello che abbiamo detto poco fa. erediterà le righe di A e le colonne di B, quindi sarà una 2 per 3. Quindi dobbiamo preparare una matrice C, quindi rettangolare, che avrà due righe e tre colonne. Ci chiediamo chi sarà l'elemento C1-1, chi sarà l'elemento C1-2, C1-3, poi C2-1, C2-2. Dobbiamo applicare quello che ho spiegato poco fa in maniera generica, ma con l'esempio si chiarirà. meglio, cioè tramite il prodotto righe per colonne. Quindi prepariamo questa bella matrice. Allora, chi è l'elemento C11? Cosa dobbiamo fare? Dobbiamo selezionare la prima riga della matrice grande e la prima colonna della matrice B grande. Quindi non dobbiamo fare altro che, allora, abbiamo 1, 2, 3, ovvero 1, 2, 3. Abbiamo 3... addenti quindi lasciamo spazio per tre addenti allora cosa facciamo scrivo due quindi il primo elemento della prima riga ovvero due che moltiplica il primo elemento della prima colonna e quindi in questo caso per uno poi andiamo avanti facciamo un salto sincronizzato dobbiamo scrivere per quanto riguarda l'altro addendo uno quindi il secondo elemento della prima riga per ovviamente il secondo elemento della prima colonna di B. Quindi per 0. E poi, infine, chi è l'ultimo addento? E va bene. Un altro salto, ovvero l'ultimo, dobbiamo scrivere 0, che moltiplica l'ultimo elemento della prima colonna di B. Quindi per 3. Andiamo a fare questi calcoletti. Attenzione, in generale è una somma algebrica. 2 per 1, 2. più 1 per 0, 0 e quindi 2, più 0 per 3 è sempre uguale a 0, quindi 2 più 0 più 0 è uguale a 2. Quindi qui vado a mettere il mio elemento che è 2. Adesso andiamo a cercare chi è l'elemento della matrice prodotto C che sta nella prima riga e seconda colonna. Quindi chi è in questo caso C12? Allora dobbiamo selezionare sempre la prima riga della prima matrice. quindi quella di poco fa, mentre stavolta per quanto riguarda B dobbiamo selezionare la seconda colonna. Al solito si tratta di una somma di tre termini. Allora cosa facciamo sempre? 2, quindi lo stesso elemento, che moltiplica il primo elemento della seconda colonna della matrice B, e che sarebbe in questo caso, e va bene, per 2. Già penso che avete capito il meccanismo. Eventualmente ferro, fermate il video, continuiamo. e poi verificate tramite il mio video se avete fatto giusto o sbagliato. Quindi, 2 per 2. Poi, considero 1 per quanto riguarda l'altro addento, quindi 1, che moltiplica il secondo elemento della seconda colonna della matrice B, ovvero meno 1. E qui scrivo quindi meno 1. E infine, sempre il solito salto sincronizzato, 0 che moltiplica 1. Quindi, in blu scrivo sempre... 0, mentre in rosso scrivo 1. Allora, dobbiamo eseguire questi piccoli condicini. Allora, cosa abbiamo in questo caso? 2 per 2, 4, poi 1 per meno 1, meno 1, quindi 4 meno 1, 3, più 0. Quindi, in questo caso, 4 meno 1, 3, più 0, ovviamente risulta 3. E qui vado a mettere l'altro elemento, ovvero 3. Benissimo. Adesso vediamo chi è l'elemento C13. ovvero quello che sta nella prima riga e nell'ultima colonna, sempre della matrice C. A solito dobbiamo selezionare la prima riga della matrice A, quindi quella di prima, e la terza colonna della matrice B. A solito ci saranno sempre tre addenti. Allora, di nuovo, 2 che moltiplica il primo elemento dell'ultima colonna di B, ovvero della terza colonna di B. Quindi abbiamo sempre 2 che moltiplica meno 1, lo scrivo con il pennarello rosso, quindi per meno 1. Poi abbiamo, facciamo il solito saltello sincronizzato, 1 che moltiplica 0, quindi 1 che moltiplicherà lo 0 e infine abbiamo 0 che moltiplica meno 5. Utilizzo ormai i colori, quindi è 0 che moltiplica in rosso meno 5. Allora... Dobbiamo eseguire questi piccoli calcoletti, 2 per meno 1 meno 2, più 0 più 0, quindi risulta meno 2. Quindi qui abbiamo meno 2. Benissimo. Adesso ci dobbiamo occupare dell'ultima riga di C, ovvero chi sarà l'elemento C21, chi sarà l'elemento C22, chi sarà l'elemento C23. Allora, come prima, chi sarà in questo caso C21? A solito, per quanto riguarda il primo indice, quindi 2, Dobbiamo selezionare la seconda riga della matrice A, quindi stavolta tocca alla seconda riga. Mentre per quanto riguarda la matrice B, dobbiamo selezionare la prima colonna, ovvero 1, 0, 3. A solito abbiamo sempre la somma di tre addenti. Allora, cosa scrivo? Meno 1 che moltiplica 1, quindi il prodotto righe per colonne. Quindi scrivo meno 1 che moltiplica... 1, il primo elemento della prima colonna sempre di B. Poi facciamo il salto sincronizzato, quindi 1 per 0. Quindi utilizzo ormai i colori, qui scrivo 1 che moltiplica 0 e infine mettiamo 3 che moltiplica 3. Quindi abbiamo 3 per 3, quello blu e ovviamente quello scritto in rosso. Allora, eseguiamo questa banalissima. operazione. Meno 1 più 0 più 9, 9 meno 1 è uguale a 8. Quindi questo è 8. Chi sarà a questo punto? Vado più veloce. C22, dobbiamo selezionare sempre la seconda riga della matrice A, però stavolta dobbiamo selezionare per quanto riguarda B la seconda colonna. Quindi qui abbiamo più più. Allora è molto semplice, avete capito che si deve selezionare in tutti i casi sempre la seconda. Riga della matrice A, quindi qui metto sempre meno 1, qui metto 1 e qui direttamente 3. E invece per quanto riguarda la matrice B, la seconda colonna, e quindi abbiamo 2, meno 1, 1, quindi velocemente 2, poi abbiamo meno 1 e 1. Ora faremo il calcolo e per quanto riguarda invece C, 2, 3, chi sarebbe? Selezioniamo sempre la seconda riga di A, va bene, ma come prima, mentre... per quanto riguarda B, la terza colonna. Quindi ci sono sempre i tre addenti. Per quanto riguarda gli elementi di A, a solito sono sempre meno 1, poi abbiamo 1 e poi abbiamo 3. Ma stavolta dobbiamo considerare gli elementi dell'ultima colonna. E quindi abbiamo meno 1, 0 e meno 5. Quindi meno 1, qui abbiamo 0 e qui abbiamo meno 5. Non ci resta che andare a fare sempre queste banalissime operazioni. Quindi meno 1 per 2, meno 2. Poi meno 1, meno 2, meno 1, meno 3. Meno 3 più 3 è uguale a 0 e qui mettiamo 0. Per quanto riguarda l'ultimo elemento abbiamo più 1 più 0 e poi 3 per meno 5 meno 15. 1 meno 15 meno 14. Quindi qui mettiamo meno 14. Quindi ecco chi è la nostra matrice prodotto, ovvero A per B. Allora, è stato possibile eseguire il prodotto A per B in quest'ordine, ma ci chiediamo... È possibile eseguire il prodotto B per A? Ricordiamoci che la matrice B è una 3 per 3, mentre la matrice A è una 2 per 3. Se ci fate caso, il numero di colonne della prima non è uguale al numero di righe della seconda matrice, perché qui abbiamo 3 e qui abbiamo 2, quindi non è possibile eseguire il prodotto B. per A. Adesso vediamo un esempio in cui è possibile eseguire il prodotto A per B. Sarà possibile fare anche il prodotto B per A. Ma ci chiediamo, le due matrici prodotto sono uguali? Lo scopriremo con l'esercizio che vi sto per proporre. Lo vediamo immediatamente. Consideriamo la matrice A, quella blu, la seguente. 1, 2, meno 3. E poi 0, 1, meno 1. Mentre la matrice B, che è... indico in rosso è la seguente. Ad esempio, possiamo considerare 1, 2, 0, 0, 1 e meno 1, mettiamo. Allora, ci chiediamo, è possibile eseguire il prodotto nell'ordine A per B? Se ci fate caso, la matrice A è una 2 per 3, la matrice B è una 3 per 2. Se ci fate caso, gli indici interni sono uguali, permettetemi il termine, interni, ovvero il numero delle colonne della matrice A è uguale al numero di righe della matrice B, è possibile eseguire il prodotto e la matrice prodotto sarà una 2 per 2, quindi sarà una matrice di ordine 2 quadrata che cominciamo a preparare. Allora, chi è il primo elemento? Qui abbiamo precisamente quattro elementi, C11, C12, C21, C22. Per quanto riguarda il primo elemento, selezioniamo la prima riga di A e la prima colonna di B, quindi 1 per 1, 1 più 2 per 2, 4, quindi 1 più 4, 5 e infine meno 3 per 0, 0, quindi in altre parole abbiamo 1 più 4 più 0 che risulta uguale a 5. Ora per quanto riguarda l'elemento C12, selezioniamo la prima riga di A, sempre quella, ma la seconda colonna di B. Quindi abbiamo 1 per 0, 0, poi 2 per 1, 2 e infine più. meno 3 per meno 1 che risulta 3. In altre parole 0 più 2 che risulta 2, 2 più 3, 5. Quindi anche questo è uguale a 5. Coincidenza. Ora per quanto riguarda l'elemento C2, 1, dobbiamo selezionare stavolta la seconda riga della matrice A e di nuovo la prima colonna di B. Abbiamo 0 per 1, 0, poi più 1 per 2, 2, quindi siamo a 2, meno 0. Quindi in altre parole. qui metto 2 e infine l'ultimo elemento ovvero seconda riga seconda colonna. Dobbiamo selezionare la seconda riga di A e la seconda colonna di B. Quindi 0 per 0 0. Andiamo avanti. 1 per 1 1 e poi meno 1 per meno 1 1 in altre parole 0 più 1 più 1 è uguale a 2. Se abbiamo ottenuto questa matrice in cui le due colonne sono uguali è una pura coincidenza. L'esercizio l'ho intentato a caso. Al di là di questo è possibile eseguire il prodotto A per B, ma ci chiediamo è possibile eseguire il prodotto B per A? Ricopiamo le matrici nell'ordine B e A. Vado velocemente. La matrice B è una 3 per 2, la matrice A è una 2 per 3, se ci fate caso il numero di colonne della prima matrice è uguale al numero di righe della seconda matrice. In questo caso è possibile eseguire il prodotto B per A. Ma la matrice prodotto, attenzione, non sarà più una 2 per 2 come quella di poco fa, ma sarà una matrice avente 3 righe e 3 colonne. Quindi al di là di chi sia la matrice già possiamo dedurre che in questo caso A per B è una 2 per 2, B per A è una 3 per 3, quindi le due matrici non saranno uguali. Questo cosa vuol dire che nel caso in cui, come in questo caso, si può fare il prodotto B per A... non è assolutamente detto che è uguale ad A per B. In altre parole, per le matrici non vale La proprietà commutativa per quanto riguarda l'operazione di prodotto. Velocemente, chi è questa matrice? Ovviamente è una 3x3. Allora, molto semplice, per quanto riguarda il primo elemento, prima riga e prima colonna, quindi 1x1, 1, più 0. Direttamente, mettiamo 1, poi prima riga, seconda colonna, 1x2, 2, più 0, risulta sempre 2, prima riga, terza colonna, 1x-3, meno 3, e quindi più 0, sempre meno 3. Poi, seconda riga della prima matrice e prima colonna. 2 per 1, 2, più 0, quindi abbiamo 2. Poi 2 per 2, 4, più 1, 5. Poi 2 per meno 3, meno 6, meno 1, meno 7. E quindi abbiamo meno 7. Infine, per quanto riguarda la terza riga della matrice prodotto, cosa abbiamo? Allora, 0 per 1, 0, meno 1 per 0, 0, quindi 0. Poi 0 per 2, 0, meno 1 per 1, meno 1. E poi 0 per meno 3, 0, più... meno 1 per meno 1, abbiamo 1. Quindi ecco chi è il prodotto B per A. Magari lo scriviamo esplicitamente, ovvero questa non è altro che la matrice prodotto B per A. Utilizzo i colori. Come si può notare, A per B si può fare, si può fare anche B per A, al contrario dell'esercizio precedente, ma le due matrici sono diverse. Diverse per quanto riguarda le dimensioni. Infatti A per B è una 2 per 2, B per A è una 3 per... 3. Adesso invece vi faccio vedere un altro esempio in cui è possibile eseguire il prodotto A per B, è possibile eseguire il prodotto B per A, ma le due matrici stavolta avranno la stessa dimensione. In questo caso ci chiediamo ma le due matrici A per B e B per A, visto che hanno lo stesso numero di righe, come vedremo, e lo stesso numero di colonne, saranno uguali? Lo scopriremo con l'esercizio che sto per proporvi. Date due matrici a grande la matrice quella scritta in blu che è una 3x3, quindi una matrice quadrata di ordine 3. La stessa cosa per quanto riguarda B, quella scritta in rosso, è sempre una matrice quadrata di ordine 3. È possibile seguire il prodotto nell'ordine A per B? Certamente. Il numero di colonne della prima è uguale al numero di righe della seconda. È possibile seguire il prodotto e la matrice prodotto, quella che abbiamo chiamato C, è una 3x3. E quindi qui preparo una matrice quadrata di ordine 3. Velocemente andiamo a costruire la seguente matrice. Se volete fermate il video, esercitatevi voi, poi mandate in start il video e vedete se il risultato ottenuto da voi è uguale a quello che ottengo io. Allora, al solito prima riga, prima colonna. Quindi è 0, 0 e 0. Quindi qui abbiamo 0. Poi prima riga, seconda colonna. Abbiamo 1, poi 0 e 2. E quindi... 3, la somma. Poi 1 più 0 più 2, ovvero sempre 3. Poi, per quanto riguarda la seconda riga, 0 per 0, poi meno 2 per meno 1, sempre 2 e 0. Quindi qui mettiamo 2, poi 0, poi abbiamo 0 e 0, qui abbiamo 0. Poi 0, qui abbiamo meno 4 e 0, quindi qui mettiamo meno 4. L'ultima riga, meno 3 per 0, quindi 0. 0 e 0, quindi qui rimane sempre 0, meno 3 per 1, meno 3, più 0, più 5, meno 3 più 5, 2 e infine ultima riga, ultima colonna, meno 3, 0 e 5, meno 3 più 5 è uguale a 2. Quindi ecco la matrice A per B. Ci chiediamo, è possibile eseguire il prodotto B per A? E va bene, osservate, abbiamo sempre una 3 per 3 e una 3 per 3. ma in questo caso il numero di colonne di B, che sarebbe la prima matrice, è uguale al numero di righe di A. Quindi è possibile eseguire il prodotto B per A. Ed è sempre una matrice dello stesso ordine, quindi qui otteniamo sempre una matrice 3 per 3. Ci chiediamo, sarà uguale alla matrice A per B? Non ci resta che scrivere le due matrici però nell'ordine inverso. Vado veloce. Ricopiato tutto nell'ordine corretto. eseguiamo il prodotto B per A. Prima riga, prima colonna, 0, 0 e meno 3. Quindi qui abbiamo meno 3. Già potete vedere che il primo elemento della matrice A per B è diverso dal primo elemento della matrice B per A. Va bene, andiamo avanti. Prima riga, seconda colonna, 0, meno 2, 0. Quindi abbiamo meno 2, poi 0, 0 e 5. Poi seconda riga, prima colonna, meno 1 più 0, meno 6. Meno 1, meno 6. meno 7, poi seconda riga, seconda colonna, 0, 0, 0, poi meno 2, poi meno 3, poi meno 2, 0, 5 per 2, 10, 10 meno 2, 8. Poi, terza riga, prima colonna, 0, 0, meno 3. Poi, 0, meno 2, 0, quindi rimane meno 2. 2 e infine 0, 0, 1 per 5, 5. Quindi come potete vedere è possibile eseguire A per B. È stato possibile eseguire anche B per A, matrici dello stesso ordine. 3x3 e 3x3, ma se ci fate caso a per b è diverso da b per a. Quindi in generale il prodotto non gode della proprietà commutativa quando operiamo con le matrici. Attenzione, non sto dicendo che a per b non è mai uguale a b per a. Ci sono dei casi selezionati in cui a per b è uguale a b per a. Ne conosciamo qualcuno, ma certamente se considero una matrice quadrata di ordine n. Per esempio, potrei considerare la matrice A. Se la moltiplico a destra o a sinistra per la matrice identità, in questo caso il prodotto è commutativo. Quindi, in generale, considero una matrice A grande, avente n righe ed n colonne. Se considero A per I, dove I è la matrice identità di ordine n, questa è anche uguale ad I con n, ovviamente, che moltiplica A. Un altro caso è quello che riguarda la matrice inversa. Attenzione, non parlerò di matrice inversa. Ho già realizzato un video in cui spiego quando una matrice è invertibile e nel caso in cui dovesse essere invertibile, come determinare l'unica matrice inversa. Vi rimando al video dedicato. Ma in questa sede voglio farvi notare che se A è una matrice di ordine n invertibile e chiamo con A alla meno 1 la sua inversa, se considero il prodotto nell'ordine A per A alla meno 1, questo è uguale anche ad... a alla meno 1 per a. In questo caso vale la proprietà commutativa, ma attenzione sono casi selezionati. Quindi con questi tre esempi vi ho fatto vedere come eseguire il prodotto tra due matrici e vi ho fatto notare che magari è possibile eseguire il prodotto a per b, ma non è possibile eseguire il prodotto b per a, vedi primo esercizio. O magari è possibile eseguire il prodotto a per b, è possibile eseguire il prodotto b per a, ma le due matrici prodotto hanno dimensioni. diverse. E nell'ultimo esempio vi ho fatto vedere che magari è possibile seguire il prodotto A per B, è possibile seguire il prodotto B per A. Le due matrici prodotto hanno la stessa dimensione, ma le due matrici sono diverse. Quindi con questi tre esercizi chiudo qui la presente lezione. Come al solito vi do appuntamento sempre nel mio canale per ulteriori contenuti di matematica. Grazie per l'attenzione, ciao a tutti!

Ad esempio, considerate le quattro matrici che ho scritto, A grande, B grande, C grande e D grande. Qui ho indicato alcuni prodotti, ho fatto alcuni accoppiamenti, ovvero A per B, A per C, A per D, B per C, B per D, B per A, C per A, D per A, C B e D B. Potrei anche continuare. Ci chiediamo, ma è vero che il prodotto A per B si può fare? Come vedremo tra poco, il prodotto A per B è possibile eseguirlo, ma il prodotto B per A non è possibile eseguirlo.

La stessa cosa per quanto riguarda AC. È possibile determinare AC. È anche possibile determinare C per A.

Ma attenzione, la domanda è, le due matrici saranno uguali? Questo lo scopriremo nella presente lezione. Poi, per quanto riguarda A per D, non si può fare, mentre D per A, come vedremo, è possibile farlo. Mentre B per C non è possibile eseguirlo, mentre il prodotto C per B è possibile eseguirlo. B per D.

e d per b sono moltiplicazioni consentite. Tutto questo lo vedremo nella presente lezione. Buona visione!

Consideriamo di avere due matrici. Una la sto chiamando A grande, A 20, n righe e p colonne. Non per forza n deve essere uguale a p, cioè in altre parole la matrice non per forza deve essere quadrata.

E consideriamo una matrice che sto chiamando B grande. Attenzione! Questa matrice ha p righe, ovvero... lo stesso P che rappresenta il numero di colonne dA della prima matrice e in generale m colonne. Ci chiediamo è possibile eseguire il prodotto nell'ordine, sottolineo nell'ordine A grande per B grande?

La risposta è affermativa solo nel caso in cui il numero di colonne della prima matrice, quella blu, è uguale al numero di righe. della seconda matrice, quella che sta a destra. Quindi, se il numero di colonne della prima è uguale al numero di righe della seconda matrice, allora è possibile eseguire il prodotto delle due matrici, A grande e B grande.

Cosa nascerà? Nascerà una matrice che sto chiamando C grande. Ci chiediamo, C grande quante righe avrà e quante colonne avrà?

È molto intuitivo. C grande, ovvero la matrice prodotto, erediterà n righe della matrice A ed m colonne della matrice B. Quindi sarà una n per m. Molto semplice. Ora faremo anche un esempio.

Ma ci chiediamo, d'accordo che si può fare sotto queste condizioni il prodotto A per B, ma come ricavare praticamente tutto? gli elementi della matrice C. Per rispondere a questa domanda dobbiamo considerare il cosiddetto prodotto righe per colonne. Mi spiego meglio. Costruiamo in maniera generica le due matrici A grande e B grande.

Quindi qui abbiamo la matrice A grande. Come è fatta questa matrice grande? N righe e P colonne. Allora qui abbiamo l'elemento A11, qui abbiamo l'elemento A12, qui abbiamo l'ultimo.

l'ultimo, l'elemento A1P. Qui abbiamo A21, qui abbiamo A22, puntini, puntini, l'ultima colonna è A2P. Poi questa matrice ha n righe, quindi chi è l'ennesima riga?

AN1, AN2 e poi l'ultimo elemento dell'ultima riga chi sarà? ANP. E quindi ho costruito questa matrice generica.

Alla stessa maniera costruiamo la matrice B grande avente P righe ed M colonne, ovvero questa la chiamo appunto B grande. Allora, come è fatta la matrice P grande? A solito abbiamo P righe ed M colonne. Allora, qui abbiamo B11, B12, puntini, puntini, abbiamo esattamente M colonne, qui abbiamo B1M.

Qui abbiamo B2,1, B2,2, puntini, puntini, B2, M. Chi è l'ultima riga? Ovviamente le righe sono P. Quindi abbiamo B, P. 1, b, p, 2, l'ultimo elemento è b, p, m e questa è la matrice B grande.

Poiché il numero di colonne della prima uguale il numero di righe della seconda non mi sta in... mai di dirlo, allora in questo caso è possibile seguire il prodotto nell'ordine A per B. Chi è la matrice prodotto? Che sto per chiamare C. C non è altro che una matrice avente N righe ed M colonne.

In generale la sto costruendo così. C1 1, C1 2, C1 M. Poi c'è la seconda riga, la terza riga e abbiamo anche l'ennesima riga. Quindi abbiamo Cn 1, Cn 2, puntini puntini, Cn ed M, N righe ed M colonne. Ma come ricavare tutti questi elementi?

Ad esempio, voglio ricavare C11, ovvero l'elemento che sta nella prima riga e nella prima colonna. Come fare? Voglio ricavare C12, l'elemento che sta nella prima riga e nella seconda colonna.

Come fare? Lo scopriremo tra poco. Ovvero, considero il generico elemento appartenente alla iesima riga della matrice C e alla geiesima colonna. Questo lo chiamo appunto C20.

L'indice I per quanto riguarda... riga e j per quanto riguarda le colonne. Attenzione, i è compresso tra 1 ed n, j è compresso tra 1 ed m.

Allora, cosa bisogna fare? È una cosa davvero semplice. Per quanto riguarda l'elemento cij, dovete selezionare la iesima riga per quanto riguarda la matrice A e la geiesima colonna per quanto riguarda la matrice B.

matrice B. Quindi utilizzo i colori per rendere tutto più istintivo. Nella matrice A identifico la iesima riga, ad esempio la terza, la quarta, la prima, quello che sia.

Questa la sto chiamando appunto AI1, poi AI2, puntini puntini, AIP. Allora, questa è la iesima riga di A. Analogamente, per quanto riguarda la matrice B, seleziono la G esima colonna.

Potrebbe essere la prima, la seconda potrebbe essere l'emmesima colonna. Quindi come la scrivo questa? B1J, B2J e poi BPJ. Allora cosa bisogna fare?

Osservate, una somma di prodotti. Allora intanto in questa somma algebrica quanti addenti ci sono? Molto semplice, contate gli elementi che stanno o...

nella iesima riga di A, ovvero P elementi, o se preferite, ma è la stessa cosa ovviamente, il numero di elementi che stanno in questa colonna, nella colonna Giesima di B, ovvero P elementi, non può essere altrimenti. Quindi per quanto riguarda l'elemento Cij, utilizzo i colori, così rendo tutto più istintivo. Quindi l'elemento Cij contiene un certo numero di addenti, ovvero P addenti.

E comincio a scrivere quindi il primo addento, poi metto più il secondo addento, più puntini, puntini, puntini, più l'ultimo addento. L'ultimo addento ovviamente in totale questi addenti devono essere P. Dovete fare molta attenzione. Allora, chi è il primo addento?

Ricordatevi che ciascun addento è un prodotto tra due elementi, ovvero un elemento della matrice. A ed un elemento della matrice B. Quindi cosa fate? Concentratevi sulla riga iesima di A e sulla colonna giesima di B, quella indicata in blu e in rosso rispettivamente.

Allora, cosa dovete fare? Selezionate il primo elemento della riga iesima di A e lo scrivete qui, A I 1, per il primo elemento della colonna giesima della matrice. matrice B.

Quindi chi sarebbe in questo caso B1J. Quindi B1J, ovvero primo elemento di questa riga per il primo elemento di questa colonna. A seguire cosa dovete fare?

Un salto sincronizzato. Quindi chi sarà il secondo addento? Dovete scrivere AI2, quindi il secondo elemento della riga iesima, A, I2, per il secondo elemento della colonna J.

della matrice dice B e quindi a solito scrivo B2J, quindi B2J e così via. Si arriverà alla fine chi è l'ultimo addento e va bene. Dovete considerare l'ultimo elemento... della riga iesima della matrice A che ho chiamato AIP, quindi scrivo AIP, per l'ultimo elemento della colonna Giesima della matrice B, ovvero BPJ. Quindi B, P, J. Questo ovviamente lo dovete fare elemento per elemento.

Sembra una cosa molto difficile, ma ora con gli esempi vi farò vedere come eseguirlo praticamente. Non ci resta che fare alcuni esempi. Attenzione, gli esempi non saranno ripetitivi. Ogni esercizio ha delle caratteristiche diverse rispetto agli altri, quindi vi invito a visionarli tutti e tre.

Iniziamo dal primo esempio. Consideriamo due matrici. grande e B grande.

La prima matrice A, quella scritta in blu, è la seguente. 2, 1, 0. Poi meno 1, 1 e 3. Mentre la matrice B è la seguente. Sto facendo ovviamente degli esempi che sto inventando al momento. I numeri possono benissimo cambiare.

Allora, qui mettiamo 1, 2, meno 1, 0, meno 1, 0, 3, 1 e meno 5. Allora, ci chiediamo, è possibile essere eseguire il prodotto nell'ordine A per B, la cosa importante è che il numero di colonne della matrice A, ovvero 1, 2, 3 colonne, deve essere uguale al numero di righe della seconda matrice, quella B, quella scritta in rosso, ovvero 1, 2, 3. Benissimo, è compatibile il prodotto. A questo punto la matrice prodotto, che al solito chiamerò C grande, quante righe avrà e quante colonne avrà, in base a quello che abbiamo detto poco fa. erediterà le righe di A e le colonne di B, quindi sarà una 2 per 3. Quindi dobbiamo preparare una matrice C, quindi rettangolare, che avrà due righe e tre colonne.

Ci chiediamo chi sarà l'elemento C1-1, chi sarà l'elemento C1-2, C1-3, poi C2-1, C2-2. Dobbiamo applicare quello che ho spiegato poco fa in maniera generica, ma con l'esempio si chiarirà. meglio, cioè tramite il prodotto righe per colonne.

Quindi prepariamo questa bella matrice. Allora, chi è l'elemento C11? Cosa dobbiamo fare?

Dobbiamo selezionare la prima riga della matrice grande e la prima colonna della matrice B grande. Quindi non dobbiamo fare altro che, allora, abbiamo 1, 2, 3, ovvero 1, 2, 3. Abbiamo 3... addenti quindi lasciamo spazio per tre addenti allora cosa facciamo scrivo due quindi il primo elemento della prima riga ovvero due che moltiplica il primo elemento della prima colonna e quindi in questo caso per uno poi andiamo avanti facciamo un salto sincronizzato dobbiamo scrivere per quanto riguarda l'altro addendo uno quindi il secondo elemento della prima riga per ovviamente il secondo elemento della prima colonna di B.

Quindi per 0. E poi, infine, chi è l'ultimo addento? E va bene. Un altro salto, ovvero l'ultimo, dobbiamo scrivere 0, che moltiplica l'ultimo elemento della prima colonna di B. Quindi per 3. Andiamo a fare questi calcoletti.

Attenzione, in generale è una somma algebrica. 2 per 1, 2. più 1 per 0, 0 e quindi 2, più 0 per 3 è sempre uguale a 0, quindi 2 più 0 più 0 è uguale a 2. Quindi qui vado a mettere il mio elemento che è 2. Adesso andiamo a cercare chi è l'elemento della matrice prodotto C che sta nella prima riga e seconda colonna. Quindi chi è in questo caso C12? Allora dobbiamo selezionare sempre la prima riga della prima matrice. quindi quella di poco fa, mentre stavolta per quanto riguarda B dobbiamo selezionare la seconda colonna.

Al solito si tratta di una somma di tre termini. Allora cosa facciamo sempre? 2, quindi lo stesso elemento, che moltiplica il primo elemento della seconda colonna della matrice B, e che sarebbe in questo caso, e va bene, per 2. Già penso che avete capito il meccanismo.

Eventualmente ferro, fermate il video, continuiamo. e poi verificate tramite il mio video se avete fatto giusto o sbagliato. Quindi, 2 per 2. Poi, considero 1 per quanto riguarda l'altro addento, quindi 1, che moltiplica il secondo elemento della seconda colonna della matrice B, ovvero meno 1. E qui scrivo quindi meno 1. E infine, sempre il solito salto sincronizzato, 0 che moltiplica 1. Quindi, in blu scrivo sempre... 0, mentre in rosso scrivo 1. Allora, dobbiamo eseguire questi piccoli condicini. Allora, cosa abbiamo in questo caso?

2 per 2, 4, poi 1 per meno 1, meno 1, quindi 4 meno 1, 3, più 0. Quindi, in questo caso, 4 meno 1, 3, più 0, ovviamente risulta 3. E qui vado a mettere l'altro elemento, ovvero 3. Benissimo. Adesso vediamo chi è l'elemento C13. ovvero quello che sta nella prima riga e nell'ultima colonna, sempre della matrice C.

A solito dobbiamo selezionare la prima riga della matrice A, quindi quella di prima, e la terza colonna della matrice B. A solito ci saranno sempre tre addenti. Allora, di nuovo, 2 che moltiplica il primo elemento dell'ultima colonna di B, ovvero della terza colonna di B.

Quindi abbiamo sempre 2 che moltiplica meno 1, lo scrivo con il pennarello rosso, quindi per meno 1. Poi abbiamo, facciamo il solito saltello sincronizzato, 1 che moltiplica 0, quindi 1 che moltiplicherà lo 0 e infine abbiamo 0 che moltiplica meno 5. Utilizzo ormai i colori, quindi è 0 che moltiplica in rosso meno 5. Allora... Dobbiamo eseguire questi piccoli calcoletti, 2 per meno 1 meno 2, più 0 più 0, quindi risulta meno 2. Quindi qui abbiamo meno 2. Benissimo. Adesso ci dobbiamo occupare dell'ultima riga di C, ovvero chi sarà l'elemento C21, chi sarà l'elemento C22, chi sarà l'elemento C23. Allora, come prima, chi sarà in questo caso C21? A solito, per quanto riguarda il primo indice, quindi 2, Dobbiamo selezionare la seconda riga della matrice A, quindi stavolta tocca alla seconda riga.

Mentre per quanto riguarda la matrice B, dobbiamo selezionare la prima colonna, ovvero 1, 0, 3. A solito abbiamo sempre la somma di tre addenti. Allora, cosa scrivo? Meno 1 che moltiplica 1, quindi il prodotto righe per colonne. Quindi scrivo meno 1 che moltiplica... 1, il primo elemento della prima colonna sempre di B.

Poi facciamo il salto sincronizzato, quindi 1 per 0. Quindi utilizzo ormai i colori, qui scrivo 1 che moltiplica 0 e infine mettiamo 3 che moltiplica 3. Quindi abbiamo 3 per 3, quello blu e ovviamente quello scritto in rosso. Allora, eseguiamo questa banalissima. operazione.

Meno 1 più 0 più 9, 9 meno 1 è uguale a 8. Quindi questo è 8. Chi sarà a questo punto? Vado più veloce. C22, dobbiamo selezionare sempre la seconda riga della matrice A, però stavolta dobbiamo selezionare per quanto riguarda B la seconda colonna. Quindi qui abbiamo più più.

Allora è molto semplice, avete capito che si deve selezionare in tutti i casi sempre la seconda. Riga della matrice A, quindi qui metto sempre meno 1, qui metto 1 e qui direttamente 3. E invece per quanto riguarda la matrice B, la seconda colonna, e quindi abbiamo 2, meno 1, 1, quindi velocemente 2, poi abbiamo meno 1 e 1. Ora faremo il calcolo e per quanto riguarda invece C, 2, 3, chi sarebbe? Selezioniamo sempre la seconda riga di A, va bene, ma come prima, mentre... per quanto riguarda B, la terza colonna.

Quindi ci sono sempre i tre addenti. Per quanto riguarda gli elementi di A, a solito sono sempre meno 1, poi abbiamo 1 e poi abbiamo 3. Ma stavolta dobbiamo considerare gli elementi dell'ultima colonna. E quindi abbiamo meno 1, 0 e meno 5. Quindi meno 1, qui abbiamo 0 e qui abbiamo meno 5. Non ci resta che andare a fare sempre queste banalissime operazioni. Quindi meno 1 per 2, meno 2. Poi meno 1, meno 2, meno 1, meno 3. Meno 3 più 3 è uguale a 0 e qui mettiamo 0. Per quanto riguarda l'ultimo elemento abbiamo più 1 più 0 e poi 3 per meno 5 meno 15. 1 meno 15 meno 14. Quindi qui mettiamo meno 14. Quindi ecco chi è la nostra matrice prodotto, ovvero A per B. Allora, è stato possibile eseguire il prodotto A per B in quest'ordine, ma ci chiediamo...

È possibile eseguire il prodotto B per A? Ricordiamoci che la matrice B è una 3 per 3, mentre la matrice A è una 2 per 3. Se ci fate caso, il numero di colonne della prima non è uguale al numero di righe della seconda matrice, perché qui abbiamo 3 e qui abbiamo 2, quindi non è possibile eseguire il prodotto B. per A. Adesso vediamo un esempio in cui è possibile eseguire il prodotto A per B. Sarà possibile fare anche il prodotto B per A.

Ma ci chiediamo, le due matrici prodotto sono uguali? Lo scopriremo con l'esercizio che vi sto per proporre. Lo vediamo immediatamente. Consideriamo la matrice A, quella blu, la seguente. 1, 2, meno 3. E poi 0, 1, meno 1. Mentre la matrice B, che è...

indico in rosso è la seguente. Ad esempio, possiamo considerare 1, 2, 0, 0, 1 e meno 1, mettiamo. Allora, ci chiediamo, è possibile eseguire il prodotto nell'ordine A per B?

Se ci fate caso, la matrice A è una 2 per 3, la matrice B è una 3 per 2. Se ci fate caso, gli indici interni sono uguali, permettetemi il termine, interni, ovvero il numero delle colonne della matrice A è uguale al numero di righe della matrice B, è possibile eseguire il prodotto e la matrice prodotto sarà una 2 per 2, quindi sarà una matrice di ordine 2 quadrata che cominciamo a preparare. Allora, chi è il primo elemento? Qui abbiamo precisamente quattro elementi, C11, C12, C21, C22. Per quanto riguarda il primo elemento, selezioniamo la prima riga di A e la prima colonna di B, quindi 1 per 1, 1 più 2 per 2, 4, quindi 1 più 4, 5 e infine meno 3 per 0, 0, quindi in altre parole abbiamo 1 più 4 più 0 che risulta uguale a 5. Ora per quanto riguarda l'elemento C12, selezioniamo la prima riga di A, sempre quella, ma la seconda colonna di B.

Quindi abbiamo 1 per 0, 0, poi 2 per 1, 2 e infine più. meno 3 per meno 1 che risulta 3. In altre parole 0 più 2 che risulta 2, 2 più 3, 5. Quindi anche questo è uguale a 5. Coincidenza. Ora per quanto riguarda l'elemento C2, 1, dobbiamo selezionare stavolta la seconda riga della matrice A e di nuovo la prima colonna di B. Abbiamo 0 per 1, 0, poi più 1 per 2, 2, quindi siamo a 2, meno 0. Quindi in altre parole.

qui metto 2 e infine l'ultimo elemento ovvero seconda riga seconda colonna. Dobbiamo selezionare la seconda riga di A e la seconda colonna di B. Quindi 0 per 0 0. Andiamo avanti.

1 per 1 1 e poi meno 1 per meno 1 1 in altre parole 0 più 1 più 1 è uguale a 2. Se abbiamo ottenuto questa matrice in cui le due colonne sono uguali è una pura coincidenza. L'esercizio l'ho intentato a caso. Al di là di questo è possibile eseguire il prodotto A per B, ma ci chiediamo è possibile eseguire il prodotto B per A?

Ricopiamo le matrici nell'ordine B e A. Vado velocemente. La matrice B è una 3 per 2, la matrice A è una 2 per 3, se ci fate caso il numero di colonne della prima matrice è uguale al numero di righe della seconda matrice. In questo caso è possibile eseguire il prodotto B per A. Ma la matrice prodotto, attenzione, non sarà più una 2 per 2 come quella di poco fa, ma sarà una matrice avente 3 righe e 3 colonne.

Quindi al di là di chi sia la matrice già possiamo dedurre che in questo caso A per B è una 2 per 2, B per A è una 3 per 3, quindi le due matrici non saranno uguali. Questo cosa vuol dire che nel caso in cui, come in questo caso, si può fare il prodotto B per A... non è assolutamente detto che è uguale ad A per B. In altre parole, per le matrici non vale La proprietà commutativa per quanto riguarda l'operazione di prodotto.

Velocemente, chi è questa matrice? Ovviamente è una 3x3. Allora, molto semplice, per quanto riguarda il primo elemento, prima riga e prima colonna, quindi 1x1, 1, più 0. Direttamente, mettiamo 1, poi prima riga, seconda colonna, 1x2, 2, più 0, risulta sempre 2, prima riga, terza colonna, 1x-3, meno 3, e quindi più 0, sempre meno 3. Poi, seconda riga della prima matrice e prima colonna.

2 per 1, 2, più 0, quindi abbiamo 2. Poi 2 per 2, 4, più 1, 5. Poi 2 per meno 3, meno 6, meno 1, meno 7. E quindi abbiamo meno 7. Infine, per quanto riguarda la terza riga della matrice prodotto, cosa abbiamo? Allora, 0 per 1, 0, meno 1 per 0, 0, quindi 0. Poi 0 per 2, 0, meno 1 per 1, meno 1. E poi 0 per meno 3, 0, più... meno 1 per meno 1, abbiamo 1. Quindi ecco chi è il prodotto B per A.

Magari lo scriviamo esplicitamente, ovvero questa non è altro che la matrice prodotto B per A. Utilizzo i colori. Come si può notare, A per B si può fare, si può fare anche B per A, al contrario dell'esercizio precedente, ma le due matrici sono diverse. Diverse per quanto riguarda le dimensioni.

Infatti A per B è una 2 per 2, B per A è una 3 per... 3. Adesso invece vi faccio vedere un altro esempio in cui è possibile eseguire il prodotto A per B, è possibile eseguire il prodotto B per A, ma le due matrici stavolta avranno la stessa dimensione. In questo caso ci chiediamo ma le due matrici A per B e B per A, visto che hanno lo stesso numero di righe, come vedremo, e lo stesso numero di colonne, saranno uguali?

Lo scopriremo con l'esercizio che sto per proporvi. Date due matrici a grande la matrice quella scritta in blu che è una 3x3, quindi una matrice quadrata di ordine 3. La stessa cosa per quanto riguarda B, quella scritta in rosso, è sempre una matrice quadrata di ordine 3. È possibile seguire il prodotto nell'ordine A per B? Certamente.

Il numero di colonne della prima è uguale al numero di righe della seconda. È possibile seguire il prodotto e la matrice prodotto, quella che abbiamo chiamato C, è una 3x3. E quindi qui preparo una matrice quadrata di ordine 3. Velocemente andiamo a costruire la seguente matrice.

Se volete fermate il video, esercitatevi voi, poi mandate in start il video e vedete se il risultato ottenuto da voi è uguale a quello che ottengo io. Allora, al solito prima riga, prima colonna. Quindi è 0, 0 e 0. Quindi qui abbiamo 0. Poi prima riga, seconda colonna. Abbiamo 1, poi 0 e 2. E quindi...

3, la somma. Poi 1 più 0 più 2, ovvero sempre 3. Poi, per quanto riguarda la seconda riga, 0 per 0, poi meno 2 per meno 1, sempre 2 e 0. Quindi qui mettiamo 2, poi 0, poi abbiamo 0 e 0, qui abbiamo 0. Poi 0, qui abbiamo meno 4 e 0, quindi qui mettiamo meno 4. L'ultima riga, meno 3 per 0, quindi 0. 0 e 0, quindi qui rimane sempre 0, meno 3 per 1, meno 3, più 0, più 5, meno 3 più 5, 2 e infine ultima riga, ultima colonna, meno 3, 0 e 5, meno 3 più 5 è uguale a 2. Quindi ecco la matrice A per B. Ci chiediamo, è possibile eseguire il prodotto B per A? E va bene, osservate, abbiamo sempre una 3 per 3 e una 3 per 3. ma in questo caso il numero di colonne di B, che sarebbe la prima matrice, è uguale al numero di righe di A. Quindi è possibile eseguire il prodotto B per A.

Ed è sempre una matrice dello stesso ordine, quindi qui otteniamo sempre una matrice 3 per 3. Ci chiediamo, sarà uguale alla matrice A per B? Non ci resta che scrivere le due matrici però nell'ordine inverso. Vado veloce. Ricopiato tutto nell'ordine corretto. eseguiamo il prodotto B per A.

Prima riga, prima colonna, 0, 0 e meno 3. Quindi qui abbiamo meno 3. Già potete vedere che il primo elemento della matrice A per B è diverso dal primo elemento della matrice B per A. Va bene, andiamo avanti. Prima riga, seconda colonna, 0, meno 2, 0. Quindi abbiamo meno 2, poi 0, 0 e 5. Poi seconda riga, prima colonna, meno 1 più 0, meno 6. Meno 1, meno 6. meno 7, poi seconda riga, seconda colonna, 0, 0, 0, poi meno 2, poi meno 3, poi meno 2, 0, 5 per 2, 10, 10 meno 2, 8. Poi, terza riga, prima colonna, 0, 0, meno 3. Poi, 0, meno 2, 0, quindi rimane meno 2. 2 e infine 0, 0, 1 per 5, 5. Quindi come potete vedere è possibile eseguire A per B.

È stato possibile eseguire anche B per A, matrici dello stesso ordine. 3x3 e 3x3, ma se ci fate caso a per b è diverso da b per a. Quindi in generale il prodotto non gode della proprietà commutativa quando operiamo con le matrici. Attenzione, non sto dicendo che a per b non è mai uguale a b per a.

Ci sono dei casi selezionati in cui a per b è uguale a b per a. Ne conosciamo qualcuno, ma certamente se considero una matrice quadrata di ordine n. Per esempio, potrei considerare la matrice A. Se la moltiplico a destra o a sinistra per la matrice identità, in questo caso il prodotto è commutativo.

Quindi, in generale, considero una matrice A grande, avente n righe ed n colonne. Se considero A per I, dove I è la matrice identità di ordine n, questa è anche uguale ad I con n, ovviamente, che moltiplica A. Un altro caso è quello che riguarda la matrice inversa. Attenzione, non parlerò di matrice inversa.

Ho già realizzato un video in cui spiego quando una matrice è invertibile e nel caso in cui dovesse essere invertibile, come determinare l'unica matrice inversa. Vi rimando al video dedicato. Ma in questa sede voglio farvi notare che se A è una matrice di ordine n invertibile e chiamo con A alla meno 1 la sua inversa, se considero il prodotto nell'ordine A per A alla meno 1, questo è uguale anche ad... a alla meno 1 per a.

In questo caso vale la proprietà commutativa, ma attenzione sono casi selezionati. Quindi con questi tre esempi vi ho fatto vedere come eseguire il prodotto tra due matrici e vi ho fatto notare che magari è possibile eseguire il prodotto a per b, ma non è possibile eseguire il prodotto b per a, vedi primo esercizio. O magari è possibile eseguire il prodotto a per b, è possibile eseguire il prodotto b per a, ma le due matrici prodotto hanno dimensioni. diverse. E nell'ultimo esempio vi ho fatto vedere che magari è possibile seguire il prodotto A per B, è possibile seguire il prodotto B per A.

Le due matrici prodotto hanno la stessa dimensione, ma le due matrici sono diverse. Quindi con questi tre esercizi chiudo qui la presente lezione. Come al solito vi do appuntamento sempre nel mio canale per ulteriori contenuti di matematica. Grazie per l'attenzione, ciao a tutti!

Transcript for:Lezione sul Prodotto tra Matrici

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Lezione sul Prodotto tra Matrici