Trigonomeetriliste Võrrandite Graafiline Lahendamine

Sissejuhatus

• Trigonomeetrilisi võrrandeid leidub igal pool maailmas, näiteks looduskeskkonnas.
• Trigonomeetriline võrrand sisaldab tundmatut, mis esineb ainult trigonomeetrilise funktsiooni argumendis.
• Peamised üldkujud:
  • ( \sin{x} = m )
  • ( \cos{x} = m )
  • ( \tan{x} = m )
  • ( \cot{x} = m )

Siinusfunktsioon

• Funktsioon: ( y = \sin{x} )
• Olulised väärtused:
  • 0 kraadi (0 radiaani): ( \sin{0} = 0 )
  • 30 kraadi (( \frac{π}{6} )): ( \sin{\frac{π}{6}} = \frac{1}{2} )
  • 45 kraadi (( \frac{π}{4} )): ( \sin{\frac{π}{4}} = \frac{\sqrt{2}}{2} )
  • 60 kraadi (( \frac{π}{3} )): ( \sin{\frac{π}{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2} )
  • 90 kraadi (( \frac{π}{2} )): ( \sin{\frac{π}{2}} = 1 )
• Graafiku joonistamine: Kasutada neid olulisi punkte, et joonistada siinusfunktsiooni graafik käsitsi.
• Näide lahendusest lõigus 0 kuni 2π:
  • Võrrand: ( \sin{x} = 0.5 )
  • Lahendid: ( \frac{π}{6} ) ja ( \frac{5π}{6} )

Koosinusefunktsioon

• Funktsioon: ( y = \cos{x} )
• Seos siinusfunktsiooniga: Koosinuse graafik on nihutatud siinusfunktsioonist mööda x-telge 90 kraadi (( \frac{π}{2} )) võrra.
• Olulised väärtused:
  • 0 kraadi (0 radiaani): ( \cos{0} = 1 )
  • 30 kraadi (( \frac{π}{6} )): ( \cos{\frac{π}{6}} = \frac{\sqrt{3}}{2} )
  • 45 kraadi (( \frac{π}{4} )): ( \cos{\frac{π}{4}} = \frac{\sqrt{2}}{2} )
  • 60 kraadi (( \frac{π}{3} )): ( \cos{\frac{π}{3}} = \frac{1}{2} )
  • 90 kraadi (( \frac{π}{2} )): ( \cos{\frac{π}{2}} = 0 )
• Näide lahendusest lõigus 0 kuni 2π:
  • Võrrand: ( \cos{x} = \frac{\sqrt{2}}{2} )
  • Lahendid: ( \frac{π}{4} ) ja ( \frac{7π}{4} )

Tangensifunktsioon

• Funktsioon: ( y = \tan{x} )
• Olulised väärtused:
  • 0 kraadi (0 radiaani): ( \tan{0} = 0 )
  • 30 kraadi (( \frac{π}{6} )): ( \tan{\frac{π}{6}} = \frac{\sqrt{3}}{3} )
  • 45 kraadi (( \frac{π}{4} )): ( \tan{\frac{π}{4}} = 1 )
  • 60 kraadi (( \frac{π}{3} )): ( \tan{\frac{π}{3}} = \sqrt{3} )
  • 90 kraadi (( \frac{π}{2} )): ( \tan{\frac{π}{2}} ) väärtust ei ole (läheneb lõpmatusele).
• Näide lahendusest lõigus 0 kuni 2π:
  • Võrrand: ( \tan{x} = 1 )
  • Lahendid: ( \frac{π}{4} ) ja ( \frac{5π}{4} )

Teisendatud Trigonomeetrilised Võrrandid

• Näide: ( y = \cos{2x} )
  • Joonisel kitsam graafik, kuna koosinuse väärtused korduvad sagedamini.
• Näide lahendusest lõigus 0 kuni 2π:
  • Võrrand: ( \cos{2x} = -1 )
  • Lahendid: ( \frac{π}{2} ) ja ( \frac{3π}{2} )

Keerulisem Ülesanne

• Ülesanne: Lahendada graafiliselt võrrand ( \sin{x} = \cos{2x} ) lõigus 0 kuni 2π.
• Lahendus: Joonistada mõlemad graafikud ja leida lõikepunktid:
  • Lahendid: ( \frac{π}{6} ), ( \frac{5π}{6} ) ja ( \frac{3π}{2} )

Kokkuvõte

• Graafiline lahendamine sobib teatud lahenduste leidmiseks, kuid täpsemate väärtuste leidmiseks kasutatakse trigonomeetriliste võrrandite lahendi valemeid.
• Graafiline lahendamine annab visuaalse ülevaate ja aitab mõista lahendite olemust.
• Praktika ja harjutused on olulised trigonomeetriliste võrrandite lahendamisel.