Tere! Mina olen Gönn. Mina olen Tarjus. Ning mina olen Asmus. Ja me õpetame teile, kuidas lahendada trigonometrisi võrrandid graafiliselt.
Trigonometrisi võrrandid võib leida igal pool maailmas. Näiteks siin Piritarannal, kus merel ainetamist saab ise loomustada trigonometrisite võrranditega. Ja ka siin lumasees leiab ka trigonometrisi võrrandid üles. Aga mis need täpsemalt on?
Ja kuidas nende lahendamine käib? Trigonomeetriliseks võõrandiks nimetatakse sellist võõrandit, mille stundmatu esineb ainult trigonomeetrilise funksiooni argumentis. Selliste võõrandite üldkujud on sinx võõdub m, cosx võõdub m, tangens x võõdub m ja kootangens x võõdub m. Kõiki neid võõrandid oled eelna oot kohanud. Nüüd on aga aeg hakata neid graafiliselt uurima.
Esimene funksioon, mida käsitleme, on y võõdub sinx. Et seda käsitsioonistada, on kasulik võtta siinased on tõd väärtuste. liigikaudne väärtus. Kuna joonistumisel on lihtsam kasutada radiaane, siis siin näitame ka neid. 0 graadiga, ehk 0 radiaaniga, on siinus 0. 30 graadiga, ehk pii 6-endikuga, on siinus 1-2-endik, ehk liigikaudselt väärtust pole vaja võtta.
45 graadiga, ehk pii 4-endikuga, on siinus ruutjur 2-2-endiku, ehk kumg kaud 0,7. 60 graadiga, ehk pi kolmandiku radiaaniga on siinus rutjur kolm kahendiku, ehk kumb kaudu 0,9. 90 graadiga, ehk pi kahendikuga on siinus 1 ja nii edasi. Kasutates neid punkte on võimalik siinuse graafikut kõik käsitse juonistada.
Lahendita leidmiseks tuleb lisada lihtsalt vastav siinuseväärtus koordinaateljastikule. Kuna trigonomeetrilised graafikud on lõpmata kui pikkusega, otsitakse lahendeid enamasti kindlas lõigus. Võtame näiteks lõigu 0-2 pii ja siinuse väärtuseks 0,5.
Joonistame tellestikule Y võrdub 0,5. Kui see on tehtud, tekib võrrand siinus x võrdub 0,5. Siis harjutate oma funksionaalset nägemist ja lõike punktide koodu saame lahendit kätte.
Selle kindla võrrandi lahenditeks lõigus 0-2 pii on pii kuuendiku ja 5 pii kuuendiku. Nimoodi saab igat siinus võrrandit lahendada. Koosinusfunktsioon on kujult samasugune kui siinusfunktsioon, aga siinusfunktsiooniga võrreldes mööda x-telge nii kui nüüd 80 graadi, ehk pii kahendiku võra. Nüüd, kui koordinateljastikul on koosinus graafik, on näha, et punktis piineljandiku, ehk 45 graadi juures, graafikud lõikuvad. Mõlema väärtus on ruutjuur 2 ja katut 2. Kui siinuse korral oli lahend 0,5 siis, kui nurk oli 30 graadi, siis koosinuse korral on lahend 0,5 hoopis siis, kui nurk on 60 graadi.
Koosinus 30 graadist on sama, mis oli siinus 60 graadist, ehk ruutjuur 3 ja katut 2. Näiteks, proovime lahendada võrandi cos x võrdub root juur 2 ja kattud 2ga, jälle lõigus 0-2 piid. Selleks, et leida võrandi lahendid, tuleb joones seda y võrdub root juur 2 ja kattud 2ga graafik ning seejärel tuleb vaadata lõikepunktide x-koordinaati. On näha, et esimene lõikepunkt asub x-teljekoordinaatil piineljandiku, ehk juures ning teine 7 piineljandiku, ehk juures.
Ja ära kutsu! saime anda vastuse, et lõigust 0-2 piini lahendi hulka x kuuluvad lahendid pii neljandiku ja 7 pii neljandiku. Tangensi graafik on natuke teissugune võrreldes eelmistaga. Esiteks on tangensile erinevad nurga väärtused. 0 graadi, ehk 0 röödaani on 0, 3 graadi, ehk pii kuumendiku, ruutjõuru 3 kolmandiku, 45 graadi, ehk pii neljandiku on 1, 60 graadi, ehk pii kolmandiku on ruutjõuru 3 ja 90 graadi juures, ehk pii kahendiku on 0. vähendiku juures väärtust ei ole, mis tähendab, et graafik pidevalt läheneb sellele, aga sinna kunagi ei jõua.
Ning sealt edasi peaksite kasutama enda eelnevaid teadmisi, et graafikat edasi onnistada. Nüüd kui mul see graafik on olemas, saame teha nii nagu teistelgi, liisada sirge. See kord Y võrdub 1 ning leiame lõikepunktid lõigust 0 kuni 2 pi.
Nagu näha on, telestikul on kaks lõikepunkti, mille väärtusteks on pi neljandik ja 5 pi neljandik. Nüüd vaatame ka teisendatud regulamentilist võrandit. Näiteks kahekordis saame muutu et x koos jõus võrandis.
Saame igrek võrdub koosinus 2x. Selle võrandi korral muutub koosinus oli kaks korda kitsamaks. Ehk kui varem oli x-tel ja positiivse suunas väärtus esimest korda 0 pii kahendiku juures, nüüd asub see väärtus 0 igrek teli olema kaks korda lähemal, ehk pii nelendiku juures.
Võtame võrandi võrdseks miinusväega. Ehk koosinus 2x võrdub miinus 1. Selle lahend samas piirkonnas 0-2 piini on jooniselt vaardes pii kahendiku ja 3 pii kahendiku. Lõpetuseks jätame ühe ülesande teelise lahendada.
See on eelnevatest ülesandetes natuke keerulisem, kui täiesti aru saadav. Mõlemale võrandi poole tuleb see kord muutuja. Palun prooviga lahendada graafiliselt võrand sinx võrdub cos2x piirkonnas 0-2 piini. Pange nüüd videopausile ning jätkatke siis, kui ülesanne on lahendatud. Loodan, et saite hakkama.
Nüüd on aeg kontrollida. Lahendamiseks tuli mõlemad graafikud joonisele kanda. Proovides teha võimalikult täpselt jooned. Seejärel, selleks et leida võrandi lahendid, peame leidma punktid, kus graafikutel on sama väeltus, ehk nende lõikepunktid, ning lahendiks on nende punktide x-koordinaat.
Jooniselt on ilusti näha, et võrandi lahendid vahelmikust 0-2 piini on pii kuendiku, 5 pii kuendiku ja 3 pii kahendiku. Tõepõhimõte Nagu võis juba aru saada, siis graafiline lahendamine töötab ainult kindlate heade nurkade leidmisel, kuna jooniselt ei ole võimalik nii täpselt lahendeid leida. Selleks, et leida täpseid väärtuseid, kasutatakse trikonomeetriliste võõrandite lahendi valemeid. Need valemid ei anna otseselt lahendit, sest need on lõpmatult palju, või nad annavad avaldise, milles muutuja on täis arv, mille väärtuse muutmisel saadakse kätte kõik lahendid. Loodame, et saite trigonomeetriliste võrrandite lahendamise graafiliselt selgeks ning pidage meeles, jooge vett, kinnitage turvööd ning vältige matemaatilist vägivalda!