Spazi Vettoriali e Basi

Concetti Fondamentali

Spazio Vettoriale: Uno spazio definito su un campo K; può avere dimensioni diverse.
Base: Un insieme di vettori linearmente indipendenti che generano lo spazio.
- Un vettore nello spazio può essere scritto in modo unico come combinazione lineare dei vettori della base.
- I coefficienti di questa combinazione sono detti componenti o coordinate del vettore rispetto alla base.
Corrispondenza Bionivoca: Esiste una corrispondenza uno-a-uno tra vettori dello spazio e sequenze di numeri del campo K.

Si associano vettori di uno spazio vettoriale a vettori di un altro.
Richieste di compatibilità con operazioni di somma e prodotto scalare.
Introdotte come strumenti per tradurre problemi complessi in forme più semplici.

Polinomi: Possono essere trattati come sequenze di coefficienti che li rappresentano.
- Es.: Polinomi di grado ≤ 3 in R possono essere rappresentati da sequenze di 4 numeri reali.
- Somma e prodotto scalare tra polinomi equivalgono a operazioni sulle sequenze di numeri.

Descrizione del sottospazio: Descritto tramite equazione lineare x₁ = 2x₂ + 4x₃.
Determinazione della base: Si trovano le basi ponendo x₂ e x₃ come parametri liberi.
Conclusione: La dimensione del sottospazio è 2, i vettori {u₁, u₂} formano una base.

Base iniziale: Quattro vettori {v₁, v₂, v₃, v₄} formano una base di uno spazio vettoriale.
Sottospazio U: Generato da tre vettori {u₁, u₂, u₃}.
Determinazione della dimensione: Si verifica la dipendenza lineare tra i generatori.
Conclusione: Dimensione di U è 2 con base {u₁, u₂}.

Intersezione U ∩ W: Determinata tramite parametri liberi; dimensione trovata è 1.
Somma U + W: Calcolata usando la formula di Grassmann; si conclude che U + W coincide con l'intero spazio V.
Base per Intersezione e Somma: Base dell'intersezione trovata tramite un vettore specifico, mentre la base della somma coincide con la base di V.

Formula: Collegamento tra dimensione della somma, intersezione e singole dimensioni dei sottospazi.
Applicazione: Usata per dedurre dimensioni sconosciute e verificare calcoli esatti.

Gli spazi vettoriali, attraverso basi e coordinate, permettono di trasformare problemi complessi in operazioni più semplici.
Le funzioni tra spazi vettoriali facilitano la risoluzione di problemi traducendoli in contesti numerici più agevoli.
La comprensione delle basi e delle dimensioni è fondamentale per studiare le proprietà di sottospazi e le relazioni tra di essi.