Fissiamo uno spazio vettoriale su un qualche campo, quindi uno spazio vettoriale di dimensione qualsiasi, su un campo K qualsiasi, potete immaginare il campo dei numeri reali ma non è restrittivo, e immaginate di fissare una base, quindi un numero di vettori pari alla dimensione dello spazio vettoriale, in questo caso n, i vettori di 1, di 2, fino a n, che siano un insieme di generatori e che siano anche linearmente indipendenti, quindi che sia una base. Noi abbiamo già dimostrato che ogni vettore dello spazio vettoriale si può scrivere in modo unico come combinazione lineare dei vettori di questa base. Quindi questi coefficienti I coefficienti lambda1, lambda2 e così via fino a lambdaN che compaiono nella scrittura del vettore V come combinazione lineare dei vettori della base fissata sono determinati in modo unico. Sono quelli che noi chiameremo le componenti o le coordinate se preferite del vettore V rispetto alla base fissata.
stata costituita dai vettori da v1 fino a vm. In altre parole, quello che si viene a creare in questo modo è una corrispondenza b univoca fra i vettori v che appartengono al nostro spazio vettoriale e delle sequenze di numeri, le sequenze di coefficienti, le sequenze di scalari lambda1, lambda2 fino a lambdan che appartengono a k. elevato alla n, k alla n è semplicemente l'insieme delle sequenze costituite da n elementi di k. Questo che cosa vuol dire? Vuol dire che ad ogni vettore v noi riusciamo ad associare una ed una sola sequenza di elementi di k, di numeri.
E viceversa, ad ogni sequenza di n elementi di k possiamo associare in modo unico un vettore di V. Questo è il significato di corrispondenza B univoca. Ad ogni elemento dell'insieme di sinistra corrisponde uno ed un solo elemento dell'insieme di destra e ad ogni elemento dell'insieme di destra corrisponde uno ed un solo elemento dell'insieme di sinistra. Questo significa che voi riuscite essenzialmente a identificare l'intero spazio vettoriale V con lo spazio vettoriale K-Leg. la n.
Gli elementi potrebbero essere molto diversi, perché dicevo, lo spazio vettoriale v è uno spazio vettoriale qualsiasi, non so chi siano gli elementi, potrebbero essere i classici vettori che trovate nei corsi di fisica, certamente, ma potrebbero anche essere cose molto più complicate, potrebbero essere dei polinomi, potrebbero essere delle funzioni, potrebbero essere altre cose come vedremo, delle matrici e così via, mentre gli elementi elementi di k alla n sono semplicemente delle sequenze di numeri con i quali è molto più agevole lavorare perché le operazioni di somma fra sequenze di numeri si fanno sommando componente per componente, le operazioni di prodotto fra un elemento di k alla n e uno scalare si fanno semplicemente moltiplicando tutti gli elementi della sequenza di numeri per lo stesso scalare e così via. Questo è un esempio di quelle che studieremo a partire dalla prossima lezione, cioè delle funzioni fra spazi vettoriali. Quindi vedete, siamo naturalmente portati, con questo esempio, a interessarci a quelle che sono le funzioni fra due spazi vettoriali, quindi funzioni che a un certo vettore v di un spazio vettoriale associano un altro elemento.
un altro vettore di un diverso spazio vettoriale e naturalmente come studieremo queste qui non sono funzioni qualunque perché essendo funzioni che lavorano fra due spazi vettoriali spazio-vettoriali, sarà naturale richiedere che queste funzioni, tra virgolette, si comportino bene, cioè siano compatibili con le operazioni che definiscono la struttura di spazio-vettoriale, che sono precisamente le operazioni di somma di due vettori e di prodotto tra un vettore e uno scalare. Quindi, vedete, studiando queste funzioni, Questo tipo di argomenti si viene portato in modo naturale a pensare, a studiare non solo spazi vettoriali ma anche funzioni fra spazi vettoriali. Questa è un po'la motivazione per introdurre quello che faremo.
Tra l'altro questa è una cosa molto utile perché alla fine, ma su questo ci ritorneremo abbondantemente quando studieremo in dettaglio le funzioni fra spazi vettoriali, ma insomma già si comincia a intravedere una cosa molto importante. perché il fatto che questa sia una corrispondenza bionivoca, quindi associ ad ogni elemento dell'insieme di sinistra uno di un solo elemento dell'insieme di destra e viceversa, vuol dire essenzialmente che tutto quello che si può fare all'interno dello spazio vettoriale V si può tradurre in operazioni che si possono fare all'interno dello spazio vettoriale KN che naturalmente essendo definito in modo molto concreto concreto permettervi di risolvere eventuali problemi in modo molto più agevole. Come vedremo la conseguenza di questo sarà che alla fine ogni spazio vettoriale di dimensione n, quella che volete, definito su un certo campo k sarà essenzialmente la stessa cosa che k alla n.
Tutti gli spazi vettoriali alla fine si possono ridurre a esempi molto concreti. Faccio un esempio proprio per chiarire questo punto. immaginate di considerare uno spazio vettoriale che abbiamo già incontrato spazio vettoriale di polinomi quindi in questo caso particolare prendo polinomi nella indeterminata x ad esempio di grado minore o uguale di 3 e a coefficienti reali gli elementi di questo spazio vettoriale sono pertanto dei polinomi che si scrivono in questo modo, diciamo a0 è il termine noto, il coefficiente del termine di grado 0, potrei scrivere a0 che moltiplica x elevato alla 0, intanto poi x elevato alla 0 so che è uguale a 1, poi ci sarà il termine di grado 1, quindi a1 per x, o se preferite x elevato alla 1, ma è la stessa cosa, il termine di secondo grado, a 2 per x alla seconda e il termine di terzo grado a 3 per x alla terza.
Naturalmente un polinomio non è la stessa cosa che una sequenza di numeri. Una sequenza di numeri è un elemento di r alla n per un palco n, un polinomio invece è una funzione che se voi attribuite un determinato valore. all'indeterminata x vi restituisce un determinato valore, il valore della funzione calcolata in quel punto.
Ciò non di meno, per l'esempio di prima, noi vedremo adesso come ad ogni polinomio si possa associare in modo ben definito una unica sequenza di numeri, i quali poi permettono a loro volta di ricostruire il polinomio dato, perché c'è questa corrispondenza bionivoca, corrispondenza 1-1, fra polinomi e sequenze di numeri. Il tutto ovviamente dipende dalla scelta di una base, come dicevamo. andiamo nell'esempio precedente, perché è solamente dopo aver scelto una base che io posso scrivere un qualunque vettore, in questo caso un polinomio, come combinazione lineare di vettori di base. Nel caso dei polinomi c'è una base evidente che salta subito agli occhi, che è essenzialmente quella scritta qui, quella che è composta dai mononomi di grado 0, quindi x elevato a 0, che è uguale a 1, x elevato a 0, che è uguale a 1, x elevato alla 1, x elevato alla 2 e x elevato alla 3. Questi quattro polinomi, molto semplici, sono dei monomi, permettono di costruire tramite combinazioni lineari ogni polinomio di grado minore uguale di 3 esattamente come scritto qui sopra. Vedete, un generico polinomio di grado minore uguale di 3 è semplicemente una combinazione lineare di questi quattro, chiamiamoli vettori d'accordo.
quindi questi quattro monomi che sono v1, la costante 1, v2, x elevato alla 1, v3, x al quadrato e v4 che è x alla terza. In altre parole, questi quattro vettori, questi quattro polinomi, sono una base del nostro spazio. e di conseguenza questa scrittura qui non è altro che questa qui, cioè la classica scrittura di un qualunque vettore, in questo caso il polinomio f di x, come combinazione lineare dei quattro vettori che formano una base, quattro polinomi in questo caso che formano una base. Questo significa che Ad ogni polinomio f di x io posso associare quattro numeri. I quattro numeri ovviamente chi sono?
Ma sono semplicemente i quattro coefficienti che compaiono nell'espressione del polinomio, cioè il coefficiente del termine di grado 0, il coefficiente del termine di grado 1, coefficiente del termine di grado 2 e il coefficiente del termine di grado 3. E questa naturalmente è una corrispondenza biomivoca, sapete benissimo che se voi avete un polinomio, il coefficiente sono definiti in modo unico, viceversa se voi vi fissate quattro numeri reali, a questi quattro numeri reali potete far corrispondere uno ed un solo polinomio, è il polinomio che ha quei quattro numeri che avete scelto come coefficienti. Alla fine cosa voglio dire con questo discorso? Voglio dire che...
Seppur è vero che i polinomi non sono sequenze di numeri reali, siccome ad ogni polinomo posso associare una sequenza di numeri reali in modo unico, Alla fine, lavorare con polinomi è esattamente la stessa cosa che lavorare con delle sequenze di numeri reali. Ad esempio, se io ho due polinomi e devo fare... la somma, quindi devo trovare il polinomio che si ottiene dalla somma di questi due polinomi, potrei lavorare dal lato destro di questa corrispondenza dicendo che invece di sommare i due polinomi prendo i coefficienti a0, a1, a2, a3 di ciascuno dei due polinomi e poi sommo queste sequenze di numeri fra di loro, sommo questi vettori di R4 fra di loro.
Ovviamente Il vettore che troverò, cioè la sequenza di 4 numeri che ottengo sommando queste due sequenze, è esattamente quella sequenza che contiene i coefficienti del polinomio ottenuto come somma dei due polinomi. Quindi capite? Voi trasformate un problema relativo a dei polinomi in un problema relativo a sequenze di numeri.
L'esempio è molto semplice, però questo si può fare in generale. Se voi avete uno spazio vettoriale astratto dove... dove potenzialmente risulta difficile lavorare, trasformate questo spazio vettoriale in uno spazio del tipo Rn, dove n sarà la dimensione, e invece di lavorare nello spazio vettoriale originale, andrete a lavorare in Rn, dove tutte le operazioni diventano molto semplici in questo caso.
Comunque appunto, questo poi era per motivare l'introduzione delle funzioni lineari di cui parleremo abbondantemente in seguito. Come vi dicevo, con la lezione precedente abbiamo un po'... abbiamo concluso la trattazione degli spazi vettoriali e dei sottospazi vettoriali e allora mi sembra il caso di fare un po'di ripasso vedendo alcuni esercizi che sono essenzialmente esercizi tratti dai temi d'esame, quindi siamo già a un livello sufficiente a poter affrontare alcuni degli esercizi assegnati nei vecchi temi d'esame. Cominciamo con questo.
In questo esempio, in questo esercizio, ho considerato come spazio vettoriale R3, il solito spazio tridimensionale reale. All'interno di R3 ho preso un sottospazio. Questo sottospazio è descritto da un'equazione lineare, un'equazione di primo grado, omogenea, cioè con termine noto uguale a zero, nelle indeterminate... x1, x2, x3 che sono le tre indeterminate con cui rappresentiamo le componenti di un generico vettore di R3 qui le domande sono sempre Alla fine abbiamo un sottospazio vettoriale, bisogna trovare la dimensione di questo sottospazio e anche una base di questo sottospazio. Allora, vorrei segnalarvi che essenzialmente ci sono due modi per descrivere un sottospazio vettoriale.
Uno è quello di fornire una base di uno spazio vettoriale, cioè fornire dei vettori che siano una base del sottospazio vettoriale. Chiaramente, se io conosco una base di un sottospazio vettoriale, conosco l'intero sottospazio vettoriale. Perché? Perché ogni vettore di questo sottospazio si potrà scrivere come combinazione lineare dei vettori della base. Quindi, sapendo la base, riesco a costruire.
tutti i vettori del sottospazio. Non è l'unico modo. Un altro modo è quello che troviamo in questo esempio qui. Invece di fornire una base, quindi di darvi un elenco esplicito di quali sono i vettori che generano questo sottospazio, io vi fornisco un'equazione. Vi sto dicendo che i vettori del sottospazio che sto considerando sono tutti quelli che quei vettori le cui coordinate sono soluzioni di questa equazione qui.
Allora che cosa succede? Succede che se io vi do l'equazione, voi non sapete chi è la base. Quindi il problema sarà come faccio, data l'equazione, a trovare la base. Viceversa, se io vi avessi dato la base, voi non sapreste l'equazione. E quindi in quel caso la domanda sarebbe stata, va bene, questi sono i vettori di base, chi è l'equazione che descrive?
e il sottospazio. Questi sono un po'i due problemi che incontreremo costantemente. Allora, per il momento occupiamoci di questo, dall'equazione trovare la base, poi più avanti vedremo come si fa il contrario, dalla base ricostruire l'equazione del sottospazio. Allora, in questo caso... Abbiamo una sola equazione in tre incognite.
In generale, invece di una sola equazione, potremmo avere un sistema di equazioni lineari. Come vi dicevo, questo è un caso molto particolare in cui il nostro... sistema di equazioni lineari si riduce a una sola equazione nelle tre incognite x1, x2, x3.
Che cosa succede? Succede che avendo una sola equazione noi possiamo ricavare una sola delle tre incognite. Ad esempio... Potreste lasciare l'incognita x1 a sinistra dell'uguale e portare a destra dell'uguale i termini che contengono le incognite x2 e x3.
In questo modo trovate che x1 è uguale a 2x2. 2 più 4 x3. Questo significa che x1 è determinata in funzione dei valori di x2 e x3, ma x2 e x3 invece sono indeterminati, non abbiamo ulteriori valori. equazioni da usare per ricavare x2 e x3. In conclusione, una delle tre incognite è determinata, le altre due sono libere di variare, quindi diciamo che abbiamo due parametri, due incognite libere di variare e quindi questa equazione in effetti ammette infinite soluzioni, infinite soluzioni che dipendono però da due parametri.
due parametri liberi di variare. Quello che io vi farò vedere adesso è che il numero di parametri liberi di variare che trovate risolvendo i sistemi di equazioni lineari corrispondono esattamente alla dimensione del sottospazio vettoriale, cioè alla dimensione dell'insieme delle soluzioni questo sistema di equazioni lineari. Questa è una cosa molto generale, ora vi farò la descrizione dettagliata una volta per tutte, ma poi in seguito, quando avremo capito che il numero di parametri liberi di variare corrisponde esattamente alla dimensione dello spazio delle soluzioni del sistema di equazioni lineari, concluderemo direttamente che la dimensione è 2 senza fare tutti i calcoli che adesso vi farò.
ben esistificare. questa affermazione. Come mai allora il numero di parametri liberi di variare corrisponde esattamente alla dimensione dell'insieme delle soluzioni di questa equazione lineare? Si può ragionare in questo modo Siccome x2 e x3 sono dei parametri liberi di variare, quindi possono assumere qualunque valore reale, io potrei dire che arbitrariamente decido di porre x2 uguale a un certo numero reale che chiamo A e X3 uguale a un certo numero reale che chiamo B.
Naturalmente A e B sono liberi di variare perché non ho fatto nulla in realtà, ho solo cambiato i nomi. Quella cosa che si chiamava X2 adesso si chiama A, ma A e X2 sono esattamente la stessa cosa e quella che si chiamava X3 si chiama B, ma naturalmente sono due nomi per indicare lo stesso oggetto. Questa uguaglianza x1 uguale a 2x2 meno 4x3 si può allora riscrivere in questo modo x1 uguale a 2a meno 4b proprio perché x2 l'ho chiamato a e x3 l'ho chiamato b. Di conseguenza posso scrivere le soluzioni della mia equazione in questo modo. Ricordatevi che...
Le soluzioni della equazione che stiamo considerando costituivano i vettori del sottospazio U. Quello che ho scritto qui sopra ci dice semplicemente che un generico vettore V di coordinate x1, x2, x3 che appartiene al sottospazio U e che pertanto soddisfa l'equazione che abbiamo appena accettato cercato di risolvere, ha le seguenti coordinate. Vediamo, x1 è uguale a 2a meno 4b, quindi qui scrivo 2a meno 4b al posto di x1.
x2 è uguale ad a, eccolo qui, e x3 è uguale a b. Quindi vedete, un generico vettore che appartiene al sottospazio u si scrive in questo modo. Prima componente 2a-4b, seconda componente a, terza componente b, ovviamente, ripeto, a e b sono numeri reali qualunque, sono liberi di variare.
A sua volta, questo vettore lo potete riscrivere in questo modo. Scrivo. A che moltiplica il vettore di coordinate 2, 1, 0. Chi sono 2, 1, 0?
Sono semplicemente i coefficienti della variabile A all'interno di questa scrittura. Quindi qui nella prima componente c'è scritto 2A e quindi io scrivo A che moltiplica il numero 2. Nella seconda componente c'è scritto 1 per A, cioè A, e quindi scrivo A che moltiplica 1. Nella terza componente, beh nella terza componente c'è scritto B, non c'è scritto A, ma allora questo vuol dire che... se voglio inserire qualcosa la componente deve essere 0 in modo che quando moltiplico A per 0 effettivamente la A scompare come è giusto che sia perché qui nella terza componente non devo trovare la lettera A Quindi dicevo A che moltiplica il vettore 2, 1, 0, poi più B che moltiplica il vettore di componenti meno 4, 0, 1. Ancora, chi sono meno 4, 0 e 1?
Ma sono semplicemente i coefficienti della variazione di componenti. variabile b nella scrittura qui sopra. Quindi nella prima componente c'è meno 4b, vedete b per meno 4, nella seconda componente c'è solamente la lettera a, non c'è la b. Quindi sono obbligato a scrivere 0 in modo che la lettera a sia la lettera b. in modo che poi moltiplicando b per 0 non compaia la lettera b.
E nella terza componente qui c'è scritto b e quindi io scrivo b per 1. Perché sto facendo questo? Sto facendo questo perché sto cercando di costruire una base del mio sottospazio vettoriale e quindi sto cercando di farvi vedere come ogni vettore v che appartiene a questo sottospazio si può scrivere come combinazione lineare. di due vettori che saranno i due vettori della base che sto cercando. I due vettori adesso li vedete.
C'è un vettore 1 con 1 di coordinate 2, 1, 0. C'è un vettore 1 con 2 di coordinate... meno 4, 0, 1 e quello che ho scritto qui è semplicemente la combinazione lineare A che moltiplica 1 con 1 più b che moltiplica 1 con 2 e questo è uguale a v. Quindi abbiamo scoperto che ogni vettore v del sottospazio vettoriale che stiamo considerando si ottiene come combinazione lineare di questi due vettori particolari, questi 1 con 1 e 1 con 2 che sono quelli che ho scritto qui. La conclusione qual è? La conclusione è che i vettori u1 e u2 sono un sistema di generatori del sottospazio u perché vi ho appena fatto vedere che ogni vettore di u si scrive come combinazione lineare di u1 e u2 Cosa ci rimane da dimostrare per concludere che questi due vettori sono effettivamente una base di U? Beh, abbiamo appena visto che sono un sistema di generatori, ci rimane semplicemente da dimostrare che i due vettori U1 e U2 sono linearmente indipendenti.
Questo è facile. Questo è facile perché? Adesso vedremo perché. È facile proprio per come sono stati costruiti questi vettori. Se voi controllate, i due vettori U1 e U2 hanno delle coordinate un po'particolari.
A parte la prima componente, che qui è 2 e qui è 1, ma tralasciate questo dettaglio, concentrate la vostra attenzione sulla seconda e terza. terza componente di questi due vettori. In un caso trovate 1, 0 e nell'altro caso trovate 0, 1. Questo vi farà sicuramente ricordare qualcosa che ha a che vedere con la base canonica, dove le componenti dei vettori erano solamente 0 e 1. In un caso abbiamo x2 uguale a 1 e x3 uguale a 0, nell'altro caso abbiamo x2 uguale a 0 e x3 uguale a 1. La presenza di di questi 0 e 1 fa sì che i due vettori siano sicuramente come adesso controlleremo linearmente indipendenti e quindi siano una base del sottospazio U infatti se voi fate la verifica della dipendenza o indipendenza lineare che cosa succede? succede che quando voi andate a scrivere una combinazione lineare del tipo lambda 1 per il vettore u con 1 più lambda 2 per il vettore u con 2 e la ponete uguale a 0, ovviamente in questo caso la prima equazione viene quello che viene a seconda dei coefficienti che ci sono, quindi trovate 2. lambda 1 meno 4 lambda 2 uguale a 0 ma guardate cosa succede alla seconda e terza equazione siccome nella seconda e terza componente le coordinate erano 1, 0 e 0, 1 La seconda equazione si riduce semplicemente a λ1 uguale a 0 e la terza si riduce a λ2 uguale a 0 e quindi il sistema che stiamo cercando di risolvere in realtà è già risolto.
L'unica soluzione è λ1 uguale a 0, λ2 uguale a 0 il che ci conferma, come dicevo, che i due vettori che abbiamo trovato sono effettivamente linearmente indipendenti e quindi sono una base di U. Conclusione, la dimensione 2 è uguale a 2 perché esiste una base formata da due vettori, i vettori u1 e u2. Proviamo a ripensare come abbiamo costruito questi due vettori. Vediamo.
Avevamo un'equazione di questo tipo, x1, uguale a una combinazione lineare di x2 e x3, in questo caso x1 uguale a 2x2 meno 4x3 e avevamo questi due parametri x2 e x3 che sono liberi di variare. Come abbiamo... Come abbiamo costruito, come abbiamo fatto a trovare i vettori 1 con 1 e 1 con 2?
Beh, semplicemente, siccome x2 e x3 sono liberi di variare e quindi noi siamo liberi di assegnare qualunque valore numerico a x2 e x3 abbiamo assegnato delle coppie di valori molto molto semplici in un caso abbiamo posto x2 uguale a 1 e x3 uguale a 0 e nell'altro caso abbiamo posto x2 è uguale a 0 e x3 è uguale a 1 infatti il vettore Il vettore u1 corrisponde proprio alla scelta x2 uguale a 1, x3 uguale a 0. Dopodiché x1 viene determinato dall'equazione che ho detto prima in funzione dei valori scelti per x2 e x3. Mentre il secondo vettore u2 corrisponde alla scelta x2 uguale a 0 e x3 uguale a 1. Una volta che avete capito come funziona questo giochino Non è che dovete rifare tutta questa lunga procedura ogni volta, perché sarà sempre uguale, funzionerà sempre allo stesso modo. Quindi quello che succederà, e lo vedremo già nel prossimo esercizio, sarà che quando noi andremo a risolvere un determinato sistema di equazioni lineari e scopriremo ad esempio che alcune delle variabili rimangono indeterminate, quindi il sistema mette infinite soluzioni, dove alcune appunto di queste... queste variabili sono dei parametri liberi di variare, concluderemo direttamente che la dimensione dello spazio delle soluzioni di quel sistema è esattamente data dal numero di parametri che rimangono liberi di variare.
E se vogliamo trovare una base faremo una cosa di questo tipo. Siccome ai parametri liberi di variare noi siamo liberi di assegnare i valori che preferiamo, andremo ad assegnare valori particolari. particolarmente semplici del tipo uno dei parametri lo poniamo uguale a 1 e tutti gli altri li poniamo uguali a 0 in tutti i modi possibili, in questo modo troveremo sicuramente per il discorso che ho appena fatto una base del sottospazio vettoriale. Come vi dicevo i vettori che troveremo saranno sicuramente linearmente indipendenti proprio per le scelte fatte perché abbiamo deciso di porre solamente uno dei parametri liberi di variare è uguale a 1 e tutti gli altri uguali a 0. Questo non è che sia obbligatorio, qualunque altra scelta di valori da attribuire ai parametri liberi di variare andrebbe bene, ma naturalmente se faccio delle scelte diverse non sarà più garantito che i vettori che trovo saranno linearmente indipendenti e quindi dovrei fare una verifica alla fine. dopo aver scelto i vettori per risparmiare calcoli per risparmiare verifiche per avere la certezza che le soluzioni trovate forniscono una base dovete preferibilmente usare la strategia che vi ho appena descritto quindi porlo uguale a 1 solamente uno dei parametri e tutti gli altri vanno posti uguali a 0 in tutti i modi possibili comunque ci ritorneremo sopra negli esercizi seguenti Per concludere questo discorso, anche se ormai non sarebbe assolutamente importante, possiamo anche dare una descrizione geometrica di quello che abbiamo fatto, perché noi stavamo lavorando all'interno dello spazio tridimensionale R3, ma abbiamo scoperto che il nostro sottospazio ha una base costituita da due vettori.
I due vettori U1 e U2 formano una base. di questo sottospazio e quindi concludiamo che dal punto di vista geometrico questo sottospazio è semplicemente un piano, è un sottospazio di dimensione 2 all'interno dello spazio tridimensionale e qual è questo piano? Beh è semplicemente il piano ovviamente passante per origine perché sappiamo benissimo che tutti i sottospazi vettoriali devono contenere il vettore nullo e quindi U è un sottospazio spazio vettoriale deve passare per l'origine del sistema di riferimento in R3, ma dicevo qual è questo piano? È semplicemente l'unico piano che contiene i due vettori che abbiamo trovato, i vettori 1 con 1 e 1 con 2, quindi avete una interpretazione geometrica del problema che abbiamo appena considerato. Ci sono due vettori non paralleli disposti in qualche modo nello spazio tridimensionale.
e il sottospazio U generato da questi due vettori è esattamente quel piano che contiene entrambe le rette parallele ai due vettori dati. L'esercizio che abbiamo appena risolto vi ha illustrato una delle procedure più comuni che si applicano poi per risolvere tutti gli esercizi di questo tipo. Questo adesso che vi propongo... è stato tratto da uno dei temi d'esame che trovate sulla pagina web del corso in questione nella sezione dove sono raccolti tutti i temi d'esame delle prove passate ed è precisamente l'esame dell'appello di febbraio del 2013 ma insomma se andate a vedere le prove scritte degli appelli d'esame sono molto simili le une dalle altre gli esercizi sono più o meno sempre gli stessi ovviamente cambiano i numeri coinvolti ma siccome gli argomenti del corso sono quelli non è che da un anno all'altro cambi molto in effetti in questo esercizio vediamo Abbiamo considerato uno spazio vettoriale definito sul campo dei numeri reali che ha una base formata da quattro vettori. Quindi il testo dice che i vettori v1, v2, v3 e v4 sono una base che ci dice automaticamente che la dimensione deve essere 4 visto che la dimensione è il numero di vettori di una base.
Poi consideriamo un sottospazio vettoriale che è generato da tre vettori. I tre vettori si chiamano U1, U2, U3 e sono descritti, sono espressi. siccome delle combinazioni lineari dei vettori di base quindi U1 è il vettore 2V2-V4 U2 è V1 più 2V2-V3 e U3 è V1-V3 più V4 domande? sono esattamente quelle di prima abbiamo un sottospazio vettoriale e ci chiediamo qual è la dimensione e chi è una base di questo sottospazio La differenza, se volete, fra questo esercizio e quello precedente è che prima il sottospazio vettoriale veniva descritto tramite una equazione che noi dovevamo risolvere per trovare i vettori di base.
in questo caso invece non c'è nessuna equazione il sottospazio vettoriale è descritto fornendo esplicitamente un insieme di generatori qui si dice che U è il sottospazio vettoriale generato da questi tre vettori quello che scriveremo in questo modo in notazione simbolica A questo punto possiamo sicuramente dire che la dimensione del sottospazio vettoriale U al massimo potrà essere 3. Che cosa succederà? Beh, succederà che U è generato da questi tre vettori. Se questi tre vettori, 1, 1, 2, 3, fossero linearmente indipendenti, allora siccome sono già un insieme di generatori sarebbe una base e quindi 1 avrebbe esattamente 3. dimensione 3. Il problema è che non è garantito, perché il testo non lo dice, non è garantito che i tre vettori siano linearmente indipendenti. Potrebbe succedere che i tre vettori, 1 con 1, 1 con 2 e 1 con 3, fossero linearmente dipendenti, perché magari uno di questi tre vettori in realtà si ottiene come combinazione lineare degli altri due. Allora, in questo caso la dimensione non sarà 3. Perché?
Perché i tre generatori... essendo linearmente dipendenti non formerebbero una base. Allora bisognerebbe cancellare uno di questi tre vettori, tenere i due vettori che rimangono, controllare se i due vettori rimasti sono linearmente dipendenti o indipendenti per decidere se formano una base oppure no. Quindi è un po'questo che dobbiamo controllare. Allora vi dicevo, dopo aver capito che il problema si riduce a controllare se i tre vettori dati sono linearmente dipendenti o linearmente indipendenti, possiamo cominciare, ormai sappiamo come si fa, bisogna costruire una combinazione lineare di questi tre vettori, bisogna porlo uguale al vettore nullo, bisogna sostituire Le espressioni di questi vettori, direi le coordinate, ma in questo caso i vettori sono scritti come combinazioni lineali di vettori di base, non sono scritti come sequenze di numeri.
È più o meno la stessa cosa, ma probabilmente è un attimino diverso. Allora dicevo... Al posto di U1 scriviamo la sua espressione, 2V2 meno V4.
Al posto di U2 scriviamo la sua espressione che è V1 più 2V2 meno V3. Al posto di U3 scriviamo la sua espressione che è V1 meno V3 più V4. Poi sviluppiamo i calcoli. Qui trovate una...
lunga serie di somme di vettori v1, v2, v3, v4 moltiplicati per degli scalari, potete sviluppare i calcoli, potete raccogliere a fattor comune i vettori v1, v2, v3, v4 e quello che trovate allora è una combinazione lineare di questi quattro vettori che deve essere uguale al vettore nullo. La combinazione lineare, se sviluppate i calcoli, ha i seguenti coefficienti. Allora trovate λ2 più λ3 che moltiplica v1 Poi trovate 2λ1 più 2λ2 che moltiplica V2, poi c'è meno λ2 meno λ3 che moltiplica V3 e meno λ1 più λ3 che moltiplica V4. Il tutto è uguale a zero. A questo punto vi ricorderete che il problema iniziava affermando che i vettori V1, V2, V3 e V4 erano una...
base di questo spazio vettoriale che significa che questi quattro vettori sono linealmente indipendenti ce lo dice il testo del problema e quindi se noi abbiamo una combinazione lineare di questi vettori questa qui che è uguale al vettore nullo e sappiamo che i vettori dati sono linealmente indipendenti la conclusione è che tutti i coefficienti di questa combinazione lineare devono essere uguali a zero e quindi λ2 più λ3 sarà uguale a zero 2λ1 più 2λ2 sarà uguale a zero meno λ2 meno λ3 sarà uguale a zero e meno λ1 più λ3 sarà uguale a zero in questo modo troviamo quattro equazioni lineari, quattro equazioni di primo grado nelle incognite lambda1, lambda2, lambda3 e lambda4. Ed eccoci arrivati. al solito problema che troviamo in tutto questo corso, che è quello di risolvere un sistema di equazioni lineari.
Questo è il sistema che dobbiamo risolvere. A questo punto vi lascio, insomma, vi lascio a voi, lascio il lavoro di risolvere questo sistema, ma è molto molto facile, le equazioni sono molto semplici. E scoprirete che...
Risolvendo questo sistema, ottenete ad esempio dall'ultima equazione, ottenete λ1 uguale a λ3, portando il meno λ1 a destra dell'uguale. Poi, dalla terza equazione, questa qui, ottenete λ2 uguale a meno λ3, eccolo qui. Quindi λ1 e λ2 sono... determinati in funzione di lambda 3. Poi cosa succede?
Succede che quando andate a sostituire nella seconda equazione e nella prima, per cercare di determinare il valore di lambda 3, trovate semplicemente 0 uguale a 0. che, come vi dicevo, naturalmente è vero ma non aiuta, non serve, non permette di determinare il valore di λ3. In altre parole, quelle che sembravano quattro equazioni, alla fine si sono ridotte a due equazioni vere e proprie e le altre due sono delle identità. Quindi il sistema che abbiamo trovato alla fine è un sistema di due equazioni in tre incognite per cui, dicevo, lambda1 e lambda2 sono determinati in funzione di lambda3 però lambda3 rimane indeterminato, rimane libero di variare quindi questo sistema ha infinite soluzioni non ha solamente la soluzione nulla ricordate che noi stiamo cercando di capire se i vettori dati 1 con 1, 1 con 2, 1 con 3 sono linearmente dipendenti oppure no quindi stiamo cercando di capire se questo sistema ha solo la soluzione nulla oppure se ha anche soluzioni nulla diverse da quella nulla.
Siccome il sistema abbiamo scoperto avere infinite soluzioni, la conclusione è che i tre vettori dati sono linearmente dipendenti. E quindi uno di quei tre vettori dipende dagli altri due. Se ci interessa, a scoprire quale vettore dipende dagli altri due, o in un altro modo se ci interessa sapere qual è una relazione di dipendenza lineare fra quei tre vettori, possiamo semplicemente assegnare al parametro lambda3 che è libero di variare un valore a caso, un valore che preferiamo.
Ad esempio possiamo porre λ3 uguale a 1, perché in questo modo troviamo λ1 uguale a λ3, quindi anche λ1 uguale a 1, e λ2 uguale a meno λ3, e quindi troviamo λ2 uguale a meno 1. Questa è una soluzione del sistema di equazioni lineari e quindi se voi andate a sostituire questi valori nella combinazione lineare da cui siete partiti, che è questa, trovate, come vi dicevo, una relazione di dipendenza lineare fra i vettori dati. Quindi adesso, al posto di λ1, λ2, λ3, sostituite i valori che abbiamo trovato e otteniamo questa uguaglianza qui. Scopriamo che il primo vettore, 1 con 1, meno il secondo vettore, quindi 1 con 1 meno 1 con 2, più il terzo fa 0. E quindi, ad esempio, possiamo concludere che il terzo vettore, u con 3, è semplicemente la differenza dei primi due.
Quindi capite, u con 3 non è indipendente dai primi due. Il vettore u con 3 si ottiene semplicemente come differenza. fra U2 e U1, quindi è dipendente dai primi due. Ricapitolando, è vero che i generatori erano tre, ma questi tre generatori non sono indipendenti e quindi non formano una base. Allora cosa facciamo?
Dalla lista dei tre generatori cancelliamo Ad esempio, visto che U3 è ottenibile come combinazione lineare di primi due, e rimaniamo con la lista formata dai primi due vettori, U1 e U2. E ora la domanda si ripropone. Questi due vettori, un con uno e un con due, saranno finalmente una base, cioè saranno linearmente indipendenti o magari saranno ancora linearmente dipendenti e quindi dobbiamo cancellarne un altro e rimanere con un solo vettore.
Dovete rifare la verifica che avete appena fatto, ma naturalmente siccome l'avete appena fatta, adesso è molto facile rifarla. Perché? Essenzialmente dovete considerare una combinazione lineare solamente di questi vettori, quindi U1 e U2, quindi del tipo λ1 U1 più λ2 U2 uguale a 0 e ripetere i calcoli di prima.
Ma siccome i calcoli li avete già fatti, voi potreste per così dire riciclare i fogli dove avete fatto quei calcoli semplicemente andando a cancellare. dai calcoli fatti in precedenza cancellare lambda 3 e u con 3 vedete se io prendo tutti i calcoli che ho fatto prima qui, se io cancello lambda 3 e u con 3 cancello quest'ultimo addendo gli stessi calcoli mi permettono di risolvere questo nuovo sistema dove adesso lambda 3 non compare Provate a farlo per esercizio, è molto semplice, e alla fine scoprirete che l'unica soluzione di quel sistema di equazioni lineari è la soluzione nulla, λ1 uguale a 0, λ2 uguale a 0, il che significa che questi due vettori, u1 e u2, sono effettivamente linearmente indipendenti e quindi abbiamo trovato una base di 1. Cioè, in altre parole... U era generato da tre vettori, però ha una base fatta solamente da due vettori, proprio perché il terzo vettore in realtà è di troppo.
Il terzo vettore non serve perché bastano i primi due, un con uno e un con due, per generare l'intero sottospazio. Quindi abbiamo trovato una base e la dimensione è uguale a due. Questa era la prima domanda. questo esercizio direi che prima di andare avanti ci possiamo fermare un attimino facciamo una pausa e poi vediamo di completare questo esercizio Consideriamo un secondo sottospazio vettoriale, che questa volta chiamo W.
Anche in questo caso si danno i generatori, si danno dei vettori che generano questo sottospazio. Esattamente come nel caso precedente, quindi si dice che W è generato dai seguenti vettori, W1, W2, W3 e W4, e questi vettori sono scritti. vitti come combinazione lineare dei vettori v1, v2, v3 e v4 che formano una base dello spazio vettoriale.
Le domande sono quelle di prima, la dimensione di W e una base di W. Quindi vi faccio un po'veloce perché dovete rifare esattamente i calcoli fatti prima. Il ragionamento è il seguente.
W è generato da quattro vettori, quindi al massimo potrebbe avere dimensione 4. Bisogna scoprire se questi quattro vettori sono linealmente dipendenti o linealmente indipendenti. Che cosa fate? Costruite...
Scrivete una combinazione lineare di questi quattro vettori. Lambda 1, W1, più lambda 2, W2, più lambda 3, W3, più lambda 4, W4. La ponete uguale al vettore nullo. Poi. al posto di w1 sostituite la sua espressione in termini di v1, v2, v3, v4 quindi qui lambda1 w1 diventa lambda1 che moltiplica v1 più v4 fate lo stesso con w2, w3, w4 poi sviluppate i calcoli raccogliete, quindi moltiplicate e raccogliete i vettori v1, v2, v3 3 e 4, ponete uguali a 0 i coefficienti della combinazione lineare che avete trovato.
In questo modo trovate un sistema di equazioni lineari, lo risolvete cercando di determinare i coefficienti λ1, λ2, λ3, λ4 e la domanda è sempre la solita. Troveremo un sistema di equazioni lineari che ha come unica soluzione la soluzione nulla? Se questo è il caso, allora i quattro vettori sono linearmente indipendenti.
Oppure scopriremo che il sistema ha infinite soluzioni? se questo è il caso allora i vettori sono linearmente dipendenti e quindi se sono linearmente dipendenti ci sarà una relazione di dipendenza lineare fra questi che permetterà di scrivere uno di questi quadri vettori come combinazione lineare degli altri. Allora questo vettore dovremo cancellarlo dall'elenco dei generatori e considerare solamente tre vettori. I tre vettori che abbiamo trovato poi dovremo controllare se sono linearmente dipendenti o linearmente indipendenti e così via. Esattamente quello che abbiamo fatto prima.
Vi dico solo come va a finire, se volete fate i calcoli come esercizio, scoprirete che il sistema che si ottiene ha infinite soluzioni, quindi non c'è solo la soluzione nulla. E di conseguenza i vettori sono linearmente dipendenti, quindi non sono una base. Sono quattro, ma non sono una base, perché sono linearmente dipendenti. Si scoprirà che il quarto vettore, ad esempio, W4, si può ottenere come combinazione lineare dei primi tre, perché semplicemente W4 risulta essere uguale.
al doppio di W1 più W2 più W3. Allora, siccome W4 dipende dai tre vettori precedenti, lo potete cancellare dalla lista e considerare solamente l'insieme di generatori W1, W2 e W3. Ora dovete ripetere il procedimento, che adesso i vettori sono tre, ma continuate a non sapere se questi tre vettori sono linearmente dipendenti o linearmente indipendenti. Quindi bisogna ricominciare, bisogna fare la combinazione lineare, λ1, w1, più λ2, w2, più λ3, w3, porlo uguale a zero, sostituire ancora una volta le espressioni di w1, w2, w3, quindi sviluppare i calcoli, ugualiare a zero i coefficienti della combinazione lineare, si ottiene un sistema, un'altra volta, di equazioni lineari nell'incontro λ, risolvere questo sistema e finalmente in questo caso scoprirete che il sistema mette una unica...
l'unica soluzione ed è la soluzione nulla quindi trovate λ1 uguale a 0, λ2 uguale a 0, λ3 uguale a 0 il che significa che i vettori w1, w2, w3 sono linearmente indipendenti quindi sono una base di W che ha pertanto dimensione 3 perché avete trovato una base formata da tre vettori. Quindi vedete, la seconda domanda di questo esercizio in realtà è esattamente uguale alla prima con numeri diversi, con calcoli diversi ma chiede esattamente le stesse cose. Veniamo alla parte nuova, la parte più interessante, che è la terza domanda, sempre di questo esercizio, dove si chiede di trovare la dimensione e una base dei due sottospatti che si ottengono rispettivamente come intersezione di U e W e come somma di U e W.
Qui ho cercato di ricapitolare i dati che abbiamo, quindi le informazioni che abbiamo scoperto fino a questo punto. Abbiamo scoperto che U ha una base fatta da due vettori, e quindi la sua dimensione è 2, mentre W ha una base fatta da tre vettori, e quindi la sua dimensione è 3. Poi ci ricordiamo che c'è una formula, la formula di Grassmann, che mette in relazione la dimensione della somma u più w con la dimensione dell'intersezione U intersecato W e con le dimensioni di U e W separatamente. Il problema è che per usare quella formula bisogna conoscere o la dimensione dell'intersezione o la dimensione della somma.
in questo caso non conosciamo nessuno delle due quindi bisogna partire con l'intersezione o con la somma e cercare di calcolare una base per poi alla fine poter usare la formula di Grassmann in questo caso tanto vale ma ho deciso di partire calcolando un vettore dell'intersezione, quindi sto cercando di determinare una base dell'intersezione dei due sottosparti vettoriali così vedremo un po'come si può ragionare in questo modo. Il ragionamento è abbastanza semplice anche se porta, come vedremo, a dei calcoli piuttosto lunghi purtroppo almeno in questa fase del corso, poi più avanti quando avremo degli strumenti più sofisticati vi insegnerò anche metodi più veloci per risolvere questo problema. tipo di problemi. Comunque dicevo, il ragionamento è abbastanza semplice, vi basta ricordare cosa vuol dire intersezione di due sottospatti vettoriali. L'intersezione, sapete, è fatta dai vettori comuni.
comuni ad entrambi, quindi si tratta di vettori che stanno sia in U che in W. Pertanto se voi prendete un vettore, chiamiamolo B, che appartiene all'intersezione, per definizione questo vettore appartiene sia a U che a W. Allora quello che noi possiamo dire è la cosa seguente, siccome U ha una base costituita dai vettori U1 e U2, se il vettore v appartiene a u, allora questo vettore v si potrà sicuramente scrivere come combinazione lineare dei due vettori della base di u. Quindi io potrò certamente scrivere che v è uguale a alfa1u1 più alfa2u2. Per qualche coppia di numeri reali, alfa1 e alfa2 naturalmente che non conosco, ma che potrò determinare.
D'altra parte V appartiene anche a W e quindi si potrà scrivere come combinazione lineare dei vettori che costituiscono una base di W, che sono W1, W2 e W3. Quindi capite, lo stesso V che si può scrivere nella forma α1, 1 più α2, U2, si deve poter scrivere anche come β1, W1 più β2, W2 più β3, W3, cioè in altre parole. lo stesso vettore V si scrive in due modi diversi come combinazione lineare da una parte dei vettori U1 e U2 e dall'altra parte dei vettori W1, W2 e W3 Il problema è che in questo modo, purtroppo, avete introdotto 5 incognite, perché i coefficienti alfa1, alfa2, beta1, beta2 e beta3 sono tutti indettati.
determinati, il che vi porta a dover risolvere un sistema di equazioni che contiene 5 incognite. Quindi capite, non è difficile da un punto di vista concettuale, però è abbastanza lungo, perché è chiaro che più incognite avete nei vostri problemi, più tempo sarà necessario per risolvere il sistema in questione. Comunque, ormai abbiamo capito, quindi adesso vado un po'veloce sui calcoli perché sono una ripetizione di cose che abbiamo già visto.
Al posto di U1, U2, W1, W2 e W3, sostituiamo le espressioni date dal testo, quindi in particolare u con 1 sappiamo che è uguale a 2v2-v4, u con 2 è uguale a v1 più 2v2-v3, w1 è uguale a v1 più v4, w2 è 2v2 più 2v3 e per finire w3 era meno v2 più v3 più v4. moltiplicate, sviluppate i calcoli, portate tutto ad esempio a sinistra dell'uguale, raccogliete quello che dovete raccogliere, insomma dopo aver fatto un po'di calcoli alla fine ottenete questa combinazione lineare avete alfa2 meno beta1 che moltiplica V1 più 2 alfa1 più 2 alfa2 meno beta2 più beta3 che moltiplica V2 più, qui c'è meno alfa2 meno 2 beta2 meno beta3 che moltiplica V3 e alla fine meno alfa1 meno beta1 meno beta3 che moltiplica V4 il tutto uguale a 0 perché come vi dicevo ho deciso di portare tutti i termini che comparono in questa espressione a sinistra dell'uguale e quindi a destra dell'uguale è rimasto 0, il vettore nullo. Questa, esattamente come in precedenza, non è altro che una combinazione lineare dei vettori v1, v2, v3 e v4.
Ma questi vettori, per ipotesi, sono una base dello spazio vettoriale v. il problema iniziava dicendo V è uno spazio vettoriale che ha come base i vettori V1, V2, V3, V4 e quindi essendo vettori di una base sono linealmente indipendenti Di conseguenza, se questa combinazione lineare dà come risultato il vettore nullo, allora tutti i coefficienti che compaiono devono essere nulli. In altre parole, alfa2-beta1 deve essere uguale a 0. E questo ci fornisce una prima equazione. Quest'altra espressione, 2α1 più 2α2 meno β2 più β3, deve essere uguale a 0. E questa è la seconda equazione.
Poi abbiamo il coefficiente di V3, meno α2 meno 2β2 meno β3, deve essere 0 anche lui. E questa è la terza equazione. E per finire, meno α1 meno β1 meno β3 è il coefficiente di V4 che deve essere 0, il che fornisce una quarta equazione.
e quindi abbiamo trovato un sistema di 4 equazioni lineari però ci sono 5 incognite che sono i 5 coefficienti che abbiamo introdotto alfa1, alfa2, beta1, beta2, beta3 naturalmente ci aspetteremo che siccome le incognite sono più delle equazioni questo sistema avrà infinite soluzioni naturalmente in effetti è quello che succede se voi andate a effettuare i calcoli Anche qui allora vado un po'veloce. Io ho iniziato così. Dalla prima equazione ho ricavato beta1 uguale a alfa2, poi ho sostituito nelle altre equazioni, poi vado avanti. Nella seconda equazione alla fine mi sono ricavato beta2 uguale a un'espressione che contiene alfa1, alfa2 e beta3.
Poi andando avanti... risolvo il sistema con il classico metodo della sostituzione ricavo anche alfa 1 come espressione contenente alfa 2 e beta 3 e alla fine alla fine arrivo anche a calcolare qui da questa equazione rimasta, dalla terza arrivo a calcolare alfa 2 espresso in termini di beta 3 quindi adesso a parte i calcoli se voi tenete conto di tutto quello che abbiamo fatto, vediamo Beta 1 è stato determinato, beta 2 anche, alfa 1 è stato determinato pure lui, anche alfa 2 è stato determinato però è rimasto beta 3. Abbiamo usato quattro equazioni per determinare alfa 1, alfa 2, beta 1, beta 2 ma beta3 non è possibile determinarla e di conseguenza esistono infinite soluzioni per ogni valore di beta3. Insomma beta3 è un parametro a livello di variare, che vuol dire che l'insieme insieme delle soluzioni di questo sistema di equazioni lineari, e ricordatevi, l'insieme delle soluzioni di questo sistema di equazioni lineari ha qualcosa a che vedere con l'intersezione dei due sottospazi vettoriali, perché noi abbiamo incontrato questo sistema di equazioni lineari proprio cercando di determinare l'intersezione. Allora, quello che abbiamo scoperto è che Grazie. L'insieme delle soluzioni di questo sistema di equazioni lineari dipende da un parametro libero di variare, il che vuol dire che le soluzioni che otteniamo rappresentano un sottospazio vettoriale di dimensione 1. Vi ricordate il ragionamento dell'esercizio precedente.
Quando voi risolvete un sistema di equazioni lineari e scoprite che c'è un certo numero di parametri liberi di variare, ebbene, il numero di parametri liberi di variare... vi dà un'informazione circa la dimensione dell'insieme delle soluzioni di quel sistema qui. Un parametro libero di variare significa dimensione 1 e siccome le soluzioni di questo sistema si riferiscono per così dire ai vettori che appartengono all'intersezione dei due sottospazi vettoriali, questo ci permette direttamente di concludere che l'intersezione di quei due sottospazi vettoriali avrà dimensione 1. Quindi vedete, anche senza fare dei calcoli ulteriori ho già un'informazione relativa alla dimensione della intersezione.
Naturalmente questo non basta perché il testo non chiedeva semplicemente la dimensione dell'intersezione ma chiedeva di determinare esplicitamente una base e quindi questo conteggio del numero di parametri liberi di variare mi permette di capire che la dimensione dell'intersezione è 1 ma ovviamente se voglio trovare un vettore di base dovrò fare i calcoli adesso, d'accordo? Quindi quello che dovete fare è la cosa seguente Siccome beta3 è libero di variare, voi pertanto siete liberi di assegnare a beta3 un valore che preferite, ponete ad esempio beta3 uguale a 1. Non ponete beta3 uguale a 0. Anche beta3 uguale a 0 va bene, ma ovviamente se voi ponete beta3 uguale a 0 trovate semplicemente alfa2 uguale a 0, alfa1 uguale a 0. beta 1 uguale a 0, beta 2, insomma trovate la soluzione nulla. Il che vi dice semplicemente che il vettore nullo appartiene all'intersezione. Sì, è vero, ma questo lo sapevo già dall'inizio, perché l'intersezione è un sottospazio vettoriale. contiene il vettore nullo.
Non è interessante. Io sto cercando un vettore che appartenga all'intersezione ma non sia il vettore nullo. Quindi a beta3 posso dare il valore che preferisco ma non ovviamente il valore nullo che non mi fornisce nessuna informazione.
Allora dicevo volete pure beta3 uguale a 1 risolvendo il sistema scoprite che alfa2 è uguale a 1 beta1 è uguale a 1, alfa1 risulta uguale a meno 2 e beta2 con un po'di calcoli risulta uguale a meno 1. Ora che abbiamo determinato i valori in modo esplicito, una soluzione esplicita di questo sistema, possiamo prendere l'espressione precedente, questa espressione qui da cui siamo partiti, che serviva a determinare un vettore che apparteneva all'intersezione. Quindi adesso, al posto di α1, α2, β1, β2 e β3, possiamo inserire i valori che abbiamo trovato. Se lo facciamo, troviamo... Allora, da una parte troviamo che V, che era uguale a α1, U1 più α2, U2, è semplicemente uguale a meno due volte U1 più U2.
Dall'altra parte, anche se adesso non servirebbe, potremmo dire che V era anche uguale a β1Vw1 più β2Vw2 più β3Vw3 e adesso al posto di β1, β2 e β3 inserite i numeri che avete trovato e ottenete Vw1-Vw2 più Vw3. Abbiamo trovato due volte lo stesso vettore V, ovviamente basta trovarlo una volta sola, ma questo in realtà ci permette di fare un controllo sulla correttezza dei nostri calcoli, perché? Perché siccome noi abbiamo trovato due diverse espressioni per il vettore v, e qui c'è scritto che v è uguale a meno 2 u1 più v2, e qui sotto c'è scritto che lo stesso v è uguale a w1 meno w2 più v3, allora vuol dire che meno 2 u1 più v2 dovrebbe essere uguale a w1 meno w2 più v3.
E quindi magari se voi state facendo questo... questo esercizio durante la prova scritta dell'esame vi interessa sapere se i calcoli che avete fatto fino a questo momento sono corretti o se magari avete fatto qualche errore di calcolo strada facendo. Il controllo è molto semplice da farsi perché queste due espressioni dovrebbero essere uguali, allora voi al posto di 1 con 1, 1 con 2 sostituite le loro. espressioni, al posto di W1, W2 e W3 sostituite sempre le loro espressioni, fate i calcoli e dovete trovare lo stesso risultato.
Infatti se controllate qui sopra troviamo v1-2v2-v3 più 2v4 e qui sotto troviamo esattamente la stessa cosa, v1-2v2-v3 più 2v4, che ci conferma che i calcoli sono corretti. Quindi ripeto, è una verifica inutile tutto sommato, ma siccome è una verifica che porta via pochissimo tempo e vi garantisce che fino a quel momento avete fatto i calcoli in modo esatto, durante un tema d'esame è meglio fare una verifica magari inutile che non farla con il rischio di aver commesso un errore ma non essersene accorti quindi magari poi andare avanti a terminare l'esercizio con dei dati che sono errati se ve ne accorgete subito magari correggete e continuate in modo corretto Possiamo adesso concludere, ormai abbiamo praticamente terminato l'esercizio. Abbiamo scoperto con i calcoli che abbiamo appena fatto che l'intersezione di U e W a dimensione 1 abbiamo trovato un vettore di base, questo qui che abbiamo appena calcolato, ok, il vettore di base è questo qui, v che è v1 meno 2v2 meno v3 più 2v4, l'intersezione è sistemata, per la somma v1 e v2 a questo punto possiamo ricorrere alla formula di Grassman, perché abbiamo tutti i dati in nostro possesso. La formula di Grassman dice che La dimensione di U più W è uguale alla dimensione di U più la dimensione di W meno la dimensione dell'intersezione che abbiamo appena calcolato.
La dimensione di U è uguale a 2, la dimensione di W è 3. la dimensione dell'intersezione l'abbiamo appena calcolata è uguale a 1 e quindi otteniamo che la dimensione di u più w è 2 più 3 meno 1 che fa 4 e quindi siamo nella situazione seguente Ovviamente abbiamo uno spazio vettoriale da cui siamo partiti, lo spazio vettoriale V, e questo ha dimensione 4, ce lo dice il testo dell'esercizio. Abbiamo due sottospazi, U e W, che sono contenuti in V, e questi due sottospazi sono tali che quando voi considerate la loro somma, cioè il più piccolo sottospazio che li contiene entrambi, la somma A esattamente di... dimensione Ma la somma è un sottospazio di V, perché i vettori di U e di V2 sono tutti vettori di V. D'accordo? E quindi voi avete uno spazio vettoriale di dimensione 4. che contiene un sottospazio che ha esattamente la stessa dimensione.
Conclusione, i due spazi vettoriali devono essere uguali. Hanno entrambi una base fatta da quattro vettori. Quindi la conclusione è che la somma dei due sottospazi u e w deve necessariamente essere uguale all'intero spazio vettoriale v semplicemente perché ha la stessa dimensione. E allora, a questo punto, la domanda rimanente che era trovate una base della somma di u più w?
Beh, adesso è molto facile perché abbiamo appena scoperto detto che u più w è uguale a v e quindi chiedere chi è una base di u più w è esattamente la stessa cosa di chiedere chi è una base di v, perché u più w è uguale a v. Quindi la domanda diventa, ditemi chi è una base di v. Ma una base di v ce la dava il testo, perché il testo diceva, proprio all'inizio, Eccolo qui, diceva, B è uno spazio vettoriale che ha come base i vettori V1, V2, V3 e V4, quindi è il testo che ci dice chi è una base di B. E alla fine noi ci stiamo chiedendo esattamente chi è una base di B. La risposta è ovvia, una base di V è formata dai vettori V1, V2, V3, V4.
Quest'ultima parte si fa in modo molto veloce, non c'è nessun calcolo da fare, proprio perché, come vi dicevo, siamo nelle condizioni di usare la formula di Grassmann che ci permette di concludere come è fatta la somma dei due sottospazi avendo già calcolato come era fatta l'intersezione degli stessi due sottospazi.