Catatan Kuliah Trigonometri: Identitas Sudut Rangkap

Pengantar

• Pembicara: Denny Handayani
• Topik: Identitas Trigonometri Sudut Rangkap
• Materi terkait dengan video sebelumnya tentang identitas trigonometri penjumlahan dan selisih dua sudut.
• Terdapat 10 soal latihan yang akan dibahas.

Identitas Trigonometri Sudut Rangkap

Identitas Sinus Sudut Rangkap

• Rumus: ( \sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B )
• Untuk sudut rangkap, ganti ( B ) dengan ( A ):
  ( \sin(A + A) = \sin A \cos A + \cos A \sin A )
  • Menjadi:
    ( \sin 2A = 2 \sin A \cos A )

Identitas Cosinus Sudut Rangkap

• Rumus: ( \cos(A + B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B )
• Ganti ( B ) dengan ( A ):
  ( \cos(A + A) = \cos A \cos A - \sin A \sin A )
  • Menjadi:
    ( \cos 2A = \cos^2 A - \sin^2 A )
• Dapat dikembangkan menjadi:
  • ( \cos 2A = 2 \cos^2 A - 1 )
  • ( \cos 2A = 1 - 2 \sin^2 A )

Identitas Tangen Sudut Rangkap

• Rumus: ( \tan(A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B} )
• Ganti ( B ) dengan ( A ):
  ( \tan(A + A) = \frac{2 \tan A}{1 - \tan^2 A} )
  • Menjadi:
    ( \tan 2A = \frac{2 \tan A}{1 - \tan^2 A} )

Contoh Soal

Soal 1

• Soal: Nilai dari ( 1 - 2 \sin^2 67,5^ )
• Identitas yang digunakan: ( \cos 2A = 1 - 2 \sin^2 A )
• Hasil: ( \cos 135 = -\frac{\sqrt{2}}{2}
  )

Soal 2

• Soal: Nilai dari ( 2 \sin 52,5^ \cos 52,5^ )
• Identitas yang digunakan: ( 2 \sin A \cos A = \sin 2A )
• Hasil: ( \sin 105 = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}
  )

Soal 3

• Soal: Nilai dari ( 1 - 2 \tan 15^ )
• Identitas yang digunakan: ( \tan 2A = \frac{2 \tan A}{1 - \tan^2 A} )
• Hasil: ( 1 - \frac{\sqrt{3}}{3} )

Soal 4

• Soal: Jika ( \sin x = -p ) dalam interval ( 180^
• 270^ )
• Hasil: ( 2p \cdot \sqrt{1 - p^2} )

Soal 5

• Soal: Nilai ( \cos \frac{\pi}{8} )
• Hasil: ( 1/2 \cdot \sqrt{2 + \sqrt{2}}
  )

Soal 6

• Soal: Jika ( \sin 2x = \frac{1}{3} \sqrt{5} )
• Hasil: ( \frac{1}{\sqrt{6}}
  )

Soal 7

• Soal: Diketahui ( \sin x - \cos x = 2a )
• Hasil: ( \sin 2x = 1 - 4a^2 )

Soal 8

• Soal: ( 1 - \sin 2x ) per ( \cos 2x )
• Hasil: ( \frac{1 - \tan x}{1 + \tan x}
  )

Soal 9

• Soal: Himpunan penyelesaian ( \sin^2 2x - 2 = 2 \sin x \cos x )
• Hasil: ( x = 135^ dan 315^ )

Soal 10

• Soal: ( 3 \cos^2 2x + 4 \cos 2x - 4 = 0 )
• Hasil: ( \frac{1}{6} \sqrt{30} )

Penutup

• Pembahasan lengkap mengenai identitas sudut rangkap dan penerapannya dalam berbagai soal trigonometri.
• Akan ada kelanjutan di video berikutnya.
• Assalamualaikum Wr Wb.